小学奥数裂项公式汇总
奥数常见裂项法 裂项试题和裂项公式
证：
Sn
=
1 (1 − 2
1) + 3
1 (1 23
−
1) + 5
1 (1 25
−
1) ++ 7
1( 1 − 2 2n −1
1) 2n + 1
=
1 (1 − 2
1) 2n + 1
=
n 2n + 1
14.求和：
Sn
=
1 1× 4
+
4
1 ×
7
+
7
1 × 10
+
+
(3n
−
1 2)(3n
+
1)
=
n 3n +
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
6
=2+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 182 210 240
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
裂项公式归纳
裂项公式归纳在咱们学习数学的这个大旅程中，裂项公式那可是个相当重要的“小伙伴”。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
咱们先来说说什么是裂项公式。
简单来讲，就是把一个式子拆分成两个或者多个式子的差或者和，从而让计算变得简单起来。
比如说，对于分数 1/(n*(n+1))，咱们就可以把它裂项为 1/n - 1/(n+1) 。
我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这拆来拆去的，到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你别着急，等会儿你就知道它的厉害了。
”咱们来看看一些常见的裂项公式。
像 1/(n*(n+k)) 就可以裂项为 1/k* (1/n - 1/(n+k)) 。
再比如，对于 1/[n*(n+1)*(n+2)] ，可以裂项为 1/2 * [1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] 。
那裂项公式在解题中到底怎么用呢？咱们来看一道例题。
计算：1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + …… + 1/99×100 。
这时候，裂项公式就派上用场啦！因为 1/1×2 = 1 - 1/2 ，1/2×3 = 1/2 - 1/3 ，1/3×4 = 1/3 - 1/4 ，以此类推，原式就可以转化为：(1 - 1/2) +(1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + …… + (1/99 - 1/100) 。
你看，中间的那些项一正一负都抵消掉了，最后就只剩下 1 - 1/100= 99/100 。
是不是一下子就简单多啦？在实际的学习过程中，很多同学一开始会觉得裂项公式有点复杂，不好掌握。
但是只要多做几道练习题，多琢磨琢磨，就能发现其中的规律和乐趣。
就像咱们班的小李同学，一开始对裂项公式总是出错，愁得直挠头。
我就鼓励他多做几道类似的题目，还专门给他找了一些针对性的练习。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
裂项相消法公式大全
裂项相消法公式大全
裂项相消法是一种数学方法，用于解决等差数列、等比数列以及无理数列的求和问题。
该方法的基本思想是将等差数列、等比数列以及无理数列的每一项分别裂项，然后将裂项相消，从而得到等差数列、等比数列以及无理数列的和。
以下是裂项相消法的一些公式:
1. 等差数列求和公式:
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。
2. 等比数列求和公式:
Sn = (n/2) * (a1 * an) / (an + a1)
其中，n 是数列的长度，a1 是数列的首项，an 是数列的最后一项。
3. 无理数列求和公式:
对于无理数列，可以将每一项裂项，然后相消。
例如，对于无理数列π*(n+1)/n，可以将π*(n+1)/n 裂项为π/n 和 (n+1)*π/n，然后将两项相消。
4. 等差数列裂项公式:
a[n+1] - a[n] = (n+1-n)*a1
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
5. 等比数列裂项公式:
a[n+1]/a[n] = (a[n]/a[n-1])*(a[n-1]/a[n])
其中，a[n+1] 是数列的第 n+1 项，a[n] 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
6. 无理数列裂项公式:
π*(n+1)/n - π/n = (n+1-n)*π
其中，π*(n+1)/n 是数列的第 n+1 项，π/n 是数列的第 n 项，n 是数列的长度。
以上是裂项相消法的一些公式，可以根据实际需要选择合适的公式进行求解。
四项裂项公式
四项裂项公式裂项法是数学中非常实用的一种解题技巧，而四项裂项公式更是其中较为复杂但又充满趣味的一部分。
咱先来说说啥是裂项。
简单讲，就是把一个式子拆分成几个部分，让计算变得更简单。
比如说，1/2 - 1/3 = 1/6，那 1/6 就可以裂项成 1/2 - 1/3 。
那四项裂项公式到底是啥样呢？就拿一个常见的例子来说，比如有这样一个式子：1/(1×2×3) + 1/(2×3×4) + 1/(3×4×5) + ...... + 1/(n×(n + 1)×(n + 2)) 。
对于这个式子，咱们就可以通过四项裂项公式来处理。
那这个公式到底咋用呢？我给您细细道来。
先看看第一项 1/(1×2×3) ，它可以裂项为 1/2 × (1/(1×2) - 1/(2×3)) 。
再看第二项 1/(2×3×4) ，能裂项成 1/2 × (1/(2×3) - 1/(3×4)) 。
依此类推，整个式子就可以通过这样的裂项进行化简和计算。
我还记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，那场面可热闹了。
有个小同学，瞪着大眼睛，一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么难啊！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”然后我就带着他们从最简单的例子开始，一点点去理解裂项的原理。
到了做练习题的时候，大部分同学都掌握得不错，可有个小调皮，明明会做，却故意写错，还冲着我做鬼脸。
我走过去轻轻敲了敲他的脑袋说：“小家伙，别调皮，认真点！”最后大家都成功掌握了这个知识点，看着他们脸上洋溢着的那种学会新知识的喜悦，我心里也美滋滋的。
回到这四项裂项公式，它在解决一些复杂的数学问题时，真的能起到意想不到的效果。
比如说在数列求和问题中，如果遇到类似的式子，用常规方法可能会很繁琐，但用上四项裂项公式，就能轻松搞定。
六种裂项基本公式
六种裂项基本公式(1) 二次方程的裂项公式：设ax²+bx+c=0，则有x= [-b±√(b²-4ac)]/2a(2) 三次方程的裂项公式：设ax³+bx²+cx+d=0，则有x=-[(b+√(b^2-4ac))/2a] [+(b-√(b^2-4ac))/2a](3) 四次方程的裂项公式：设ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a](4) 五次方程的裂项公式：设ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+ 2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)](5) 六次方程的裂项公式：设ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b+ 3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+[(b+3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)], [-(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]裂项是在多项式函数中，根据特定的基本公式将方程拆解之后得到的解。
小学奥数裂项公式汇总
小学奥数裂项公式汇总1. 一元二次方程：一元二次方程是来自于“二次”，即指二次多项式的方程，此方程只有一个未知变量，解决的时候通常是找出它的两个实数根。
一般的一元二次方程的形式如下：ax2+bx+c=0，其中a、b、c都是实数，而且a不等于0，x表示未知变量，a、b、c用来确定任意的一个一元二次方程。
此方程的解可以用裂项公式来求，公式由x=(-b±√（b2-4ac）)/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则此一元二次方程有两个不同的实数根，若判别式等于0，则有两个重根，若判别式小于0，则没有有理数根。
2. 二次不等式：二次不等式是以“二次”为特征的不等式，是指一个二次多项式在单一或双边限制范围内的取值，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 。
其中a、b、c都是实数，a不等于0，x表示未知变量。
此不等式的解可以用裂项公式来求，公式由-b-√（b2-4ac）/2a<x<-b+√（b2-4ac）/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则满足此二次不等式的解为一个区间，若判别式等于0，则此不等式的解为一个端点，若判别式小于0，则此不等式没有有理数根，是一个无解事件。
3. 一元三次方程：一元三次方程的形式为：ax3+bx2+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数，a不等于0，x为未知变量。
这是一个由三次多项式形成的方程，解法有三种：秦九韶算法、降次法和Vieta公式，其中秦九韶算法是求根最经典的方法；而Vieta公式是起到检验求根方法的作用，也可以求出根等信息；降次法是尝试将方程按次数降低，从而将一元三次方程分解成一元二次方程，乘以常数所形成的一个等式组，这样就可以使用上面的一元二次方程的裂项公式来求解。
4. 平方：平方是指某个数字被提取，且其乘方为2的结果数，常用三角形表示。
其求根可以用裂项公式来求，公式由x=±√b两个解式组成，此实数根依然是以b为参数，且包含正数解和负数解，而结果有可能是实数根也有可能是复数根，要从b的正负来判断其结果是什么样。
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数整数裂项公式大全
小学奥数的裂项公式是学生的拔高基础、提高奥数水平的必修课，也是升学考
试得高分的基础。
因此，小学奥数裂项公式大全在现在的考试当中也起着非常重要的作用。
首先，小学奥数裂项公式大全中一般包含了六种常见的裂项公式，分别是除式
裂项、乘式裂项、巴什博式十进制数字裂项、欧拉公式、线性公式和立方公式。
接下来，小学奥数裂项公式大全中常用的除式裂项公式就是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，一个数字57的除式裂项是7x8，其
中7和8都是57的因子。
而乘式裂式是一种分解数字的方法，把一个数字分解成多个数的乘积。
例如，
一个数字24可以分解成2x2x2x3，其中2、2、2和3都是24的因子。
此外，线性公式和立方公式是小学奥数裂项公式大全中比较难掌握的两种公式，一般而言，线性公式要求学生分解多项式，立方公式要求学生对三角函数进行解析，两者都需要孩子掌握多项式的分解和三角函数的知识。
最后，学习小学奥数的裂项公式大全，在实践中学生要多练习，通过正确、错
误的练习来认识公式，总结常识，这样才能够真正掌握小学奥数的裂项公式大全。
以上就是小学奥数裂项公式大全的介绍。
奥数常见裂项法、经典裂项试题和裂项公式
1
证： Sn
=
1 (1 − 3
1) + 4
1 (1 34
−
1) + 7
1 (1 37
− 1 )++ 10
1( 1 3 3n − 2
−
1) 3n + 1
= 1 (1 − 1 ) = n 3 3n + 1 3n + 1
15.求和：
Sn
=
1 1× 3
+
1 2×
4
+
1 3×5
+
1 4×6
++
1 n(n +
2)
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
98 99 99 100
=1− 1 100
= 99 100
2. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120
小学奥数裂项公式汇总资料
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数裂项相消法
小学奥数裂项相消法大家好，今天雨过天晴，正是学习的好时机。
我们来讲一下裂项相消法。
在我们的读书生涯中，裂项相消法一直陪伴着我们。
毫不夸张的说，只要你学数学，总会看到它的身影。
首先，我们来介绍两个公式：1、母积子和公式：\displaystyle \frac{b+a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }+\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}+\frac{1}{b } \\•分母是两个数的乘积•分子是这两个数的和•则可以裂项为两个分数的和2、母积子差公式：\displaystyle \frac{b-a}{a\times b } =\frac{b}{a\times b }-\frac{a}{a\times b }=\frac{1}{a}-\frac{1}{b } \\•分母是两个数的乘积•分子是这两个数的差•则可以裂项为两个分数的差我们今天要讲的是分裂项的消除，与这两个公式有关。
下面介绍一下我们初中数学经常用到的两个基本公式：\displaystyle \frac{1}{n\times \left ( n+1 \right ) } =\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \\\displaystyle\frac{1}{n\times \left ( n+k \right ) }=\frac{1}{k}\left ( \frac{1}{n} -\frac{1}{n+k} \right ) \\那这两个基本公式和我们上面看到的母积子和、母积子差公式有什么关系呢？同学们可以暂停思考一下。
这里又用到了我们数学计算中非常重要的一个方法：“巧用1”，不管在以后的高中，大学的学习中，都会经常使用到这个计算方法。
左边分子1可以表示成\displaystyle 1=n+1-n，那同学们是不是马上就看到了母积子差公式。
根据这个思路，我们再来看\displaystyle\frac{1}{n\times\left ( n+k \right ) } ,分子1怎么表示，才能和分母产生联系？\displaystyle n+k-n=k那是不是只要在前面乘上\displaystyle \frac{1}{k} 就搞定了？是的，我们只需要将分子写成\displaystyle \frac{1}{k}\left ( n+k-n \right ) ,这样我们就可以利用母积子差公式推导出常用基本公式。
小学奥数裂项公式汇总
小学奥数裂项公式汇总Newly compiled on November 23, 2020裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）ab b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n (2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式(修订)
19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy
裂项十个基本公式
裂项十个基本公式1. 分数裂项基本公式一：(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)- 例如：计算∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))，根据这个公式可以将每一项裂项为(1)/(n)-(1)/(n + 1)，则∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+·s+((1)/(100)-(1)/(101)) = 1-(1)/(101)=(100)/(101)。
2. 分数裂项基本公式二：(1)/(n(n + k))=(1)/(k)((1)/(n)-(1)/(n + k))- 例如：对于∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))，这里k = 3，根据公式裂项为(1)/(3)((1)/(n)-(1)/(n + 3))。
- 那么∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))=(1)/(3)[(1-(1)/(4))+((1)/(2)-(1)/(5))+·s+((1)/(50)-(1)/(53))]。
3. 分数裂项基本公式三：(1)/((2n - 1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/(2n - 1)-(1)/(2n+1))- 例如：计算∑_n = 1^20(1)/((2n - 1)(2n+1))，利用这个公式裂项后得到(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+·s+((1)/(39)-(1)/(41))]=(1)/(2)(1-(1)/(41))=(20)/(41)。
4. 分数裂项基本公式四：(n)/(n(n + 1)) = 1-(1)/(n + 1)- 例如：求∑_n = 1^30(n)/(n(n + 1))，根据公式可得∑_n = 1^30(1-(1)/(n +1))=(1-(1)/(2))+(1-(1)/(3))+·s+(1-(1)/(31)) = 30-( (1)/(2)+(1)/(3)+·s+(1)/(31))。
小学奥数裂项公式汇总
a ⨯b = b - a an ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) = 1 ⎛1 2 ⎝ n ⨯ (n + 1) - (n + 1) ⨯ (n + 2) ⎭ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) ⎪⎭a ⨯b = aa ⨯b + b a ⨯ b = 1（1） a + b ⎝a ⨯b = a b + ba ⨯b = a ⨯ b(1)1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + ...... + (n - 1) ⨯ n = (n - 1)n (n + 1)裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1形式的，这里我们把较小的数写在前面，a ⨯ b即 a ＜b ，那么有:1 1 1 1( - )b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：11 ⎫⎪⎪1 1 ⎛ 1 n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) ⨯ (n + 3) = 3 n ⨯ (n + 1) ⨯ (n + 2) -二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：1b + a1 ⎫⎪（2） a 2 + b 2 a 2 b 2+a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式13(3)n (n + 1) = n (n + 1)(n + 2) - (n - 1)n (n + 1)(4) n (n + 1)(n + 2) = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n - 1)n (n + 1)(n + 2)证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = 1 - =证： S = (1 - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )3 4 3 4 7 3 7 10 3 3n - 2 3n + 1(2)1⨯ 2 ⨯ 3 + 2 ⨯ 3 ⨯ 4 + 3 ⨯ 4 ⨯ 5 + ...... + (n - 2) ⨯ (n - 1) ⨯ n = 1(n - 2)(n - 1)n (n + 1)41 13 3n(n + 1) = n 2 + n1 14 4(5)n ⨯ n != (n + 1)!- n !裂项求和部分基本公式1.求和： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + + ...... + =1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 n (n + 1) n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn 2 2 3 3 4 4 5 n n + 1 n + 1 n + 12.求和： S = n证： S = n 1 1 1 1 1 n+ + + +Λ + =1⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 (2n - 1)(2n + 1) 2n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(1 - ) + ( - ) + ( - ) + Λ + ( - ) = (1 - ) =2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n - 1 2n + 1 2 2n + 1 2n + 13.求和： S = n 1 1 1 1 n+ + +Λ + =1⨯ 4 4 ⨯ 7 7 ⨯ 10 (3n - 2)(3n + 1) 3n + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1n1 1 n= (1 - ) =3 3n + 1 3n + 1+ + +Λ + = - 1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n(n + 1)(n + 2) 2 ⎝ 2 (n + 1)(n + 2) ⎪⎭= [ - ] ，∴ S = 12 1⨯ 2 2 ⨯3 2 2 ⨯ 3 3 ⨯4 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2) 12 + 32 + 52 + Λ +（2n - 1）2 = =1 1 1 + 2+Λ + n (4.求和： S = n证： S = n5.求和： S = n证：因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + +Λ + = (1 + - - )1⨯ 3 2 ⨯ 4 3 ⨯ 5 4 ⨯ 6 n (n + 2) 3 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(1 - ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) +Λ + ( - )2 3 2 2 4 2 3 5 2 4 6 2 n - 1 n + 11 1 1 1 1 1 1 + ( - ) = (1 + -- - )2 n n + 23 2 n + 1 n + 21 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫1 1 1 1n (n + 1)(n + 2) 2 n (n + 1) (n + 1)(n + 2)1 1 1 1 1 1 1 1( - ) + ( - ) +Λ + [ - ]n1 1 1 = [ - ]2 2 (n + 1)(n + 2)特殊数列求和公式1 +2 + 3Λ n = n(n + 1)21 +2 +3 + Λ +（n - ）+ n +（n - ）+ Λ + 3 + 2 + 1 = n 21 + 3 + 5 + 7Λ +（2n - ）= n 212+ 22+ Λ + n 2= n (n + 1)(2n + 1)6n (2n + 1)(2n - 1) n ⨯ (4n2 - 1)3 313 3 3 = 1 + 2 + Λ n )2=n2 (n + 1)2 4平方差公式a 2 -b 2 = (a + b )(a - b )完全平方和（/差）公式(a±b)2=a2±2ab+b2。
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裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b
a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即
a ＜
b ，那么有:
)1
1(1
1
b a a b b a --=⨯
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1
n n n n n n n
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1
n n n n n n n n n n
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） a b b a b
b a a b a b a 1
1
+=⨯+⨯=⨯+
（2）a b
b a
b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2
2
2
2
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整
三、整数裂项基本公式
(1))1()1(31
)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n
(2))1()1)(2(41
)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n
(3))1()1(31
)2)(1(31
)1(+--++=+n n n n n n n n
n n n n +=+2)1(
(4))2)(1()1(4
1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5)!)!1(!n n n n -+=⨯
裂项求和部分基本公式
1.求和：1
)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1
111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：)1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1
3)1311(31+=+-=n n n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：)1
111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2
111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])
2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n 特殊数列求和公式
2
)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（
2127531n n =-++++）（
6
)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(12531222
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22333+=++=+++n n n n 平方差公式))((22b a b a b a -+=-
完全平方和（/差）公式2222)(b ab a b a +±=±。