反证法

∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)． (2)证明：由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等 比数列，则 b2q＝bpbr， 即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0.
2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以
是与已知条件、公理、定义、定理及明显成 立的事实或自相矛盾等．
想一想 3.用反证法证明命题“如果 a＞b，那么3 a＞3 b”时，假 设的内容是什么？
33 假设的内容应是 a≤ b.
典例剖析
题型一 用反证法证明不等式 例1 若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 分析 本题直接证明不知从何处入手，证明比较困难， 因此，可用反证法证明．
用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
否定
正面词语
否定
等于 小于 大于
不等于
都是 不都是(至少有一个不是)
不小于(大于或等于) 至多有一个
至少有两个
不大于(小于或等于) 至少有一个
一个也没有
是
不是
想一想 1.用反证法证明命题“若 p，则 q”时，为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？
(1－ a)a·(1－ b)b·(1－ c)c＞614.
又 (1－ a)a≤(1－ a＋ a)2＝1.
2
4
同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14. 以上三式相乘得 (1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614， 这与(1－a)a(1－b)b(1－c)c＞614矛盾， 故结论得证．
【名师点评】 (1)要想得到原命题的反面，必须先弄清
则n≠m. 若n＞m，则f(n)＞f(m)，即0＞0，矛盾； 若n＜m，则f(n)＜f(m)，即0＜0，矛盾． 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【名师点评】 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两 个命题，即存在性和唯一性．本例用直接证法中的综合法证 明了存在性，反证法证明了唯一性．
3. 宜用反证法的题型 (1) 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接证明较困 难． (2) 如果直接从正面证明，需要分多种情况讨论，而从反 面证明只有一种或很少几种情形． (3) 直观判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”， “至少”等字眼的存在性问题宜用反证法．
4．常用正面词语与其否定形式
反证法在数列中的应用 例4 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1＋ 2，S3 ＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn； (2)设 bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都 不可能成为等比数列．
【解】 (1)由已知得a1＝ 2＋1， 3a1＋3d＝9＋3 2，
跟踪训练
2．(1)证明：方程2x＝3有且只有一个根． 证明：(1)∵2x＝3，∴x＝log23.这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的． 假设方程2x＝3有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3.两式相除，得2b1－b2＝1. 如果b1－b2＞0，则2b1－b2＞1，这与2b1－b2＝1相矛盾； 如果b1－b2＜0,2b1－b2＜1，这也与2b1－b2＝1相矛盾． 所以方程2x＝3有且只有一个根．
题型三 用反证法证明(或解答)“至多”或“至少”类命题
例3 (2013·临沂高二检测)已知 a、b、c∈(0,1)，求证：
(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 中至少有一个不大于14.
【证明】 假设三式同时大于1， 4
即 (1－ a)b＞14，(1－ b)c＞14， (1－ c)a＞14， 三式相乘，得
原命题的含义，即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不
能扩大)．
跟踪训练
3．(2013·杭州高二检测)用反证法证明：关于 x 的方程 x2＋4ax －4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当 a≤
－3或 2
a≥－1
时，至少有一个方程有实数根．
证明：假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零得
跟踪训练 1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数列，求 证： a， b， c不成等差数列．
题型四 用反证法证明唯一性命题 例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，且
f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增， 求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 【证明】 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开,且f(a)＜ 0,f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0， 所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则 f(m)＝0， 假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，
变式训练 2 若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋2π，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋6π，
求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明 假设 a，b，c 都不大于 0，则 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋2π)＋(y2－2z＋3π)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
题型二 用反证法证明存在性命题 例 2 已知 x，y>0，且 x＋y>2， 求证：1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2. 分析 用反证法．
证明 假设1＋y x，1＋x y都不小于 2， 即1＋y x≥2，1＋x y≥2.
∵x>0，y>0， ∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋(x＋y)≥2(x＋y)． ∴x＋y≤2. 这与已知相矛盾． ∴1＋y x，1＋x y中至少有一个小于 2.
方法感悟
用反证法证题时要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐 一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证，否则，仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就 不是反证法． (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与 假设矛盾，有的与定理、公理相违背等，但推导出的矛盾必 须是明显的．
提示：“若 p，则非 q”是“若 p，则 q”的否定，二者一 真一假，所以“若 p，则非 q”为假，说明“若 p，则 q” 为真．
想一想 2.“反证法”与“证逆否命题”有什么主要区别？ 提示：(1)两种证法的逻辑原理不同．“反证法”的原理是命 题与命题的否定一真一假，“证逆否命题”的原理是命题与 其逆否命题的等价性(即同真假)． (2)两种证明的推理形式不同，证明逆否命题实际上就是从结 论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设 结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．
证明：假设存在一个实数 λ，使{an}是等比数列，则有 a22＝
a1a3，即
(23λ－
3)2＝
λ(49λ－
4)⇔4λ2－ 9
4λ＋
9＝4λ2－ 9
4λ⇔
9＝
0，
矛盾．所以对任意实数 λ，{an}不是等比数列．
本部分内容讲解结束
∵p、q、r∈N*，∴q22q－－ppr－＝r0＝，0，
∴
p＋ (
r)2＝
pr，(p－
r)2＝
0，∴
p＝
r.
2
这与 p≠r 矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
跟踪训练
4．已 知数列{an}和 {bn}满足： a1＝ λ， an＋ 1＝23an＋ n－ 4，其 中 λ 为实数，n 为正整数．对任意实数 λ，证明数列{an}不 是等比数列．
证明：假设 a＋b>2，则 (a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)>8， 由 a3＋b3＝2，得 3ab(a＋b)>6，
即 ab(a＋b)>2. 又 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2， ∴ab(a＋b)>(a＋b)(a2－ab＋b2)． ∴a2－ab＋b2<ab. 即(a－b)2<0，这与(a－b)2≥0 相矛盾， 故 a＋b≤2.
2．2.2 反证法
学习导航
学习目标
结合实例
―了―解→
反证法是间接证明 的一种方法
―理―解→
反证法的 思维过程
―掌―握→
Βιβλιοθήκη Baidu
运用反证法证 明数学问题
重点难点 重点：了解反证法及其思考过程、特点． 难点：根据问题特点，结合反证法的思考过程、特点解决 有关问题．
新知初探思维启动
1．反证法 假设原命题_不__成__立__ ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因 此说明__假__设____错误，从而证明了__原__命__题___成立，这种证明 方法叫做反证法．
Δ1＝4a 2＋ 44a－ 3＜ 0， Δ2＝a－ 1 2－ 4a2＜ 0， Δ3＝2a 2－ 4×－2a＜ 0，
－3＜
2
a＜12，
则 a＞13或a＜－1，解得－32＜a＜－1， －2＜a＜0，
与 a≤－32或 a≥－1 矛盾，故原命题成立．
题型三 用反证法证明否(肯)定式命题
例1 设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋
结 束
∴ 2anbn＝ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1an＋ 1
＝apn·bn·q＋ bqn·an ·p，
∴ 2＝qp＋pq，
∴当
p≠q
时，qp＋pq＞ 2
或q＋p≤－ pq
2
与qp＋pq＝2
矛盾，
∴ { cn}不是等比数列．
【名师点评】 (1)当结论为否定形式的命题时，通过反设， 转化为肯定性命题．可作为条件应用进行推理，因此对此类 问题用反证法很方便． (2)用反证法证明问题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】 假设{cn}是等比数列， 则当 n≥2 时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1)． ∴ a2n＋ 2anbn＋ b2n ＝ an－1an＋ 1＋ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1an＋ 1＋ bn－ 1 bn＋ 1. 设{an}，{bn}的公比分别为 p，q(p≠q)． ∵ a2n＝ an－1 ·an＋ 1， b2n＝ bn－1 ·bn＋ 1，