高一数学集合与命题经典例题

1．命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为A．a+b不是偶数，则a、b不都是偶数B．a+b不是偶数，则a、b都不是偶数C．a、b不都是偶数，则a+b不是偶数D．a、b都不是偶数，则a+b不是偶数2．把下列命题改写成“若p则q”的形式：（1）对顶角相等；（2）不等式两边加上同一个数，不等号方向不变．3．把下列命题改写成“若p则q”的形式：（1）两个整数和为整数；（2）两个无理数相乘，它们的积也是无理数．4．下列命题中，正确的是①“若x2+y2=0，则x，y全是0”的否命题②“全等三角形是相似三角形”的否命题③“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题④若“a+5是无理数，则a是无理数”的逆否命题A．①②③ B．①④C．②③④D．①③④5．用反证法证明：“在同圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距也不等．”6．若x、y∈R+，且x+y＞2，求证：y x+1＜2与x y+1＜2中，至少有一个成立．参考答案1．A2．（1）若两角为对顶角，则它们相等；（2）若在不等式两边加上同一个数，则不等式方向不变．3．（1）若两个数为整数，则它们的和也为整数．（2）若两个无理数相乘，则它们的积也是无理数．4．B5．证明：假设在同圆中，两条弦不等而它们的弦心距相等，即AB≠CD，OE=OF则Rt△OAE、Rt△OCF中，OA=OC，OE=OF，∴AE=CF，即AB=CD与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立．6．证明：假设都不成立，即y x+1≥2，x y+1≥2成立∵x，y∈R+，∴1+x≥2y，1+y≥2x，∴2+x+y≥2x+2y∴x+y≤2与已知x+y＞2矛盾，∴假设不成立，∴原结论成立．一、选择题（每小题2分，共12分）1．命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为A．两直线平行，内错角相等B．两直线不平行，则内错角不相等C．内错角不相等，则两直线不平行D．内错角不相等，则两直线平行2．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真3．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题A．一定是真命题B．一定是假命题C．不一定是真命题D．真假无法确定4．命题“正数a 的平方不等于0”是命题“若a 不是正数，则它的平方等于0”的A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定命题5．命题“若M ∪N=N ，则M ⊆N ”的否命题为A ．若M ⊆N ，则M ∪N=NB ．若M ∪N ≠N ，则M NC ．若M N ，则M ∪N ≠ND ．若M ∩N=M ，则M ∪N=N 6．命题“若a>b ，则ba >1”的逆否命题为 A ．若b a >1，则a>b B ．若a ≤b ，则b a ≤1 C ．若a>b ，则b<a D ．若b a ≤1，则a ≤b 二、填空题（每小题2分，共8分）7．命题“垂直于同一直线的两条直线相互平行”的逆命题为______________．8．命题“若a>1，则a>0”的否命题为_____________．9．命题“全等三角形的面积相等”的逆否命题为________________．10．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac<0，则方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）无实根”的否命题②命题“△ABC 中，AB=BC=CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题③命题“若a>b>0，则3a >3b >0”的逆否命题；其中真命题的序号为__________．三、解答题（共30分）11．（10分）把下列命题改写成“若p 则q ”的形式：（1）菱形的四边相等； （2）对顶角相等；（3）25是5的倍数； （4）2是无理数．12．（10分）试判断命题“若m>0，则方程x 2+x －m=0有实根”的逆否命题的真假．13．（10分）用反证法证明：若x 2－（m+n ）x+mn ≠0，则x ≠m 且x ≠n ．参考答案一、1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．D二、7．两条直线互相平行则它们垂直于同一条直线 8．若a ≤1，则a ≤09．面积不相等的两个三角形不是全等三角形 10．①②③三、11．（1）若四边形为菱形，则其四边相等（2）若两个角是对顶角，则它们相等（3）若某数为25，则它为5的倍数（4）若一个数为2，则它为无理数12．真13．证明：假设x=m 或x=n（1）当x=m 时，则x 2－（m+n ）x+mn=0（2）当x=n 时，则x 2－（m+n ）x+mn=0均与已知矛盾，∴x ≠m 且x ≠n ．一、选择题1．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）A.真命题的个数一定是奇数B.真命题的个数一定是偶数C.真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D.上述判断都不正确二、填空题2．命题“若x=3且y=5则x+y=8”的逆否命题是________，否命题是________，逆命题是_________，其中假命题的个数是____________。

3．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是___________；逆命题是__________；否命题是_____________。

三、解答题4．用反证法证明：若022=+y x 且x ∈R ，y ∈R ，则x 、y 全为0。

5．若a 、b 、c 均为实数，且222π+-=y x a ，322π+-=z y b ，622π+-=x z c ，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0。

6．利用反证法证明已知a 、b 、c ∈R ，a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0。

7．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假。

（1）若q<1，则方程022=++q x x 有实根；（2）若ab=0，则a=0或b=0。

8．证明：若△ABC 不是正三角形，则内角A 、B 、C 中必有一个大于60°。

参考答案1．B ∵一个命题与它的逆否命题同真同假，一个命题的逆命题与它的否命题是同真同假，∴真命题的个数一定是偶数。

故选B 。

2．若x+y ≠8则x ≠3或y ≠5；若x ≠3或y ≠5，则x+y ≠8；若x+y=8则x=3且y=5；23．原命题的逆否命题：不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数；逆命题是：能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数；否命题是：各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除。

4．证明：假设x 、y 不全为0，则x ≠0或者y ≠0。

由x ≠0得到02>x，而0222>≥+x y x ，022>+⇒y x ，022≠+⇒y x ，矛盾 所以x=0由002>⇒≠y y ，而0222>≥+y y x ，022>+⇒y x ，022≠+⇒y x ，矛盾所以y=05．证明：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a+b+c ≤0，而)62()32()22(222πππ+-++-++-=++x z z y y x c b a 3)1()1()1(222-+-+-+-=πz y x 。

因为π-3>0且无论x ，y ，z 为何实数，0)1()1()1(222≥-+-+-z y x 。

所以a+b+c>0，这与a+b+c ≤0矛盾，因此假设不成立，a ，b ，c 中至少有一个不大于0。

6．证明：假设a 、b 、c 不同时为正，不妨先考虑a 不是正数，从而有a=0和a<0两种情况。

若a=0，则abc=0，与已知abc>0矛盾，故a=0不可能。

若a<0，因为abc>0，所以bc<0，又因为a+b+c>0，所以b+c>-a>0。

所以ab+bc+ac=a （b+c ）+bc<0。

这与已知ab+bc+ac>0矛盾，所以a<0也不可能。

综上所述a>0成立。

同理可知b>0、c>0成立。

原命题得证。

7．解：（1）逆命题：若方程022=++q x x有实根，则q<1，逆命题为假。

否命题：若q ≥1，则方程022=++q x x无实根，否命题为假。

逆否命题：若方程022=++q x x 无实根，则q ≥1，逆否命题为真。

（2）逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，逆命题为真。

否命题：若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0，否命题为真。

逆否命题：若a ≠0，且b ≠0，则ab ≠0，逆否命题为真。

8．证明：假∠A ≤60°，∠B ≤60°，∠C ≤60°，则∠A+∠B+∠C=180°，因为∠A+∠B+∠C ≤180°，所以∠A=∠B=∠C=60°，所以△ABC 为正三角形，这与△ABC 不是正三角形矛盾，故假设错误。

所以命题成立。

一、选择题1．命题“若a ∈A ，则B b ∉”的否命题是( )A ．若A a ∉，则B b ∉B ．若B b ∉，则A a ∉C ．若A a ∉，则b ∈BD ．若b ∈B ，则A a ∉2．若一个命题的否命题是真命题，则其逆命题( ) A ．不一定是真命题B ．一定是真命题C ．一定是假命题D ．不一定是假命题 3．命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a ＝0或=⇒=ab 0b 0B ．若ab ≠0，则a ≠0且b ≠0C ．若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0D ．若a ≠0且b ≠0，则ab ≠0 4．命题“若a>b ，则ac>bc ”(a ，b ，c 都是实数)与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．3D ．0 5．给出以下四个命题：(1)若06x 5x 2=+-，则x ＝2或x ＝3；(2)若2≤x<3，则(x －2)(x －3) ≤0；(3)若a ＝b ＝0，则|a|＋|b|＝0；(4)若x ，y ∈N ，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一个是奇数，一个是偶数．那么( ) A ．(4)的逆命题假B ．(1)的逆命题真C ．(2)的否命题真D ．(3)的否命题假 二、填空题1．命题“若ab>0，则a>0且b>0”的逆命题是_________，否命题是________，逆否命题是________．2．命题“若x 、y 是奇数，则x ＋y 是偶数”的逆否命题是_________________．3．命题“若a ≠0，则ab ≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_________________．三、解答题1．指出命题：“内接于圆的四边形的对角互补”及其否命题、逆命题、逆否命题中哪些是真命题，哪些是假命题．2．a 、b 、c 为实数，且a ＝b ＋c ＋1，证明：两个一元二次方程0b x x2=++，0c ax x 2=++中至少有一个方程有两个不相等的实数根．四、问答题1．若命题p 的逆命题是q ，命题p 的否命题是r ，则q 是r 的_________________．2．求证∅=)(A A A C ．参考答案【同步达纲练习】一、1．C 2．B 3．D 4．D 提示：∵原命题不成立(令c ＝－2，a ＝3，b ＝2，则4623->-⇒/>) 5．B 二、1．若a>0且b>0，则ab>0;若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0;若a ≤0或b ≤0，则ab ≤02．若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是奇数3．2 0ab 0a ≠⇒/≠但0ab 0a =⇒=三、1．否命题：“若一个四边形不内接于圆，则它的对角不互补”．逆命题：“若一个四边形的对角互补，则它内接于圆”．逆否命题：“若一个四边形的对角不互补则它不内接于圆”．都是真命题2．反证法：设两个方程都没有两个不等的实数根44104041221221≤-+-=+≤-=≤-=c a b c a b ΔΔΔ则Δ ∵a ＝b ＋c ＋1，∴b ＋c ＝a －1∴0a )1a(412≤+-- 即05a 4a 2≤+-但01)2a (5a 4a 22>+-=+-，故矛盾！四、1．逆否命题：提示：设p ：若A 则B ，则q ：若B 则A ，r：若则，则r 与q 关系显然 2．反证法：证明：假设∅≠)(A C A A 则存在x ，使得)(A A x A C ∈∴x ∈A 且A x A C ∈ 这是矛盾关系！∴∅≠)(A C A A 一、选择题.1.命题“当AB=AC 时，△ABC 是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A.4B.3C.2D.02.若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则r 是p 的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不正确3.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( ) A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题 D.不一定是假命题4.设原命题为“若A ∩B=B ，则A ⊆B ”，则原命题、逆命题、否命题和逆否命题中是真命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.4个 5.在下列三个命题中，正确的为( )(1)命题“△ABC 和△A 1B 1C 1都是直角三角形”的否命题是“△ABC 和△A 1B 1C 1都不是直角三角形”；(2)命题“若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0”的逆否命题是“若x ＝0或y ＝0，则xy=0”；(3)命题“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∪B ”的逆命题是“若x ∈A ∪B ，则x ∈A 且x ∈B ”.A.(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(1)、(2)、(3)6.在以下四个命题中，不正确的为( )A.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；B.命题“两个无理数的积仍是无理数”的否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；C.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；D.命题“两个无理数的积仍是无理数”的命题的非是“两个无理数的积不一定是无理数”.二、填空题1.命题“若x 2+y 2=0，则x 、y 全为0”的否命题是 .2.命题“若a 、b 是奇数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 .3.命题“已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d ”的逆命题为 ；否命题为 .4.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是 .三、解答题1.把下列命题写成“若p则q”的形式①到圆心距离等于半径的点在圆上②三角形内角和等于180°③两个有理数的商仍为有理数④实数的平方为正实数2.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假.①实数的平方为正实数②三角形的两边之和不小于第三边③若a＞b，则b＜a ④若m，n∈Q，则m+n∈Q3.用反证法证明：若a＞b＞0，则3a＞3b.4.用反证法证明：如果一个三角形的两条边不等，那么这两条边所对的角也不相等.5.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.四、1.a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等实根”的逆命题、否命题、逆否命题的真假.2.证明：在△ABC中，若AB=AC，M为△ABC内一点，∠AMB＞∠AMC，则∠BAM＜∠CAM.参考答案：一、1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C二、1.“若x2+y2≠0，则x、y不全为0”. 2.若a+b不是偶数，则a、b不都是奇数. 3.逆命题为：已知a、b、c、d∈R，若a+c=b+d，则a=b，c=d. 否命题为：已知a、b、c、d∈R，若a≠b或c≠d，则a+c≠b+d. 4.绝对值等于它本身的数是正数.三、1.解：①若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上.②若一个图形是三角形，则它的内角和等于180°.③若两个数是有理数，则它们的商仍为有理数.④若一个数是实数，则它的平方是一个正实数.2.①原命题：若一个数是实数，则它的平方是一个正实数，为假，因为0的平方就不是正实数.逆命题：若一个数的平方为正实数，则这个数是实数，为真.否命题：若一个数不是实数，则它的平方也不是一个正实数，为真.逆否命题：若一个数的平方不是正实数，则它不是实数.为假②原命题：若一个图形是三角形，则它的两边之和不小于第三边.为真逆命题：若两条线段的长的和不小于第三条线段的长，则以这三条线段构成一个三角形.为假否命题：若三条线段不参构成三角形，则其中两条线段长的和小于第三条线段的长.为假逆否命题：若两条线段的长的和小于第三条线段的长，则这三条线段构不成一个三角形.为真③原命题：若a＞b，则b＜a，为真逆命题：若b＜a，则a＞b，为真否命题：若a≤b，则b≥a，为真逆否命题：若b≥a，则a≤b，为真④原命题：若m，n∈Q，则m+n∈Q，为真逆命题：若m+n∈Q，则m，n∈Q为假，如(3+2)+(5-2)∈Q，但3+2∉Q，5-2∉Q否命题：若m∉Q或n∉Q，则m+n∉Q为假逆否命题：若m+n∉Q，则m∉Q或n∉Q为真3.略4.略5.略.四、1.解：原命题是真命题，这是因为方程的判别式△=b2-4ac，b2≥0，-4ac＞0，所以△＞0.逆命题：“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)有两个不相等的实根，则ac＜0”，它是假命题.如当a=1，b=-3，c=2时，方程x2-3x+2=0有两个不相等的实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.否命题：“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数”，它也是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题的缘故.逆否命题：“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”，它是真命题.2.提示：假设∠BAM≥∠CAM，然后分二种情况(即∠BAM＞CAM和∠BAM=∠CAM)推出矛盾结果.三、参考练习题1．在下列命题中，真命题是（）①“在同一个三角形中，大边对大角”的否命题．②“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆命题．③“菱形的对角线互相垂直平分”的否命题．④“若A∩B＝B，则A⊆B”的等价命题．A．①②④B．③④C．①②D．①②③答案：D2．命题“若a＞b，则am＞bm”与它的逆命题、否命题，逆否命题中真命题共有____个．答案：03．写出命题“对角线不互相垂直的平行四边形不是菱形．”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．答案：逆命题为：“不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直”，为真命题．否命题为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，为真命题．逆否命题为“平行四边形是菱形，其对角线互相垂直”，为真命题．4．判断下列命题的否命题的真假．（1）正方形四条边相等．（2）已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0（3）一个锐角的补角是钝角．答案：（1）否命题为假命题．（2）否命题为假命题．（3）否命题为真命题．1．命题“若a∉A，则b∈B．”的否命题是A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A2．命题“正数不是质数”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题有___________个A．4 B．3 C．2 D．03．有下列四个命题，其中为真命题的是①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．A．①②B．②③ C．①②③D．③④4．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠A D．若A∪B≠B，则A∩B＝A5．命题“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是_________．6．已知m，n是正整数，a是大于1的实数，“若m＞n，则a m＞a n”的逆否命题是_________．7．命题“若a＞b，则ac＞bc”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，有_________个真命题．8．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．9．判断命题“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题的真假．参考答案一、1．B 提示：注意“∈”的否定是“∉”．2．A 提示：因为“正偶数不是质数”是假命题，所以其逆否命题也为假，又因其否命题“正偶数是质数”是假命题，所以其否命题也为假．3．C 提示：④若A∩B＝B，应用B⊆A．4．C 提示：注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．二、5．“x或y是零，则xy是零”的逆否命题是“若xy不是零，则x，y都不是零”．6．填：已知m，n是正整数，a是大于1的实数，“若a m≤a n，则m≤n”．7．0 提示：因为a＞b，c＝0时，ac＝bc，所以原命题为假，又因若“ac＞bc则a＞b”是假命题，所以4个命题均为假命题．三、8．解：逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d．”是假命题．否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d”．(假命题)逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等”是真命题．9．解：该命题的否命题为：“若x＞－3，则x2－x－6≤0”．p:A＝｛x｜x＞－3｝．q:B＝｛x｜x2－x－6≤0｝＝｛x｜－2≤x≤3｝∵B A，∴若p则q为假．∴该命题的否命题为假命题．1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题 B．否命题 C．逆否命题 D．无关命题解析：依逆命题定义易得．答案： A2．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( )A．上述四个命题 B．原命题与逆命题C．原命题与逆否命题 D．逆命题与否命题解析：因真命题“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题．答案： C3．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A．假设2是有理数 B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数 D．假设2＋3是有理数答案： D4．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B＝AC．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B答案： A5．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是______，逆否命题是______．答案：若a＞0，则a＞1 若a≤0，则a≤16．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是______．解析：①Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0∴是真命题②否命题为“若a≤b，则a＋b≤b＋b”是真命题③逆命题“对角线相等的四边形是矩形”是假命题④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题答案：①②④1．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的( )A．逆否命题 B．逆命题 C．否命题 D．原命题解析：设p为“若A则B”，则r、s、t分别为“若﹁A则﹁B”“若﹁B则﹁A”“若B则A”，故s是t的否命题．答案： C2．当命题“若p则q”为真时，下列命题中一定正确的是( )A．若q则p B．若﹁q﹁p C．若﹁q则﹁p D．p且q解析：因原命题与逆否命题等价，故选C．答案： C3．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )A．真命题的个数一定是奇数 B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D．上述判断都不正确解析：因“原命题”与“逆否命题”同真假，“逆命题”与“否命题”同真假，故真命题是成对出现的．答案： B4．有下列四个命题，其中真命题是( )①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．A．①② B．②③ C．①③ D．②④答案： C5．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是______，逆否命题是______．答案：若A∪B≠B，则A B若A B，则A∪B≠B6．用反证法证明命题“若整数n的立方是偶数，则n也是偶数”如下：假设n是奇数，则n＝2k＋1(k是整数)，n3＝(2k＋1)3＝______，与已知n3是偶数矛盾，所以n是偶数．解析： (2k＋1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋1答案： 2(4k3＋6k2＋3k)＋17．把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)对顶角相等．解：(1)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2(2)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．8．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．解：逆命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d(即a与b、c与d都相等)．”否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a与b、b与d不都相等，则a＋b≠b＋d”．逆否命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b、c与d不都相等．”原命题是真命题．若令a＝3，b＝2，c＝1，d＝2，则a＋c＝1＋3＝4，b＋d＝2＋2＝4，即a＋c＝b＋d．但a≠b，c≠d，所以逆命题为假命题．根据原命题与逆否命题、逆命题与否命题等价的性质．所以逆否命题为真命题，否命题为假命题．9．已知a、b、c是一组勾股数(即a2＋b2＝c2)，求证：a、b、c不可能都是奇数．证明：假设a、b、c都是奇数∵a、b、c是一组勾股数，∴a2＋b2＝c2①∵a、b、c都是奇数，∴a2、b2、c2也都是奇数∴a2＋b2是偶数这样①式的左边是偶数，右边却是奇数，得出自相矛盾的结论．∴a、b、b不可能都是奇数．10．已知m、n为实数，命题“若mn＝0，则m＝0或n＝0”的否命题、逆否命题各是什么?命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题、逆否命题各是什么?并判断以上各命题的真假．解：“若mn＝0，则m＝0或n＝0”的否命题是“若mn≠0，则m≠0且n≠0”．逆否命题是“若m≠0且n≠0，则mn≠0”．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”；逆否命题是“若m≠0或n≠0，则m2＋n2≠0”．以上各命题都是真命题．1．若p，q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有A．p真q真B．p假q假 C．p真q假D．p假q真2．关于实数a，b，c以下叙述错误的是A．命题“a，b都是零”的否定形式是“a，b都不是零”B．命题“a，b至少有一个是零”的否定形式是“a，b都不是零”C．命题“a，b，c至多两个是零”的否定形式是“a，b，c都是零”D．命题“a，b，c至少两个是零”的否定形式是“a，b，c至多一个是零”3．否定结论“至多有两个解”的记法中，正确的是A．有一解B．有两解 C．至少有三解 D．至少有两解4．用反证法证明命题“已知△A′BC与△ABC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC，求证A′在△ABC的外部”时，反设正确的是A．设点A′在△ABC的外部 B．设点A′在△ABC的边上C．设点A′在△ABC的内部 D．设点A′在△ABC的边上或在△ABC的内部5．若0＜x＜5，则｜x－2｜＜5的逆否命题是_________．6．x≠±1的否定形式为_________，(x－1)(x－2)＝0的否定形式为___________．7．用反证法证明命题“若a∈R，3＋a是无理数，则a是无理数”如下：假设a是有理数，根据有理数运算法则，3＋a是有理数，这与_________矛盾，所以假设不成立，原命题正确．8．已知a，b是实数，命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的否命题，逆否命题各是什么？参考答案一、1．A 提示：“或”的否定是“且”．2．A 提示：“都是”的否定是“不都是”而不是“都不是”．3．C 提示：“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”．4．D 提示：“外部”的反面是“内部或边上”．二、5．填“若｜x－2｜≥5，则x≥5或x≤0”．6．x≠±1的否定形式为x＝1或x＝－1(x－1)(x－2)＝0的否定：x－1≠0且x－2≠0．7．与“3＋a是无理数”矛盾．三、8．解：命题a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0的否命题是：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0．逆否命题是：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0。