1998年全国高考数学试题及答案

合集下载

1998年河南高考文科数学真题及答案

1998年河南高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：，，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2，移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0，即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ．设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)．依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)，得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大．由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

1998年全国统一高考数学试卷(理科)

1998年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）（2008•陕西）sin330°等于（）A ．B．C．D．2．（4分）函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）A ．B．C．D．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为（）A ．（x+2）2+y2=4B．（x﹣2）2+y2=4C．（x+4）2+y2=16D．（x﹣4）2+y2=164．（4分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（）A ．A1A2+B1B2=0B．A1A2﹣B1B2=0C．D．5．（4分）函数f（x）=（x≠0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．﹣（x≠0）6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．* B．C．D．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A ．120°B．150°C．180°D．240°8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A ．i B．﹣iC．±i D．±i9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A ．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S'S10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A ．B．C．D．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A ．90种B．180种C．270种D．540种12．（4分）（2014•邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A ．7倍B．5倍C．4倍D．3倍13．（4分）（2007•崇文区二模）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A ．4B．2C．2 D．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A ．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin15．（4分）在等比数列{a n}中，a1＞1，且前n 项和S n 满足S n=，那么a1的取值范围是（）A ．（1，+∞）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为_________（用数字作答）．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_________时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）19．（5分）（2010•江西模拟）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是_________．（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A﹣C=．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ+sin∅=2sin cos，sinθ﹣sin∅=2cos sin，cosθ+cos∅=2cos cos，cosθ﹣cos∅=﹣2sin sin．21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．24．（12分）设曲线C的方程是y=x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=﹣t且t≠0．25．（12分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．1998年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题4分，满分60分）1．（4分）（2008•陕西）sin330°等于（）A ．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：根据330°=360°﹣30°，由诱导公式一可得答案．解答：解：∵故选B．点评：本题主要考查根据三角函数的诱导公式进行化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．2．（4分）函数y=a|x|（a＞1）的图象是（）A ．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：可以先由函数的解析式判断函数是偶函数，图象关于y 轴对称，再考虑x≥0时，函数是指数函数，据它的图象特征，从而选出正确的答案．解答：解：法一：由题设知y=，又a＞1．由指数函数图象易知答案为B．法二：因y=a|x|是偶函数，又a＞1．所以a|x|≥1，排除AC．当x≥0，y=a x，由指数函数图象知选B点评：本题考查指数函数的图象特征．3．（4分）曲线的极坐标方程ρ=4cosθ化为直角坐标方程为（）A ．（x+2）2+y2=4B．（x﹣2）2+y2=4C．（x+4）2+y2=16D．（x﹣4）2+y2=16考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将原极坐标方程ρ=4cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行判断．解答：解：将原极坐标方程ρ=4cosθ，化为：ρ2=4ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4x=0，即y2+（x﹣2）2=4．故选B ．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．4．（4分）两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是（）A ．A1A2+B1B2=0B．A1A2﹣B1B2=0C．D．考点：两条直线垂直的判定．专题：常规题型；计算题．分析：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，求解即可得到选项．解答：解：直线A1x+B1y+C1=0的方向向量为（﹣B1，A1），直线A2x+B2y+C2=0的方向向量为（﹣B2，A2），两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C 2=0垂直，就是两条直线的方向向量的数量积为0，即：（﹣B1，A1）（﹣B2，A2）=0 可得A1A2+B1B2=0故选A．点评：本题考查两条直线垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（4分）函数f（x）=（x≠0）的反函数f﹣1（x）=（）A ．x（x≠0）B．（x≠0）C．﹣x（x≠0）D．﹣（x≠0）考点：反函数．专题：计算题．分析：先求出函数f（x ）=的值域y≠0，再由函数y=解出x后，将x与y互换位置即可得到答案．解答：由y=得x=且y≠0，所以反函数f﹣1（x）=且x≠0 故选则B点评：本题主要考查反函数的求法，属于基础题．6．（4分）若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A．* B．C．D．考点：正弦函数的单调性；象限角、轴线角；正切函数的单调性．专题：计算题．分析：先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案．解答：解：∵故选B．点评：本题主要考查正弦、正切函数值的求法．考查基础知识的简单应用．7．（4分）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A ．120°B．150°C．180°D．240°考点：扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．解答：解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．点评：本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．8．（4分）复数﹣i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）A ．i B．﹣iC．±i D．±i考点：复数乘法的棣莫弗公式；复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：先把复数化简成标准的三角形式，再利用棣莫弗定理，求其立方根．解答：解：∵﹣i=cos+isin，其立方根是cos+isin ，k∈0，1，2，即i，﹣﹣i，﹣i，故选D．点评：本题考查复数的三角形式，棣莫弗定理得应用．9．（4分）如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么（）A ．2B．S0=C．2S0=S+S′D．S02=2S'S考点：棱台的结构特征．专题：计算题；综合题．分析：棱台不妨看做三棱台，利用相似的性质，面积之比是相似比的平方，化简即可．解答：解：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a，根据相似比的性质可得：消去r，然后代入一个方程，可得2故选A．点评：本题考查棱台的结构特征，结论可作公式应用，是基础题．10．（4分）向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（）A ．B．C．D．考点：函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：数形结合．分析：本题利用排除法解．从所给函数的图象看出，V不是h的正比例函数，由体积公式可排除一些选项；从函数图象的单调性及切线的斜率的变化情况看，又可排除一些选项，从而得出正确选项．解答：解：如果水瓶形状是圆柱，V=πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象应该是过原点的直线，与已知图象不符．故D错；由已知函数图可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小．故A、C错．故选：B．点评：本题主要考查知识点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）等简单几何体和函数的图象，属于基础题．本题还可从注水一半时的状况进行分析求解．11．（4分）3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A ．90种B．180种C．270种D．540种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；综合题．分析：三所学校依次选1名医生、2名护士，同一个学校没有顺序，可得不同的分配方法数．解答：解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．点评：不同考查组合及组合数公式，考查计算能力，是基础题．12．（4分）（2014•邯郸一模）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A ．7倍B．5倍C．4倍D．3倍考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），由线段PF1的中点在y轴上，设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．再由两点间距离公式分别求出|P F1|和|P F2|，由此得到|P F1|是|P F2|的倍数．解答：解：由题设知F1（﹣3，0），F2（3，0），如图，∵线段PF1的中点M在y轴上，∴可设P（3，b），把P（3，b）代入椭圆=1，得．∴|PF1|=，|PF2|=．．故选A．点评：本题考查椭圆的基本性质和应用，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．13．（4分）（2007•崇文区二模）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）A ．4B．2C．2 D．考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：解法一：利用大小排除，解法二：这三个点满足等边三角形，即可求解角的大小，进而求解R，解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R．解答：解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，又因为∠AOC=θ=，OA=OC知OA=AC＜2O′A．其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA＞O′A．所以O′A＜OA＜2O′A．因为OA=R，所以2＜R＜4．因此，排除A、C、D，得B．解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=2．因为∠AOB=θ=，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=2．解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点．在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=2．故选B．点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，是基础题．14．（4分）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是（）A ．arccos B．arcsin C．arccos D．arcsin考点：等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题；压轴题．分析：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角．根据等比数列的性质得sin2B=sinA，求的sinA，进而求的A ．解答：解：设Rt△ABC中，C=，则A与B互余且A为最小内角．又由已知得sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1﹣sin 2A=sinA，解得sinA=或sinA=（舍）．故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质和同角三角函数基本关系的应用．属基础题．15．（4分）在等比数列{a n}中，a 1＞1，且前n项和S n满足S n=，那么a1的取值范围是（）A（1，+∞）B（1，4）C（1，2）D（1，）．．．．考点：极限及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：在等比数列{a n}中，S n=，由题意可知，=，再由a1＞1，|q|＜1能够推导出a1的取值范围．解答：解：由题意知S n==，∴a12=1﹣q，∵a1＞1，|q|＜1，∴1＜a12＜2，∴．故选D．点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）16．（5分）（2014•云南一模）已知圆C过双曲线﹣=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．由此可求出它到双曲线中心的距离．解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为（4，±）．∴它到中心（0，0）的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用．17．（5分）（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数为179（用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令r=0，2得展开式系数．解答：解：（x+2）10（x2﹣1）=x2（x+2）10﹣（x+2）10∴（x+2）10（x2﹣1）的展开式中x10的系数是（x+2）10展开式的x8的系数﹣x10的系数∵（x+2）10展开式的通项为T r+1=C10r x10﹣r2r=2r C10r x10﹣r∴令r=0，2分别得x10，x8的系数为1，180故展开式中x10的系数为180﹣1=179，故答案为179点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．18．（5分）如图，在直四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件AC⊥BD时，有A1C⊥B1D1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：压轴题；开放型．分析：根据题意，由A1C⊥B1D1，结合直棱柱的性质，分析底面四边形ABCD得到BD⊥AC，进而验证即可得答案．解答：解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1则B1D1⊥平面A1AC1C∴B1D1⊥AC，又由B1D1∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1故答案为：BD⊥AC．点评：本题主要通过开放的形式来考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用．19．（5分）（2010•江西模拟）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是②．（把你认为正确的命题序号都填上）考点：三角函数的周期性及其求法；命题的真假判断与应用；运用诱导公式化简求值；正弦函数的对称性．专题：计算题；压轴题．分析：首先根据函数求出最小正周期，然后根据诱导公式求出对称中心，然后根据图象分别求出最大值和最小值，最后综合判断选项．解答：解：函数f（x）=4sin的最小正周期T=π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是=知①错．利用诱导公式得f（x）=4cos=4cos=4cos，知②正确．由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x=代入得f（x）=4sin≠0，因此点（，0）不是f（x）图象的一个对称中心，故命题③错误．曲线f（x）的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x=﹣时y=0，点（﹣，0）不是最高点也不是最低点，故直线x=﹣不是图象的对称轴，因此命题④不正确．故答案为：②点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，诱导公式的利用，以及正弦函数的对称性问题，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）20．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a+c=2b，A﹣C=．求sinB的值．以下公式供解题时参考：sinθ+sin∅=2sin cos，sinθ﹣sin∅=2cos sin，cosθ+cos∅=2cos cos，cosθ﹣cos∅=﹣2sin sin．考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．分析：先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦的关系，再经过和差化积和诱导公式转化即可求出的余弦和正弦值，再由正弦的二倍角公式可得答案．解答：解：由正弦定理和已知条件a+c=2b得sinA+sinC=2sinB．由和差化积公式得2sin cos=2sinB．由A+B+C=π得sin=cos，又A﹣C=得cos=sinB，所以cos=2sin cos．因为0＜＜，cos≠0，所以sin=，从而cos=所以sinB=．点评：本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．21．（12分）如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．考点：轨迹方程．专题：应用题．分析：方法一：由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线，建立适当的坐标系，依据题意求参数值．用定义法写出抛物线的方程．方法二：建立相应的坐标系，设出曲线段C上的任意一点的坐标（x，y），依据题意曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程．解答：解：法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．设曲线段C的方程为y2=2px（p＞0），（x A≤x≤x B，y＞0），其中x A，x B分别为A，B的横坐标，p=|MN|．所以M（，0），N（，0）．由|AM|=，|AN|=3得（x A+）2+2px A=17，①（x A﹣）2+2px A=9．②由①，②两式联立解得x A=．再将其代入①式并由p＞0解得因为△AMN是锐角三角形，所以＞x A，故舍去所以p=4，x A=1．由点B在曲线段C上，得x B=|BN|﹣=4．综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．设A（x A，y A）、B（x B，y B）、N（x N，0）．依题意有x A=|ME|=|DA|=|AN|=3，y A=|DM|=，由于△AMN为锐角三角形，故有x N=|ME|+|EN|=|ME|+=4x B=|BF|=|BN|=6．设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{（x，y）|（x﹣x N）2+y2=x2，x A≤x≤x B，y＞0}．故曲线段C的方程为y2=8（x﹣2）（3≤x≤6，y＞0）．点评：考查利用坐标法求轨迹方程，以及抛物线的定义，本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力．22．（12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：先将实际问题转化成数学中的函数的最值问题，再利用基本不等式求．解答：解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小．根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30）．①于是y====≥=，当a+2=时取等号，y达到最小值．这时a=6，a=﹣10（舍去）．将a=6代入①式得b=3．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大．由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）．因为a+2b≥2，所以+ab≤30，当且仅当a=2b时，上式取等号．由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18．所以2b2=18．解得b=3，a=6．故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．点评：本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．23．（12分）已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；证明题；综合题；转化思想．分析：（1）要求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；必须先找出线面角，就是∠A1AC；（2）要求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．求解即可；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离，可以应用等体积法求解，也可以直接作出距离解三角形即可．解答：（1）解：如图作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，所以∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．因为AA1⊥A1C，AA1=A1C，所以∠A1AD=45°为所求．（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2，所以DE=1，AD=A1D=，tan∠A1ED==．故∠A1ED=60°为所求．（3）解法一：由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，所以∠HBC=∠A1ED=60°所以CH=BCsin60°=为所求．解法二：连接A1B．根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥C﹣A1AB的高h．由得，即所以为所求．点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．24．（12分）设曲线C的方程是y=x3﹣x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A（，）对称；（3）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=﹣t且t≠0．考点：曲线与方程；函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后，x变为x﹣t，y变为y﹣s，（2）在曲线C上任取一点B1（x1，y1），利用中点公式求出它关于点A的对称点B2，证明点B2在曲线C1上，同样证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．（3）曲线C与C1有且仅有一个公共点，即方程组有唯一解，对应的一元二次方程的判别式等于0，解答：（1）解：曲线C1的方程为y=（x﹣t）3﹣（x﹣t）+s．（2）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1）．设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有，，所以x1=t﹣x2，y1=s﹣y2．代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：s﹣y2=（t﹣x2）3﹣（t﹣x2），即y2=（x2﹣t）3﹣（x2﹣t）+s，可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．因此，曲线C与C1关于点A对称．（3）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组有且仅有一组解．消去y，整理得3tx2﹣3t2x+（t3﹣t﹣s）=0，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根．所以t≠0并且其根的判别式△=9t4﹣12t（t3﹣t﹣s）=0，即所以且t≠0．点评：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力．25．（12分）已知数列{b n}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．（1）求数列{b n}的通项b n；（2）设数列{a n}的通项a n=log a（1+）（其中a＞0，且a≠1），记S n是数列{a n}的前n项和．试比较S n与log a b n+1的大小，并证明你的结论．考点：等差数列的通项公式；数列的求和；数学归纳法．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）根据数列{b n}是等差数列，建立b1与d的方程组，解之即可；（2）因此要比较S n与log a b n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小，利用用数学归纳法证明此式，当a＞1时，S n＞log a b n+1，当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．解答：解：（1）设数列{b n}的公差为d，由题意得解得所以b n=3n﹣2．（2）由b n=3n﹣2，知S n=log a（1+1）+log a（1+）++log a（1+）=log a[（1+1）（1+）（1+）]，log a b n+1=log a．因此要比较S n与log a b n+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小．取n=1有（1+1）＞，取n=2有（1+1）（1+）＞，由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，S n＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+）（1+）＞．那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）=（3k+2）．因为==，所以（3k+2）＞．因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．这就是说①式当n=k+1时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：当a＞1时，S n＞log a b n+1．当0＜a＜1时，S n＜log a b n+1．点评：本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．。

1998年全国Ⅱ高考数学试题(理).doc

1998年普通高等数学招生全国统一考试（全国II〉理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：sin a cos=—[sin(a+/J) + sin(a-#)] cos a sin p= —[sin((7+J3) - sin(a - J3)] cos a cos fi=—[cos(6r + A) + COS(6Z- (3)\ sinasin々=——[cos(a+cos(a - fi}\正棱台、岡台的侧面积公式=丄（（/ + c.）/其中（/、c.分别表示上、下底而周长，/表示斜髙或母线K.4球的体积公式：K=-^r3,其中/?表示球的半径.第I卷（选择题共60分》一、选择题：本大题共15小题，第1 一10题第小题4分，第11 一15题每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. sin 600°的值是A.x2+(y +2)2=4B. x2 +(y-2)2 =4C. (x-2)2 + y2=4D. (x + 2)2 + / =44.两条直线+ A2x+fi2y + C2=0垂直的充要条件是AA. Aj A，2 + B2= 0 B•— B'B, = 0C. --——=— 1B'B22 2A.金B. -13.曲线的极伞标方程p = 4sin~化成直角坐标方程为D-1=,5. 函数/(x) = l(x 关0)的反函数=A. x(x 0)B.丄(％关 0)C. -x(x 0)D. - —(x^O)XX6. 己知点/^sinw-cosataim)在第一象限，则在(0,2冗)内6Z 的取位范围是(71 3丌、(71 71^A.UB. —，— U 71：,—U 4>1 4 JU 2>1 4 )B. 50 = yjss fC. 2S 0 = S + S’10. 叫岛为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水与水深/z 的函数关系的图像如右图所示11. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A. 90 种B. 180 种C. 270 种D. 540 种12.椭圆Z + [ = 1的焦点为f 和F 2，点P 在椭圆上，如果线段Pf ；的屮点在JV 轴上,那么II12 3A- T 4Z ，B.為丄/2 2c+么27. 已知圆锥的全时积是底时积的3倍，那么该圆锥的侧时展开图扇形的圆心角为A. 120°B. 150°C. 180°D. 240°8. 复数-z*的一个立方根是f ，它的另外两个立方根是9.如果棱台的两底囬积分别是S, S z ,中截lij 的谢积是S Q ,那么D21 • —I 2D. S.2 = 255zroA. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍13. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1，经过这3个点的小圆的周6长为4兀，那么这个球的半径为14. 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其S 小内角为15.在等比数列中，＞ 1 ,且前"项和满足limS,,=丄，那么q 的取值范围是 a xA. (l,+oo)B.(1,4)C. (1,2)D.(1,72)第II 卷《非选择题共90分》注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.x 2 y 216. 设圆过双曲线---1 = 1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中9 16心的距离是 _________________ .17. (x + 2)1Q (x 2-l)的展开式屮x 10的系数为 _______ (用数字作答). 18. 如图，在直四棱柱AfiCD-AACA 中，当底面四边形ABCZ)满足条件 ___________ 时，有AC 丄孕(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)JT19 关于函数/(x) = 4sin(2x + -)(xe/?),有下列命题：①由/(x,) =/(x 2) = 0可得x, —x 2 必TT是;r 的整数倍；®＞，= /(x)的表达式可改写为＞，= 4cos(2x ——)；③y = /(x)的图像关于点A. 4^3B. 2^3C. 2D. 73A. arccos^lB. arcsin^-"1 2 2C. arccos^lD. arcsin^ 2 2jr jr（-一，0）对称；④；v = /（x）的图像关于直线x =-—对称.其中正确的命题的序号6 6是_________ .（注：把你认为正确的命题的序号都填上.）三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.20.（本小题满分10分）在△ AfiC屮，tz、/?、c分别是角A、B、C的对边，设“ + c = 2/?,TTA-C = -.求sinB 的値.3以下公式供解题时参考：.n n 0 0-（p . n n 0 +（p . 0-（psin 0 + sin 识=2sin ------------------------ cos ---2 221.（本小题满分11分）如图，直线/,和/2相交于点M，丄/2,点Nel'.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到/2的距离与到点7V的距离相等，若A/u/yv为锐角三角形，\AM |=Vl7 , 且|fi/V|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.22.（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从5孔流岀.设箱体的忪度为米，高度为&米.己知流出的水屮该杂质的质量分数与6/, /?的乘积6^成反比.现有制箱材料60平方米.问当各为多少米时，经常常后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、S孔的面积忽略不计）.23.（本小题满分12分）己知斜三棱柱ABC —侧面A\JL b ✓2 2G七(P d—(Pcos 8 + cos(p = 2 cos -- cos ---- - ,cos 6 - cos(p = -2 sin + 识 sin ----- -a底面？IBC 垂直，ZABC = 90', BC = 2, AC = 2V3 , （1）求侧棱儿4,与底面ASC所成角的大小；（2）求侧面\ABB,与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧而砟ABB,的距离.且A4,丄A,C, AA{ = A,C.B24.(本小题满分12分)设曲线C的方程是y = x,将C沿;v轴、y轴正向分别平行移动/、s单位长度后得到曲线C,.(1)写出曲线(^的方程；(2)证明曲线C与C,关于点A(丄，I)对称；t3(3)如果曲线C与(^有且仅有一个公共点，证明J = I一r且z关0.25.(本小题满分12分)已知数列｛么｝是等差数列，b t=l，+(1)求数列｛/?,,｝的通项;(2)设数列｛＜7"｝的通项^ = log“(l+i)(其中6Z〉0，且“关1)，记\是数列｛＜7"｝的前"项b n和.试比较S。

1998年高考数学试题及答案(全国理)-推荐下载

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

1998年试题全国高考数学试题及参考答案

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M ＝｛x │0≤x ＜2｝,集合N ＝｛x │x 2－2x －3＜0｝,集合M ∩N 为 (A)｛x │0≤x ＜1｝ (B)｛x │0≤x ＜2｝ (C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝ [Key] B(2)如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D －ABC 的三个则面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C（5）函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1－x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y ＝2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y ＝x 对称的图象,可得到函数y ＝log 2(x ＋1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y ＝cos 2x －3cosx ＋2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x ＋y ＝0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x (B) 14)3(9)2(22=-+-y x(C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(－∞,＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,＋∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式 ①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b); ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b); ③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a); ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x x a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

(详细解析)1998年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一．选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－第（15）题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的．1．sin600︒的值是 A ．21 B ．12- C ．23 D ．32-【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒3sin 602=-︒=-．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值是 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C【解析】3a =或10a =-<（舍去）．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B += B ．12120A A B B -=C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ，【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即sin cos ,tan 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0tan 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C 【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ．3122i ± B ．3122i -± C ．3122i ±+ D ．3122i ±- 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得3122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么 A ．02S S S '=+ B ．0S S S '= C ．02S S S '=+ D ．S S S '=220【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0,,S SS r r r πππ''===，又02r r r '=+，则02S SS πππ'=+，02S S S '=+．10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【答案】B【解析】共有22224212A C C =种不同的分配方法．11．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确．【难度】较难．12．椭圆221123x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 A．4±B．2± C．2± D ．34± 【答案】A【解析】不妨设焦点1(3,0)F -，由题设可知点P 的横坐标为3，代人椭圆方程得点P的纵坐标±由中点坐标公式得点M的纵坐标是±13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A． B． C ．2 D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为 A ．251- B ．2252- C ．215- D ．2252+ 【答案】C【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =．15．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项的和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的值为A ．3±B ．32± C ．2± D ． 26±【答案】D【解析】由于1lim 1n x a S q→∞=-，所以11213a a =，解得162a =±．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故2200163OP x y =+=．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为（用数字作答）．【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r r r r T C x-+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A B C D ABCD -中，当底面四边形ABCD 满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1A C BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题①()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；②()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是（注：把你认为正确的命题的序号都．填上．）【答案】①③．注：多填、漏填的错填均给0分．【解析】()4sin(2)4cos[(2)]4cos(2)3236f x x x x ππππ=+=-+=-，①正确；()y f x =的最小正周期为π，②错误；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）设a b ≠，解关于x 的不等式222(1)[(1)]a x b x ax b x +-≥+-．【解】本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．将原不等式化为222222()()2()a b x b a b x a b bx b -+≥-+-+，移项，整理后得22()()0a b x x --≤，∵a b ≠即2()0a b ->，∴20x x -≤，即(1)0x x -≤．解此不等式，得解集{}01x|x ≤≤．21．（本小题满分11分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2coscos,cos cos 2sinsin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=．由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得3cos sin 22B B =，所以3cos 2sin cos 2222B B B =．因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以3sin 24B =，从而213cos 1sin 224B B =-=，所以31339sin 248B =⨯=．22．（本小题满分12分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，17,3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -．由17,3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ①2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4A A x p x p 或因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.Ap x =⎧⎨=⎩所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=．综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ．设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ．依题意有3A x ME DA AN ====，2222A y DM AM DA ==-=，由于AMN ∆为锐角三角形，故有224N x ME EN ME AN AE =+=+-=6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,23AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=．（Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱1B B 和侧面11A ACC 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角．因为1111,AA AC AA AC ⊥=，所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ．又D 是AC 的中点，2,23BC AC ==，所以11,3DE AD A D ===，11tan 3A DA ED DE∠==．故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）作BF AC ⊥，F 为垂足，由面11A ACC ⊥面ABC ，知BF ⊥面11A ACC ．∵1//B B 面11A ACC ，∴ BF 的长是1B B 和面11A ACC 的距离．在Rt ABC ∆中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求．24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>，得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=，当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）．将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>．因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号．由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18．所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,100b b b b =++⋅⋅⋅+=．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项1lg(1)n n a b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11lg 2n b +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．（Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得111,10(101)10100.2b b d =⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得11,2.b d =⎧⎨=⎩ ∴21n b n =-．（Ⅱ）由21n b n =-，知1111lg(11)lg(1)lg(1)log [(11)(1)(1)]321321n a S n n =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+--，11lg 2n b +=．因此要比较n S 与11lg 2n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+-与12+n 的大小．取1n =有11+>，取2n =有1(11)(1)3++>由此推测11(11)(1)(1)321n ++⋅⋅⋅+>-． ① 若①式成立，则由对数函数性质可判定：11lg 2n n S b +>．下面用数学归纳法证明①式．（i ）当1n =时已验证①式成立．（ii ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)321k ++⋅⋅⋅+>- 那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))2)3212(1)121k k k k ++⋅⋅⋅++>+=+-+-+．∵2222484831[(22)]0212121k k k k k k k k +++++-==>+++，∴(22)21k k +>=+因而111(11)(1)(1)(1)32121k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：11lg 2n n S b +>．。

1998年全国高考文科数学试题及其解析-推荐下载

sin
cos
sin
cos
，那么
a1
2 cos
2sin
新疆王新敞
奎屯
1
(D) 6 2
2
2
的值为 (
sin
sin
2
2
，
．
)
(22) (本小题满分 12 分) 如图，直线 l1 和 l2 相交于点 M，l1 ⊥l2，点 N∈l1．以 A、B
为端点的曲线段 C 上的任一点到 l2 的距离与到点 N 的距离相
(16)
x2
设圆过双曲线
圆心到双曲线中心距离是__________
(17)
(x＋2)10(x2－1)的展开的
9 16
y2
x10
Sn
满足
(C) 2
lim
n
1 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则
新疆王新敞
奎屯
系数为____________（用数字作答）
(18) 如图，在直四棱柱 A1B1C1D1－ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件
③y=f (x)的图像关于点，0 对称； 6
其中正确的命题的序号是______
新疆王新敞
奎屯
Sn=
1
a1
④y=f (x)的图像关于直线 x=－对称．
6
(注：把你认为正确的命题的序号都填上．)
三．解答题：本大题共 6 小题；共 69 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(20) (本小题满分 10 分)
在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M
1
(13) 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这 3 个点的小

1998年全国高考文科试题

98年全国高校招生数学统考试题（文史类）（文史类）一、选择题：本大题共15小题；第（小题；第（11）－（）－（101010）题每小题）题每小题4分，第（分，第（111111）－）－（1515）题每小题）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）sin600sin600°的值是°的值是（（A ）1/2 1/2 （（B ）-1/2 -1/2 （（C ）/2 /2 （（D ）-/2（2）函数y=a |x||x|(a>1)(a>1)的图象是的图象是（3）已知直线x=a(a>0)x=a(a>0)和圆和圆和圆(x-1)(x-1)22+y 22=4相切，那么a 的值是（（A ）5 5 （（B ）4 4 （（C ）3 3 （（D ）2（4）两条直线A 1x+B 1y+C 1=0=0，，A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是（（A ）A 1A 2+B 1B 2=0 =0 （（B ）A 1A 2-B 1B 2=0（（C ）A 1A 2/B 1B 2=-1 =-1 （（D ）B 1B 2/A 1A 2=1（5）函数f(x)=1/x(x f(x)=1/x(x≠≠0)0)的反函数的反函数f -1-1(x)=（（A ）x(x x(x≠≠0) 0) （（B ）1/x(x 1/x(x≠≠0)（（C ）-x(x -x(x≠≠0) 0) （（D ）-1/x(x -1/x(x≠≠0)（6）已知点P （sin sinαα-cos -cosαα,tg ,tgα）在第一象限，则α）在第一象限，则α）在第一象限，则[0,2[0,2[0,2ππ)内α的取值范围是（（A ）(π/2,3/2,3ππ/4)/4)∪∪(π,5,5ππ/4) /4) （（B ）(π/4,/4,ππ/2)/2)∪∪(π,5,5ππ/4)（（C ）(π/2,3/2,3ππ/4)/4)∪∪(5(5ππ/2,3/2,3ππ/2) /2) （（D ）(π/4,/4,ππ/2)/2)∪∪(3(3ππ/4,/4,ππ)（7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为心角为（（A ）120120°° （B ）150150°° （C ）180180°° （D ）240240°°（8）复数）复数-i -i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是（（A ）/2±1/2 1/2 （（B ）-/2±1/2i（（C ）±/2+1/2i （D ）±/2-1/2i（9）如果棱台的两底面积分别是S ，S'S'，中截面的面积是，中截面的面积是S 0，那么（（A ）2=+（（B ）S 0＝（（C ）2S O ＝S ＋S'（（D ）S 022＝2S'S（1010））2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.文)

1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin600°的值是A．1/2 B．-1/2 C．/2 D．- /22．函数y=a|x|(a>1)的图象是3．已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是A．5 B．4 C．3 D．24．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A．A1A2+B1B2=0 B．A1A2-B1B2=0C．A1A2/B1B2=-1 D．B1B2/A1A2=15．函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=A．x(x≠0) B．1/x(x≠0)C．-x(x≠0) D．-1/x(x≠0)6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是A．(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) B．(π/4,π/2)∪(π,5π/4)C．(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) D．(π/4,π/2)∪(3π/4,π)7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为A．120° B．150° C．180° D．240°8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．/2±1/2 B．- /2±1/2iC．±/2+1/2i D．±/2-1/2i9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．2 = + B．S0＝C．2S0＝S＋S' D．S02＝2S'S10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

不同的分配方法共有A．6种 B．12种 C．18种 D．24种11．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是12．椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A．±/4 B．±/2 C．±/2 D．±3/413．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．4 B．2 C．2 D．14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．arccos -1/2 B．arcsin -1/2C．arccos1- /2 D．arcsin1- /215．等比数列{a n}的公比为-1/2，前n项的和S n满足S n=1/a1，那么a1的值为A．± B．±3/2 C．± D．±/2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( )(A) x 2＋(y ＋2)2=4 (B) x 2＋(y －2)2=4 (C) (x －2)2＋y 2=4 (D) (x ＋2)2＋y 2=4 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A B B(5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P (sin α－cos α，tg α)在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 ( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2345ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 ( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123± i (B) －2123± i (C) ±2123+ i (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积分别是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2 S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是( )(11) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有( )(A) 90种 (B) 180种 (C) 270种 (D) 540种(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|P F 2|的( )(A) 7倍 (B) 5倍 (C) 4倍 (D) 3倍 (13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( )(A) arccos215- (B) arcsin215- (C) arccos251- (D) arcsin 251-(15) 在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么a 1的取值范围是( ) (A)(1，＋∞) (B)(1，4) (C) (1，2) (D)(1，2)第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_________17．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为____________（用数字作答）18．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1 C ⊥B 1 D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)19．关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题: ①由f (x 1)= f (x 2)=0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)； ③y =f (x )的图像关于点(－6π，0)对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是_______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (20)(本小题满分10分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π．求sin B 的值．以下公式供解题时参考： sin θ＋sin ϕ =2sin2ϕθ+cos2ϕθ-， sin θ－sin ϕ=2cos2ϕθ+sin2ϕθ-，cos θ＋cos ϕ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-， cos θ－cos ϕ=－2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-.(21)(本小题满分11分)如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(22)(本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．(23)(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C ．Ⅰ．求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；Ⅱ．求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； Ⅲ．求顶点C 到侧面A 1 ABB 1的距离．(24)(本小题满分12分)设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1．Ⅰ．写出曲线C 1的方程； Ⅱ．证明曲线C 与C 1关于点A (3t ，2s)对称； Ⅲ．如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =43t －t 且t ≠0．(25)(本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145． Ⅰ．求数列{b n }的通项b n ； Ⅱ．设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和．试比较S n 与31log a b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B=sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B. 因为0<2B <2π，cos 2B≠0，所以sin2B =43，从而cos2B =4132sin 12=-B 所以sinB=83941323=⨯.21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p4.再将其代入①式并由p >0解得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4，x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）.依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3， y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有 x N =|ME |+|EN | =|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得 b =aa+-230（0<a <30）. ① 于是 y =ab k =aaa k+-230226432+-+-=a a k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =，当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值. 这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大. 由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）. 因为 a +2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC . 又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB . 又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ，所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=，即 322312231⨯⨯=⨯h 所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+. 所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2.代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即 y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ，可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上.反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根. 所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.即 ⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以 t t s -=43且 t ≠0. 25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ） = log a [（1+1）（1+41）……（1+231-n ）]， 31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1. 下面用数学归纳法证明①式.（ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ） =13133++k k （3k +2）. 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ，所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立.由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立.由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1998年全国高考数学试题及答案解析

第 1 页共 10 页 1998年普通高等学校招生全国统一考试
数学
(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为
(A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝
(C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝
[Key] B
(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为
32
)(23
)(6)(3)(D C B A ---
[Key] B
(3)函数
)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是
[Key] A
(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是
32)D (2)C (31
arccos )B (33
arccos )A (ππ
[Key] C
（5）函数x 2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是
ππππ
4)D (2)C ()B (2)A (
[Key] B。

1998年高考数学试题及答案(全国理)

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、sin600°的值是23.D 23.C 21.B 21.A --[Key] D2、函数)1a (a y |x |>=的图象是[Key] B3、曲线的极坐标方程θ=ρsin 4化成直角坐标方程为A ． 4)2y (x 22=++B ．4)2y (x 22=-+ C ． 4y )2x (22=+- D ．4y )2x (22=++[Key] B4、两条直线0C y B x A ,0C y B x A 222111=++=++垂直的充要条件是A ． 0B B A A 2121=+B ． 0B B A A 2121=-C ． 1B B A A 2121-=D ． 1B B A A 2121=[Key] A5、函数)0x (x 1)x (f ≠=的反函数=-)x (f 1A ． x(x ≠0)B ． )0x (x 1≠C ． -x(x ≠0)D ．)0x (x 1≠- [Key] B6、已知点)tg ,cos (sin P αα-α在第一象限，则在)2,0(π内α的取值范围是A ． )45,()43,2(ππ⋃ππ B ． )45,()2,4(ππ⋃ππ C ． )23,45()43,2(ππ⋃ππ D ． ),43()2,4(ππ⋃ππ[Key] B °7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°[Key] C8、复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ． i 2123±B ．i 2123±-C ．i 2123+± D ． i 2123-± [Key] D9、如果棱台的两底面积分别是S ， S'，中截面的面积是S 0，那么A ． 'S S +=22B ． S 'S S =0C ． 'S S S +=02D ． S 'S S 220=[Key] A10、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是[Key] B11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种[Key] D12、椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍[Key] A13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ． 34B ．32C ．2D ．3[Key] B14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ． 215arccos -B ． 215arcsin -C ． 251arccos- D ． 251arcsin - [Key] B15、在等比数列{a n }中，a 1>1，且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→，那么a 1的取值范围是A ．(1,+∞)B ．(1,4)C ．(1,2)D ．(1,2)[Key] D16、设圆过双曲线116922=+y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 _______。

1998年全国高考文科数学试题及其解析资料

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的(1) sin600º( )(A)21 (B) －21(C) 23 (D) －23(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)12121-=B B A A (D) 12121=A A BB (5) 函数f (x )=x1( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) (A) x (x ≠0) (B) x 1(x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －x1(x ≠0)(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是( )(A) (432ππ，)∪(45ππ，) (B) (24ππ，)∪(45ππ，) (C) (432ππ，)∪(2325ππ，) (D) (24ππ，)∪(ππ，43) (7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)2123±I (B) －2123±I (C) ±2123+I (D) ±2123-i (9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2S S S '+=0 (B) S 0=S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D) S S S '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种(11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆31222y x +=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )(A) ±43 (B) ±23 (C) ±22 (D) ±43(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 43 (B)23 (C) 2 (D) 3(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)251- (B) 2252- (C) 215- (D) 2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－21，前n 项的和S n 满足∞→n lim S n =11a ，那么11a 的值为 ( )(A)3± (B)±23(C) 2±(D) 26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答）(18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋3π)(x ∈R )，有下列命题 ①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －6π)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y =f (x )的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-06，π对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－6π对称．其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都．填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=3π，求sin B 的值．以下公式供解题时参考：2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+， 2s i n2c o s 2s i n s i nϕθϕθϕθ-+=-，2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+， 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-．(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=23，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋nb 1)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与21lg b n +1的大小，并证明你的结论．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)316(17) －5120 (18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2，移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0，即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+．由A ＋B ＋C =π，得 2)sin(C A +=2cos B，又A －C =3π，得23cos 2B=sin B ，∴23cos 2B =2sin 2B cos 2B． ∵ 0＜2B ＜2π， 2cos B ≠0，∴sin2B=43，从而cos2B =2sin 12B -=413 ∴ sin B =⨯23413=839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－2P ，0)，N (2P，0)．由 |AM |=17，|AN |=3得(x A ＋2P )2＋2Px A =17， ① (x A －2P)2＋2Px A =9． ②由①、②两式联立解得x A =P4，再将其代入①式并由p ＞0解得⎩⎨⎧==14A x p 或⎩⎨⎧==22Ax p ．因为△AMN 是锐角三角形，所以2P＞x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ． ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2P=4．综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ．设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)．依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |=22DA AM-=22，由于△AMN 为锐角三角形，故有x N =|AE |+|EN |=4． =|ME |+22AE AN -=4X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ． ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，∴ DE =1，AD =A 1D =3，tg A 1ED=DEDA 1=3．故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，2222=-=BC AC AB ，∴ 362=⋅=AC BC AB BF 为所求． (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k ＞0为比例系数，依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)，得 aab +-=230 (0＜a ＜30＝， ① 于是 aa a k ab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=264+a 时取等号，y 达最小值．这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大．由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2ab ， ∴ 22ab ＋ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得 b 1=1， 10b 1＋d2)110(10-=100．解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知 S n =lg(1＋1)＋lg(1＋31)＋…＋lg(1＋121-n )=lg[(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )]， 21lg b n ＋1=lg 12+n ．因此要比较S n 与21lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )与12+n的大小．取n =1有(1＋1)＞112+⋅，取n =2有(1＋1)(1＋31)>112+⋅由此推测(1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-n )＞12+n ． ①若①式成立，则由对数函数性质可判定： S n ＞21lgb n ＋1．下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )＞12+k ，那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋1)1(21-+k )＞12+k (1＋121+k ) =1212++k k (2k ＋2)．∵ [1212++k k (2k ＋2)]2－[32+k ]2=123848422+++++k k k k k学习-----好资料更多精品文档 =121+k ＞0， ∴1212++k k (2k ＋2) ＞32+k =()112++k ．因而 (1＋1)(1＋31)· … ·(1＋121-k )(1＋121+k )＞1)1(2++k ．这就是说①式当n =k ＋1时也成立．由(i)，（ii ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：S n >21lg b n ＋1．。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)

1998年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学第I卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin600°的值是A．1/2 B．-1/2 C．/2 D．- /22．函数y=a|x|(a>1)的图象是3．曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程式为A．x2+(y+2)2=4 B．x2+(y-2)2=4C．(x-2)2+y2=4 D．(x+2)2+y2=44．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A．A1A2+B1B2=0 B．A1A2-B1B2=0C．A1A2/B1B2=-1 D．B1B2/A1A2=15．函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=A．x(x≠0) B．1/x(x≠0)C．-x(x≠0) D．-1/x(x≠0)6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是A．(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) B．(π/4,π/2)∪(π,5π/4)C．(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) D．(π/4,π/2)∪(3π/4,π)7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为A．120° B．150° C．180° D．240°8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．/2±(1/2)i B．- /2±(1/2)iC．±/2+(1/2)i D．±/2-(1/2)i9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．2 = + B．S0＝C．2S0＝S＋S' D．S02＝2S'S10．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是11．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

(详细解析)1998年全国高考理科数学试题及其解析

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷（选择题共65分）一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11— 15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．sin 600︒的值是A ．21 B ．12- C ．23 D ．【答案】D【解析】sin 600sin(720120)sin(120)sin120sin(18060)︒=︒-︒=-︒=-︒=-︒-︒sin 60=-︒=．2．函数(1)xy a a =>的图像是【答案】B【解析】函数为偶函数，当0x ≥时，xy a =为增函数，且过点(0,1)，B 正确．3．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化成直角坐标方程为 A ．22(2)4x y ++= B ．22(2)4x y +-= C ．22(2)4x y -+= D ．22(2)4x y ++=【答案】B【解析】由已知得4yρρ=⨯，即224x y y +=，化为标准方程为22(2)4x y +-=．4．两条直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=垂直的充要条件是 A ．12120A A B B += B ．12120A A B B -= C ．12121-=B B A A D ．12121=A A B B 【答案】A【解析】①若一条直线的斜率不存在，则另一条直线一定与x 轴垂直，满足12120A A B B +=； ②若两条直线斜率均存在，则121212,A A k k B B =-=-，有121k k =-，即1212()1A AB B --=-，所以12120A A B B +=．5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -= A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x ≠ C ．(0)x x -≠ D ．1(0)x x-≠【答案】B 【解析】1()f x x =为反比例函数，所以反函数11()(0)f x x x-=≠．6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在)20[π，内α的取值是 A ．35()()244ππππ，， B ．5()()424ππππ，，C ．353(,)()2442ππππ,D ．3()(,)424ππππ，【答案】B【解析】点P 在第一象限，则sin cos 0,tan 0ααα->>，即s i n c o s ,t a n 0ααα>>，α为第一象限或第三象限的角，若α为第一象限的角，则由sin cos αα>得tan 1α>，所以()42ππα∈，；若α为第三象限的角，则0t a n 1α<<，结合正切函数图象可得5()4παπ∈，．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 A ．120º B ．150º C ．180º D ．240º 【答案】C【解析】由题设得22S rl S rππ==侧底，得2l r =，扇形的圆心角为22rr ππ=．8．复数i -的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A 12iB ．12i ±C ．12iD ．12i 【答案】D【解析】设33x i i =-=，则3322()()0x i x i x xi i -=-++=，解方程220x xi i ++=得122x i =±-．9．如果棱台的两底面积分别是,S S '，中截面的面积是0S ，那么A ．=B ．0S =C ．02S S S '=+D ．S S S '=22【答案】A【解析】设两底和中截面的半径分别为,r r '和0r ，则22200,,S r S r S r πππ''===，所以0r r r '===，又02r r r '=+，则=10．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如下图所示，那么水瓶的形状是【答案】B【解析】在函数图象中，取水深2Hh =时，注水量02V V V '=>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半，只有B 正确．【难度】较难．11．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种【答案】D【解析】先分配医生有336A =种分法；再分配护士有22264290C C C =种分法，不同的分配方法有540种．12．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上．如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的A ．7倍B ．5倍C ． 4倍D ．3倍【答案】A【解析】线段1PF 的中点在y 轴上，则2PF x ⊥轴，有221123B y c +=，2y PF P ==，所以122PF a PF =-=1PF 是2PF 的7倍．13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A ．B ．C ．2D ．3 【答案】B【解析】设球的半径为R ，球面上3个点为,,A B C ，则ABC ∆为等边三角形，小圆的半径为2r =，所以AB =R ==14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A ．1arccos 2B ．1arcsin 2C ．1arccos 2D ．1arcsin 2【答案】B【解析】不妨设A B C <<，则2C π=，且sin sin sin 1A B C <<=，所以2sin sin A B =，2sin sin ()2A A π=-，化简得2sin sin 10A A +-=，解得sin A =，则1arcsin2A =．15．在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n x S a →∞=，那么1a 的取值范围是 A ．(1,)+∞ B ．(1,4) C ．(1,2) D．【答案】D【解析】显然公比01q <<，由题设得111lim 11n x a S q a →∞==<-，可知10q -<<，而 211(1,2)a q =-∈，所以1(1a ∈．第Ⅱ卷（非选择题共85分）二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．【答案】316 【解析】根据题设，顶点、焦点和圆心在此双曲线的同一支上，设00(,)P x y ，则200531674,29x y +⨯===，故163OP ==．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为（用数字作答）．【答案】179【解析】10(2)x +的通项公式为101102r rr r T C x -+=⋅⋅，故10x 的系数为22010102179C C ⋅-=．18．如图，在直四棱柱1111A BC D ABCD -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）【答案】AC BD ⊥，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等【解析】连接,AC BD ，则11//BD B D ，由于1AA BD ⊥，所以要使111AC B D ⊥，只需1AC BD ⊥，只需BD ⊥平面1A AC ，也即BD AC ⊥．19．关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都．填上．）【答案】②③ 【解析】12x x -必是2π的整数倍，①错误；()4sin(2)4cos[(2)]323f x x x πππ=+=-+4cos(2)6x π=-；()y f x =的图像的对称点的横坐标满足2()3x k k Z ππ+=∈，即26x k ππ=⋅-，当0k =时，对称点为(,0)6π-，③正确，④不正确．三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a cb A C π+=-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos,sin sin 2cossin2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=，cos cos 2cos cos ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-+-+=-=-．【解】本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．由正弦定理和已知条件2a c b +=得sin sin 2sin A C B +=．由和差化积公式得2sin cos sin 22A C A CB +-=．由A BC π++=得sin cos 22A C B+=，又3A C π-=得sin 22BB =，所以2sin cos 2222B B B =．因为0,cos 0222B B πθ<<≠，所以sin 2B =，从而cos 2B ==所以sin B ==21．（本小题满分11分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，12l l ⊥，点1N l ∈．以,A B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等．若AMN ∆为锐角三角形，3AM AN ==，且6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．【解】本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以1l 为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中,A B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为22(0),(,0)A B y px p x x x y =>≤≤>，其中,A B x x 分别为,A B 的横坐标，p MN =．所以(,0),(,0)22p pM N -．由3AM AN ==得2()2172A A p x px ++=， ① 2()292A A px px -+=． ②由①，②两式联立解得4A x p =，再将其代入①式并由0p >解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或因为AMN ∆是锐角三角形，所以2A px >，故舍去2,2.A p x =⎧⎨=⎩ 所以4,1A p x ==．由点B 在曲线段C 上，得42B px BN =-=．综上得曲线段C 的方程为28(14,0)y x x y =≤≤>．解法二：如图建立坐标系，分别以12,l l 为,x y 轴，M 为坐标原点．作122,,AE l AD l BF l ⊥⊥⊥，垂足分别为,,E D F ．设(,),(,),(,0)A A B B N A x y B x y N x ．依题意有3A x ME DA AN ====，A y DM ===由于AMN ∆为锐角三角形，故有4N x ME EN ME =+==6B x BF BN ===．设点(,)P x y 是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合{}222(,)(),,0NA B x y x xy x x x x y -+=≤≤>|．故曲线段C 的方程为28(2)(36,0)y x x y =-≤≤>．22．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与,a b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当,a b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（,A B 孔的面积忽略不计）．【解】本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则ky ab=，其中0k >为比例系数．依题意，即所求的,a b 值使y 值最小．根据题设，有42260(0,0)b ab a a b ++=>>，得30(030)2ab a a-=<<+． ① 于是26464303234(2)222k k k k y a a ab a a a a a====--+--+++++18k ≥=，当6422a a +=+时取等号，y 达到最小值．这时6a =，10a =-（舍去）．将6a =代入①式得3b =．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的,a b 的值使ab 最大．由题设知42260(0,0)b ab a a b ++=>>，即230(0,0)a b ab a b ++=>>．因为22a b +≥30ab ≤，当且仅当2a b =时，上式取等号．由0,0a b >>，解得018ab <≤．即当2a b =时，ab 取得最大值，其最大值为18．所以2218b =．解得3,6b a ==．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90,ABC BC ∠=︒=2,AC =，且1111,AA AC AA AC ⊥=．（Ⅰ）求侧棱1A A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离．【解】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．（Ⅰ）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ，所以1A AD ∠为1A A 与面ABC 所成的角．因为1111,AA AC AA AC ⊥=，所以145A AD ∠=︒为所求．（Ⅱ）作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ．又D 是AC 的中点，2,BC AC ==所以11,DE AD AD ===，11tan A DA ED DE∠== 故160A ED ∠=︒为所求．（Ⅲ）解法一：由点C 作平面11A ABB 的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面11A ABB 的距离．连结HB ，由于AB BC ⊥，得AB HB ⊥．又1A E AB ⊥，知1//HB A E ，且//BC ED ，所以160HBC A ED ∠=∠=︒．所以sin 60CH BC =︒= 解法二：连结1A B ．根据定义，点C 到面11A ABB 的距离，即为三棱锥1C A AB -的高h ．由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=，即322312231⨯⨯=⨯h ．所以3=h 为所求．24．（本小题满分12分）设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动,t s 单位长度后得曲线1C ．（Ⅰ）写出曲线1C 的方程；（Ⅱ）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t sA 对称；（Ⅲ）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明34t s t =-且0t ≠．【解】本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力．（Ⅰ）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+．（Ⅱ）证明：在曲线C 上任取一点111(,)B x y ．设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有2221t x x =+，2221sy y =+．所以1212,x t x y s y =-=-．代入曲线C 的方程，得2x 和2y 满足方程：3222()()s y t x t x -=---，即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上．反过来，同样可以证明，在曲线1C 上的点关于点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（Ⅲ）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，所以，方程组33,()().y x x y x t x t s ⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩ 有且仅有一组解．消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根．所以0t ≠并且其根的判别式43912()0t t t t s ∆=---=．即⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t所以t t s -=43且0t ≠．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，112101,145b b b b =++⋅⋅⋅+=．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项n b ；（Ⅱ）设数列{}n a 的通项1log (1)n a na b =+（其中0a >，且1a ≠），记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11log 3a nb +的大小，并证明你的结论．【解】本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．（Ⅰ）设数列{}n b 的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以32n b n =-．（Ⅱ）由32n b n =-，知11log (11)log (1)log (1)432n a a a S n =++++⋅⋅⋅++- 11log [(11)(1)(1)]432a n =++⋅⋅⋅+-，11l o g l o 13a nb += 因此要比较n S 与11log 3a n b +的大小，可先比较11(11)(1)(1)432n ++⋅⋅⋅+-与313+n 的大小．取1n =有11+>取2n =有1(11)(1)4++>……由此推测11(11)(1)(1)432n ++⋅⋅⋅+>- ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当1a >时，11log 3n a n S b +>．当01a <<时，11log 3n a n S b +<．下面用数学归纳法证明①式．（ⅰ）当1n =时已验证①式成立．（ⅱ）假设当(1)n k k =≥时，①式成立，即11(11)(1)(1)432k ++⋅⋅⋅+>-．那么，当1n k =+时，1111(11)(1)(1)(1))4323(1)231k k k ++⋅⋅⋅++>+-+-+2)k =+．因为)()()()()332323234313231k k k k k ⎤+-+++-=⎥+⎣⎦()013492>++=k k ，2)k +>=因而111(11)(1)(1)(1)43231k k ++⋅⋅⋅++>-+ 这就是说①式当1n k =+时也成立．由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立．由此证得：当1a >时，11log 3n a n S b +>．当01a <<时，11log 3n a n S b +<．。

1998年北京高考文科数学真题及答案

1998年北京高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：，，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2，移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0，即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ．设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)．依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)，得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大．由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

1998年陕西高考文科数学真题及答案

1998年陕西高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：，，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-，．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分．三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2，移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0，即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ．设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)．依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}．故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离．在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)，得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)．将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大．由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号．由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。

一九九八年高考数学试题及答案

一九九八年高考数学试题及答案
1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。

答案：函数f(x)的最小值为1。

2. 计算下列极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x + 1)]。

答案：极限值为1。

3. 求以下不定积分：∫(3x^2 - 2x + 1) dx。

答案：积分结果为x^3 - x^2 + x + C。

4. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -1)，求向量a与向量b的点积。

答案：向量a与向量b的点积为-1。

5. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a = 2，b = 3，求双曲线的渐近线方程。

答案：双曲线的渐近线方程为y = ±(3/2)x。

6. 计算以下定积分：∫[0, π] sin(x) dx。

答案：定积分的值为2。

7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求该数列的第10项。

答案：该数列的第10项为19。

8. 求以下二阶导数：y = x^3 - 3x^2 + 2x。

答案：二阶导数为6x - 6。

9. 已知抛物线方程为y = ax^2 + bx + c，且抛物线通过点(1, 1)和
(-1, 3)，求a的值。

答案：a的值为1。

10. 计算以下概率：从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求抽到至少一个蓝球的概率。

答案：抽到至少一个蓝球的概率为7/12。

结束语：以上为一九九八年高考数学试题及答案，希望对同学们的复习有所帮助。

1998年全国Ⅱ高考数学试题(理)

1998年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学参考公式：三角函数的积化和差公式：[]1sin cos sin()sin()2αβαβαβ=++- []1cos sin sin()sin()2αβαβαβ=+--[]1cos cos cos()cos()2αβαβαβ=++-[]1sin sin cos()cos()2αβαβαβ=-+--正棱台、圆台的侧面积公式1()2S c c l ='+台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长．球的体积公式：343V r π=球，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin 600的值是A ．12B ．12-CD．2．函数||(1)x y a a =>的图像是D3．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化成直角坐标方程为A ．22(2)4x y ++= B ．22(2)4x y +-=C ．22(2)4x y -+=D ．22(2)4x y ++=4．两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=垂直的充要条件是A ．12120A AB B +=B ．12120A A B B -=C ．12121A A B B =- D ．12121A A B B =5．函数1()(0)f x x x=≠的反函数1()f x -＝ A ．(0)x x ≠ B ．1(0)x x≠ C ．(0)x x -≠D ．1(0)x x-≠ 6．已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在()0,2π内α的取值范围是A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120°B ．150°C ．180°D ．240°8．复数i -的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A 12iB ．12i ±C ．12i ±+ D ．12i9．如果棱台的两底面积分别是S ，S '，中截面的面积是0S ，那么A．=B ．0S =C ．02S S S '=+D ．202S SS '=10．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，A ．B ．C ． D．11．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有A ．90种B ．180种C ．270种D ．540种12．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．B．C ．2D14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．1arccos2 B．1arcsin 2 C．1arccos 2D．1arcsin 2-15．在等比数列{}n a 中，11a >，且前n 项和n S 满足11lim n n S a →∞=，那么1a 的取值范围是 A ．()1,+∞ B ．()1,4 C ．()1,2D．(第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．16．设圆过双曲线221916x y -=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．17．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为（用数字作答）．18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD满足条件时，有111AC B D ⊥．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．） 19关于函数()4sin(2)()3f x x x R π=+∈，有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写为4cos(2)3y x π=-；③()y f x =的图像关于点(,0)6π-对称；④()y f x =的图像关于直线6x π=-对称．其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）A BCDA 1D 1B 1C 1三、解答题：本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20．（本小题满分10分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设2a c b +=，3A C π-=．求sin B 的值．以下公式供解题时参考：sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=，sin sin 2cossin22θϕθϕθϕ+--=，cos cos 2cos cos 22θϕθϕθϕ+-+=，cos cos 2sin sin22θϕθϕθϕ+--=- 21．（本小题满分11分）如图，直线1l 和2l 相交于点M ，1l ⊥2l ，点1N l ∈．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等，若△AMN为锐角三角形，||AM =||3AN =且||6BN =．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程． 22．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经常常后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）． 23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90ABC ∠=，2BC =，AC =11AA A C ⊥，11AA A C =．（1）求侧棱1AA 与底面ABC 所成角的大小；（2）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成二面角的大小；（3）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离．24．（本小题满分12分）设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得到曲线1C ．lABCA 1B 1C 1（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明34t s t =-且0t ≠．25．（本小题满分12分）已知数列{}n b 是等差数列，11b =，1210145b b b +++=．（1）求数列{}n b 的通项n b ；（2）设数列{}n a 的通项1log (1)n a na b =+（其中0a >，且1a ≠），记n S 是数列{}n a 的前n 项和．试比较n S 与11log 3a nb +的大小，并证明你的结论．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算．）1．D 2．B 3．B 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．A 13．B 14．B 15．D 二、填空题（本题考查基本知识和基本运算．）16．31617．179 18．AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 19．②，③ 三、解答题20．本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．解：由正弦定理和已知条件a +c =2b 得 sin A +sin C =2sin B .由和差化积公式得2sin 2C A +cos 2CA -=2sinB . 由A +B +C =π 得 sin 2C A +=cos 2B，又A －C =3π 得 23cos 2B =sin B ，所以23cos 2B =2sin 2B cos 2B.因为0<2B <2π，cos 2B ≠0，所以sin 2B =43，从而cos 2B =4132sin 12=-B所以sinB=83941323=⨯. 21．本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0），（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，p =|MN |. 所以 M （2p -，0），N （2p，0）. 由|AM |= 17 ，|AN |=3 得（x A +2p ）2+2px A =17， ① （x A －2p）2+2px A =9. ②由①，②两式联立解得x A =p 4.再将其代入①式并由p >0解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,2;1,4AA x p x p 或因为ΔAMN 是锐角三角形，所以2p> x A ，故舍去⎩⎨⎧==22A x p 所以p =4，x A =1. 由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p=4. 综上得曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥ l 1，AD ⊥ l 2，BF ⊥ l 2，垂足分别为E 、D 、F . 设A （x A ，y A ）、B （x B ，y B ）、N （x N ，0）. 依题意有x A =|ME |=|DA |=|AN |=3，y A =|DM |=2222=-DAAM，由于ΔAMN 为锐角三角形，故有x N =|ME |+|EN |=|ME |+22AE AN -=4x B =|BF |=|BN |=6.设点P （x ，y ）是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合｛（x ，y ）|（x －x N ）2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0｝.故曲线段C 的方程为y 2=8（x －2）（3≤x ≤6，y >0）.22．本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小.根据题设，有4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），得b =a a+-230（0<a <30）. ① 于是 y =abk=aa a k +-230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k≥()2642234+⋅+-a a k18k =，当a +2=264+a 时取等号，y 达到最小值.这时a =6，a =－10（舍去）. 将a =6代入①式得b =3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大.由题设知 4b +2ab +2a =60（a >0，b >0），即 a +2b +ab =30（a >0，b >0）.因为 a +2b ≥2ab 2，所以 ab 22+ab ≤30，当且仅当a =2b 时，上式取等号. 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18.即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2=18.解得b =3，a =6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．23．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．Ⅰ．解：作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，所以∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角. 因为AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，所以∠A 1AD =45º为所求.Ⅱ．解：作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB . 所以∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角. 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC .又D 是AC 的中点，BC =2，AC =23，所以DE =1，AD =A 1D =3， tg ∠A 1ED =DEDA 1=3. 故∠A 1ED =60º为所求.Ⅲ．解法一：由点C 作平面A 1ABB 1的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面A 1ABB 1的距离.连结HB ，由于AB ⊥BC ，得AB ⊥HB .又A 1E ⊥AB ，知HB ∥A 1E ，且BC ∥ED ，所以∠HBC =∠A 1ED =60º 所以CH =BC sin60º=3为所求. 解法二：连结A 1B .根据定义，点C 到面A 1ABB 1的距离，即为三棱锥C －A 1AB 的高h . 由ABC A AB A C V V --=11锥锥得D A S h S ABC B AA 131311∆∆=，即322312231⨯⨯=⨯h所以3=h 为所求.24．本小题主要考查函数图像、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法以及综合运用数学知识解决问题的能力.Ⅰ．解：曲线C 1的方程为y =（x －t ）3－（x －t ）+s .Ⅱ．证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）.设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有2221t x x =+， 2221sy y =+.所以 x 1=t －x 2， y 1=s －y 2. 代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：s －y 2=（t －x 2）3－（t －x 2），即y 2=（x 2－t ）3－（x 2－t ）+ s ，可知点B 2（x 2，y 2）在曲线C 1上. 反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上. 因此，曲线C 与C 1关于点A 对称.Ⅲ．证明：因为曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，所以，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=st x t x y xx y )()(33有且仅有一组解.消去y ，整理得3tx 2－3t 2x +（t 3－t －s ）=0，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根.所以t ≠0并且其根的判别式Δ=9t 4－12t （t 3－t －s ）=0.⎩⎨⎧=--≠.0)44(,03s t t t t 所以 t t s -=43且 t ≠0.25．本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力.解：Ⅰ．设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1452)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==.3,11d b 所以 b n =3n －2.Ⅱ．由b n =3n －2，知S n =log a （1+1）+ log a （1+41）+…+ log a （1+231-n ）= log a [（1+1）（1+41） (1)231-n ）]，31log a b n +1= log a 313+n . 因此要比较S n 与31log a b n +1的大小，可先比较（1+1）（1+41）……（1+231-n ）与313+n 的大小.取n =1有（1+1）>3113+⋅，取n =2有（1+1）（1+41）>3123+⋅， ……由此推测（1+1）（1+41）……（1+231-n ）>313+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.下面用数学归纳法证明①式. （ⅰ）当n =1时已验证①式成立.（ⅱ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+41）……（1+231-k ）>313+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+()2131-+k ）>313+k （1+131+k ）=13133++k k （3k +2）.第 11 页 (共 11 页)110988818.doc 因为()[]333343231313+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k k ()()()()22313134323+++-+=k k k k ()013492>++=k k ，所以13133++k k （3k +2）>().1134333++=+k k 因而（1+1）（1+41）……（1+231-k ）（1+131+k ）>().1133++k 这就是说①式当n=k +1时也成立. 由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：当a >1时，S n >31log a b n +1. 当0<a <1时，S n <31log a b n +1.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合M=｛x │0≤x<2｝,集合N=｛x │x 2-2x-3<0｝,集合M ∩N 为 (A)｛x │0≤x<1｝ (B)｛x │0≤x<2｝ (C)｛x │0≤x ≤1｝ (D)｛x │0≤x ≤2｝ [Key] B(2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a 为32)(23)(6)(3)(D C B A ---[Key] B(3)函数)x 31x 21(tg y -=在一个周期内的图象是[Key] A(4)已知三棱锥D-ABC 的三个则面与底面全等，且AB=AC=3，BC=2，则BC 为棱,以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小是32)D (2)C (31arccos)B (33arccos)A (ππ[Key] C（5）函数x2cos )x 23sin(y +-π=的最小正周期是 ππππ4)D (2)C ()B (2)A ([Key] B(6)满足arccos(1-x)≥arccosx 的x 的取值范围是]1,21)[(]21,0)[(]0,21)[(]21,1)[(D C B A --[Key] D(7)将y=2x 的图象(A)先向左平行移动1个单位 (B)先向右平行移动1个单位 (C)先向上平行移动1个单位 (D)先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象.[Key] D(8)长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是ππππ200)(50)(225)(220)(D C B A[Key] C(9)曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2111t y tx （t 是参数，t ≠0）,它的普通方程是 11)(1)1(1)()1()2()(1)1()1)((2222+-=--=--==--x xy D x y C x x x y B y x A[Key] B(10)函数y=cos 2x-3cosx+2的最小值为6)(41)(0)(2)(D C B A -[Key] B(11)椭圆C 与14)2(9)3(22=-+-y x 椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是 (A) 19)3(4)2(22=+++y x(B) 14)3(9)2(22=-+-y x (C) 14)3(9)2(22=+++y x (D) 19)3(4)2(22=-+-y x[Key] A(12)圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是337)(637)(32)(332)(ππππD C B A[Key] D(13)定义在区间(-∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间［0,+∞)的图象与f(x)的图象重合.设a>b>0,给出下列不等式①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a), 其中成立的是(A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④ [Key] C（14）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是 (){}20<<x x A (){}5.20<<x x B (){}60<<x x C (){}30<<x x D[Key] C(15)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 (A)150种 (B)147种 (C)144种 (D)141种[Key] D(16)已知92⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xx a 的展开式中x 3的系数为49，常数a 的值为_________. [Key] 4(17)已知直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ则极点到该直线的距离是_______。

[Key] 22(18)︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为__________[Key]32(19)已知m 、l 是直线,α、β是平面,给出下列命题: ①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥α; ②若l 平行于α,则l 平行于α内的所有直线; ③若m α, l β,且l ⊥m,则α⊥β; ④若l β,且l ⊥α,则α⊥β;⑤若m α, l β,且α∥β,则m ∥l.其中正确的命题的序号是___________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上) [Key] ①④(20)已知复数平面上所对应的点分别为P 、Q ，证明△OPQ 是等腰直角三角形（其中O 为原点）[Key] 本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识,考查运算能力和逻辑推理能力.满分10分.解法一：)4sin()4cos(2222)6sin()6cos(2123π+π=+=ωπ-+π-=-=i i i i z------2分于是分所以的夹角为与因为分7,2)12(1255)125sin()125cos()43sin()43cos()]3sin()3[cos()12sin()12cos()12sin()12cos(32OQOP OQ OP i i i z i z i z ⊥π=π--ππ+π=π+π⨯π-+π-=ωπ-+π-=ωπ+π=ω由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ 为等腰直角三解形解法二:分于是分所以因为分所以因为6||||41),4sin()4cos(22222),6sin()6cos(21232243323243i z z z z z z z z i i i z i i z =ωω=ωω⋅ωω=ωω=ωπ+π=+=ω-=π-+π-=-=由此得OP ⊥OQ,│OP │=│OQ │.由此知△OPQ 有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ 为等腰直角三角形.---10分(21)(本小题满分11分)已知数列｛a n ｝,｛b n ｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q, 其中p>q,且p ≠1,q ≠1.设c n =a n +b n ,s n 为数列｛c n ｝的前n 项和.求1n n n S S lim-∞→[Key] 本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.解:分3)1q )(1p (b )1p )(1q (a )1q )(1p (b )1p )(1q (a S S 1q )1q (b 1p )1p (a S 1n 11n 1n 1n 11n n n 1n 1n --+----+--=--+--=---,分两种情况讨论. (Ⅰ)p>1.)1q (a )1q (a p )p1p q )(1p (b )p 11)(1q (a )p1p q )(1p (b )p 11)(1q (a lim p )p1p q )(1p (b )p 11)(1q (a [p )p1p q )(1p (b )p 11)(1q (a [p lim S S lim,1pq o ,0q p 111n 1n 1n 11n 1n n n 1n 1n 1n 1n 1n 11n 11n n n n 1n 1nn 1n n n --⨯=--+----+--=--+----+--=∴<<>>----∞→-----∞→-∞→=p. -------------7分 (Ⅱ)p<1.∵ 0<q<p<1,1n nn S S lim-∞→ 1)1p (b )1q (a )1p (b )1q (a )1q )(1p (b )1p )(1q (a )1q )(1p (b )1p )(1q (a lim11111n 11n 1n 1n 1n =--------=--+----+--=--∞→-------11分(22)(本小题满分12分)甲、乙两地相距S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a 元.(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?[Key] 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分.（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v ，全程运输成本为)(2bv v as v s bv v s a y +=+⨯=-------------4分故所求函数及其定义域为.],0(),(c v bv v aS y ∈+=. -------------5分(Ⅱ)依题意知S,a,b,v 都为正数,故有ab S bv v aS 2)(≥+))(()]()[()()(bcv a v c vc S bc bv c vv a S bc c a S bv v a S --=-+-=+-+因为c-v ≥0,且a>bc 2,故有 a-bcv ≥a-bc 2>0,也即当v=c 时,全程运输成本y 最小.(23)(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.(Ⅰ)证明AD ⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED ⊥面A 1FD 1;()11EDA F 111V ED A F 2AA IV --=的体积，求三棱锥设[Key] 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分.解:(Ⅰ)∵AC 1是正方体, ∴AD ⊥面DC 1. 又D 1F 面DC 1, ∴AD ⊥D 1F.-------------2分(Ⅱ)取AB 中点G ,连结A 1G ,FG .因为F 是CD 的中点,所以GF 、AD 平行且相等,又A 1D 1、AD 平行且相等,所以GF 、A 1D 1平行且相等,故GFD 1A 1是平行四边形,A 1G ∥D 1F.设A 1G 与AE 相交于点H,则∠AHA 1是AE 与D 1F 所成的角,因为E 是BB 1的中点,所以Rt △A 1AG ≌Rt △ABE,∠GA 1A=∠GAH ，从而∠AHA 1=90°,即直线AE 与D 1F 所成角为直角. -------------5分(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD ⊥D 1F,由(Ⅱ)知AE ⊥D 1F,又AD ∩AE=A,所以D 1F ⊥面AED.又因为D 1F 面A 1FD 1,所以面AED ⊥面A 1FD 1. -------------7分 (Ⅳ)连结GE,GD 1.∵FG ∥A 1D 1,∴FG ∥面A 1ED 1, ∵AA 1=2,面积S △A1GE=S □ABB1A1-2S △A1AG--S △GBE=23(24)(本小题满分12分)设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x 1,x 2满足a 1x x 021<<<(Ⅰ)当x ∈(0,x 1)时,证明x<f(x)<x 1;2x x x x )x (f )II (100<=对称，证明关于直线设函数的图象.[Key] 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x 1,x 2是方程f(x)-x=0的根,所以 F(x)=a(x-x 1)(x-x 2). ------------2分当x ∈(0,x 1)时,由于x 1<x 2,得(x -x 1)(x -x 2)>0,又a >0,得 F(x)=a(x -x 1)(x -x 2)>0, 即x<f(x). ------------4分所以x 1-x>0,1+a(x -x 2)=1+ax -ax 2>1-ax 2>0. 得 x 1-f(x)>0.由此得f(x)<x 1. ------------7分 (Ⅱ)依题意知a 2b x 0-=因为x 1,x 2是方程f(x)-x=0的根,即x 1,x 2是方程ax 2+(b -1)x+c=0的根.a 21ax ax a 21)x x (a a 2b x ]9a1b x x 2121021-+=-+=-=--=+分所以,因为ax 2<1,所以2x a 2ax x 110=<-----------12分(25)(本小题满分12分)设圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线ι:x-2y=0的距离最小的圆的方程.[Key] 本小题主要考查轨迹的思想,求最小值的方法,考查综合运用知识建立曲线方程的能力.满分12分.解法一:设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P 到x 轴,y 轴的距离分别为│b │,│a │. 由题设圆P 截X 轴所得劣弧对的圆心角为，︒90，知圆P 截X 轴的弦长为r 2，故 r 2=2b 2 ------------2分又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有 r 2=a 2+1. 从而得2b 2-a 2=1.-------------5分又点P(a,b)到直线x -2y=0的距离为5|b 2a |d -=-------------7分所以5d 2=│a-2b │2 =a 2+4b 2-4ab ≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2) =2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时上式等号成立,此时5d 2=1,从而d 取得最小值. -------------10分由此有解此方程组得由于r 2=2b 2知2r = 于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分解法二:同解法一得)1(,d 5bd 54b 4a d5b 2a 75|b 2a |d 222+±=±=-∴-=得分将a 2=2b 2-1代入①式,整理得01d 5db 54b 222=++± ②把它看作b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即 △=8(5d 2-1)≥0, 得 5d 2≥1.所以5d 2有最小值1，从而d 有最小值5510分将其代入②式得2b 2±4b+2=0.解得b=±1. 将b=±1代入r 2=2b 2,得r 2=2.由r 2=a 2+1得a=±1. 综上a=±1,b=±1,r 2=2.由│a-2b │=1知a,b 同号. 于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2. -------------12分。