用样本估计总体
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所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为 3.
2．(2016·河南三市调研)在检验某产品直径尺寸的过程中，
将某尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数
在该组上的频率为 m，该组在频率分布直方图上的高为 h，则|a
－b|等于( )
m A. h C．mh
h B.m D．与 h，m 无关
18 人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人
数应为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 选 B 依题意可得 10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋ 0.035)＝1，则 a＝0.03.
所以身高在[ 120,130)，[ 130,140)，[ 140,150] 三组内的学生 比例为 3∶2∶1.
3．茎叶图
定义
是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶 就是从茎的旁边生长出来的数
对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是 两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三 画法 位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数 据为小数时做类似处理．对于样本数据较少，且分布较为集 中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎
由方差公式得 s2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－ 11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
[答案] 6.8
考点一 频率分布直方图的绘制及应用(基础型考点——
自主练透)
[方法链接]
(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后
可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确；②频
[答案] A
4．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x；[40,50)，5；[50,60)，4； [60,70)，2；则 x＝________；根据样本的频率分布估计，数据 落在[10,50)的概率约为________．
[解析] x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4，P＝2＋3＋ 204＋5＝ 0.7 或 P＝1－4＋ 202＝170＝0.7.
(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相 等，前三组的频率和为 0.28，前四组的频率和为 0.56，∴中位 数位于第 4 组内．
考点二 茎叶图的应用(重点型考点——师生共研) 【例 1】 某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购 物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为 5 将数 据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分 布直方图是( )
[答案] B
3．(2016·广州模拟)对某商店一个月内每天的顾客人数进行 了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、 众数、极差分别是( )
A．46,45,56 C．47,45,56
B．46,45,53 D．45,47,53
[解析] 茎叶图中共有 30 个数据，所以中位数是第 15 个 和第 16 个数字的平均数，即12(45＋47)＝46，排除 C，D；再计 算极差，最小数据是 12，最大数据是 68，所以 68－12＝56， 故选 A.
[答案] D
【名师说“法”】
在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这 个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎 与叶的含义．
跟踪训练
1．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树
苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表
A．甲网店的极差大于乙网店的极差 B．甲网店的中位数是 46 C．乙网店的众数是 42 D．甲网店的销售业绩好
[解析] 甲网店极差为 58－6＝52，乙网店极差为 58－5＝ 53，A 错；甲网店中位数为 44，B 错；乙网店的众数为 13，C 错；甲网店平均数110(6＋11＋12＋32＋43＋47＋45＋51＋58＋ 51)＝35.6，乙网店平均数为110(5＋7＋13＋13＋13＋22＋34＋42 ＋42＋58)＝24.9，所以甲网店的业绩好. 故选 D.
值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底 边中点的横坐标之和
反映了各个样本数据
聚集于样本平均数周
围的程度．标准差越
标 标准差是样本数据到平均数的一种平均 小，表明各个样本数
准 距离，即 s＝
据在样本平均数周围
差
n1[x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2].越集中；标准差越大，
表明各个样本数据在
[质疑探究3] 平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特 征？
提示：平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差 反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据 的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．
[小题查验] 1．给出下列命题，正确的是( ) ①一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 ②平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势 ③一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 ④频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据 落在该区间内的频率越高
[答案] B
2．某雷达测速区规定：凡车速大
于或等于 70 km/h 的汽车视为“超
速”，并将受到处罚，如图是某路段
的一个检测点对 200 辆汽车的车速进
行检测所得结果的频率分布直方图，
则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )
A．30 辆
B．40 辆
C．60 辆
D．80 辆
[解析] 由题图可知，车速大于或等于 70 km/h 的汽车的频 率为 0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有 200×0.2＝ 40(辆)．故选 B.
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数 字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一 些简单的实际问题．
[要点梳理] 1．作频率分布直方图的步骤
[质疑探究1] 频率分布直方图中纵轴表示什么含义？小长 方形的面积表示什么？各小长方形面积之和等于多少？
频率 率分布直方图的纵坐标是组距，而不是频率．
(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系
频率 式：组距×组距＝频率．
[题组集训]
1．(2016·黄冈月考)从某小学随
机抽取 100 名同学，将他们的身高(单
位：厘米)数据绘制成频率分布直方
图(如图)．若要从身高在[120,130)，
[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取
[解析] 月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为 1－(0.02 ＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则 0.15÷5＝ 0.03，所以各组的频率比为 0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01 ＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在 第几组内，并说明理由．
[解] (1)由题易知，第 6 小组的频率为 1－(0.04＋0.10＋ 0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14，∴此次测试的总人数为0.714＝50.
∴ 这 次 铅 球 测 试 成 绩 合 格 的 人 数 为 (0.28×1 ＋ 0.30×1 ＋ 0.14×1)×50＝36.
[答案] 4 0.7
5．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分 数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ________．
(注：方差 s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，其中 x 为 x1，x2，…，xn 的平均数)
[解析] 依题意知，运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋105＋13＋15＝11.
用茎叶图表示数据的优点是：(1)所有的信息都可以从茎叶图 优缺 中得到；(2)便于记录和读取，能够展示数据的分布情况．缺 点 点是：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不
太方便
4. 样本的Fra Baidu bibliotek字特征
数字特征
定义
特点
众数
体现了样本数据的最大 在一组数据中出现次数
集中点，不受极端值的 最多的数据
频率 提示：组距，频率，1.
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：把频率分布直方图中各个长方形上 边的__中__点__用线段连接起来，就得到频率分布折线图． (2)设想如果样本容量_______不__断__增__大_____，分组的组距 __不__断__缩__小________，则频率分布直方图实际上越来越接近于 _总__体__的__分__布___，它可以用一条光滑曲线__y＝__f_(_x_) _来描绘，这 条光滑曲线就叫做总体密度曲线．
影响，而且不唯一
中位数
将一组数据按大小顺序 依次排列，处在最中间 中位数不受极端值的影 位置的一个数据(或最 响，仅利用了排在中间 中间两个数据的平均 数据的信息 数)
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么－x ＝ 平 样本数据的 1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这 n 个数的平均 均
算术平均数 数．在频率分布直方图中，平均数的估计 数
230×100＝15(人)． [答案] 15
4．(2016·烟台四校联考)据悉山东省高考要将体育成绩作为 参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从 本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 m(精确到 0.1 m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成 6 组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到 右前 5 个小组对应矩形的高分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且 第 6 小组的频数是 7.
⑤茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可
以只记一次．
A．①③④
B．②③④
C．③④
D．②③④⑤
[解析] ①错误．平均数一定不大于这组数据中的最大值； ②正确．平均数表示一组数据的平均水平，众数表示一组数据 中出现次数最多的数，中位数等分样本数据所占频率，都可以 从不同的角度描述数据的集中趋势．③正确．由方差的意义知 结论正确．④正确．由频率分布直方图的意义知结论正确．⑤ 错误，茎叶图要求不能丢失数据．故选 B.
[解析] 选 A 根据概率分布直方图的概念可知，|a－b|×h
＝m，由此可知|a－b|＝mh .
3．某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入，并根 据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶 层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的 1 000 人中抽出 100 人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段 应抽出________人．
[解析] 由分组可知 C，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5) 有 1 人，[5,10)有 1 人，∴第一、二小组频率相同，频率分布直 方图中矩形的高应相等，可排除 B.
[答案] A
【例 2】 (2016·九江模拟)甲、乙两人在淘宝网各开一家 网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业 绩，随机选了 10 天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图， 由图知( )
样本平均数的两边越
分散
同标准差一样用来 方 标准差的平方，即 s2＝1n[(x1－－x )2＋(x2 衡量样本数据的离
差 －x)2＋…＋(xn－－x )2]
散程度，但是平方 后夸大了偏差程度
[质疑探究2] 怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与 平均数？
提示：在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直 方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之 和．
第九章 统计、统计案例 第2节 用样本估计总体
◆考纲·了然于胸◆
1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布 直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．
2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准 差．
3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标 准 差)，并做出合理的解释．
2．(2016·河南三市调研)在检验某产品直径尺寸的过程中，
将某尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数
在该组上的频率为 m，该组在频率分布直方图上的高为 h，则|a
－b|等于( )
m A. h C．mh
h B.m D．与 h，m 无关
18 人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人
数应为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] 选 B 依题意可得 10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋ 0.035)＝1，则 a＝0.03.
所以身高在[ 120,130)，[ 130,140)，[ 140,150] 三组内的学生 比例为 3∶2∶1.
3．茎叶图
定义
是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶 就是从茎的旁边生长出来的数
对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是 两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三 画法 位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数 据为小数时做类似处理．对于样本数据较少，且分布较为集 中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎
由方差公式得 s2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－ 11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.
[答案] 6.8
考点一 频率分布直方图的绘制及应用(基础型考点——
自主练透)
[方法链接]
(1)绘制频率分布直方图时需注意：①制作好频率分布表后
可以利用各组的频率之和是否为 1 来检验该表是否正确；②频
[答案] A
4．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下： [10,20)，2；[20,30)，3；[30,40)，x；[40,50)，5；[50,60)，4； [60,70)，2；则 x＝________；根据样本的频率分布估计，数据 落在[10,50)的概率约为________．
[解析] x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4，P＝2＋3＋ 204＋5＝ 0.7 或 P＝1－4＋ 202＝170＝0.7.
(2)直方图中中位数两侧的矩形面积和相等，即频率和相 等，前三组的频率和为 0.28，前四组的频率和为 0.56，∴中位 数位于第 4 组内．
考点二 茎叶图的应用(重点型考点——师生共研) 【例 1】 某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有网上购 物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为 5 将数 据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分 布直方图是( )
[答案] B
3．(2016·广州模拟)对某商店一个月内每天的顾客人数进行 了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、 众数、极差分别是( )
A．46,45,56 C．47,45,56
B．46,45,53 D．45,47,53
[解析] 茎叶图中共有 30 个数据，所以中位数是第 15 个 和第 16 个数字的平均数，即12(45＋47)＝46，排除 C，D；再计 算极差，最小数据是 12，最大数据是 68，所以 68－12＝56， 故选 A.
[答案] D
【名师说“法”】
在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这 个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎 与叶的含义．
跟踪训练
1．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树
苗的长势情况，从两块地各随机抽取了 10 株树苗，用茎叶图表
A．甲网店的极差大于乙网店的极差 B．甲网店的中位数是 46 C．乙网店的众数是 42 D．甲网店的销售业绩好
[解析] 甲网店极差为 58－6＝52，乙网店极差为 58－5＝ 53，A 错；甲网店中位数为 44，B 错；乙网店的众数为 13，C 错；甲网店平均数110(6＋11＋12＋32＋43＋47＋45＋51＋58＋ 51)＝35.6，乙网店平均数为110(5＋7＋13＋13＋13＋22＋34＋42 ＋42＋58)＝24.9，所以甲网店的业绩好. 故选 D.
值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底 边中点的横坐标之和
反映了各个样本数据
聚集于样本平均数周
围的程度．标准差越
标 标准差是样本数据到平均数的一种平均 小，表明各个样本数
准 距离，即 s＝
据在样本平均数周围
差
n1[x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2].越集中；标准差越大，
表明各个样本数据在
[质疑探究3] 平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特 征？
提示：平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差 反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据 的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定．
[小题查验] 1．给出下列命题，正确的是( ) ①一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 ②平均数、众数与中位数都可以描述数据的集中趋势 ③一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 ④频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据 落在该区间内的频率越高
[答案] B
2．某雷达测速区规定：凡车速大
于或等于 70 km/h 的汽车视为“超
速”，并将受到处罚，如图是某路段
的一个检测点对 200 辆汽车的车速进
行检测所得结果的频率分布直方图，
则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )
A．30 辆
B．40 辆
C．60 辆
D．80 辆
[解析] 由题图可知，车速大于或等于 70 km/h 的汽车的频 率为 0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有 200×0.2＝ 40(辆)．故选 B.
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数 字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
5．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一 些简单的实际问题．
[要点梳理] 1．作频率分布直方图的步骤
[质疑探究1] 频率分布直方图中纵轴表示什么含义？小长 方形的面积表示什么？各小长方形面积之和等于多少？
频率 率分布直方图的纵坐标是组距，而不是频率．
(2)由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系
频率 式：组距×组距＝频率．
[题组集训]
1．(2016·黄冈月考)从某小学随
机抽取 100 名同学，将他们的身高(单
位：厘米)数据绘制成频率分布直方
图(如图)．若要从身高在[120,130)，
[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取
[解析] 月工资收入落在(30,35](百元)内的频率为 1－(0.02 ＋0.04＋0.05＋0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则 0.15÷5＝ 0.03，所以各组的频率比为 0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01 ＝2∶4∶5∶5∶3∶1，所以(30,35](百元)月工资收入段应抽出
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数； (2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出该中位数在 第几组内，并说明理由．
[解] (1)由题易知，第 6 小组的频率为 1－(0.04＋0.10＋ 0.14＋0.28＋0.30)×1＝0.14，∴此次测试的总人数为0.714＝50.
∴ 这 次 铅 球 测 试 成 绩 合 格 的 人 数 为 (0.28×1 ＋ 0.30×1 ＋ 0.14×1)×50＝36.
[答案] 4 0.7
5．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分 数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 ________．
(注：方差 s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]，其中 x 为 x1，x2，…，xn 的平均数)
[解析] 依题意知，运动员在 5 次比赛中的分数依次为 8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋105＋13＋15＝11.
用茎叶图表示数据的优点是：(1)所有的信息都可以从茎叶图 优缺 中得到；(2)便于记录和读取，能够展示数据的分布情况．缺 点 点是：当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不
太方便
4. 样本的Fra Baidu bibliotek字特征
数字特征
定义
特点
众数
体现了样本数据的最大 在一组数据中出现次数
集中点，不受极端值的 最多的数据
频率 提示：组距，频率，1.
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：把频率分布直方图中各个长方形上 边的__中__点__用线段连接起来，就得到频率分布折线图． (2)设想如果样本容量_______不__断__增__大_____，分组的组距 __不__断__缩__小________，则频率分布直方图实际上越来越接近于 _总__体__的__分__布___，它可以用一条光滑曲线__y＝__f_(_x_) _来描绘，这 条光滑曲线就叫做总体密度曲线．
影响，而且不唯一
中位数
将一组数据按大小顺序 依次排列，处在最中间 中位数不受极端值的影 位置的一个数据(或最 响，仅利用了排在中间 中间两个数据的平均 数据的信息 数)
如果有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么－x ＝ 平 样本数据的 1n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这 n 个数的平均 均
算术平均数 数．在频率分布直方图中，平均数的估计 数
230×100＝15(人)． [答案] 15
4．(2016·烟台四校联考)据悉山东省高考要将体育成绩作为 参考，为此，济南市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从 本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 8.0 m(精确到 0.1 m)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成 6 组，并画出频率分布直方图的一部分如图所示．已知从左到 右前 5 个小组对应矩形的高分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，且 第 6 小组的频数是 7.
⑤茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可
以只记一次．
A．①③④
B．②③④
C．③④
D．②③④⑤
[解析] ①错误．平均数一定不大于这组数据中的最大值； ②正确．平均数表示一组数据的平均水平，众数表示一组数据 中出现次数最多的数，中位数等分样本数据所占频率，都可以 从不同的角度描述数据的集中趋势．③正确．由方差的意义知 结论正确．④正确．由频率分布直方图的意义知结论正确．⑤ 错误，茎叶图要求不能丢失数据．故选 B.
[解析] 选 A 根据概率分布直方图的概念可知，|a－b|×h
＝m，由此可知|a－b|＝mh .
3．某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入，并根 据调查结果画出如图所示的频率分布直方图，为了了解工薪阶 层对月工资收入的满意程度，要用分层抽样的方法从调查的 1 000 人中抽出 100 人做电话询访，则(30,35](百元)月工资收入段 应抽出________人．
[解析] 由分组可知 C，D 一定不对；由茎叶图可知[0,5) 有 1 人，[5,10)有 1 人，∴第一、二小组频率相同，频率分布直 方图中矩形的高应相等，可排除 B.
[答案] A
【例 2】 (2016·九江模拟)甲、乙两人在淘宝网各开一家 网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业 绩，随机选了 10 天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图， 由图知( )
样本平均数的两边越
分散
同标准差一样用来 方 标准差的平方，即 s2＝1n[(x1－－x )2＋(x2 衡量样本数据的离
差 －x)2＋…＋(xn－－x )2]
散程度，但是平方 后夸大了偏差程度
[质疑探究2] 怎样利用频率分布直方图求众数、中位数与 平均数？
提示：在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直 方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之 和．
第九章 统计、统计案例 第2节 用样本估计总体
◆考纲·了然于胸◆
1．了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布 直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．
2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准 差．
3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标 准 差)，并做出合理的解释．