翻折圆小专题

翻折圆小专题

一．选择题（共5小题）

1．如图，将沿弦AB翻折过圆心O点，交弦AC于D，AD＝1，CD＝2，则AB长为（）

A．B．C．D．

【分析】求出△CDB为等边三角形，求出BE和DE的长，求出AE，再根据勾股定理求出AB即可．

【解答】解：

过点O作OF⊥AB于F，过点B作BE⊥AC于E，连接OA、OB、BD、BC，

∵OF＝OA，∴∠AOF＝∠BOF＝60°，

∴∠ADB＝∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB＝60°，∴∠CDB＝∠ACB＝60°，

∴△CDB为等边三角形，∵CD＝2，∴DE＝1，BE＝，

∴AB＝＝＝，故选：D．

2．已知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，将沿直线AB翻折得到，如图所示，则点O到所在圆的切线长OC为（）

A．B．C．5D．3

【解答】解：作出所在圆，圆心为O′，连接OO′交AB于点E，连接O′C，OB，∵OC是⊙O′的切线，∴O′C⊥OC，

∴BE＝AB＝×8＝4，∴OE＝＝3，

∴OO′＝2OE＝6，∴OC＝＝＝．故选：A．

3．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（）

A．B．C．2+D．1+

【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．

根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切所在的圆于点A，

∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH＝90°，

∴∠ABD＝∠ABH＝45°，∴∠AHC＝∠ABC＝45°，∴∠ACH＝∠AHC＝45°，

∴AC＝AH，∵OC＝OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC＝DH，

∴∠DCH＝∠DHC，∵BD＝BH，∴∠BDH＝∠BHD＝45°，

∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，∴∠DCH＝22.5°，∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，

设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，故选：D．

4．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）

A．B．C．D．4

【分析】作AB关于直线CB的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答．

【解答】解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，

作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，

可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．

而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，

又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．

5．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O 的半径为，AB＝4，则BC的长是（）

A．B．C．D．

【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，

在Rt△OBD中，OD＝＝1，

∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴＝，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，

∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF＝＝2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3．故选：B．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．二．填空题（共11小题）

6．如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，以AB为直径在△ABC另一侧作半圆，圆心为O，点D为半圆上的动点，将半圆沿AD所在直线翻叠，翻折后的弧AD 与直径AB交点为F，当弧AD与BC边相切时，AF的长为3．

【分析】作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，延长BC交⊙O于点E，设⊙O′与BC相切于点G，证明四边形O′AEG为平行四边形，得AO′∥BE，即∠O′AB＝∠ABC＝30°，作O′M⊥AF于M，在Rt△O′AM中，O′A＝3，∠O′AB＝30°，可求得AM的长，进而得出AF的长．

【解答】解：如图，作点O关于AD的对称点O′，连接O′A，

∵AC＝BC＝2．∠ACB＝120°，∴AB＝6，∴O′A＝OA＝3，

延长BC交⊙O于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠E＝90°，

设⊙O′与BC相切于点G，则∠O′GB＝90°，∴∠E＝∠O′GB，∴AE∥O′G，∵∠ABC＝30°，AB＝6，∴AE＝O′G＝3，∴四边形O′AEG为平行四边形，

∴AO′∥BE，∴∠O′AB＝∠ABC＝30°，

作O′M⊥AF于M∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，∴AM＝MF＝，

∴AF＝2AM＝．故答案为：．

【点评】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．

7．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是6．

【分析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．首先证明∠CAE＝∠CAH＝45°，推出∠BOC＝90°，推出BC＝2，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，根据CH2+BH2＝BC2，构建方程求出x即可解决问题；

【解答】解：如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．

∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，

∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，

∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，

∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，

∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，