排队模型分析法
订单处理中的排队论模型研究
订单处理中的排队论模型研究在现代商业环境中，订单处理是任何企业或组织不可或缺的一部分。
如何高效地管理订单处理流程成为了检验企业运营能力的重要指标之一。
排队论模型是一种研究订单处理中服务设施效率的数学工具，其可以帮助企业找到优化订单处理流程的方法。
本文将介绍排队论模型在订单处理中的研究应用，并探讨其对提升服务质量和效率的意义。
一、排队论模型概述排队论模型是对排队系统进行建模和分析的数学工具。
它可以用来研究各种排队现象，例如：顾客到达时间、服务时间、顾客等待时间、服务人员数量等。
排队论模型中的关键参数包括到达率、服务率和服务设施数量，通过调整这些参数可以控制和优化排队系统。
在订单处理中，排队论模型可以衡量订单等待时间、服务水平，为企业提供决策依据。
二、排队论模型在订单处理中的应用1. 订单接受率优化通过排队论模型，企业可以根据订单的到达率和服务设施数量，优化订单接受率。
在接受新订单时，企业可以根据当前服务设施的负载情况来决定是否接受，并设置适当的等待阈值。
通过合理地控制订单接受率，企业可以避免资源浪费和订单滞后。
2. 服务设施数量优化排队论模型可以帮助企业确定合适的服务设施数量，以达到最佳的订单处理效率和服务质量。
在订单处理过程中，流程瓶颈往往出现在服务设施数量不足的环节。
通过分析排队论模型，企业可以评估当前服务设施的数量是否满足需求，避免因过多或过少的服务人员而导致效率低下或服务质量下降。
3. 顾客等待时间分析订单处理中的顾客等待时间是影响客户满意度和忠诚度的关键因素之一。
排队论模型可以用来分析顾客等待时间的概率分布，并提供相应的服务水平指标，如平均等待时间、最长等待时间等。
企业可以根据这些指标来设定合理的服务水平目标，以最大程度地满足客户需求。
三、排队论模型在订单处理中的意义排队论模型在订单处理中的应用，能够帮助企业合理分析和设计订单处理流程，提高服务质量和效率。
通过对排队论模型的研究，企业可以优化资源配置，减少服务瓶颈，提前预测和解决潜在问题，从而实现更高效的订单处理。
排队论问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验背景排队论是运筹学的一个重要分支，主要研究在服务系统中顾客的等待时间和服务效率等问题。
在现实生活中，排队现象无处不在，如银行、医院、超市、餐厅等。
通过对排队问题的研究，可以帮助我们优化服务系统，提高顾客满意度，降低运营成本。
本实验旨在通过模拟排队系统，探究排队论在实际问题中的应用。
二、实验目的1. 理解排队论的基本概念和原理。
2. 掌握排队模型的建立方法。
3. 熟悉排队系统参数的估计和调整。
4. 分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率等。
5. 培养运用排队论解决实际问题的能力。
三、实验内容1. 建立排队模型本实验以银行排队系统为例，建立M/M/1排队模型。
该模型假设顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指数分布，服务台数量为1。
2. 参数估计根据实际数据，估计排队系统参数。
假设顾客到达率为λ=2（人/分钟），服务时间为μ=5（分钟/人）。
3. 模拟排队系统使用计算机模拟排队系统，记录顾客到达、等待、服务、离开等过程。
4. 性能分析分析排队系统的性能指标，如平均等待时间、服务效率、顾客满意度等。
四、实验步骤1. 初始化参数设置顾客到达率λ、服务时间μ、服务台数量n。
2. 生成顾客到达序列根据泊松分布生成顾客到达序列。
3. 模拟排队过程（1）当服务台空闲时，允许顾客进入队列。
（2）当顾客进入队列后，开始计时，等待服务。
（3）当服务台服务完毕，顾客离开，开始下一个顾客的服务。
4. 统计性能指标记录顾客等待时间、服务时间、顾客满意度等数据。
5. 分析结果根据实验数据，分析排队系统的性能，并提出优化建议。
五、实验结果与分析1. 平均等待时间根据模拟结果，平均等待时间为2.5分钟。
2. 服务效率服务效率为80%，即每分钟处理0.8个顾客。
3. 顾客满意度根据模拟结果，顾客满意度为85%。
4. 优化建议（1）增加服务台数量，提高服务效率。
（2）优化顾客到达率，降低顾客等待时间。
（3）调整服务时间，缩短顾客等待时间。
mm1n排队论模型参数
mm1n排队论模型参数
M/M/1 排队论模型是一种简单的排队系统模型，用于分析单一服务台、顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的系统。
在M/M/1 模型中，有三个主要参数：
1. 到达率（λ）：表示单位时间内到达系统的顾客数的期望值，服从参数为λ的泊松分布。
到达率决定了系统中的顾客数量变化速率。
2. 服务率（μ）：表示单位时间内一个顾客被服务完成的期望值，服从参数为μ的指数分布。
服务率决定了系统中顾客等待服务的速度。
3. 顾客到达和服务时间是独立的：这个条件表明顾客的到达和服务的完成之间没有影响，使得模型更具有现实意义。
通过平衡方程法，可以对M/M/1 模型进行稳态分析，计算出以下几个重要性质：
1. 队长（Ls）：表示系统中的顾客数（n）的期望值。
2. 排队长（Lq）：表示系统中排队等待服务的顾客数（n）的期望值。
3. 逗留时间（Ws）：指一个顾客在系统中的全部停留时间，为期望值。
4. 等待时间（Wq）：指顾客在系统中等待服务的時間，为期望值。
了解这些参数后，可以对M/M/1 模型进行评估和优化，以提高系统的效率和服务质量。
M/M/1 模型虽然简单，但在实际应用中具有广泛的价值，如电话交换系统、计算机网络、银行窗口等。
掌握M/M/1 模型的基本原理和分析方法对于学习排队论和实际应用具有重要意义。
第3章 排队模型分析法-3-
/(k-1)
求解平稳分布
平衡方程 由正则性条件：
p1 p0 p0 2 p p p 2 2 1 2! 0 k ρ p pk-1 p0 k k k!
ρk 1 pk p0 e ρ p0 k 0 k 0 k! p0 e ρ ρk ρ pk e k! k 0,1,2,
顾客源中单个顾客的到达率为
当系统中有k个顾客的时候，顾客源中有 (m-k)个顾客，到达率为(m-k)
顾客源中的顾客数m-k (m-k)
系统内的顾客数k
0km
最大顾客数m
M/M/1/m/m的状态流图
m 0 1 (m-1) 2 (m-2) 2 m-1 m
列出状态转移平衡方程：
排队越长，进入可能性越小(令 αk＝
1 k 1
)；
顾客所需的服务时间序列{n，n1}独立、服从 参数为(>0)的负指数分布； 系统中只有一个服务台； 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此 独立。
2.系统状态分析
仍用N(t)表示在时刻t系统中的顾客数，令
pij(t)＝P{N(t+t)＝j|N(t)＝i}，i,j＝0,1,2,… 则pij(t)的推导有
Wq(t)＝P{Wq≤t}
e (t ) 1 , t0 e 1 k 1 (k 1)! j 0 j!
k 1 j
t
k 1
e 1 平均等待时间为： Wq (e 1)
5.逗留时间
类似地，顾客的逗留时间的分布函数为
W(t ) P{W t} P{Wq 0, t} P{0 W t, Wq 0}
排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
关于成都东站乘客候车模型的分析报告
关于成都东站乘客候车模型的分析报告一模型理论概述1 项目概况成都东站位于成都市中心，是一个车次多、人流量大的重要交通枢纽。
无论是搭乘高铁还是自驾，乘客都可以轻松抵达东站。
自驾游的乘客也可以直接从东站的东、西两个入口离开。
到达成都东站的乘客可以从站台两侧任意的出口或者站台中部的无障碍电梯到达出站层,经过检票后游客就可以自行选择离开。
游客下车后可以直接进入站内换乘坐地铁、高铁；也可以直接在出站层换乘私家车、公交车或者出租车前往目的地。
2 模型假设针对成都东站乘客候车模型的分析，可做出如下假设：（1）假设乘客离开成都东站首先考虑的交通方式是出租车；（2）假设出租车均为同一运营商，其车型均一致；（3）影响乘客决策的因素符合实际情况。
（4）车站乘客的决策方案只与三种准则层有关。
3 模型分析乘客的出行决策受到许多因素的影响，包括等待时间、支出情况以及其他相关因素。
因此，对这些因素进行分类讨论，以更好地了解乘客的出行选择，并为乘客提供有效的出行建议。
（1）当乘客人数超过了预期的出租车数量时，根据排队论中的先到先行原则来分析乘客的出行情况。
同时考虑其他出行方式所耗费的时间和费用，并根据泊松分布来估算出租车的接送人数。
最后，通过出租车的价格和单位里程的油费来计算出乘客的总支出。
通过比较两种情况下所耗费的时间及支出费用。
为乘客提供全面、准确的出行方案导，以确保安全出行；（2）通过对“乘客乘坐出租车”和“乘坐其他出行方式”两种情况的分析比较，可以更好地评估出租车等待乘客的数量，并基于此构建出有效的决策模型，以提供更优质的服务。
4 层次分析法AHP，也被称作层次分析，旨在通过把一些相互联系的要素划分到不同的级别，如目标、原则、计划，并依据它们来做出相应的判断。
它具备良好的系统性，能够帮助更好地理解复杂的决策问题，并且能够更加精确地预测未来的发展趋势。
这种方法专门用于处理无数据的复杂情况下的决策问题。
层次分析法的根本是打分法：确定指标，不同方案指标打分，为指标确定权重，用来处理数据未知的评价。
排队问题知识点总结归纳
排队问题知识点总结归纳排队问题是生活中常见的一种现象，在各个领域都有着广泛的应用。
从排队理论到排队模型，排队问题涉及数学、经济学、物理学等多个学科领域，具有重要的理论和实践价值。
一、排队问题的定义和基本特点排队问题是指在一定的规则下，由许多个体依次等待某种服务或者处理某种事务的过程。
排队问题具有以下基本特点：1. 排队的客体：排队问题的客体可以是人、机器、车辆等，对于不同的客体，排队规则和模型可能不同。
2. 排队的服务：排队的服务可以是购物、交通、医疗、餐饮等多种形式，不同的服务对排队的要求也不同。
3. 排队的规则：排队可能遵循先来先服务、优先等级、随机等待等不同的规则，不同的规则下可能产生不同的效果。
4. 排队的目的：排队的目的是为了合理分配资源、提高效率、保障公平等多种原因。
二、排队问题的基本模型排队问题可以用数学模型来描述，常见的排队模型有M/M/1排队模型、M/M/c排队模型、M/G/1排队模型等。
这些模型基于排队的客体、服务、规则和目的，对排队问题进行了抽象和理论分析。
排队模型的基本元素包括：到达过程、服务过程、排队规则和系统性能指标。
1. 到达过程：描述排队客体到达的频率和规律，主要包括到达间隔的分布、到达率和到达模式。
2. 服务过程：描述排队客体接受服务的频率和规律，主要包括服务时间的分布、服务率和服务模式。
3. 排队规则：描述排队客体的排队规则，主要包括优先级、服务顺序、等待规则等。
4. 系统性能指标：描述排队系统的效率、稳定性和公平性等性能指标，主要包括平均等待时间、系统繁忙率、系统利用率等。
三、排队问题的常见应用排队问题在现实生活中有着广泛的应用，涉及到交通、医疗、零售、餐饮、银行等多个领域。
根据不同的应用领域，排队问题的特点和模型也会有所不同。
1. 交通领域：交通拥堵是城市问题的常见症结，而排队问题的根本原因之一。
研究交通排队问题，可以从交通流理论、交通信号控制、交通规划等多个角度入手，找到合理的解决办法。
有关排队问题的排列组合题解法举例
有关排队问题的排列组合题解法举例例1：三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有对种不同的排法，因此共有种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有种排法，所以共有种不同的排法．解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有种不同的排法．解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有种不同的排法，所以共有种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，这时末位就只能排男生，有种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种不同排法．因此共有种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有种排法，从中扣去两端都是女生排法种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有种不同的排法．说明：解决排列、组合应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法． 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快． 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．例2 7名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 分析：(1)可分两步完成：第一步，从7人中选出3人排在前排，有37A 种排法；第二步，剩下的4人排在后排，有44A 种排法，故一共有774437A A A =⋅种排法．事实上排两排与排成一排一样，只不过把第7~4个位子看成第二排而已，排法总数都是77A ，相当于7个人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．解：(1) 5040774437==⋅A A A 种． (2)第一步安排甲，有13A 种排法；第二步安排乙，有14A 种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有1440551413=⋅⋅A A A 种．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有55A 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有33A 种排法．由分步计数原理得，共有7203355=⋅A A 种排法． (4)第一步，4名男生全排列，有44A 种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A 种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：14403544=⋅A A 种． 说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．例3 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法： 6408551424551224=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A (种)．解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7714A A ⋅．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是5514131214A A A C A ⋅⋅⋅⋅．其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数，12C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数，13A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个14A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为640855141312147714=⋅⋅⋅⋅-⋅A A A C A A A (种)． 例4 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空位中，有2个空位相邻，另一个空位与2个相邻空位不相邻，共有几种坐法？分析：对于空位，我们可以当成特殊元素对待，设空座梯形依次编号为7654321、、、、、、．先选定两个空位，可以在21、号位，也可以在32、号位…共有六种可能，再安排另一空位，此时需看到，如果空位在21、号，则另一空位可以在7654、、、号位，有4种可能，相邻空位在76、号位，亦如此．如果相邻空位在32、号位，另一空位可以在765、、号位，只有3种可能，相邻空位在43、号，54、号，65、号亦如此，所以必须就两相邻空位的位置进行分类．本题的另一考虑是，对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间，用插空法处理它们的不相邻．解答一：就两相邻空位的位置分类：若两相邻空位在21、或76、，共有1924244=⨯⨯A (种)坐法．若两相邻空位在32、，43、，54、或65、，共有2883444=⨯⨯A (种)不同坐法，所以所有坐法总数为480288192=+(种)．解答二：先排好4个人，然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间，共有4802544=⋅A A (种)不同坐法． 解答三：本题还可采用间接法，逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况，4个人任意坐到7个座位上，共有47A 种坐法，三个空位全相邻可以用合并法，直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列，共有55A 种不同方法．三个空位全不相邻仍用插空法，但三个空位不须排列，直接插入4个人的5个间隔中，有1044⨯A 种不同方法，所以，所有满足条件的不同坐法种数为48010445547=--A A A (种)．。
排队系统运行情况的分析 通信网 教学课件
例：某自动交换台有4条外线，打外线的呼叫 为泊松流，强度为2次/分钟，通话时长服从 负指数分布，平均通话时长为2分钟，当4
3.2.4 电话交换网分析
1.呼损系统(M/M/m/m)
1）呼损清除
平均队长：
m
E(ω)=∑k k=0
Pk=
a(1-pm)
当k=m时，表示线束全忙，即交换系统的m条话路全部被 占用，此时p(k)为系统全忙的概率。
Am / m!
呼损： B Ei!
爱尔兰呼损公式
落在 0.2~0.3 之间，若假设在这区间所承担的业务量与 B 成线性关系， 则有线性内插公式
B =0.2+(0.3-0.2)(2.5-1.930)/(2.633-1.930)=0.281
例：一部交换机有1000个用户终端，每个用户忙时话 务量为0.1Erl，该交换机能提供123条话路同时接 受123个呼叫，求该交换机的呼损。
排队系统等待制系统3222mm1排队系统的指标平均队长n即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值平均系统时间s即在任意时刻进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值336排队系统等待制系统322平均等待时间w即在任意时刻进入稳态系统的顾客等待时间的期望值337系统效率系统内有顾客的概率338服务强度即每个服务台单位时间内的平均服务时间般有m这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度当趋近于0时表明对期望服务的数量来说服务能力相对地说是很大的
完成话务量强度举例
例 假设在 100 条线的中继线群上， 平均每小时发生 2100次占用，平均占用时长为 1/30小时。求这群中继 线上的完成话务量强度；并根据完成话务量强度的性 质说明其意义。 解：根据题意 λc =2100呼叫/小时
数量分析八个解题方法
数量分析八个解题方
解题方法
1、线性规划；
2、盈亏平衡分析（本量利分析法;保本法）；
3、计划评审法； 4、收益矩阵决策； 5、等可能法； 6、排队模型； 7、大中取大法（乐观法）+小中取大法（悲观 法）； 8、乐观系数法；
量分析八个解题方法ຫໍສະໝຸດ 定义解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一组 平行线)与平面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。 是根据产品的业务量(产量或销量)、成本、利润之间的相互制约关系的综合分析，用来预测 利润，控制成本，判断经营状况的一种数学分析方法。一般说来，企业收入=成本+利润，如 果利润为零，所有收入=成本=固定成本+变动成本，而收入=销售量×价格，变动成本=单位 变动成本×销售量，这样由销售量×价格=固定成本+单位变动成本×销售量，可以推导出盈 亏平衡点的计算公式为: 盈亏平衡点(销售量)=固定成本÷每计量单位的贡献差数 企业利润是销售收入扣除成本后的余额;销售收入是产品销售量与销售单价的乘积;产品成本 通过网络图的形式来表达一项工程或生产项目的各个工作的先后顺序和相互关系；分析它们 在网络图中的地位，找出关键路线；结合成本分析，不断改善网络图；选择出最优的组织生 产方案，以最低的成本、最短的时间、最高的效益完成预定的目标任务。 先分别设定各个方案在不同自然状态下的收益，然后按客观概率的大小，加权平均计算出各 方案的期望收益值，通过比较，从中选出一个最佳方案。 有 n个自然状态，那么每个自然状态出现的概率即为1/n，然后按收益最大的或损失最小的 期望值（或矩阵法）进行决策。这个想法是法国数学家拉普拉斯首先提出的，所以又叫作拉 用于随机服务系统中。由于在生产、经济、社会活动中许多问题都可以转化为排队问题,因 此排队模型涉及范围十分广泛。当队和服务员个数较多以及顾客的到达规律和服务规律复杂 时，排队问题往往很难用数学方法求解，此时可用模拟法求解。 1、计算各方案在不同自然状态下的收益，并找出各方案所带来的最大收益，即在最好自然 状态下的收益，然后进行比较，选择在最好自然状态下收益最大的方案作为所要的方案。2 、计算各方案在不同自然状态下的收益，并找出各方案所带来的最小收益，即在最差自然状 态下的收益，然后进行比较，选择在最差自然状态下收益最大或损失最小的方案作为所要的 又称贺威兹决策准则、折衷原则。这种利用乐观系数进行决策的方法就叫作乐观系数决策法 。决策者的目光可以放在过分乐观和过分悲观之间进行决策。这种决策方法的客观基础是形 势既不太乐观也不太悲观。
美赛数学建模常用模型及解析
美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。
以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。
1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。
2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。
3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。
动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。
4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。
排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。
5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。
随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。
这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。
对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。
数学建模-食堂排队问题
数学建模论文——食堂排队问题指导老师：***小组成员: 姓名学号李晟源200807010409 自己闲来无事做的，仅供参考！[摘要]通过应用排队论，为食堂窗口服务工作构建相应的定量模型，为节约学生排队就餐时间，提高食堂服务质量，效率，以及平衡学生排队时间与食堂收益之间的关系，优化食堂资源配置提供一种较有效的管理决策手段。
[关键词]排队论；M/M/s模型；灵敏度；等待损失1.引言在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。
饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。
增加窗口数量，减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。
然而就食堂的角度来说，虽说增加窗口数量可以减少排队等待时间，提高学生对该食堂的满意度，从而赢得更多的学生到该食堂就餐，但是同时也会增加食堂的运营成本，因此如何在这两者之间权衡，找到最佳的窗口数量，对学生和食堂双方来说都是很重要的。
排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。
本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，通过比较各方面因素的关系，为其拥挤状况找到一个较合理的解决方案。
2.多服务台排队系统的数学模型2.1排队论及M/M/s模型。
排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。
在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象。
排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。
其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台的个数；A表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B表示顾客源的数目；C 表示服务规则。
排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。
【计算机科学】_排队模型_期刊发文热词逐年推荐_20140722
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5
21 1 1 1
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
科研热词 线程池 服务质量 无线自组织网络 排队系统 拥塞避免 多媒体 启发式 卫星通信 分组交付率 仿真 中间件
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2011年 科研热词 非抢占优先权 资源调度 认证 网络安全 移动节点 比例求和微分 无线自组网 排队模型 拥塞控制 性能分析 利润 主动队列管理 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8
科研热词 需求规约 需求演化 资源敏感 线程池 排队论 排队petri网 体系结构 web容器
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2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
科研热词 排队模型 随机性 节能部署 网络系统 网络演算 绩效评估 服务质量 服务器模型 时分多址 数据包调度 排队理论 延迟评估 应用 差分进化算法 低功耗 优先级排队 仿真 业务属性 web集群 snc
2008年 序号 1 2 3 4 5
科研热词 缓存管理 服务质量 排队模型 动态双队列 分组交换
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2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
运筹学中的排队论分析方法
运筹学中的排队论分析方法运筹学是应用数学的一个分支，被广泛应用于优化、决策、规划等实践问题中。
排队论是运筹学的一个重要分支，它研究客户与服务设施之间的运作规律，以及对这些规律进行优化。
排队论可以应用于许多领域，例如生产线、银行、医院、交通、电信等。
排队模型从大量的数据中挑选出有用的信息，解释客户等待时间、服务设施利用率、系统吞吐量等指标。
运营商们也通过排队论找到了减少服务时间，减少成本和增加收益的方法。
排队论模型通常包括五个元素：客户、服务设施、等待行列、受服务的规则，以及长度测量方法。
客户需求量呈随机分布，服务设施数量有限且运营时间有限，等待时间呈指数分布。
排队论可以预测某个服务系统的运作状态以及在不同服务政策下的结果变化。
排队论中最著名的模型是M/M/1模型，其中M表示到达时间和服务时间都是随机的指数分布，1表示只有一个服务设施的存在。
此模型的解答涉及到稳态等长队和队列中的平均客户数和等待时间，以及服务器的平均利用率等基本指标。
除此之外，排队论中还有其他经典模型，例如M/M/c模型，其中c表示有多个服务器可供选择。
排队论也适用于某些特殊情况的研究。
例如，当服务时间为几何分布时，M/G/1模型就成为了一种理想的情况。
在这个模型中，客户需求量和服务时间具有不同的分布。
G表示这些服务时间的分布可以是任意的。
另外，排队论也可以应用于网络中的传输分配模型，以确定网络在任何负载下的可靠性和运作状态。
排队论模型可以被用于分析较小的网络，或者对于哪些带有网络化延迟的系统。
在实际应用中，排队论分析可以帮助我们寻找优化服务设备的方法。
通过排队论可以确定提高服务速度、增加系统容量或提高等待质量等措施，以提高客户的体验和收益。
在医院中，排队论可以帮助诊所和医院合理分配资源、优化服务流程，减少等待时间、减少节约成本、节约时间等指标。
总之，排队论是运筹学的重要分支，解决了客户与服务设施之间的运作规律和优化。
它在很多领域的帮助下，解决了大量的实践问题。
银行排队模型期末总结
银行排队模型期末总结1.引言银行是我们日常生活中经常接触到的金融机构之一，而排队是我们进入银行时经常遇到的问题。
银行排队模型是数学中一个重要的应用领域，对于银行的管理和服务质量有着重要的影响。
本期末总结将围绕银行排队模型展开，从排队理论的基本原理、模型假设、模型构建方法、模型的应用等方面进行详细阐述，并结合实际案例进行分析和讨论。
2.排队理论的基本原理排队理论是研究排队系统的数学理论，起源于20世纪初的概率论和统计学。
排队系统的基本组成包括顾客、服务器和队列等。
排队理论的基本原理包括到达过程、服务过程、排队规则和性能度量等。
到达过程描述顾客到达银行的时间间隔模型，服从不同的概率分布。
服务过程则描述了服务员为顾客提供服务的时间间隔模型，也服从不同的概率分布。
排队规则决定了顾客的排队顺序和服务的顺序，如先来先服务、先来后服务等。
性能度量是评价排队系统绩效的指标，包括顾客等待的平均时间、服务器的利用率等等。
3.模型的假设银行排队模型通常基于一些假设条件，这些假设条件用于简化模型，使其易于分析和计算。
常见的假设条件包括：顾客到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布、排队规则为先来先服务、顾客在排队和服务过程中是独立的等。
这些假设条件在一定程度上接近于实际情况，并为模型的分析提供了便利。
4.模型的构建方法构建银行排队模型需要考虑到排队规则、到达过程和服务过程等因素，并利用排队理论和概率统计方法进行建模和求解。
常用的模型构建方法包括马尔可夫模型、离散事件模型和连续时间模型等。
马尔可夫模型是一种基于概率过程的模型，常用于描述排队系统的状态转移和稳定分析。
离散事件模型则将顾客到达和服务过程建模为离散事件的发生和处理过程。
连续时间模型则将时间视为连续的变量，适用于模拟和分析排队系统的动态变化过程。
5.模型的应用银行排队模型在实际中有着广泛的应用。
通过对排队模型的分析和优化，可以帮助银行管理者合理安排窗口开放数量和服务员数量，提高服务效率和客户满意度。
课程设计排队
课程设计排队一、教学目标本课程旨在让学生掌握排队论的基本概念、原理和应用方法。
通过本课程的学习，学生应能理解排队系统的基本构成要素，掌握排队模型的建立和分析方法，并能够运用排队论解决实际问题。
具体目标如下：1.知识目标：（1）理解排队论的基本概念，如顾客、服务台、队长、等待时间等。
（2）掌握常见排队模型的建立和分析方法，如M/M/1、M/M/c、M/G/1等。
（3）了解排队论在实际应用中的广泛性，如通信、交通、医疗等领域。
2.技能目标：（1）能够运用排队论解决实际问题，如优化服务设施布局、提高服务质量等。
（2）具备基本的数学推导和计算能力，如求解排队模型中的概率和期望等。
（3）学会使用相关软件工具进行排队论分析，如Excel、R语言等。
3.情感态度价值观目标：（1）培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
（2）激发学生对排队论学科的兴趣，培养学生的学术探索精神。
（3）培养学生运用所学知识解决实际问题的责任感和社会责任感。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.排队论基本概念：介绍顾客、服务台、队长、等待时间等基本概念。
2.排队模型：讲解M/M/1、M/M/c、M/G/1等常见排队模型的建立和分析方法。
3.排队论应用：介绍排队论在实际应用中的案例，如通信、交通、医疗等领域。
4.排队论软件工具：教授如何使用Excel、R语言等软件工具进行排队论分析。
5.实际问题解决：通过案例分析，培养学生运用排队论解决实际问题的能力。
三、教学方法本课程采用多种教学方法，以激发学生的学习兴趣和主动性：1.讲授法：讲解基本概念、原理和模型。
2.案例分析法：分析实际应用案例，让学生了解排队论在生活中的应用。
3.实验法：引导学生使用软件工具进行排队论分析，提高学生的动手能力。
4.讨论法：学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和批判性思维。
四、教学资源为实现教学目标，本课程准备以下教学资源：1.教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统、科学的学习材料。
运筹学-第十三章排队系统分析第三节MM1排队模型
n
(m i)!
0
18
求(1)修理工空闲的概率;(2)5台机器都出故障的概率; (3)出故障机器的平均台数;(4)等待修理机器的平均台数 ;(5)每台机器的平均停工时间;(6)每台机器的平均等待 修理时间.
(4) Lq = 3.76 (1 0.0073) = 2.77(台); (5) Ws = 15 = 46(分钟) 1 (1 0.0073) 12 (6) Wq = 46 12 = 34(分钟). 5
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( ≥ ) = 1 P ( < ) = 1 F ( ) = e W W = e 1.5 = 0.223. 4 4 4 1
7
二.系统容量有限的M/M/1模型(M/M/1/N / ∞)
1.与(M/M/1/ ∞ / ∞)的区别
(1) 系统状态n = 0,L,N ; 1, , λ 当 n < N (2) 进入系统的速率 , 0, 当n ≥ N 故平均到达率λe = λ (1 PN ) + 0 P N = λ (1 PN )
n n 0 N n =0 n 0
1 ρ 再由 ∑ P = P + ρ P + L + ρ P = P 1 ρ
N 0 0 0
N +1
= 1可解得 P ,
0
1 ρ P = 1 ρ 故 P = ρ P
0 N N 0
N +1
9
3. 系统运行指标
ρ ( N + 1) ρ N +1 Ls = ∑ nPn = , 1 ρ 1 ρ N +1 n =0 Lq = Ls (1 P0 ),
∞4ຫໍສະໝຸດ Lq = ∑ ( n 1) P n = ∑ nP n ∑ P n = Ls (1 P0 )
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是数学中的一个分支，主要研究排队系统的性质与特征。
排队系统是指存在一个或多个顾客到达某个服务设施，并等待服务的过程。
排队论的目标是通过数学方法研究这些系统的行为和性能，并提供优化方案。
排队论的主要研究内容包括：排队模型的建立、排队系统的性能度量、排队系统的稳定性与稳定条件、排队系统的解析解和数值解等。
排队模型通常包括顾客到达过程、服务设施的服务过程和排队规则等要素，用以描述各种不同类型的排队系统。
排队论的应用广泛，包括但不限于以下领域：
1. 交通流量分析：排队论可用于研究交通流量的稳定性和优化信号控制。
2. 队列管理：排队论可以应用于零售业、餐馆等地方的队列管理，用以提高服务效率和顾客满意度。
3. 通信网络：排队论可以用于分析数据包的排队和延迟问题，优化网络资源利用率。
4. 生产与制造：排队论可以用于分析生产线上的工人排队和设备故障等因素，优化生产效率。
5. 医疗系统：排队论可以应用于研究医院门诊和急诊的排队问题，优化资源分配和患者等待时间。
总之，排队论是一门重要的数学理论，通过研究排队系统的性能与优化方法，可以提高各种系统的效率和质量，对于实际问题的解决有着重要的应用价值。
排列组合资料(有分析)
第一部分：概念公式1、排列：从n 个不同元素中,任取m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、组合:从n 个不同元素中,任取m 个元素,并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.排列与组合的区别与联系:与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。
注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序)可转化为排列问题。
3、加法原理：如果完成一项工作有两类相互独立的方式A 和B ，在方式A 中有m 种完成任务的途径，在方式B 中有n 种完成任务的途径,则完成这项工作的总的途径有m+n 种。
4、乘法原理：如果完成一项工作有两个连续的步骤A 和B,在步骤A 中有m 种不同的方式,在步骤B 中有n 种不同的方式,则完成这项工作的总的方法有m*n 种。
注意:0!＝1第二部分：排列组合解决方法一：特殊元素和特殊位置优先策略是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法. 例1. 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
先排末位共有（ C(3,1) ） 然后排首位共有（ C （4,1) ） 最后排其它位置共有( A （4,3) ）由分步计数原理得（ C （3，1）C(4,1）A （4,3)=288 ） 练习１:六人站成一排，求（1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：（1）先考虑排头，排尾,但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，则直接符合要求，共有A （5,5）=120种站法。
第二类：乙不在排头,当然他也不能在排尾，则有A （4，1）可选，此时甲不能在排头则有A(4,1）可选，其余A （4,4）。
则有A(4,1）A(4,1）A(4,4）=384种站法，共共有504种种站法。
方法2：间接法一共有A （6，6)种方法 若A 排头有A （5，5),B 排尾有A(5，5），其中重复了A 排头B 排尾的情况有A （4,4）所以共有A （6,6）-2A （5，5)+A(4,4）=504 方法3：插空法先让除A 其余五个人任意排列 然后让A 插入(不能插第一个位置）共有五个位置可插入 则共有5A(5，5)其中排除B 在尾的状况4A （4,4) 则有5A(5,5）-4A(4，4)=504（2）第一类:甲在排尾,乙在排头，则保证不相邻。
排队论问题
4 泊松分布（Poisson）
k=0,1,2,…
P{X = k} = λk e -λ/ k!
泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象 的一种形式，在计算机性能评价等实践中扮演了重要的角色。
在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是服从 泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效的。
• 此模型与 M/M/1模型不同之处在于有C个服 务台，各服务台的工作相互独立，服务率 相等，如果顾客到达时，C个服务台都忙着， 则排成一队等待，先到先服务的单队模型。 • 整个系统的平均服务率为 cμ ， ρ* ＝ λ/cμ ， （ρ*<1）为该系统的服务强度。
多服务台指数分布排队系统的分析（了解过程，理解结论）
M/M/1 系统运行指标
• • • • • • • • • • • • 系统中平均顾客数：
L=ρ/(1- ρ), 顾客在系统中平均等待时间： W=1/[μ( 1-ρ)] 顾客在队列中平均等待时间： Wq= ρ /[μ( 1-ρ) ] 队列中平均顾客数： Lq= ρ2 /( 1-ρ) 在单服务台系统中的little公式： ρ = λ 1/, L=Lq+ ρ 通用的little公式： Lq=λWq L=λW W=Wq+ 1/
基本排队关系
• 在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队 系统，若满足以下三个条件： • （1）排队系统能够进入统计平衡状态； • （2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态； • （3）系统中任一顾客不会永远等待，系统也不会永无顾客到达。 • 则下列 Little 公式成立（排队论中的通用公式）： • （1） Lq =λ Wq • 我们知道一个顾客的平均排队等待时间是Wq，且顾客是以平均速率λ到 达，所以在时间Wq内有λWq个顾客到达， Lq表示排队等待服务的平均顾 客数量，所以有： Lq =λ Wq • （2） L=λW • 系统中的平均顾客数（包括等待的和正在被服务的顾客）等于顾客的平 均到达速率乘以一个顾客在系统中花费的平均时间。 • （3） W= Wq + 1/ • 一个顾客在系统中花费的时间，就是它等待服务的时间加上被服务的时间。
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排队系统的基本组成——排队规则
服务是否允许排队，顾客是否愿意排队。在排队等待 的情况下服务的顺序是什么。 1) 损失制 顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构不
允许顾客等待，此时该顾客就自动离去 2) 等待制 顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队
等待服务 a) 先到先服务 b) 后到先服务 c) 随机服务 d) 有优先权服务：强拆型优先权、非强拆型优先权 3) 混合制 损失制与等待制的混合 a) 队长(容量)有限的混合制 b) 等待时间有限的混合制 c) 逗留时间有限的混合制
排队系统的基本组成——服务机构
1) 服务台的数目 在多个服务台的情况下，是串联或是并联
2) 服务方式是确定不变的(例如：从汽车装配生产 线下来的产品)，还是随机的(例如：人们花时间 购物)
3) 顾客所需的服务时间服从什么概率分布，每个 顾客所需的服务时间是否相互独立，是成批服 务或是单个服务
排队方式
MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X 是具有某个离散型概率分布律的随机变量，批 与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布； 顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独 立、服从负指数分布；有1个服务台；容量为无 穷的等待制系统
定长分布(deterministic distribution)
M/G/1 with embedded Markov chain method 1961: Little proved the Little Formula 1975/6: Kleinrock published the best known textbook in
queueing theory 1982: Wolff proved and popularized the PASTA principle 1981: Neuts introduced the matrix analytic method
一般地，若随机变量t取具有概率密度函数为
e t
f (t) 0
t0 t0
其中λ>0为常数，则t称服从参数为λ的指数分布，其分布
函数F (t)为：
1 e t F(t)
0
t0 t 0
其均值为
E(t) 1
方差值为
1 D(t)
2
爱尔朗（Erlang）分布
k= 0，1，2 …
其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布。
其均值为 E( Χ )
方差值为 D( Χ )
泊松分布只需要确定一个参数λ，且事件发生间隔之间服从
负指数分布。
主要应用：广泛应用于各种随机事件的描述或近似
负指数分布(Exponential distribution)
M/M/c/：输入过程是泊松流，服务时间服从负 指数分布，有c个服务台平行服务(0<c)，容量 为无穷的等待制系统
M/G/1/：输入过程是泊松流，服务时间独立、 服从一般概率分布，只有1个服务台，容量为无 穷的等待制系统
Ek/G/1/K：相继到达的间隔时间独立、服从k阶 爱尔朗分布，服务时间独立、服从一般概率分布， 只有1个服务台，容量为k(0k<)的混合制系统
D/M/c/K：相继到达的间隔时间独立、服从定长 分布，服务时间独立、服从负指数分布，有c个 服务台平行服务，容量为k(ck<)的混合制系统
几个经典排队系统的符号表示(2)
Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达， 批与批的到达间隔时间独立、服从负指数分布， 服务时间独立、服从负指数分布，有1个服务台， 容量为无穷的等待制系统
Milestones of Queueing Theory
1909: Erlang published his first paper on queueing theory 1917: Erlang published his famous paper “Solution ….” 1936-47: Palm published “Repairmen in Serving Automatic
“Kendall”记号：X / Y/ Z / A / B / C
第一个字母表示顾客相继到达的时间间隔分布 第二个字母表示服务时间的分布类型 第三个字母表示服务台的数目 第四个字母表示系统的容量 第五个字母表示顾客源中的顾客数目 第六个字母表示服务规则(默认为 FCFS)。
几个经典排队系统的符号表示(1)
排队论所要研究解决的问题(续)
排队论研究排队系统的最优化问题。 最优化问题一般涉及两种类型：
排队系统的最优设计(静态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目，分组交换网中的存储空 间大小等，工厂的中间制品仓库大小，医院病床数 量的多少，机场跑道的数量，车站站台数等等。 排队系统的最优控制(动态优化)问题。例如，电 话网中的中继电路群数目的增加与否，路由转发设 备的升级与否，网络基础设施的改造与否等。
0
If k r，T T1 T2 Tr的密度函数为
f r (t )
(t )r 1
(r 1)!
e t
(t 0)
Then
k
r 1,T
T1
T2
Tr
Tr
的密度函数为
1
fr1 (t )
f1 (t
u)
fr (u)du
§1.2 排队论所要研究解决的问题
如果服务设施太少，顾客排队等待的时间就会 很长，这样对顾客会带来不良影响；
面对拥挤现象，人们通常的做法是增加服务设 施，但是增加的数量越多，人力、物力的支出就 越大，甚至会出现空闲浪费。
如何做到既保证一定的服务质量指标，又使服 务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间 与服务设施费用大小这对矛盾，就是随机服务系 统理论——排队论所要研究解决的问题。
输入过程 排队规则 服务机构
描述顾客来源及顾客按怎 样的规律抵达。
服务是否允许排队， 顾客是否愿意排队。 在排队等待的情况下 服务的顺序是什么。
服务台的数目 服务时间分布
排队系统的基本组成——输入过程
描述顾客来源及顾客按怎样的规律抵达。 1) 顾客总体数
顾客的来源可能是有限的(例如：公司只有3台 机器时，需要维修的机器数量)，也可能是无限 的(例如：排队等候公共汽车的乘客人数 ) 2) 到达类型 顾客是单个到达，还是成批到达 3) 顾客相继到达间隔时间服从什么概率分布，分布 函数是什么，到达的间隔时间之间是否独立 在排队论中，一般假定顾客到达的间隔时间序列 {n|n1}相互独立、同分布。
生灭过程
生灭过程的状态转移流图 生灭过程的平稳分布
、福克-普朗克方程
、系统方程
排队系统
流入=流出”
第3章 排队模型分析法
第1节 排队论简介 第2节 单服务窗简单排队模型 第3节 单服务窗特殊排队模型 第4节 多服务窗排队模型
第1节 排队论简介
排队论，又称为随机服务系统理论，是在随机过 程基础上发展起来的一门研究资源有限性和需求 随机性的数学方法，通过研究各种服务系统在排 队等待中的概率特性，来解决系统的最优设计和 最优控制。
排 队 论 起 源 于 20 世 纪 初 丹 麦 电 信 工 程 师 A.K. Erlang对电信系统的研究，现已发展成为一门应 用广泛的学科，在电信、交通运输、生产与库存 管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事 作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域， 有着非常重要的应用。
排队论的发展史
排队系统的理论基础
随机变量（离散型，连续型）； 概率及概率分布函数、概率密度函数； 数学期望（均值）、方差（偏差）； 概率的归一性（正则规则）； 生灭过程的系统方程。
§1.3 排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的，为简明起 见，在经典的排队系统中，常采用3～6个英文字母 表示一个排队系统，字母之间用斜线隔开。
即
k
T T1 T2 Tk Ti
i 1
理解：对于k个串联的服务台，每个服务台的服务时间相 互独立，均服从负指数分布，则每个顾客总的服务时间服 从Ek分布。
f(t)
20
6 45
23 k=1
1
当k=1, Ek为负指数分布， 完全随机；当k足够大 时，Ek分布近似于正态 分布；当k →∞时，X以 概率1取值 1/ μ ，即为 定长分布，因此Ek分布 t 可以看作随机模型和非
初期(10‘s-40‘s)
主要研究应用于电话网和远程通信系统等无队列排 队系统
中期(40‘s-60’s)
推广应用到军事、运输、生产、社会服务等领域， 主要研究有队列的排队系统和排队网络
近期(60‘s-今)
主要研究大规模复杂排队系统的理论分析、数值分 析和近似分析，尤其注重对业务突发性和带有各种 网络控制的排队系统的研究
1. 单服务员(台)的排队系统
顾客到达 …
2. 多服务员(台)的排队系统
顾客到达
一个队列
…
服务员 服务完成离去
服务员1
服务员2 …
服务员n
服务完成离去
多个队列 顾客到达 串联 顾客到达
…
…
服务员1
…
服务员2
……
…
服务员n
服务员1
…
服务完成离去 服务完成离去 服务完成离去
服务员2 离去
排队系统的分类
1、均值
E[X ] k
k
3、均方差 X
2、方差
D[X ]
k 2
4、方差系数
1
k
T1
T2
T3
T4
T5 T6
t 0
T’1