人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题

例1. 把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。

（1）若β=α，则β=αsin sin ；

（2）若对角相等，则梯形为等腰梯形； （3）已知a 、b 、c 、d 都是实数，若b a =，d c =，则d b c a +=+。

分析：先明确原命题的条件p 与结论q ，把原命题写成“若p ，则q ”形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提。

解：（1）逆命题：若β=αsin sin ，则β=α；

否命题：若β≠α，则β≠αsin sin ；

逆否命题：若β≠αsin sin ，则β≠α。

（2）逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；

否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；

逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则对角线不相等。

（3）逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则b a =，d c =；

否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则d b c a +≠+；

逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若d b c a +≠+，则b a ≠或d c ≠。

例2. “已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a >，d b >，则d c b a +>+”，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。

分析：按照定义写出各命题，再分析。

解法1：逆命题；已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则a ，b 都分别大于c 、d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ，b 不都分别大于c ，d ，则d c b a +≤+； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则a ，b 不都分别大于c ，d 。 逆命题为假命题，例如3215+>+，但25>，31<，根据逆命题与否命题的等价性知否命题为假命题。

因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性得逆否命题为真命题。

因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性是逆否命题为真命题。

解法2：逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则c a >，d b >；

否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a ≤或d b ≤，则d c b a +≤+；

逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则c a ≤或d b ≤。

点拨：“已知 a ，b ，c ，d 是实数”是大前提，写四种命题时应该保留，解法1的写法是把原命题的条件写成“a ，b 都分别大于c ，d ”，把原命题的结论写成“d c b a +>+”，把条件用文字语言来表述，写否定也用文字语言表述，但要注意其否定到底是用“不都”还是“都不”，解法2把原命题的条件和结论作了符号化处理，这样写的好处是否定时有规律可循：“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”。

例3. 若p ：2xh x 23x =-，:q 2x x 23=-，则p 是q 的

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

分析：方程2x x 23=-，即03x 2x 2=-+的解集为{}3x 1x |x -==或，关键是方程

2x x 23x =-的解集是什么，可有以下两种解法。

方法1：2x x 23x =-

()()()()1

x ,3x ,0x 01x 3x x 0

3x 2x x x x 23x 2224

2=-==⇒=-+⇒=-+⇒=-⇒

经检验3x -=不是原方程的解，因此原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。

方法2：2x x 23x =-

()⎪⎩⎪⎨⎧=-≥-≥⇔42x x 23x 0x 230x ，()

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+≤≥⇔03x 2x x 23x 0x 22。 0x =⇔或1x =，

即原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。

答案：D

点拨：从集合的角度分析p 与q 的逻辑关系，直观简明，不失为一种好的方法。

例4. 已知x 为实数，2

1x a 2+=，x 2b -=，1x x c 2+-=，用反证法证明：a ，b ，c 中至少有一个不小于1。

证明：假设a ，b ，c 均小于1，则有3c b a <++， 而321x 2x 21x x x 221x c b a 222++-=+-+-++

=++ 321x 232≥⎪⎭⎫ ⎝

⎛-+=， 这与3c b a <++矛盾，

所以a ，b ，c 中至少有一个不小于1。

点拨：用反证法证明命题的一般步骤如下：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）由矛头判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

例5. 求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+。

（1）有两个都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根。

解：（1）方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+的两实根1x 、2x 匀大于1的充要条件是： ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥1x 1x 021△，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥⇔01x 1x 01x 1x 021

21△

()⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+≥⇔1x x x x 2x x 02121

21△

()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--->--≥+--⇔16a 21a 221a 206a 241a 42，⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-><≥-≤⇔45a 0a 5a 1a 或。 ∴1a 4

5-≤<-为所求。 （2）由题意

①当一根为正，一根为负时，06a 2<+，△0>，

∴3a -<；

②当一根为正，一根为零时， ()⎪⎩

⎪⎨⎧>>--=+001a 206a 2△

∴3a -=；

③当两根均为正时，

()⎪⎩⎪⎨⎧>+=>--=+≥06a 2x x 01a 2x x 02121△，∴⎪⎩

⎪⎨⎧-><≥-≤3a 1

a 5a 1a 或 即1a 3-≤<-。

综上所述，至少有一个正实根的a 的取值范围是1a -≤。

点拨：利用充要条件解题，要时刻注意充分性与必要性同时成立，即保证推导过程中的每一步都不要有缺漏。