圆中有关定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

1.切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角（如图2）：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）∠APC,∠APD,∠BPD,∠BPC

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中∠APC=∠CDP等

证明：如图2，连接CD、OC、OP，因为∠CPO=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠CPO=90︒-∠APC,故∠COP=2∠APC,即∠CDP=∠APC。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交弦定理⊙O中，

AB、CD

为弦，交

于P. PA·PB＝PC·PD

连结AC、BD，∠C=∠B,∠A=∠D,

所以△APC∽△DPB

相交弦定理的推论⊙O中，

AB为直

径，

CD⊥AB

于P.

PC2＝PA·PB

用相交弦定理.

切割线定理⊙O中，

PT切⊙O

于T，割

线PB交

⊙O于A

PT2＝PA·PB

连结TA、TB，则∠PTA=∠B（弦

切角等于同弧圆周角）所以

△PTA∽△PBT，所以

PT2＝PA·PB

图1 图2

切割线定理推论

PB 、PD 为⊙O 的两条割

线，交⊙O 于A 、C

PA·PB ＝PC·PD 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理

圆幂定理

⊙O 中，割线PB 交⊙O 于

A ，CD 为

弦

P'C·P'D ＝r 2－OP'2

PA·PB ＝OP 2－r 2

r 为⊙O 的半径

延长P'O 交⊙O 于M ，延长OP'交⊙O 于N ，用相交弦定理证；过P 作切线用切割线定理勾股定理证

8.圆幂定理：过一定点P 向⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条线段之积为常数||（R 为圆半径），因为叫做点对于⊙O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1.如图1，正方形ABCD 的边长为1，以BC 为直径。在正方形内作半圆O ，过A 作半圆切线，切点为F ，交CD 于E ，求DE ：AE 的值。

图1

例2.⊙O 中的两条弦AB 与CD 相交于E ，若AE ＝6cm ，BE ＝2cm ，CD ＝7cm ，求CE 。

图2

例3.已知PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则::2

2PB AC AB ________。

例4.如图3，P 是⊙O 外一点，PC 切⊙O 于点C ，PAB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，如果PA ：PB ＝1：4，PC ＝12cm ，⊙O 的半径为10cm ，则圆心O 到AB 的距离是___________cm 。

图3

例5.如图4，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D ，求证：（1）CB CD CE •=2

；（2）若AB ＝BC ＝2厘米，求CE 、CD 的长。

图4

例6.如图5，AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，AE 切⊙O 于A ，交CD 的延长线于E 。求证：DE AB BC •=2

图5

例7.如图6，PA 、PC 切⊙O 于A 、C ，PDB 为割线。求证：AD·BC ＝CD·AB

图6

例8.如图7，在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，以AB 边为直径作⊙O ，交斜边BC 于点D ，过D 点作⊙O 的切线交AC 于E 。求证：BC ＝2OE 。

图7

例9.如图8，在正方形ABCD 中，AB ＝1，⋂

AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过E 作⋂

AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，G 为切点。 当∠DEF ＝45°时，求证:点G 为线段EF 的中点；

图8

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1.已知：PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB ，若AB ＝8，弦AB 的弦心距3，则PA ＝（ ） A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8

2.下列图形一定有内切圆的是（ ）

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.梯形

3.已知：如图1直线MN 与⊙O 相切于C ，AB 为直径，∠CAB ＝40°，则∠MCA 的度数（ ）

图1

A. 50°

B. 40°

C. 60°

D. 55°

4.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为（ ） A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm

5.在△ABC 中，D 是BC 边上的点，AD=22cm ，BD ＝3cm ，DC ＝4cm ，如果E 是AD 的延长线与△ABC 的外接圆的交点，那么DE 长等于（ ）

A. 32cm

B. 23cm

C. 22cm

D. 33cm 6. PT 切⊙O 于T ，CT 为直径，D 为OC 上一点，直线PD 交⊙O 于B 和A ，B 在线段PD 上，若CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，则PB 等于（ ）

A. 20

B. 10

C. 5

D.