人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.2知识点总结含同步练习及答案
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会判断必要条件、充分条件与充要条件． 二、知识清单
充分条件与必要条件
三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述： 充分条件与必要条件 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，同时也称由 p 可以推 出 q ，记作 p ⇒ q ，并且说 p 是 q 的充分条件（sufficient condition）， q 是 p 的必要 条件（necessary condition）． 充要条件 一般地，如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作 p ⇔ q ．此时， p 是 q 的充分必要条 件（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p ⇔ q ，那么 p 与 q 互为充要条件． 例题： 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． （1）在 △ABC 中，p : A > B，q : BC > AC ； （2）p : x > 1 ，q : x 2 > 1 ； （3）p : (a − 2)(a − 3) = 0，q : a = 3 ； （4）p : a < b ，q : 解：（1）由三角形中大角对大边可知，若 A > B ，则 BC > AC ；反之，若 BC > AC ，则 A > B．因此 p 是 q 的充要条件． （2）由 x > 1 可以推出 x 2 > 1；由 x2 > 1 得 x < −1 或 x > 1，不一定有 x > 1 ．因此 p 是 q 的充分不必要条件． （3）由 (a − 2)(a − 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3，不一定有 a = 3；由 a = 3 可以得出 (a − 2)(a − 3) = 0 ．因此 p 是 q 的必要不充分条件．
人教新课标版数学高二数学选修1-1【测试题】第一章 常用逻辑用语题(含详解)
第一章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析本题考查充要条件的判断，∵a>0⇒|a|>0，|a|>0⇒/a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．答案 A2．(2010·广东佛山模拟)命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为()A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0B．∀x∉R，x2－2x＋4≤0C．∃x∈R，x2－2x＋4>0D．∃x∉R，x2－2x＋4>0答案 C3．(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．(2010·湖南)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析 对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0，故选B. 答案 B5．若命题“如果p ，那么q ”为真，则( ) A ．q ⇒p B ．綈p ⇒綈q C ．綈q ⇒綈pD ．綈q ⇒p解析 由题可知p ⇒q 成立，则它的逆否命题成立，即綈q ⇒綈p .答案 C6．下列说法正确的是( ) ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④答案 B7．(2010·山东)设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C8．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C ．∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( ) A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．对于命题p ：对任意的实数x ，有－1≤sin x ≤1，q ：存在一个实数使sin x ＋3cos x ＝3成立，下列结论正确的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧綈qC ．綈q ∧綈pD ．q ∧p解析 p 为真命题，而sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)≤2，故q 为假命题．∴p ∧綈q 为真命题．答案 B11．下列四个命题中，其中真命题是( ) ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A ．①② B ．①②③④ C ．②③④D ．①③④解析 ①逆命题：“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”为真命题． ②逆命题：“若a ⊥(b －c )，则a ·b ＝a ·c ”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题． 答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎨⎧a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >014．已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q与綈q同时为假命题，则实数x的取值范围为________．解析由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，|x－2|≤1，得1≤x≤3，∵p∧q与綈q同时为假命题，∴q为真命题，p为假命题，∴1≤x<2.答案1≤x<215．已知直线l1：2x－my＋1＝0与l2：x＋(m－1)y－1＝0，则“m ＝2”是l1⊥l2的________条件．解析若l1⊥l2，只须2×1＋(－m)(m－1)＝0，即m2－m－2＝0，即m＝2，或m＝－1，∴m＝2是l1⊥l2的充分不必要条件．答案充分不必要16．下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；②若a，b∈R，则2a<2b是log12a>log12b的必要不充分条件；③把函数y＝sin(－3x)(x∈R)的图像上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y＝sin(－3x－π4)(x∈R)的图像；④若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为2π3，则|a＋b|＝ 3.其中正确的说法是________． 解析 ①正确．②若2a <2b ，则a <b ，当a 或b 为负数时，log 12a >log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a <2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图像上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x－π4)]＝sin(－3x ＋3π4)，故③不正确． ④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°； (2)有一些奇函数的图像过原点；(3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.分析 找出命题中所含的全称量词或存在量词，没有的结合命题的具体含义进行判断．解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解 逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解 由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}． ∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝R ⇒/ ∈(2,3]＝M ∩P . 而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x ∈(M ∩P )⇒x ∈M ，或x ∈P .故“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)有些质数是奇数；(3)所有的方程都不是不等式； (4)自然数的平方是正数． 解 原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题． (2)所有质数都不是奇数，为假命题． (3)至少存在一个方程是不等式，为假命题． (4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈q是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解由⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎨⎧f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎨⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9，故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．22．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1.如果p 为假命题，那么a >1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0， 即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题， 那么0<a <12或a >52.高中数学-打印版精心校对 如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52. ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1.如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52. ∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．。
人教版高二数学选修1-1 第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C ”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1 C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0 的两个实根，试分析a＞2 且b＞1 是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程a x＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3 成立”中的x=1，y=2 所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8 或6是30 的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0 没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8 是30 的约数(假)，q：6 是30 的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0 有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0 的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40 能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0 有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2 是偶数，q：2 是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1) p或q：2 是偶数或质数，真命题p且q：2 是偶数且是质数，真命题非p：2 不是偶数，假命题．(2)p或q：0 的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2 且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1) 2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x +1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0 的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0 的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1 C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，s in x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，s in x≥1B．⌝p：∀x∈R，s in x≥1C．⌝p：∃x∈R，s in x>1 D．⌝p：∀x∈R，s in x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1) ∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180 度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠B D．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4 个B．3 个C．2 个D．0 个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1 B．x＜1 C．x＜－1 D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5 的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C 3．C 4．D 5．B 6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x > 0 ，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评2 有答案
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评2 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题【解析】因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．【答案】 C2．有下列四个命题：(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1 C．2D．3【解析】3．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x －4＝0的根”．A．1B．2 C．3D．4【解析】①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．【答案】 C4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2 C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B5．在下列四个命题中，真命题是()A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若ac>bc，则a>bD．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D.【答案】 D二、填空题6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________．【答案】若x，y不全为零，则xy≠07．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)【答案】②和③①和③①和②8．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中，真命题的序号为________.【解析】①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若a>b>0，则3a>3b>0”是真命题，故其逆否命题是真命题；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题．所以应填①②③.【答案】①②③三、解答题9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.原命题是假命题．逆否命题也是假命题．逆命题是假命题．否命题也是假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．[能力提升]1．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.【答案】 A2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为()A．0B．1 C．2D．3【解析】命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.【答案】 B3．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________.【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立． ∴⎩⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2， ∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]4．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．。
人教新课标版数学高二选修1-1检测 第1章《常用逻辑用语》综合检测
综合检测(一)第一章常用逻辑用语(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句是命题的为()A．你到过北京吗？B．对顶角相等C．啊！我太高兴啦！D．x2＋2x－1＞0【解析】A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B 是命题．【答案】 B2．下列说法正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真【解析】一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．【答案】 D3．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1＜0”的否定是()A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1＞0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋1＜0【解析】特称命题的否定是全称命题，“x20－2x0＋1＜0”的否定是“x2－2x ＋1≥0”．【答案】 C4．(2013·石家庄高二检测)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题【解析】 由真值表知，若p 真q 假，则p ∧q 假，p ∨q 真，綈p 假，綈q 真，只有D 正确．【答案】 D5．(2013·东营高二检测)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2＜bc 2B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b【解析】 ∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，且ab ＞b 2，B 正确．【答案】 B6．“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是( )A ．若x 2≠1，则x ＝1或x ＝－1B ．若x 2＝1，则x ≠1且x ≠－1C ．若x 2≠1，则x ≠1或x ≠－1D ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠－1【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．【答案】 D7．设p ：log 2x ＜0，q ：(12)x －1＞1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由log2x＜0，得0＜x＜1，即p：0＜x＜1；由(1x－1＞1得x－1＜0，∴x＜1，即q：x＜1；2)因此p⇒q但q p.【答案】 B8．下列命题的否定是真命题的是()A．有理数是实数B．末位是零的实数能被2整除C．∃x0∈R,2x0＋3＝0D．∀x∈R，x2－2x＞0【解析】只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A、B、C为真命题，D为假命题．【答案】 D9．下列有关命题说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．“1是偶数或奇数”为假命题D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；∵由x＝－1⇒x2－5x－6＝0，而x2－5x－6＝0时x＝－1或x＝6，∴由x 2－5x－6＝0x＝－1.因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分不必要条件，故B错；∵1是奇数，∴C错．D中原命题为真，其逆否命题也为真，故D正确．【答案】 D10．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③命题“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b ”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解析】 ①中，x 2＋2x ＞4x －3⇒(x －1)2＋2＞0恒成立，①真．②中，由log 2x ＋log x 2≥2，且log 2x 与log x 2同号，∴log 2x ＞0，∴x ＞1，故②为真命题．③中，易知“a ＞b ＞0且c ＜0时，c a ＞c b ”．∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．④中，p 、q 均为真命题，则命题p ∧綈q 为假命题．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是________．【答案】 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.12．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 依题意，⎩⎨⎧f (1)＝3－m ≤0f (2)＝8－m ＞0，∴3≤m ＜8. 【答案】 [3,8)13．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵由綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]14．在下列四个结论中，正确的序号是________．①“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件；②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．【解析】 ①当x ＝1时，x 2＝x 成立，反之，不一定，所以“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件，故①正确；②函数y ＝cos 2kx －sin 2kx ＝cos 2kx ，其最小正周期T ＝2π|2k |＝π|k |，当k ＝1时，T ＝π；当π|k |＝π时，k ＝±1，所以②不正确；③转化为等价命题，即判断“x 2＝1”是“x ＝1”的充分不必要条件，由于x 2＝1时，x ＝±1，不一定x ＝1，所以不充分，即③不正确；④a ＋c ＞b ＋da ＞b 且c ＞d ，但a ＞b 且c ＞d 时，必有a ＋c ＞b ＋d ，所以④正确．综上可知，正确结论为①④.【答案】 ①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p的否定并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．【解】(1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．∵a、b、c、d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，∴π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.故p是真命题，∴綈p是假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题；否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d.”真命题；逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解，q：x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解；(2)p：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.【解】(1)p或q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解或x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真)p且q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解且x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真)非p：x＝2不是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(假)(2)p或q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R或不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.(假)p且q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.(假)非p：不等式x2－4x＋4＞0的解集不为R.(真)17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x ∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2≤9，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[2,3]，求实数m的值．(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围．【解】(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，∵A∩B＝[2,3]，∴m＝5.(2)∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁R B，∴m－3＞3或m＋3＜－1，∴m＞6或m＜－4.18．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．【解】甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞13或a＜－1.乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a＜－12或a＞13}．(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|13＜a≤1或－1≤a＜－12}．。
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习及答案
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
真 真 真 假
非（not）
非（not） 一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ¬p 读作“非 p ”或“ p 的否 定”．若 p 是真命题，则 ¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则 ¬p 必是真命题．
p
真 假
¬p
假 真
复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题． 例题： 将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断它们的真假． （1）p : √2 是无理数，q : 3 不是无理数； （2）p : 方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，q : 方程 x2 + 2x + 1 = 0 两根的绝对 值相等； （3）p : 3 是 19 的约数，q : 3 是 27 的约数． 解：（1） p ∧ q ：√2 是无理数且 3 不是无理数；p ∨ q ：√2 是无理数或 3 不是无理数． 由于 p 是真命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是真命题， p ∨ q 是真命题． （2） p ∧ q ：方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根且两根的绝对值相等；p ∨ q ：方程 x2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根或两根的绝对值相等． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． （3）p ∧ q ：3 是 19 的约数且 3 是 27 的约数；p ∨ q ：3 是 19 的约数或 3 是 27 的约 数． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． 写出下列命题的否定，并判断真假． （1）p ：y = cos x 是奇函数； （2）p ： （3）p ：四个角都相等的四边形是正方形； （4）p ：一元二次方程至多有两个解． 解：（1）¬p : y = cos x 不是奇函数．是真命题． （2）¬p : （3）¬p : 四个角都相等的四边形不都是正方形．是真命题． （4）¬p : 一元二次方程至少有三个解．是假命题．
人教A版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题(解析版)
人教A 版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题（解析版）一、单选题 1．命题“c R ，22ac bc <”的否定是（ ）.A ．c R ∀∉，22ac bc ≥B ．c R ∃∉，22ac bc ≥C ．c R ，22ac bc ≥D ．c R ∃∈，22ac bc ≥【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】 因为命题“c R ，22ac bc <”为全称命题，所以其否定为特称命题，即c R ∃∈，22ac bc ≥.故选：D .2．已知命题p ：∃x 0∈（1,+∞），0012x x +=；命题q ：∀x ∈R ，9x 2﹣6x +2＞0.那么下列命题不正确的是（ ） A ．p q ⌝∨ B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ∨【答案】B 【分析】由命题描述知p 为假，q 为真，判断由它们用逻辑联结词构成命题的真假，进而确定假命题的选项即可. 【详解】当且仅当x 0＝1时，0012x x +=，故命题p 为假；对于方程9x 2﹣6x +2＝0的2(6)4920∆=--⨯⨯<.故命题q 为真，∴p ⌝为真，q ⌝为假，故选项中只有p q ∨⌝为假， 故选：B.3．“0a b >>”是“222a b ab +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】2202a b a b ab >>⇒+>，充分性成立，222a b ab a b +<⇒≠，a ，b R ∈，必要性不成立，故选A ．【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题.4．已知命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:；命题2:,10q x R x ∀∈+>.则下面结论正确的是（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∧是假命题C ．p ⌝是真命题D ．p 是假命题【答案】A 【分析】先确定命题,p q 真假性，再判断复合命题真假性. 【详解】,cos()cos 2x x x ππ∃=-=∴命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:为真命题；2,110x R x ∀∈+≥>∴命题2:,10q x R x ∀∈+>为真命题；因此p q ∧是真命题，p ⌝是假命题， 故选：A 【点睛】本题考查判断命题真假以及复合命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．已知集合A ={x |x >5}，集合B ={x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，5) B ．(-∞，5] C ．(5，+∞) D ．[5，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】由“x ∈A ”是命题 “x ∈B ”的充分不必要条件可得A 是B 的真子集，结合数轴即可得解. 【详解】由题意可知，A ⫋B ，又A ={x |x >5}， B ={x |x >a }，如图所示， 由图可知，a <5. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了命题语言和集合语言的转化，考查转化思想，整体计算量不大，属于简单题.6．设m R ∈，命题“若0m <，则方程20x x m ++=有实根”的逆否命题是（ ） A ．若方程20x x m ++=有实根，则0m < B ．若方程20x x m ++=有实根，则0m ≥ C ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m < D ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m ≥ 【答案】D 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可. 【详解】“0m <”的否定是“0m ≥”，“方程2+0x x m +=有实根”的否定是“方程2+0x x m +=没有实根”， 因此原命题的逆否命题是“若方程2+0x x m +=没有实根，则0m ≥”， 故选：D ． 【点睛】该题考查的是有关写出命题的逆否命题的问题，在解题的过程中，注意原命题与逆否命题之间的关系，原命题确定之后，其逆否命题的形式，属于基础题.7．已知命题p ：()22xxf x -=+是偶函数，命题q ：若21a ≤，则1a ≤，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的判断可得命题p 是真命题，利用不等式的解法可得命题q 为真命题，再由复合命题的真假判断可得选项. 【详解】 因为()()22xx f x f x --=+=，所以函数()f x 是偶函数，所以p 是真命题，p ⌝是假命题，又21a ≤，解得11a -≤≤，满足1a ≤，所以q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∧⌝是假命题，故选：A.8．已知1:2310l x y +-=，2:320l mx y +-=，则命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”的否定是（ ）A ．m ∃∈R ，使1l 与2l 平行B ．m ∃∈R ，使1l 与2l 不平行C ．m R ∀∈，使1l 与2l 平行D ．m R ∀∈，使1l 与2l 不平行【答案】D 【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”， 命题的否定：m R ∀∈，使1l 与2l 不平行， 故选：D9．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题:p x AB ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C 【分析】根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意； 对于B ：若命题:p x AB ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C10．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若AB B =，则A B ⊂”的逆否命题．其中为真命题的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③【答案】D 【分析】根据四种的形式及命题的等价关系，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是 “若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题，故①正确；②中，命题“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；③中，命题若x 2﹣2x +m ＝0有实数解，则440m ∆=-≥，解得1m ，所以若1m ，可得x 2﹣2x +m ＝0有实数解”是真命题，所以“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题是“若x 2﹣2x +m ＝0没有有实数解，则m ＞1”是真命题，故③正确；④中，若A ∩B ＝B ，则B A ⊆，故原命题错误，所以若A ∩B ＝B ，则A ⊂B ”的逆否命题是错误， 故④错误； 故选：D ．11．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有 【答案】B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立； 判断必要性时，写出原命题：1x ≠或2y ≠时，则3x y +≠， 由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若3x y +=，则有1x =且2y =，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件， 故选B 【点睛】关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．12．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案. 【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确；②[][][][][][]012345⋃⋃⋃⋃⋃{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确；④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.二、填空题13．设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要根据题目已知的关系，分别列出推出关系即可得解. 【详解】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，根据已知条件的关系，利用推出关系进行分析.14．若“0[1,2],x ∃∈20010x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围为________.【答案】32a < 【分析】将问题转化为“001x a x ->在[]1,2能成立”，根据函数的单调性以及最值，计算出实数a 的取值范围. 【详解】因为0[1,2],x ∃∈20010x ax -->，所以001x a x ->在[]1,2能成立，所以00max 1a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭且[]01,2x ∈，又因为()1f x x x=-在[]1,2上是增函数，所以()()max 132222f x f ==-=，所以32a <. 故答案为：32a <. 【点睛】本题考查已知特称命题的真假求解参数范围，难度较易.()f x a ≥区间上恒成立的问题可转化为()min f x a ≥；()f x a ≥区间上能成立的问题可转化为()max f x a ≥. 15．已知命题:p x ∃∈R ，||10m x +≤，若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是________.【答案】{|0}m m < 【分析】p ⌝为假命题，则p 为真命题，对m 进行分类讨论，即可求得答案.若p ⌝为假命题，则p 为真命题.当0m ≥时，||110m x +≥>，p 为假命题；当0m <时，取2x m=，则2||112110m x m m -++==-+<=，p 为真命题. 因此若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是{|0}m m <. 故答案为：{|0}m m <. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及其真假性判断、不等式的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用. 16．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <．②函数y =是偶函数，但不是奇函数．③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-．④ 设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)=-y f x 的图象关于y 轴对称．⑤一条曲线2||3y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． 其中正确的有___________________． 【答案】①⑤ 【详解】因为命题①中，利用根与系数的关系可知成立，命题②中，由于函数化简为y=0，因此是奇函数还是偶函数，故错误，命题③，值域不变，错误，命题④中，应该是关系与x=1对称，错误，命题⑤成立，故填写正确命题的序号为①⑤三、解答题17．已知0,1a a >≠，命题:p “函数()x f x a =在()0,∞+上单调递减”；命题:q “关于x 的不等式21204x ax -+≥对一切的x ∈R 恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭根据()f x 的单调递减，可得a 的取值范围；根据命题q 恒成立，可得a 的取值范围．由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题可知命题p 与命题q 一真一假，通过分类讨论即可得a的取值范围． 【详解】p 为真：01a <<q 为真：2410a ∆=-≤，得1122a -≤≤又0,1a a >≠，102∴<≤a 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假（1）当p 真q 假0111122a a a <<⎧⎪⇒<<⎨>⎪⎩ （2）当p 假q 真1102a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩，无解综上，a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了复合命题真假的关系，不等式分类讨论的应用，属于基础题． 18．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0（其中a≠0），q ：实数x 满足302x x -≤- (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (2,3) (2) (1,2] 【详解】试题分析：(1)当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3. 2分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，得2＜x≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x≤3. 4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，5分 所以实数x 的取值范围是(2,3)．7分(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，且p/⇒q ，8分设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则A ⊂B ，又B ＝(2,3]，由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a)(x －a)＜0，9分当a ＞0时，A ＝(a,3a)，有233a a ≤⎧⎨<⎩，解得1＜a≤2；11分 当a ＜0时，A ＝(3a ，a)，显然A∩B ＝∅，不合题意．13分所以实数a 的取值范围是(1,2]．15分考点：解不等式及复合命题，集合包含关系点评：复合命题p ∧q 的真假由命题p ，q 共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为假命题，由若p 是q 的必要不充分条件可得集合p 是集合q 的真子集19．已知命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增；命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立．（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“()p q ∧￢”为真命题，求实数a 的取值范围．【答案】（1）23a ≤<（2）()1,2[3⋃，).+∞【分析】（1）分类讨论2a =恒成立和20a ->时，0<，结果求并集；2p （）为真时，1a >；q ￢为真，即q 为假时，2a <或3a ≥，结果再相交．【详解】解（1）因为命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立为真命题，所以2a =或()2024(2)421023a a a a ->⎧=---⨯<⇒<<⎨⎩综上所述：23a ≤<（2）因为“()p q ∧￢为真命题，故p 真q 假．因为命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增，所以 1.a >q 假，由()1可知2a <或3a ≥所以()[)2311,23,a a a a <≥⎧>⇒∈⋃+∞⎨⎩或 所以实数a 的取值范围为()1,2[3⋃，).+∞【点睛】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．20．已知命题p ：实数x 满足3a x a -<<（其中0a >），命题q ：实数x 满足14x << （1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，求出A ，B ，根据p 与q 均为真命题，即可求出x 的范围； （2）求出A ，B ，通过p 是q 的必要不充分条件，得出B A ⊆，建立不等式组，求解即可.【详解】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，{}13A x x =-<<，{}14B x x =<<， p 与q 均为真命题，则x A B ∈，∴x 的取值范围是()1,3.（2）{}3A x a x a =-<<，{}14B x x =<<， p 是q 的必要不充分条件，∴集合B A ⊆，∴134a a -≤⎧⎨≥⎩，解得43a ≥， 综上所述，a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】1.命题真假的判断（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．（3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．2.从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 21．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x 12m -在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＝x 2﹣4x +t . （1）求实数m 的值；（2）当x ∈[1，9]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】（1）m ＝1（2）﹣42≤t ≤5【分析】(1)利用幂函数的性质即可求解;(2)先求出()f x ,()g x 的值域A ,B ,再利用命题q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A ⫋B ,”,由此即可求解.【详解】(1)∵f (x )=(3m 2﹣2m )x 12m -为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴2321102m m m ⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m =1; (2)由(1)可得12()f x x =,当x ∈[1,9]时,f (x )值域为:[1,3],g (x )=x 2﹣4x +t 的值域为:[t ﹣4,t +45],∴A =[1,3],B =[t ﹣4,t +45];∵命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,且命题q 是命题p 的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题.22．设a R ∈，命题2:[1,2],0p x x a ∃∈->，命题2:,10q x R x ax ∀∈++>.（1）若命题p 是真命题，求a 的范围；（2）若命题()p q ⌝∨为假，求a 的取值范围.【答案】（1）4a <（2）2a ≤-或24a ≤<.【分析】（1）根据存在性问题的求解方法，得到a 与2x 之间的关系，即可求解出a 的范围； （2）根据()p q ⌝∨为假，判断出,p q 的真假，列出对应的不等式即可求解出a 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时，则()2max a x <在[1,2]x ∈成立，解得4a <，∴p 为真时4a <；（2）当q 为真命题时，则240a -<，解得22a -<<，由（1）知p 为真时4a <，由()p q ⌝∨为假可得p 为真q 为假，则42a a <⎧⎨≤-⎩或42a a <⎧⎨≥⎩，则2a ≤-或24a ≤<. 【点睛】本题考查根据命题、含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围，难度较易.其中对于存在性的分析，是求解问题的关键：若()a f x <存在解，则()max a f x <；若()a f x >存在解，则()min a f x >.。
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评4 有答案
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评4 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．p∨qC．¬p D．¬p∧¬q【解析】命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．【答案】 B2．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为假命题【解析】∵¬(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题，故p、q中至少有一个为真命题．【答案】 C3．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的是()A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5＞3C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D．p：Q R；q：N＝N【解析】由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．【答案】 B4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“¬p”是()A.3∉AB.3∈(∁U A)∩(∁U B)C.3∈∁U BD.3∉(A ∩B )【解析】 由p ：3∈(A ∪B )，可知¬p ：3∉(A ∪B )，即3∈∁U (A ∪B )，而∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，故选B.【答案】 B5．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )【解析】 由于命题p ：所有有理数都是实数，为真命题，命题q ：正数的对数都是负数，为假命题，所以¬p 为假命题，¬q 为真命题，故只有(¬p )∨(¬q )为真命题．【答案】 D二、填空题6．设命题p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意有⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6， 解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3. 【答案】 3 －37．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题是____________，命题的否定是________.【解析】 命题“若p ，则q ”的否命题是“若¬p ，则¬q ”，命题的否定是“若p ，则¬q ”．【答案】 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b8．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)＜0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)(1)p 假，q 真 (2)“p ∨q ”为真(3)“p ∧q ”为真 (4)“¬p ”为真【解析】 p 真，q 假，故p ∨q 为真．【答案】 (2)三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假：(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；(3)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．【解】(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．∵q：梯形有一组对边相等是假命题，∴命题p∧q是假命题．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．∵p：梯形有一组对边平行是真命题，∴命题p∨q是真命题．¬p：梯形没有一组对边平行．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(2)p∧q：－3与－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．p∨q：－3或－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(3)p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题．p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题．¬p：集合中的元素是不确定的，是假命题．10．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．【解】若p为真，则1∈{x|x2<a}，所以12<a，即a>1；若q为真，则2∈{x|x2<a}，所以22<a，即a>4.(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升]1．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，既点P(x，y)既在直线上，也在曲线上，只有C满足．【答案】 C2．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0【解析】易知A，B，D项中均为真命题，对于C项，当x＝0时，x3＝0，C为假命题．【答案】 C3．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【解析】由¬p是¬q的充分而不必要条件，可知¬p⇒¬q，但¬q⇒/¬p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p⇒/q，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}{x|x ＜－3或x＞1}，所以a≥1.【答案】[1，＋∞)4．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.【解】对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解这个不等式，得－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时，有－3<a≤0，当p假q真时，有a≥1. 综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．。
高中数学 第1章 常用逻辑用语 1.2.1 习题(含解析)新人教A版高二选修1-1数学试题
选修1-1第一章1.2一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是导学号 92600074( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3 D ．x <3[答案] A[解析] 首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是导学号 92600075( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．3．(2016·某某某某高二检测)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为导学号 92600076( )①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析]①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题个数为1，故选B ．4．(2016·某某某某高二检测)“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的导学号 92600077( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由x (2x －1)＝0，得x ＝0或x ＝12，故x (2x －1)⇒/ x ＝0一定成立，而x ＝0⇒x (2x －1)＝0成立，∴“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．5．“a ＝－2”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋y －2＝0与直线l 2：ax ＋(2a ＋2)y ＋1＝0互直垂直”的导学号 92600078( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由l 1⊥l 2，得a (a ＋1)＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝－2，故选A ．6．(2016·某某文)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的导学号 92600079( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．二、填空题7．已知p ：x ＝3，q ：x 2＝9，则p 是q 的________条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)导学号 92600080[答案] 充分不必要[解析]x ＝3⇒x 2＝9，x 2＝9⇒/ x ＝3， 故p 是q 的充分不必要条件．8．已知a 、b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件.导学号 92600081[答案]充要[解析]a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．9．命题p：sin α＝sin β，命题q：α＝β，则p是q的________条件.导学号 92600082[答案]必要不充分[解析]sin α＝sin β⇒/ α＝β，α＝β⇒sin α＝sin β，故填必要不充分．三、解答题10．下列各题中，p是q的什么条件？导学号 92600083(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．一、选择题1．(2015·理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的导学号 92600084( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由面面平行的判定定理可知，由m∥β⇒/ α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m∥β，必要性成立．2．(2016·某某八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p 是q的导学号 92600085( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]x＋y＝－2⇒/ x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．3．(2016·某某潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的导学号 92600086( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3⇒命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3⇒x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5⇒命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的导学号 92600087( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析]由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．二、填空题5．下列不等式：①x<1；② 0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________.导学号 92600088[答案]②③④[解析] 由于x 2<1，即－1<x <1，①显然不能使－1<x <1一定成立，②、③、④满足题意．6．“k >4，b <5”是“一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)导学号 92600089[答案] 充要[解析] 当k >4，b <5时，函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象如图所示．由一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴时，即x ＝0，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0，∵b <5，∴k >4.故填“充要”． 三、解答题7．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答)导学号 92600090(1)向量a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2)，p ：x 1x 2＝y 1y 2，q ：a ∥b ； (2)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝－y ；(3)p ：直线l 与平面α内两条平行直线垂直，q ：直线l 与平面α垂直；(4)f (x )、g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，p ：f (x )、g (x )均为偶函数，q ：h (x )为偶函数．[解析] (1)由向量平行公式可知：p ⇒q ，但当b ＝0时，a ∥b 不能推出x 1x 2＝y 1y 2，即q 不能推出p ， ∴p 是q 的充分条件．(2)∵|x |＝|y |⇒x ＝±y ，∴p 不能推出q ，但q ⇒p ，∴p是q的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p不能推出q，但由线面垂直的定义可知：q⇒p，∴p 是q的必要条件．(4)若f(x)、g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，∴p ⇒q，但q不能推出p，∴p是q的充分条件．8．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.导学号 92600091[解析](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.综上可知，命题成立．。
人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语单元测试
人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语单元测试（时间：120分钟 分值：100分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 命题“若B A ⊆，则A=B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是A. 0B. 2C. 3D. 42. 若非空集合N M ⊆，则“M a ∈或N a ∈”是“()N M a ⋂∈”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知命题p ：3y x ≠+，命题1x :q ≠或2y ≠，则命题p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 对下列命题的否定说法错误的是A. p ：能被3整除的整数是奇数；⌝p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B. p ：每一个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形都不是正三角形D. p ：R x ∈∃，02x 2x 2≤++；p ⌝：当02x 2x 2>++时，R x ∈5. 命题甲：α是第二象限的角，命题乙：0tan sin <α⋅α，则命题甲是命题乙成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. “1a =”是“函数ax sin ax cos y 22-=的最小正周期为π”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列全称命题为真命题的是A. 所有的素数是奇数B. R x ∈∀，11x 2≥+C. 对每一个无理数x ，2x 也是无理数D. 所有的平行向量均相等8. 命题p ：存在实数m ，使方程01mx x 2=++有实数根，则“非p ”形式的命题是A. 存在实数m ，使方程01mx x 2=++无实根B. 不存在实数m ，使方程01mx x 2=++无实根C. 对任意的实数m ，方程01mx x 2=++无实根D. 至多有一个实数m ，使方程01mx x 2=++有实根9. 用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程0c bx ax 2=++（0a ≠）有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A. 假设a 、b 、c 都是偶数B. 假设a 、b 、c 至多有一个是偶数C. 假设a 、b 、c 都不是偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个是偶数10. 在下列结论中，正确的结论为①“q p ∧”为真是“q p ∨”为真的充分不必要条件；②“q p ∧”为假是“q p ∨”为真的充分不必要条件；③“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件；④“p ⌝”为真是“q p ∧”为假的必要不充分条件。
2019年高中人教A版数学选修1-1练习：第一章 常用逻辑用语 1.1.2-1.1.3 (附答案解析)
2019年高中人教A版数学选修1-1练习1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课后训练案巩固提升一、A组1.命题“若a n=2n-1,则数列{a n}是等差数列”的逆否命题是()A.若a n≠2n-1,则数列{a n}不是等差数列B.若数列{a n}不是等差数列,则a n≠2n-1C.若a n=2n-1,则数列{a n}不是等差数列{a n}是等差数列,则a n≠2n-1“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A.逆命题B.否命题D.以上均不对A.“a>1,则lg a>0”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中,真命题的个数为()A.0B.2D.4,则逆否命题为真;又当lg a>0时,必有a>1,所以逆命题为真,否命题也为真,故一共有4.r:“若p,则q”的逆命题是真命题,那么下列命题一定为真命题的是()A.若p,则qB.若q,则pp,则q D.若q,则p“若p,则q”的否命题“若p,则q”一定是真命题.5.原命题为:“若α+β≠,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是()A.与逆命题同为假命题B.与否命题同为假命题C.与否命题同为真命题“若sin α=cos β,则α+β=”,显然是假命题,故原命题也为假命题.其否命题是“若α+β=,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D项正确.:①“已知函数y=f(x),x∈D,若D关于原点对称,则函数y=f(x),x∈D为奇函数”的逆命题;②“对应边平行的两角相等”的否命题;③“若a≠0,则关于x的方程ax+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A≠B”的逆否命题.其中的真命题是()A.①②B.②③D.③④逆命题:“若函数y=f(x),x∈D为奇函数,则定义域D关于原点对称”,为真命题;否命题:“对应边不平行的两角不相等”,为假命题;③逆否命题:“若关于x的方程ax+b=0无实根,则a=0”,为真命题;逆否命题:“若A=B,则A∪B≠B”,是假命题.“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是.,所以命题“若α=β,则sin α=sin β”的等价命题是“若sin α≠sin β,则sin α≠sin β,则α≠βABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角,并判断它们的真假:(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;,奇数不能被2整除.逆命题:若2x+1>20,则x≥10,为假命题;否命题:若x<10,则2x+1≤20,为假命题;逆否命题:若2x+1≤20,则x<10,为真命题.(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,是真命题;否命题:如果两圆不外切,那么两圆圆心距不等于两圆半径之和,是真命题;逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,是真命题.(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数,是真命题;否命题:在整数中,不是奇数的数能被2整除,是真命题;逆否命题:在整数中,能被2整除的数不是奇数,是真命题.m是整数,求证:若m2+6m是偶数,则m不是奇数.p:m是整数,若m2+6m是偶数,则m不是奇数.:若m是奇数,则m2+6m是奇数.以下证明该逆否命题为真命题.由于m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k-1)-1,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k-1)-1为奇数,即m2+6m是奇数.因此逆否命题是真命题,从而原结论正确.二、B组1.若命题p的否命题是q,q的逆否命题是r,则r是p的()B.逆命题C.否命题D.逆否命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”等价的命题是()A.若a,b,c不成等比数列,则b2=acB.若a,b,c成等比数列,则b2=acC.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列2=ac,则a,b,c成等比数列,命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是“若则a,b,c成等比数列”,故选D.“若1<x<2,则m-1<x<m+1”的逆否命题是真命题,则实数m的取值范围是.,所以原命题为真命题,因此有-解得1≤m≤2.:①“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”的逆否命题;②“若m=2,则直线x+y=0与直线2x+my+1=0平行”的逆命题;③“已知a,b是非零向量,若a·b>0,则a与b方向相同”的逆否命题;④“若x>3,则x2-x-6>0”的否命题.其中真命题的个数是()B.2C.3D.4中,当a=b=c=0时,b2=ac,此时a,b,c不成等比数列,原命题为假命题,所以它的逆否命题为假命②为真命题;③中,当a=(0,1),b=(1,1)时,a·b>0,但a与b不同向,所以原命题为假命题,故它的逆否命题为假命题;④中,原命题的逆命题为“若x2-x-6>0,则x>3”,易知它为假命题,所以原命题的否命题.故选A.:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0.写出该命题的,并判断这些命题的真假.:已知a,b为实数,若a2-4b≥0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集.否命题:已知a,b为实数,若关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0.逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b<0,则关于x的不等式x2+ax+b≤0的解集是空集.原命题、逆命题、否命题和逆否命题均为真命题.导学号59254004求证:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.证明:构造命题:若x+y+z>60,则x,y,z中至少有一个大于20.:若x,y,z都小于或等于20,则x+y+z≤60.由于x≤20,y≤20,z≤20,由不等式的性质可得x+y+z≤20+20+20=60,因此逆否命题正确,从而原结论正确.。
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
2020年高中数学人教A版选修1-1 第一章常用逻辑用语 练习1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有()①2＜1；②x＜2 016；③若x＜2，则x＜1；④函数f(x)＝x2是R 上的偶函数．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】②不是命题，故选B.【答案】 B2．下列命题是真命题的是()A．{∅}是空集B．{x∈N||x－1|＜3}是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数【解析】解方程x2－5x＝0得x＝0或x＝5.故D正确．【答案】 D3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．【答案】 C4．(2016·日照高二期末)下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞－b，则－a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a－c＞b－c【解析】当c＝0时选项A不正确；a＞－b时，－a＜b，选项B 不正确；当c＜0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.【答案】 D5．下列说法正确的是()A．命题“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”是真命题B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当x＜0时，方程x2－4x＝0有负根”是假命题【解析】选项A不正确，如x＝3，y＝－3，则x＋y＝0为有理数；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项C是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D是正确的．【答案】 D二、填空题6．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________. 【导学号：26160003】【答案】若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除7．命题“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】“3mx2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．当m＝0时，1＞0恒成立，所以m＝0满足题意；当m＞0时，且Δ＝m2－12m＜0，即0＜m＜12时，3mx2＋mx＋1＞0恒成立，所以0＜m＜12满足题意；当m＜0时，3mx2＋mx＋1＞0不恒成立．综上知0≤m＜12.【答案】[0,12)8．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的序号是________．【解析】由于c与b不一定共线，故①错；又[(b·c)a－(c·a)b]·c ＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，从而知③错．【答案】②④三、解答题9．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)函数y＝a x是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．【解】(1)当a＞0且a≠1时，函数y＝a x是指数函数，所以是假命题．(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2，即(a－1)x＝1，当a＝1时，方程无解；当a≠1时，方程有唯一解，所以是假命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)内接于圆的四边形的对角互补；(2)被5整除的整数的末位数字是5；(3)三角形相似，对应边成比例．【解】(1)若四边形内接于圆，则它的对角互补．真命题．(2)若一个整数被5整除，则它的末位数字是5.假命题．(3)若两个三角形相似，则它们的对应边成比例．真命题．[能力提升]1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4B．2C．0D．－3【解析】方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故当a＝0时适合条件．【答案】 C2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c【解析】a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．【答案】 B3．把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f(x)＝3＋log2x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有－y ＝3＋log 2x 成立，即y ＝－3－log 2x (x ＞0)．【答案】 －3－log 2x (x ＞0)4．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ＝∅是真命题，求实数m 的取值范围．【导学号：26160004】【解】 当Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)<0，即－1<m <32时，A ＝∅，A ∩B＝∅是真命题；当Δ≥0，即m ≤－1或m ≥32时，设方程x 2－4mx ＋(2m＋6)＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1≥0，x 2≥0.所以⎩⎨⎧ 4m ≥0，2m ＋6≥0，m ≤－1或m ≥32，解得m ≥32.综上，m 的取值范围是(－1，＋∞)．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2018学年高二人教A版数学选修1-1：第一章 简单逻辑用语 复习+练习 含答案
第一章 简单逻辑用语一、命题1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．真命题：判断为真的语句． 假命题：判断为假的语句．2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．3．四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题． 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题． 其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题． 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题． 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”．即：原命题：“若p ，则q ” 逆命题：“若q ，则p ”否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”． 它们之间的关系如图：（2）四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．例1设a 、b 、c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线；③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中真命题的个数是________．答案：0解析：∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0． 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真真 假 假 真假 真 真 假假 假 假 假例2给出命题：①若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2；②若－2≤x ＜3，则(x ＋2)(x －3)≤0；③若x ＝y ＝0，则x 2＋y 2＝0；④x ，y ∈N ＋，若x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．那么( ) ．A ．①的逆命题为真B ．②的否命题为真C ．③的逆否命题为假D ．④的逆命题为假答案：A解析：①的逆命题为：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，为真命题；②的否命题为：若 x ＜－2或x ≥3，则(x ＋2)(x －3)＞0，但当x ＝3时，(x ＋2)(x －3)＝0，所以否命题为假；③原命题为真，则其逆否命题为真；④的逆命题为：x ，y ∈N ＋，若x ，y 中一个是奇数，一个是偶数，则x ＋y 是奇数，显然为真．二、充要条件1．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系，例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件．2．逻辑联结词（1）且(and) ：命题形式p q ∧；（2）或（or ）：命题形式p q ∨；（3）非（not ）：命题形式p ⌝．3．（1）全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃．（2）存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀．例1一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )． A ．m ＞1，n ＜－1 B ．mn ＜0C ．m ＞0，n ＜0D ．m ＜0，n ＜0答案：B解析：先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧ －m n >01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 例2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )．A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充分条件也是必要条件D ．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案：A解析：∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲．又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙不能推出丙．综上有丙⇒乙⇒甲，但乙不能推出丙，故有丙⇒甲，但甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．例3下列命题中是假命题．．．的是( )． A ．∃m ∈R ，使()243·()m m f x m x -+＝－1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B ．∀a ＞0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案：D解析：∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，()1f x x -＝，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a ＞0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时， f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．本章总结：。
高中数学人教A版选修1-1章末综合测评1含答案
章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面〞是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意〞两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(20xx·湖南高考)设x∈R，那么“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1〞是“x3>1”的充要条件，应选C.【答案】 C3．(20xx·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x〞的否认是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否认，需要把全称量词改为特称量词，并否认结论．【答案】 D4．全称命题“∀x ∈Z,2x ＋1是整数〞的逆命题是( )A ．假设2x ＋1是整数，那么x ∈ZB ．假设2x ＋1是奇数，那么x ∈ZC ．假设2x ＋1是偶数，那么x ∈ZD ．假设2x ＋1能被3整除，那么x ∈Z【解析】 易知逆命题为：假设2x ＋1是整数，那么x ∈Z .【答案】 A5．命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．那么以下命题为真命题的是( )A ．p ∧¬qB ．¬p ∧qC ．¬p ∧¬qD ．p ∧q【解析】 命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题¬q 为真命题，所以p ∧¬q 为真命题，应选A.【答案】 A6．(20xx·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等〞的否认是( )A ．全等三角形的面积不一定都相等B ．不全等三角形的面积不一定都相等C ．存在两个不全等三角形的面积相等D ．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】 命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“假设a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，那么{a n }为递减数列〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，那么逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .假设¬p 是q 的必要而不充分条件，那么p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 【答案】 A11．以下命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，应选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，应选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，应选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．以下命题中真命题的个数为( )①命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y 〞的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么“α<β 〞是“tan α<tan β 〞的充要条件；③命题“自然数是整数〞是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否认是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.〞A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y 〞为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β〞是“tan α<tan β〞的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数〞是全称命题，省略了“所有的〞，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否认是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，那么¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．假设命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 假设对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，那么Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；假设对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，那么Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax－4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出以下四个命题：①“假设xy ＝1，那么x ，y 互为倒数〞的逆命题；②“相似三角形的周长相等〞的否命题；③“假设b ≤－1，那么关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根〞的逆否命题；④假设sin α＋cos α>1，那么α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等〞的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，假设¬p 是¬q 的充分条件，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)指出以下命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x ＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题总分值12分)写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：假设两个三角形相似，那么它们一定全等，为假命题；否命题：假设两个三角形不全等，那么它们一定不相似，为假命题；逆否命题：假设两个三角形不相似，那么它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：假设一个自然数能被5整除，那么它的末位数字是零，为假命题；否命题：假设一个自然数的末位数字不是零，那么它不能被5整除，为假命题；逆否命题：假设一个自然数不能被5整除，那么它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题总分值12分)写出以下命题的否认并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否认：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否认：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；否认：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否认：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题总分值12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)〞，假设“p∨q〞是假命题，务实数a的取值范围．【解】由x20－ax0＋1＝0有实根，得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.因此命题q为真命题的范围是a≥0.根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2<a<2，q为假命题对应的范围是a<0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题总分值12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)假设a ＝1，且p ∧q 为真，务实数x 的取值范围；(2)假设p 是q 成立的必要不充分条件，务实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.假设p ∧q 为真，那么2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，那么B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题总分值12分)二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试务实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，那么t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)， 所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)， 所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。
人教版高二数学选修1-1 第一章《常用逻辑用语》教案1(有答案)
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.1.1 命题及四种命题【知识要点】●用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题．●掌握大多命题的表示形式“若p则q”，学会将常见的命题改写成这种形式，并写出其它三个命题，会判断真假．【例题精讲】【例1】对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（）A．所给命题为假B．它的逆否命题为真C．它的逆命题为真D．它的否命题为真解：改写成“若p则q”的形式：若一个四边形是正方形则其四个内角相等．则有原命题为真；逆否命题为真．逆命题：四个内角相等的四边形为正方形，为假命题．否命题：一个四边形不是正方形则四个内角不相等，为假命题．解答：选B【例2】命题“若kyx=，则x与y成反比例关系”的否命题是（）A．若kyx≠，则x与y成正比例关系B．若kyx≠，则x与y成反比例关系C．若x与y不成反比例关系，则kyx≠D．若kyx≠，则x与y不成反比例关系解答：选D．点评：条件及结论同时否定，位置不变．【例3】下列命题中，否命题为假命题的是（）A．若同位角相等，则两直线平行B．若x，y全为0，则x =0且y =0C．若方程有实根，则D．若，则解答：选C【例4】已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个解答：B【例5】设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为．它的逆命题为，否命题为，逆否命题为．解：若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．点评：只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了．【例6】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)两条平行线不相交；(2)两条对角线不相等的平行四边形不是矩形；(3)若x≥10，则2x＋1＞20．解：(1)逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，为假命题．否命题：若两条直线不平行，则它们相交，为假命题．逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，为真命题．(2)逆命题：若平行四边形不是矩形，则它的两条对角线不相等，为真命题．否命题：若平行四边形两条对角线相等，则它是矩形，为真命题．逆否命题：若平行四边形为矩形，则它的两条对角线相等，为真命题．(3)逆命题：若2x＋1＞20，则x≥10，为假命题．否命题：若x＜10，则2x＋1≤20，为假命题．逆否命题：若2x＋1≤20，则x＜10，为真命题．【基础达标】1．命题“若a b=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为（）A．a，b都不为零，则a b≠0 B．a，b至少有一个不为零，则a b≠0C．a，b至少一个为零，则a b≠0 D．a，b不都为零，则a b≠02．对以下四个命题判断正确的是（）(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被5整除．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这自然数末位数字为零．(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．A．(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B．(1)与(2)为真，(3)与(4)为假C．(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D．(1)与(4)为假，(2)与(3)为真3．有下列四个命题：①命题“若x y=1 ，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B = B，则A B”的逆否命题。
人教A版高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语测试题1.docx
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语测试题1班别： 姓名：一、 选择题（每道题只有一个答案，每道题5分，共60分）A 、真命题与假命题的个数相同B 真命题的个数一定是奇数C 真命题的个数一定是偶数D 真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列命题中正确的是（ ）①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题 ③“若m>0，则x 2＋x －m=0有实根”的逆否命题 ④“若x －123是有理数，则x 是无理数”的逆否命题A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、①④3、“用反证法证明命题“如果x<y ，那么51x <51y ”时，假设的内容应该是（） A 、51x ＝51yB 、51x <51yC 、51x ＝51y 且51x <51yD 、51x ＝51y 或51x >51y4、“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要5、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要6、函数f （x ）＝x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ）A 、ab ＝0B 、a ＋b=0C 、a ＝bD 、a 2＋b 2＝0 7、“若x ≠a 且x ≠b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0”的否命题（） A 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝0 B 、 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 C 、 若x ＝a 且x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ≠0 D 、 D 、若x ＝a 或x ＝b ，则x 2－（a ＋b ）x ＋ab ＝08、“12m =”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m+2)x+(m-2)y-3=0相互垂直”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要9、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（ ） A 、 存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B 、不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C 、对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 D 、至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根10.若"a b c d ≥⇒>"和"a b e f <⇒≤"都是真命题,其逆命题都是假命题，则"c d ≤"是"e f ≤"的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 11.在下列结论中，正确的是（ ）①""q p ∧为真是""q p ∨为真的充分不必要条件 ②""q p ∧为假是""q p ∨为真的充分不必要条件 ③""q p ∨为真是""p ⌝为假的必要不充分条件 ④""p ⌝为真是""q p ∧为假的必要不充分条件 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④12.设集合(){}(){}(){}0,,02,,,,≤-+=>+-=∈∈=n y x y x B m y x y x A R y R x y x u ，那么点P （2，3）()B C A u ⋂∈的充要条件是（ ）A ．m>-1,n<5B ．m<-1,n<5C ．m>-1,n>5D ．m<-1,n>5二、填空题（每道题4分，共16分）13、判断下列命题的真假性: ①、若m>0，则方程x 2－x ＋m ＝0有实根 ②、若x>1,y>1,则x+y>2的逆命题③、对任意的x ∈{x|-2<x<4},|x-2|<3的否定形式④、△>0是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件 14、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 否命题是15、若把命题“A ⊆B ”看成一个复合命题，那么这个复合命题的形式是__________，其中构成它的两个简单命题分别是____________________________________________________________________。
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人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题
例1. 把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。
（1）若β=α，则β=αsin sin ；
（2）若对角相等，则梯形为等腰梯形； （3）已知a 、b 、c 、d 都是实数，若b a =，d c =，则d b c a +=+。
分析：先明确原命题的条件p 与结论q ，把原命题写成“若p ，则q ”形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提。
解：（1）逆命题：若β=αsin sin ，则β=α；
否命题：若β≠α，则β≠αsin sin ；
逆否命题：若β≠αsin sin ，则β≠α。
（2）逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；
否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；
逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则对角线不相等。
（3）逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则b a =，d c =；
否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则d b c a +≠+；
逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若d b c a +≠+，则b a ≠或d c ≠。
例2. “已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a >，d b >，则d c b a +>+”，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。
分析：按照定义写出各命题，再分析。
解法1：逆命题；已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则a ，b 都分别大于c 、d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ，b 不都分别大于c ，d ，则d c b a +≤+； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则a ，b 不都分别大于c ，d 。
逆命题为假命题，例如3215+>+，但25>，31<，根据逆命题与否命题的等价性知否命题为假命题。
因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性得逆否命题为真命题。
因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性是逆否命题为真命题。
解法2：逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则c a >，d b >；
否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a ≤或d b ≤，则d c b a +≤+；
逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则c a ≤或d b ≤。
点拨：“已知 a ，b ，c ，d 是实数”是大前提，写四种命题时应该保留，解法1的写法是把原命题的条件写成“a ，b 都分别大于c ，d ”，把原命题的结论写成“d c b a +>+”，把条件用文字语言来表述，写否定也用文字语言表述，但要注意其否定到底是用“不都”还是“都不”，解法2把原命题的条件和结论作了符号化处理，这样写的好处是否定时有规律可循：“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”。
例3. 若p ：2xh x 23x =-，:q 2x x 23=-，则p 是q 的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
分析：方程2x x 23=-，即03x 2x 2=-+的解集为{}3x 1x |x -==或，关键是方程
2x x 23x =-的解集是什么，可有以下两种解法。
方法1：2x x 23x =-
()()()()1
x ,3x ,0x 01x 3x x 0
3x 2x x x x 23x 2224
2=-==⇒=-+⇒=-+⇒=-⇒
经检验3x -=不是原方程的解，因此原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。
方法2：2x x 23x =-
()⎪⎩⎪⎨⎧=-≥-≥⇔42x x 23x 0x 230x ，()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+≤≥⇔03x 2x x 23x 0x 22。
0x =⇔或1x =，
即原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。
答案：D
点拨：从集合的角度分析p 与q 的逻辑关系，直观简明，不失为一种好的方法。
例4. 已知x 为实数，2
1x a 2+=，x 2b -=，1x x c 2+-=，用反证法证明：a ，b ，c 中至少有一个不小于1。
证明：假设a ，b ，c 均小于1，则有3c b a <++， 而321x 2x 21x x x 221x c b a 222++-=+-+-++
=++ 321x 232≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=， 这与3c b a <++矛盾，
所以a ，b ，c 中至少有一个不小于1。
点拨：用反证法证明命题的一般步骤如下：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛头判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例5. 求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+。
（1）有两个都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根。
解：（1）方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+的两实根1x 、2x 匀大于1的充要条件是： ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥1x 1x 021△，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥⇔01x 1x 01x 1x 021
21△
()⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+≥⇔1x x x x 2x x 02121
21△
()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--->--≥+--⇔16a 21a 221a 206a 241a 42，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-><≥-≤⇔45a 0a 5a 1a 或。
∴1a 4
5-≤<-为所求。
（2）由题意
①当一根为正，一根为负时，06a 2<+，△0>，
∴3a -<；
②当一根为正，一根为零时， ()⎪⎩
⎪⎨⎧>>--=+001a 206a 2△
∴3a -=；
③当两根均为正时，
()⎪⎩⎪⎨⎧>+=>--=+≥06a 2x x 01a 2x x 02121△，∴⎪⎩
⎪⎨⎧-><≥-≤3a 1
a 5a 1a 或 即1a 3-≤<-。
综上所述，至少有一个正实根的a 的取值范围是1a -≤。
点拨：利用充要条件解题，要时刻注意充分性与必要性同时成立，即保证推导过程中的每一步都不要有缺漏。