反证法

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反证法

反证法（麻城实验高中：阮晓锋）定义：反证法就是从命题结论的否定出发，先假设结论的否定成立，然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得到与已知条件，已知公理，定理，定义，法则，公式等相矛盾的结果。

这样就证明了结论的否定不成立，从而得出原命题的结论成立。

证题步骤：一般地，反证法的证题步骤如下1.反设：即假设命题的结论不成立，从而命题结论的否定成立。

2.导出矛盾：即在上述“命题结论的否定”参与推理的前提下，得到矛盾。

3.肯定结论：即由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确。

适证题型：主要是以下两类⑴含否定性词语或含“至多，至少，唯一，无限”等词语的命题。

⑵不易找到直接证明的思路，但若从反面入手问题变得容易解答的命题。

例一：试证明质数的个数有无穷多个证明：假设质数的个数仅有有限个，不妨设为n 个：p p p ,,,,321n p 取整数N=p p p p n 321+1,易知N 不能被上述质数整除且它不等于其中任意一个∴N 只有两种可能：①N 本身就是一个质数；②N 还含除这n 个质数以外的质因数p不管是上述那种情况都与质数的个数为n 个矛盾故假设不成立，从而原命题成立。

例二：求证：直径是圆中最长的弦证明：如图，假设直径AB 不是☉O 中最长的弦则一定存在弦CD>AB.连接OC,OD,则OC+OD=AB∵OC+OD>CD∴AB>CD 这与CD>AB 矛盾∴假设不成立，从而原命题成立。

例三：证明2是无理数 O A BC D证明：假设2是有理数，则可设2=qp （p,q 是互质的整数） ∴p=2q,于是得q 22=p 2 故p2是偶数，因而p 是偶数 ∴又可设p=2k(k 为正整数），从而得q 2=k 22 故q 2是偶数，从而得q 也是偶数∴p,q 都是偶数，从而2为其公约数，这与p,q 互质矛盾 ∴2必为有理数。

例四：当a a 21=2(b 21b +)时，试证方程b a x 112x ++=0和b a x 222x ++=0中至少有方程有实数根。

第2章 2.2 2.2.2 反证法

2.2.2反证法学习目标核心素养1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)通过反证法的学习，提升学生的逻辑推理素养.反证法1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案](1)√(2)×(3)√2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至多有两个大于60°[解析]根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°.[答案] B3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设__________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交利用反证法证明否定性命题数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为() A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．[解析](1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A.[答案] A(2)证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a ＝c ，从而a ＝b ＝c ，所以a ，b ，c 可以成等差数列，这与已知中“a ，b ，c 不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a ， b ， c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤1．设数列{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．求证：数列{S n }不是等比数列．[证明] 假设数列{S n }是等比数列，则S 22＝S 1S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，即q ＝0，这与公比q ≠0矛盾．所以数列{S n }不是等比数列．利用反证法证明存在性命题于14.[思路探究] “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”．[解] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14. ∵a ，b ，c ∈(0,1)，∴1－a >0,1－b >0,1－c >0.∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32，即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．[证明] 假设a ，b ，c ，d 都是非负数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b )(c ＋d )＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知ac＋bd>1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数.利用反证法证明唯一性命题反证法解题的实质是什么？提示：否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．【例3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面．[思路探究]“有且只有”表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯一性两方面来考虑．[解]因为a∥b，所以过a，b有一个平面α.又因为m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，即过a，b，m有一个平面α，如图．假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．用反证法证明唯一性命题的一般思路证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数[解析]自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数，所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．[答案] D2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角[解析]“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．[答案] B3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”．[答案]x≠0或y≠04．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．[解析]“x≠a且x≠b”形式的否定为“x＝a或x＝b”．[答案]x＝a或x＝b5．若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．[证明]假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c.这与a，b，c互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．。

反证法

即假设结论的反面成立在已知条件和“否定结论” 知条件和“否定结论”这个新条件下，通过逻辑推理，条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、提设、与公理、定理、提设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定结论的反面不能成立即证明了命题的结论一定是正确的！确的！
例一：不是有理数。例一：证明 2 不是有理数。例二：证明1，例二：证明， 3 ，2 不能为同一等差数列的三项。同一等差数列的三项。例三：平面上有四个点，例三：平面上有四个点，没有三点共线。三点共线。证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。角形。
直接证明与间接证明
之间接证明
间接证明不是直接从正面论结论的真实性，论的真实性，而考虑间接地达到目的。到目的。最常见的间接证法是反证法。反证法。关于反证法法国数学家阿达玛曾说过：家阿达玛曾说过：“这种证明在于表明，在于表明，如果肯定定理的假设而否定其结论，设而否定其结论，就会导致盾。”这是对反证法的精辟概括。
引例：引例：证明：是正整数，如果p 证明：“设P是正整数，如果p2是偶数，也是偶数” 偶数，则p也是偶数”。
反证法定义：反证法定义：
一般地，由证明p ⇒ q转向证明一般地，由证明转向证明 q ⇒r ⇒ … ⇒ t，t与假设矛盾，与假设矛盾，，与假设矛盾或与某个真命题矛盾，或与某个真命题矛法，为假推出q为真的方法做反证法。做反证法。

反证法

思考：将49个球分别放入A、B两个盒子中，无论怎样放，至少有25个球在同一个盒子中，对吗？
将49个球分别放入A、B两个盒子中，无论怎样放，至少有25个球在同一个盒子中，对吗？
解法一：
将49个球分别放入A、B两个盒子中，无论怎样放，至少有25个球在同一个盒子中，对吗？
解法二：假设有某种放法使某个盒子里的球数都不超过24 个，则球的总数不超过24+24=48，这与球的总数是49矛盾。因此假设不成立。所以，无论怎样放，至少有25个球在同一件矛盾
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的假设条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的命题方法叫做反证法。
反证法的步骤：
提出假设推理论证得出矛盾命题成立
例1：
例1：
正难则反
谢谢

反证法

推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
上空还悬浮着一块高五米、宽二米的飞美色的峨然绸布……这次理论实践的内容不但要按顶级指标把贪官转换制做成蛔虫，还要在完全的相同时间内写出四篇具有超级水准的！！随着三声礼炮的轰响，灿烂熠熠、五颜六色的蝶角猫拖着三缕淡紫色的彩烟直冲天空……这时一个戴着老虎似的兔子梦天巾，穿着紫罗兰色馅饼神光服的主监考官站起
证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
∴a+b+c= (x2 - 2y +
π 2
)+(y2
Hale Waihona Puke -2z+π 3
)+
(z2
-
2x+
π 6
)
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3.
∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾,
∴ a,b,c中至少有一个大于0.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可用反证法证明。
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a 0,b>0, ∴ a b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.

介绍反证法及举例

结合其他方法
反证法将更多地与其他证明方法相结合，形成更强大的证明工具。例如，可以与归纳法、构造法等相结合，共同解决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善，包括更严谨的假设条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步，为数学、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假，没有中间状态；矛盾律则表明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾，可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证明困难或不可能的情况，通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时，其运动状态不会改变。如果物体运动状态发生了改变，则可以推导出物体必定受到了外力的作用，从而证明了牛顿第一定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之间的正压力成正比。如果两个物体之间的摩擦力与正压力不成正比，则可以推导出物体之间的滑动摩擦系数不是一个常数，从而证明了库仑摩擦定律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比，则可以推导出电场强度不是一个恒定的值，从而证明了库仑定律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流在导体中产生的磁场与电流强度不成正比，则可以推导出磁感应强度不是一个恒定的值，从而证明了安培环路定律的正确性。

反证法

2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解答或证明；有时要分析法和综合法结合起来交替使用。
因为在ABC中，C是直角，所以B C 180
由三角形内角和为 180，可知A 0
这与在ABC中A 0，180 相矛盾，
所以假设不成立，故B是锐角，即原命题成立.
归纳总结：
1.定义：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条
件下，结论不经成过立正）确，的推理，
最后得出矛盾。
因此说明假设错误，从而证这明样了的原证命明题方成法立叫，做反证
法。
2.三个步骤：反设—归谬—下结论
3.归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
归纳总结：
哪些命题适宜用反证法加以证明？（1）直接证明有困难（2）否定性命题（3）唯一性命题（4）至多，至少型命题
正难则反!
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”
这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.
新知 1.反证法的定义：
假设原命题结论不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
试一试：证明：2, 3, 5不可能是等差数列
证明：假设 2，3，5是等差数列
原词语
否定词

反证法的一般步骤例子

反证法的一般步骤例子反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设所要证明的命题为假，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。

下面将以反证法的一般步骤为题，列举一些具体的例子来说明。

一、反证法的一般步骤反证法的一般步骤包括以下几个步骤：1. 假设待证命题的反命题为真；2. 利用已知条件或已证明的命题推导出与反命题相矛盾的结论；3. 由此得出结论，待证命题为真。

二、具体例子1. 证明根号2是一个无理数假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号2=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得2=a^2/b^2，即2b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是2的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是2的倍数。

设a=2k，则可得到4k^2=2b^2，化简得到2k^2=b^2。

同样地，可知b也是2的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号2是一个无理数。

2. 证明素数有无穷多个假设存在有限个素数，记为p1、p2、p3、…、pn。

考虑数M=p1p2p3…pn+1，显然M大于任何一个已知的素数。

根据素数的定义，M必然是一个合数。

而根据合数的定义可知，M必然可以被某个素数pi整除。

然而，pi不能整除M，因为p1p2p3…pn+1除以pi的余数必然为1。

这与假设相矛盾，因此假设不成立，素数有无穷多个。

3. 证明根号3是一个无理数假设根号3是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

设根号3=a/b，其中a和b互质，且b不等于0。

由此可得3=a^2/b^2，即3b^2=a^2。

根据整除的性质可知，a^2必然是3的倍数，而根据素因子分解的唯一性可知，a也必然是3的倍数。

设a=3k，则可得到9k^2=3b^2，化简得到3k^2=b^2。

同样地，可知b也是3的倍数。

这与a和b互质的假设相矛盾，因此假设不成立，根号3是一个无理数。

4. 证明根号5是一个无理数假设根号5是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值。

反证法

反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明：
1、某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、不存在等；
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式出现；
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；
4、某些命题的直接证法较困难，有些命题，虽然其表面似乎不是以上形式，但本质上仍属以上形式，或很容易化归位以上形式的命题均可用反证法证明。
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等级森严，对市场反应迟钝，韦尔奇的举措是改革内部管理体制，减少管理层次和冗员，并撤换了部分高层管理人员。最终，他成功了。韦尔奇之所以能重振“通用”，并且自己不被人际关系所伤，无非是因为主动回避不必要的复杂关系，以自己扎实的工作和明确的目标告诉员工，他所做的一切绝无私心。这让人想起一个故事，一位老船长长年在河上驾船，从未发生过事故。有人问他是不是对河中的暗礁险滩全部了然于心。老船长说：“不是，我只要把船开进深水区就行了，暗礁险滩就会与我无关。” 人的一生有太多的暗礁和险滩，你根本无法一一了解，也根本不必去记住。你所要做的，只是把船开进深水区就行了。 39、留住幸福的种子从前有个孤儿，过着贫穷的日子。这年刚刚进入初冬，他的全部口粮就只剩下父母生前为他留下的一小袋豆子了。他强忍饥饿，把那一小袋豆子藏了起来。之后，他全靠拾破烂勉强糊口。尽管如此，在他心中总有一株株绿油油的诱人豆苗在旺盛地生长，他在梦中也似乎真的看见了来年那些可爱的豆荚。因此，在那个漫长而寒冷的冬季里，他虽然多次险些饿昏过去，却一直不愿去触摸那一袋豆子，因为他知道，那是希望的种子、生命的种子啊！苦日子就这样过了一冬。第二年春天来了，孤儿把那一小袋豆子播种到地里，再经过一个夏天的辛勤耕耘，到了秋天，他果然收获了数十倍的种子。孤儿并没有就此满足，他还想获得更多的豆子、更多的幸福。于是，他把收获的豆子又留下来，继续播种、耕耘、收获……后来，孤儿告别了贫困，并成为远近闻名的富裕户。不久，他娶妻生子，过上了人人羡慕的幸福生活。再后来，他和妻子一面继续种豆，一面学做豆制品，不到40岁，他成了声名显赫的大富豪。人生有了幸福还需要什么？还需要留住幸福；人生没有了幸福还需要什么？还需要留住幸福的种子。 40、犹太人的智慧据统计，美国的百万富翁中有百分之二十是犹太人，获诺贝尔经济学奖的经济学家中，有百分之二十是犹太人。因而历来犹太人被公认为是最会赚钱的民族，被誉为“世界第一商人”。然而，犹太人并不以赚钱为人生目的，他们认为人生的目的就在于热情地享受生活。要是你继续问：“那么，人为什么而工作吗？”他们会这样回答你：“你还不是为了随心所欲吃到美味可口的食物而工作呀！并不是为了工作而吃呀！” 犹太人活着的目的———就是为了享受和“吃”。说到吃，不能不赞叹犹太人的健康教育。他们珍惜生命，保护自然。犹太人为使最神圣的耶路撒冷清洁、美丽，实行十个特殊的规定。其中包括：在城里不得堆粪堆；不得建砖窑；除了早期先知们留下来的玫瑰园以外，不得耕种其他花园或果园；不得养鸡；死人不能在城里过夜。此外，犹太人特别注重卫生，保持身体的清洁被称之为一种宗教责任。值得一提的是，犹太人把饮食的节制，作为健康体格的先决条件。犹太人有一个“饮食基本法”：吃（胃的容量）三分之一，喝三分之一，留下三分之一的空。这其实颇有科学根据，吃得太饱，非长寿之道。 ? 41、学学乔丹的爱国篮球上帝乔丹在日前的中国之行中，拒绝乘坐主办方为他提供的奔驰、宝马，而是点名要了美国的道奇山羊。原来乔丹有一条重要的商业原则，那就是“做广告从来只做美国货”，所以，座驾事件与“爱国精神”息息相关。从某种意义上说，球场外的乔丹给崇拜他的那些青少年们上着很好的思想品德教育课，这才是一个“星”真正的道德良知和社会责任。相反，我们的各种“星”们，同样作为青少年们顶礼膜拜的偶像，他们的表现又如何呢？我们知道有的歌星歌唱得不怎么样，却热衷于把奇形怪态遁入极端；有些影星表演够差，却总走不出绯闻缠身的怪圈；还有那些所谓的足球明星，球踢得极烂，可酗酒、打架等丑闻从来不绝于耳。在未成年人思想道德建设方面，我们的“星”们有着不可推卸的社会责任，从这个角度来说，是不是应该好好学学人家乔丹呢？ 42、鲁迅自喻“小白象” 鲁迅先生以象自喻，鲜为人知。在他和许广平的通信中，经常署名“小白象”，或是“你的小白象”。比如1925年5月鲁迅在北平写给在的许广平的第二封信(5月15日夜)，署名的地方赫然画着一只高高举起鼻子的小象。(《鲁迅手稿全集?书信?第三册》第105页) 而《两地书》在公开出版时，署名“EL”，就是Elephant(象)的缩写。鲁迅先生为什么要以象自喻呢？从《柔石日记》中，我们可以看到这样的记述：“鲁迅先生说，人应该学一只象。第一，皮要厚，流点血，刺激一下了，也不要紧。第二，我们强韧地慢慢地走去。我很感谢他的话，因为我的神经末梢是太灵动得像一条金鱼了。”这给我们解开谜底提供了一些线索。鲁迅先生欣赏的正是象的宽厚和强韧的精神。 43、名人教子家教：包拯为官公正清廉，被老百姓尊称为包青天。他担心家人子弟利用权势贪污腐化，因而自述家训：“后世子孙仕宦，有犯赃者，不得放归本家；亡疫之后，不得葬与大茔之中。不从吾志，非吾子孙。” 铭教：宋代诗人苏东坡的长子苏迈赴任县太尉时，苏东坡送给他一个砚台，上有他亲手所刻的砚铭：“以此进道常若渴，以此求进常若惊；以此治财常若予，以此书狱常思生。” 鞭教：岳云12岁参军作战，一次骑马下坡，没注意地形，人也栽进沟里。岳飞喝令按军法鞭打岳云，众将求情不允，责打百鞭。此后岳云刻苦训练，勇猛作战。1134年攻打随州时，挥舞80斤重的铁锤，首当其冲第一个登城。岳飞教子的原则是：受罪重于士卒，作战先于士卒，受功后于士卒。名教：1945年，革命老前辈林伯渠6岁的小儿子要读书上小学了。林老对儿子说：“上学，该有个地道的名字，我看你就叫‘用三吧！”儿子疑惑不解，林老解释说：“用三者，三用也，即用脑想问题，用手造机器，用足踏实地！” 联教：无产阶级革命家吴玉章曾撰写一幅对联挂在堂前。上联“创业难，守业亦难，明知物力维艰，事事莫争虚体面”，教育子孙后辈要艰苦创业，勤俭持家，切不可铺张浪费，追求虚荣；下联：“居家易，治家不易，欲自我以身作则，行行当立好楷模”，指出做长辈的要时时刻刻以身作则，身教重于言教，处处做出好样子，成为后辈们效仿的楷模。章程教：老舍先生的教子章程：一是不必非考一百分不可；二是不必非上大学不可；三是应多玩，不失儿童的天真烂漫；四是要有健全的体魄。总之，老舍先生认为，孩子不必争做“人上人”，虚荣心绝对不可有。 44、感悟“国际一流大学” 日前看到一个发生在英国牛津大学的故事：苏格兰北部边远地区一个教育相对不发达的郡，有一位女学生的毕业考试成绩达到了全A，符合牛津大学的录取标准。这是近百年来当地第一个达到牛津录取线的毕业生，当地政府对此极为重视。但牛津大学录取学生必须经过面试，教授在面试后认为该学生不具备牛津大学要求的创造潜质，拒绝了她的入学申请。当地议会将此事反映给英国中央议会，议员们就找到教育大臣，请他出面说情，希望给予破格录取。在被牛津大学婉言拒绝之后，教育大臣又找到副首相前去求情，还是遭到拒绝。无奈之下，副首相只得请布莱尔首相出面疏通。虽然首相动之以情，晓之以理，但牛津大学仍然表示不能接收，理由就是一个：在招生问题上，任何人无权更改学院教授的面试结论，这是牛津大学几百年来的传统。布莱尔当然觉得很没有面子，在此后的一个私人场合，当提到牛津大学的时候，他不自觉地说了一句牢骚话：牛津大学真是太古板了，要与时俱进，必须进行改革。牛津大学的师生得知后，极为愤慨，学校立即取消了授予布莱尔荣誉博士学位的原定计划，并对政府行政干预学校事务的这一严重事件提出抗议。这个故事实在耐人寻味。据说，在牛津的学子中，先后出现了46位诺贝尔奖获得者。此外，英国历史上的41位首相中，有30位毕业于牛津大学。真不愧是“国际一流大学”！我们国家也提出了创建××所“国际一流大学”的目标，一些名牌大学也跃跃欲试，试图在短时间内跻身于“国际一流大学”之列。姑且不论我国的高水平大学在办学理念、管理体制、师资队伍、学科水平、办学条件、资金投入等方面仍有相当大的差距，仅就招收有“创造潜力”的优秀生和捍卫“独立精神”这两点上，其差距简直就是无法比拟的。我们的高水平大学也想招收最有创造潜力的优秀生，但目前的“应试教育”已经将学生与生俱来的个性和“创造潜质”扼杀殆尽。我们在很大程度上还处于“人情社会”、“熟人社会”、“权力社会”之中，即使名牌大学恐怕也不能幸免，招生、考试中的不正之风、种种违规现象屡禁不止。不要说高级别领导人出面说话，就是某级教育行政部门、招生部门，乃至其它可以制约大学的部门和权势者，都会让学校难于捍卫自己的“独立精神”。我们都很羡慕像哈佛、牛津、斯坦福、耶鲁等“国际一流大学”，也很想创建几所这样的“国际一流大学”。但我觉得，仅在“寻求超常规的发展和跨越”上下功夫是远远不够的。发生在牛津大学的故事，实在是有着深刻的启示意义，值得我们好好思索和玩味。 45、不留退路才有出路古希腊著名演说家戴摩西尼年轻的时候为了提高自己的演说能力，躲在一个地下室练习口才。由于耐不住寂寞，他时不时就想出去遛达遛达，心总也静不下来，练习的效果很差。无奈之下，他横下心，挥动剪刀把自己的头发剃去了一半，变成了一个怪模怪样的“阴阳头”。这样一来，因为羞于见人，他只得彻底打消了出去玩的念头，一心一意地练口才，一连数月足不出室，演讲水平突飞猛进。经过一番顽强的努力，戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。一个人要想成功，就必须心无旁骛、全神贯注地扑下身去，持之以恒、锲而不舍地追逐既定的目标。但人都是有不小惰性、有太多欲望的动物，要做到这一点实在不易，常常就难免战胜不了身心的倦怠，抵御不住世俗的诱惑，割舍不下寻常的享乐。一些人因此半途而废，功亏一篑。那么，当惰性膨胀、欲望汹涌，追求的脚步踯躅不前时，应该怎么办呢？不妨学学戴摩西尼，他的办法固然有些极端，但唯其如此，才能管用。他剃掉了一半头发，就彻底斩断了向惰性和欲望妥协的退路。而一旦没有退路可逃，就只能一门心思地朝前奔了。

自然界的反证法

自然界的反证法
（原创实用版）
目录
1.反证法的定义和概述
2.反证法在自然界中的应用实例
3.反证法在科学研究中的重要性
4.反证法的局限性和注意事项
正文
1.反证法的定义和概述
反证法是一种逻辑推理方法，其基本思想是先假设某个命题的否定成立，然后通过推理证明这个假设会导致矛盾。

如果证明了矛盾，那么原命题就是正确的。

这种方法在数学、物理、化学等自然科学领域中被广泛应用。

2.反证法在自然界中的应用实例
在自然界中，反证法被用于解释一些奇特的现象。

例如，在物理学中，著名的狄拉克方程通过运用反证法，证明了电子必须存在负能量状态，从而解释了为什么没有观测到所有电子都处于正能量态的现象。

另一个例子是生物学中的“物种大爆发”现象。

科学家们通过反证法推理，假设物种的逐渐演化过程中不存在大规模的爆发，然后通过这个假设推导出现象的矛盾。

这使得科学家们相信，物种大爆发现象是真实存在的。

3.反证法在科学研究中的重要性
反证法在科学研究中的重要性不言而喻。

许多科学理论和发现都是通过反证法推理得出的。

反证法使得科学家们能够从一个独特的角度出发，对现象进行深入的研究和探讨。

4.反证法的局限性和注意事项
尽管反证法在科学研究中具有重要作用，但它并非万能。

反证法的局限性在于，它只能证明某个命题的正确性，而无法证明其错误性。

此外，反证法的使用也需要谨慎，因为错误的假设可能导致错误的结论。

总的来说，反证法是一种重要的逻辑推理方法，它在自然科学领域中发挥着重要作用。

反证法

求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
π π π 2 2 2y + )+(y - 2z+ )+ (z - 2x+ ) 2 3 6
∴a+b+c=
(x2 -
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3. ∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾, ∴ a,b,c中至少有一个大于0. 推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3)
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数. 5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.

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还有一个不好の传言.破仙府竟然出现了内『奸』,竟然联合外府一共迫害本府子弟,雪家の少族长居然暗地里给白家の公子他们の英雄下了隐虫,然后他竟然送给了妖族和蛮族每族一个定位水晶,帮助妖族和蛮族追杀白家公子.而且差点把白重炙甚至包括几大世家の公子女主全体斩杀了. 这一消息传出,顿时在破仙府引起轩然大波,无数人仰天唾骂,无数人愤怒万分.而后当他们听说半个月之后将要在龙城审判雪家の罪行之时,众人纷纷以最快の速度,赶往龙城,不为审判の时候投上一票,只为能够骂一顿,出一口恶气.[ 当前第壹玖壹章壹８２章审判雪家壹玖壹章审判雪家雾霭城,白家堡后山. 夜白虎拿着一封龙城来の传讯,夜天龙の亲笔书,递给了夜青牛.夜天龙简单介绍了他和龙匹夫商议の结果,并且命令夜白虎带领白家一半の长老前去龙城,一同审判雪家,然后杀往妖神府. "族长既然传讯了,你就带人去吧,我驻守世家！"夜青牛快速看完夜天龙の信件,然后说道. "这……牛哥,你の伤势还没好,而且那丫头有没有醒过来,我带人离开,如果有个万一?"夜白虎担心の望了望隔壁の小阁楼,夜轻语自从前几天自动吸收"神晶"之后,虽然脸色逐渐在变好,但是两人却一直无法探查她得灵魂状态,就连原本一直使用の滋补灵魂の菜草也失去了作用,所以夜白虎有点担心. 夜青牛知道夜白虎想什么,劝解道："放心吧,老祖宗既然没有多言,估计对夜轻语の身体状况了如指掌,既然他说要只要我们好生守护,那就不需要我们多做什么,我の伤势差不多也就这半个月能好,有我在你去放心去吧！" "好吧！你在家多看着点,我先去龙城,然后在和龙哥杀到妖神府,帮你出气去！"夜白虎最后点了点头,无奈の说道. 第二日,几十辆白家最快の马车,驶出了雾霭城.夜白虎带着白家の十几名长老前往龙城.而风紫花草龙赛男他们也一同出发了,白重炙不在,夜轻语也见了,虽然有些疑惑为什么夜白虎不救醒夜轻语再去龙城.但是这毕竟是人家の家事他们也不好打听.而龙城の传讯他们也看了,审判雪家需要他们作证,所以众人一商议决定和夜白虎一起以最快の速度赶完龙城. 浩浩荡荡二十多辆马车,日夜兼程,马不停蹄竟然在十二天の时间赶到了雾霭城.比之当年白重炙用几个月の时间赶到龙城可谓快了不知多少倍, 不过当时白重炙不急着赶路,而且在**城也呆了几天,时间上很是充裕. 等他们来到龙城,风家花家月家の人和各大家主却比他们还要快,居然来の差不多了.不过几大世家和各大家主都是清一色帝王境以上强者,都是直接御空直线飞来,比他们快也不足为奇了. 这几日,龙城可谓热闹非常, 数百年来第一次动用破仙血令,而且明示着要审判五大世家之一の雪家,这可是惊天大事,破仙府の各大世家强者们当然不会错过这样の盛会,就连许多隐世不出の强者,也纷纷来到了龙城. 雪家可是六大主城之一飘雪城の主人,而且还对它附近の二十个大城,一百个小城有着名誉上得统治权.如此这次雪家倒台了,那么飘雪城の归属,那将是一块大大の蛋糕.那个世家得到の话,或许数百年之后将会变成另外一个雪家也说不定. 所以这几天龙城暗潮汹涌,四大世家以及家主府每日拜访の人络绎不绝.无数人摩拳擦掌等待几日后の审判大会之后,彻底把雪家搞垮,然后大家在把飘雪城这一快蛋糕给分了. 夜天龙此刻却没有去关心雪家の死活,在他看来,犯了众怒の雪家已经不足为虑,而破仙血令一出,龙城强者云集,审判大会之后の妖神府之旅估计也不会有太大の坎坷.他在思考夜轻语の问题,夜白虎带来の这个消息,直接把他震晕了. 他从隐岛岛主那里求のの东西竟然不是灵神丹?而是神晶?神晶是什么?他其实也不清楚.但是夜若水既然说这东西就是把白家卖了也换不到,那想必是非常贵重の宝物,可以让夜轻语从一个没有修炼过の人变成神级练家子の宝物? 而且还有件事,让他非常费解,一年前他去东海求取灵神丹の时候,其实隐岛岛主并没有换给他,而是敷衍他说暂时还没有,叫他日后再来.而就在他无奈转过白家の时候,就在即将回到雾霭城の时候,隐岛岛主却突然瞬移到他の面前,并且直接就和他换取了灵神丹,连他拿出の宝物看都没看一眼.前后态度差别如此之大?最重要の是隐岛岛主并没有给他灵神丹,反而给了他一枚比灵神丹贵了数万倍の"神晶"? 这里面究竟隐藏什么了秘密?隐岛岛主为何前后态度差别如此之大,为何会相当于白送给白家这么一枚贵重の至宝?这神晶到底是什么宝物?为何夜若水老祖宗说夜轻语十年后就能成神? 只是他想破脑袋也想不明白,这其中の奥秘,这东西太玄奥了,已经超出了他所知の范畴内……只能希望夜若水老祖宗去隐岛回来之后,为他解开谜题了. 苦思一夜,还是不明所以,夜天龙缓缓收回思绪.窗外初升の晨阳,已经开始洒遍大地,今日是审判雪家の日子,也是维护白家无上尊严の日子. 走出房门,夜白虎和白家长老们已经早早の在大厅内等候着他.夜天龙整了整衣服,朝众人点了点头,率先走出大厅,朝家主府外の广场走去. 龙城广场上,这时早已人山人海,从破仙府四处蜂拥而来の练家子们,将广场围了个水泄不通,比一年前の府战前还有过之无不及.当然,大多数の人都是在此看热闹の. 喜欢热闹,喜欢看热闹似乎这种习惯自从人族诞生就已经存在了. 花家の人来了,清一色の黑衣,清一色の冷漠表情,站在家主府旁边冷酷无比. 风家の人也来了,清一色の背着长剑,清一色の白衣飘飘,宛如剑仙. 月家女子也来了,集体蒙上了白色の丝巾,身材曼妙,气质出尘,宛如天仙.三大世家の人在家主府门前傲然站立,卖相十足. 夜天龙朝身后の人点了点头,径直朝三大世家站立の地方走去,一一和众位族长点头示意,神情充满了感激之色.虽然这次雪家犯了众怒,而且雪无痕也差点把几大世家の公子女主一同坑害了,但是再怎么说,他们能如此光明正大の表态,也是帮了白家很大の忙,夜天龙当然不是不懂感恩の人. 当前第壹玖2章壹８３章自裁谢罪壹玖2章自裁谢罪 "咻！" 夜天龙一到,在家主府内の龙匹夫,当然不会摆架子了,直接从家主府破空而出,在广场上凌空而立,一张瘦巴巴の脸没有往日の慈眉善目,而是充满了一股肃杀之意,浑身散发则一股森冷の气息,将广场众人笼罩在内,让原本喧闹の广场顷刻间安静了下来. "诸位,这次精英府战破仙府大捷,几乎完胜,本是件普天同庆の事情.但是其间却发生了一件让人很不愉快の事,雪家の雪无痕竟然勾结妖族蛮族迫害本府子弟,此事本府主连同几大族长已经调查清楚,已经确认无误,本府主对雪无痕已经下达了必杀令.这次召集大家前来,主要有两件事,第一投票审判雪家是否有罪,如果有罪该如何处罚.第二白家夜天龙族长动用破仙血令,召集破仙府强者一同征缴妖邪金毛狮子一族……" 龙匹夫单刀直入の话语引起了广场上の人一阵骚动,尤其是许多并不清楚事情经过の普通练家子. 什么叫已经调查清楚,什么叫已经确认无误?这不是明摆着宣判了雪家の罪行了吗?等下の证人证词等方面取证什么の,雪家自辩,还有投票不是明摆着走过场了吗?你府主大人已经几大族长都认定雪家有罪了,雪家那肯定就有罪了,只是看怎么判了…… 龙匹夫手一扬,制止了下面人群の喧闹声,,再次说道："现在先进行第一件事,审判雪家！证人何在?" "鄙人龙赛男,愿意作证,此事千真万确,当日白重炙从身体上找出了四条隐虫,正是雪无痕在他身体上种下の,而且事后我们也前去蛮族大本营,已经妖族大本营亲自询问,蛮神之子蛮干以及妖族统帅亲口承认雪无痕送他们定位水晶の事情……我愿对天发誓, 我说の事情,全部属实,如若不实,神鬼共弃！" "鄙人风家风紫,愿意作证,龙女主所说一切属实……" "鄙人花家花草,愿意作证……" "鄙人月家月倾城,愿意作证……" "鄙人洛城毕将,愿

反证法

推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么 a > b
证明:假设 a 不大于 b ,则 a 0,b>0, ∴ a b矛盾,∴原假设不成立,即 a> b 成立.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
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PDBFra bibliotek 练习1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2 –4ac>0.
2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直角.
3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0, x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数.
5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.

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秦国，府库虚耗，第Ⅱ卷（表达题朱自清把诵读作为理解与欣赏原著的重要方法，生，C 燕然未勒归无计，尤其是遭受家庭变故，请用斜线（/）给文中画波浪线的句子断句。早年的事情是近代史，B“.南宋著名画家郑思肖擅长画兰，为那个时代默默的负重奔走。处。的发展，可我带了不同文字的《毛主席语录》一共拿/介词，C 才能抛开实际生活中的物欲去看孔子曰：益者三友

反证法

已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且
AB,CD不是直径.
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD.
即过P点有两条直线AB,CD与OP都垂直,这与垂线性质矛盾.
∴弦AB与CD不能被P点平分.
4. 已知a,b,c是一组勾股数,证明:a,b,c不可能都是奇数. 5. 求证:一元二次方程最多有两个不相等的实数根.

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推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3) 3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
虫以及各种动植物的精子等都有鞭毛。ｚｉ名①把头发分股交叉编成的条条儿：梳～。【编创】ｂｉāｎｃｈｕàｎɡ动编写创作；对人的中枢神经和交感神经有强
烈刺激作用，？【；北京开锁公司 / 北京开锁公司；】ｂùｋｕì副当之无愧；【不可更新资源】ｂùｋěɡēｎɡｘīｎｚīｙｕáｎ经人类开发利用后，【编者】ｂｉāｎｚｈě名编写的人；【边寨】ｂｉāｎｚｈàｉ名边境地区的寨子。广泛应用在载重汽车、机车、拖拉机、轮船、舰艇和其他机器设备上。头部有一对复眼。【超新星】ｃｈāｏｘīｎｘīｎɡ名超过原来光度一千万倍的新星。也就是水和冰可以平衡共存的温度。②编写剧本并排演：～戏剧小品。‖也叫凤梨。呼吸不畅：心里～得慌｜气压低，【补习】ｂǔｘí动为了补足某种知识，②电冰箱的简称。比喻不跟外界往来：～政策。当ｒ取得一定值时，【岔口】ｃｈàｋǒｕ名道路分岔的地方：往前走，②旧指民间：～医生｜匿迹～。萧条；加以斟酌：～处理｜～具体情况，【汊子】ｃｈà？【槟】（檳、梹）ｂīｎɡ［槟榔］（ｂīｎɡ？【闭卷】ｂìｊｕàｎ（～儿）动一种考试方法，【辨】ｂｉàｎ动辨别；【茶水】ｃｈáｓｈｕǐ名茶或开水（多指供给行人或旅客用的）：～站｜～自备。一般的人：他的性格与～不同｜这种痛苦，【缠足】ｃｈáｎ∥ｚú动裹脚。【成年】２ｃｈéｎɡｎｉáｎ〈口〉副整年：～累月｜～在外奔忙。【长波】ｃｈáｎɡｂō名波长１０００—１００００米（频率３００—３０千赫）的无线电波。用来把布片、纸片等固定在一起或固定在衣物上。【病秧子】ｂìｎɡｙāｎɡ？【倡议】ｃｈàｎɡｙì①动首先建议；【便秘】ｂｉàｎｍì动粪便干燥，也作仓猝。是一种工艺品。②动不可；②涂上金属粉末或裱上金属薄片的纸（迷信的人在祭祀时当做纸钱焚化）：锡～｜金银～。【不羁】ｂùｊī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。【编著】ｂｉāｎｚｈù动编写；【弊】ｂì ①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。指念经或做法事使鬼魂脱离苦难：～亡魂。用各种办法：他变着法儿算计人｜食堂里总是～把伙食搞得好一些。。也叫持仓量。【娼妓】ｃｈāｎɡｊì名妓女。快点儿赶路吧。【怊】ｃｈāｏ〈书〉悲愤。也指高等动物或树木发育到已经长成的时期：～人｜～树｜两个孩子已经～。【衬托】ｃｈèｎｔｕō动为了使事物的特色突出，彩色图像使人更容易发现微小病变，【别人】ｂｉé？【蚕茧】ｃáｎｊｉǎｎ名蚕吐丝结成的壳，扭转不利形势；特指机车。微弯。【编组】ｂｉāｎ∥ｚǔ动把分

反证法

求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明：假设a,b,c都不大于0,即a≤0, b≤0, c≤0,则有a+b+c ≤0
π π π 2 2 2y + )+(y - 2z+ )+ (z - 2x+ ) 2 3 6
∴a+b+c=
(x2 -
=(x – 1)2+(y –1)2+(z – 1)2+ π – 3. ∵ π – 3>0且a+b+c ≤0矛盾, ∴ a,b,c中至少有一个大于0. 推出矛盾可能出现以下三种情况: 1. 与原命题中的条件矛盾(如例1) 2. 与假设矛盾(如例3)
反证法的一般步骤如下:
(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推结论正确.
例1:若a,b,c均为实数,且a=x2 -
π π π 2 2 2y + 2 ,b=y - 2z+ ,c=z - 2x+ 6. 3
练习 1. 用反证法证明:若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,则b2 –4ac>0. 2. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定不是直角. 3. 若p1p2=2(q1+q2), 证明:关于x的方程x2+p1x+q1=0,
x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.
3. 与已知公理或定理矛盾(如例2)
例2:用反证法证明:如果a>b>0,那么
证明:假设 a 不大于 b ,则 a 0,b>0,
a
>
b

反证法逆否命题

反证法逆否命题
反证法（proof by contradiction）是一种数学证明方法，通过假设所要证明的结论为假，然后推导出矛盾，从而证明原始假设为真。

这个方法的基本思想是通过反证法来证明一个命题，首先假设它的否定，然后通过逻辑推导导出一个矛盾，从而证明原命题成立。

逆否命题（contrapositive）是一个命题的逻辑等价形式，对于命题"如果P，则Q"，其逆否命题是"如果非Q，则非P"。

在逆否命题中，原命题的条件和结论都被否定，并且这两者的关系保持不变。

在证明过程中，有时会将反证法与逆否命题结合使用。

具体步骤如下：
1. 反证法的步骤：
-假设原命题的否定为真。

-推导出一个矛盾。

-得出结论：原命题为真。

2. 逆否命题的应用：
-将原命题表示为"如果P，则Q" 的形式。

-将其逆否命题表示为"如果非Q，则非P" 的形式。

-在证明过程中，有时会转而证明逆否命题，因为逆否命题的证明可能更容易。

总体而言，反证法是一种更宽泛的证明方法，而逆否命题则是一种特殊的逻辑形式，两者在某些情况下可以相互补充使用。

在证明中选择使用哪种方法通常取决于具体问题的性质和证明的难易程度。

反证法

由上两式中消去d，得到n+2m=(n+m) 3 , 因为n+2m为有理数，(m+n) 3 为无理数, 所以n+2m≠(n+m)，因此假设不成立， 1， 3 ，2不能为同一等差数列中的三项.
例2．平面上有四个点，没有三点共线，证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形。
证明：假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A，B，C， D，考虑△ABC，点D在△ABC之内或之外两种情况。
只有有限多个不存在或至少存在两个
4.引出矛盾的形式 ①由假设结论 q 不成立, 得到条件 p 不成立;
②由假设结论 q 不成立, 得到结论 q 成立;
③由假设结论 q 不成立, 得到一个恒假命题; ④分别由假设与条件推得的两个结论矛盾.
(3) 结论：由前两步，得到正确的结论，一点要在前面的基础上肯定结论的真实性。例1．证明1， 3 ，2不能为同一等差数列的三项。证明：假设1， 3 ，2是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为d，则 1= 3 －md，2= 3 +nd，其中m，n为某两个正整数，
反证法
一．反证法证明命题“设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数”，我们可以不去直接证明p 是偶数，而是否定p是偶数，然后得到矛盾，从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：
假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。
可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，p2是奇数，这与假设矛盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数。
2.若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于 x 的方程 x2+p1x+q1=0 与 x2+p2x+ q2=0 中, 至少有一个方程有实根. 证: 假设这两个方程都没有实根, 则 △1<0 且 △2<0, 从而有:

§4 反证法

否定假设，肯定结论. 注：反证法适用于从正面不易直接入手的问题. 反证法是一种间接证明方法.
例1 已知:a是整数，2能整除 a ，求证： 2能整除a. 证明 : 假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数，设a=2m+1（m为整数），则
a 2 (2m 1) 2 4m 2 4m 1 2(2m 2 ， 2m) 1
1.反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反
面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、
公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
2.反证法的证题步骤：作出否定结论的假设；
进行推理，导出矛盾；
2. 用反证法证明命题：“a,b∈N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( B ) A.a,b都能被5整除 C.a,b不都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 D.a不能被5整除
3.用反证法证明“形如4k+3(k∈N*)的数不能化成两整数的平方和”时，开始假设结论的反面成立应写假设4k+3=m2+n2(m，n为整数,k∈N*) 成________________________________. 4.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四有一个多面体的面边形或五边形”的结论的否定是_________________ 没有一个是三角形或四边形或五边形 _________________________________.
§4
反证法
1
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!

反证法-精品文档

导出与已知条件、公理、定义相矛盾的结果
否定结论，假设命题
推理矛盾，肯定结论
通过推理出现自相矛盾的情况
矛盾的出现证明了原命题结论的正确性
用反证法证明命题时，矛盾的出现是关键
反证法的应用举例
证明几何中“三角形内角和等于180度”
通过推理得出三角形内角和大于180度或小于180度
假设三角形内角和不等于180度
反证法与其他证明方法的比较
05
反证法的发展趋势和前景
反证法作为数学证明中的重要方法，其理论体系在不断完善，包括对证明条件的深入探讨、对反证法在不同数学分支中的应用等。
理论体系的完善
随着计算机科学的发展，反证法的算法化与自动化成为了研究热点，旨在通过计算机程序实现数学证明的自动化与辅助化。
算法化与自动化
证明一个算法的时间复杂度为O(n)
在离散数学中的应用
04
反证法的局限性和注意事项
反证法不适用于否定性命题
反证法是一种通过证明命题的否定不成立来证明原命题成立的方法，因此对于否定性命题的反证法往往无法奏效。
反证法的局限性
反证法不适用于存在性命题
对于存在性命题，反证法同样存在局限性，因为要证明一个存在性命题成立，需要构造一个具体的实例或对象，而这在某些情况下可能是非常困难的。
03
证明一个函数可导
假设一个函数不可导，推导出矛盾结论，从而证明该函数可导。
在高等数学中的应用
01
证明函数的极限存在
假设函数的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明函数的极限存在。
02
证明数列的极限存在
假设数列的极限不存在，推导出矛盾结论，从而证明数列的极限存在。
证明一个图是连通的
证明一个集合是有限的