大连理工大学高等代数解答
线性代数（大连理工大学）第三章书后习题
思考题3-11.对.理由：由==AB CA E 可知，B 和C 都是方阵，进一步可知，B 和C 都是A 的逆矩阵，又因为逆矩阵是唯一的，所以=B C .2.对.理由：因为A 可逆，所以在=AB O 的两边同时左乘1-A ，可得=B O . 3.错.错的原因是：AX =YA 中左右两边A 的位置不同. 4.错. 改为1-=X CA .5.错.反例，设100010⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，100100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，则AB 可逆，但A 和B 都不可逆。
若增加条件,A B 为方阵，则结论正确。
6. 错.反例，设100100⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则T A A 可逆，但TAA 不可逆.。
若增加条件A 为方阵，则结论正确。
7.对。
111()()T T ---==A A A ，1-∴A 也是对称矩阵.8.错。
反例，设100000000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则*=A O ，但≠A O .9.对。
用反证法可以证明。
证：若A 的2n 个元素的余子阵都是奇异矩阵，则A 的所有元素的代数余子式都为0.将A 的行列式按第一行展开，可知0=A ，这与A 是非奇异矩阵矛盾，所以A 的2n 个元素中至少有一个元素的余子阵是非奇异矩阵.10.对。
注：讨论矩阵相乘可交换的问题时，一般要用到11--=AA A A .11. BAC =E 不正确，BCA =E 正确。
理由：由,,A B C 为方阵及ABC =E 可知，A 可逆，其逆矩阵为BC ，所以BCA =E .同理可证=CAB E .但得不出BAC =E .12.对。
矩阵A 的奇异性由A 是否等于0决定，对三种初等变换分别讨论可知结论正确。
习题3-1 1. 5k ≠且 1.k ≠-2.11221721(1)432(2)210111411------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B11111144445300111121004444(3)(4)001311114444001211114444--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦C D 3.注：1111,,n -**--===A AA A A A A(1)22521231212562()2()88.9TT -*-*-*-====A B A A B A A B A A B111131343(2)232377.2*-----+=+===A A A A A A A 111113177343(3)(4)4()44128-*------=-=-=-=-A A A A A A A 3313113(4)(1)(2)(1)(2)216⨯---=--=-⋅-=O B A B B A OA 4.注：该题印刷有误，改为求.B 解：由2**=+ABA BA E ，得2(2),21,21**-=-=-=A E BA E A E B A A E B A12124608--=-=-B A E A 5.（1）证：21()()k --++++E A E A A A21k -=++++E A A A21k k ------A A A Ak=-=E A E∴-E A 可逆，且121()k ---=++++E A E A A A（2）证：反证法。
大连理工大学2014高等代数
1. 有两小问，第一小问是简单的数字行列式的秩det 。
第二小问是一个4*4字母型行
列式求值，降阶法。
具体的行列式忘了，不难
2. 解一方程组
5.求证一行列式和其伴随矩阵秩的关系，就是当A 的秩为n ，n-1,＜n-1时，相应的伴随矩阵的秩为n ，1,0，证明书上有，还有一小问就是知道一个矩阵的伴随矩阵，求原矩阵，伴随矩阵为3*3，元素都是1
6．关于二次型的比较典型的题目，好像是有两个未知数，根据题目中的条件，求出来后再求正交变换
7.=σττσ，则 τ的特征子空间为σ的不变子空间，且τ，σ至少有一个公共向量 8.12v v v =⊕⇔ σ可逆，12v v v σσ=⊕
9.A 正定，则存在唯一的正定对称矩阵B,2A B =
7,9两题的答案应该不难找到，都是比较常见的题目，关于第8题，也是课本上两道课后习题的结合，这里我就简单说下思路，要证σ可逆，就是要证1(0)σ-只包含一个元素，0.
3.4两题实在是想不起来什么题目了，总之，题目总体上难度比较小，注重对基础的考察，在平常的复习之中，课本是重点，书上的习题一定要会，再加大点练习，我想也就足够了。
大连理工代数学
大连理工大学硕士生入学考试数学分析试题解答一.从以下8题中选答6题1.证 利用极限的定义,和已知连续的定义来证明因为()[,)f x C a ∈+∞,且存在lim ()x f x A →+∞=,所以根据极限的定义, 0ε∀>,0G ∃>,当x G ∀>,|()|2f x A ε-<,即12,[,)x x G ∀∈+∞,有12|()()|f x f x ε-<又因为当[,1]x a G ∈+时,函数连续,所以在该闭区间一致连续,所以对0ε∀>,01δ∃<<,所以对于1212,[,1],||x x a G x x δ∀∈+-<,都有12|()()|f x f x ε-< 综上所述,知对于整个区间,函数都是一致连续的.█2.证 利用定义和反证法证明,其实第一小题直接利用闭区间连续函数一致连续的定理就可以了1()f x x=,[,1]x δ∈对于0ε∀>,20γδε∃<<,对于1212,[,1],||x x x x δγ∀∈-<的时候, 121221212||11|()()|||x x f x f x x x x x γεδ--=-=<=.从而可见,在闭区间一致收敛.1()f x x=,(0,1]x ∈,反证法:1ε∃=,0δ∀>,对1x δ∃=,2112x δ=+,此时12||x x δ-<, 121211|()()|||2f x f x x x ε-=-=>.由此可见对于此区间函数并非一致收敛. █3.解 不断利用积分判别法和p-级数以及比较收敛法则来讨论（1）当1α>，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑小于一个1p α=>的p-级数，根据比较收敛法则，知该级数收敛.（2） 当1α<，11(ln )(ln ln )n n n n αβγ∞=∑大于一个1p α=<的p-级数，该级数发散.（3）当1α=时，根据积分判别法，考虑如下的积分：ln ln (ln )(ln ln )(ln )(ln ln )ln N N N dn d n dnn n n n n n n βγβγβγ+∞+∞+∞==⎰⎰⎰的敛散性,相当于考虑11(ln )n n n βγ∞=∑的敛散性,根据上面的讨论: [1] 1β>该级数收敛. [2] 1β<该级数发散.[3] 1β=,根据上面的讨论,相当于讨论11n nγ∞=∑的敛散性:<1>1γ>该级数收敛. <2>1γ<该级数发散.<3>1γ=该级数发散.█4.证 利用级数收敛和极限的定义以及放缩法来证明,利用p-级数举反例 如果级数1i i x ∞=∑收敛,那么根据定义和Cauchy 收敛法则,取1ε=,N ∃,n N ∀>,1nx<.由于是正项级数,那么2ii i Ni Nxx ∞∞==<∑∑根据比较收敛法则,知命题成立,级数收敛但是,反过来命题不成立,例如211i i n x ∞∞===∑收敛,但是11i i n x ∞∞===∑.█5.证 利用极限的定义证明对于0ε∀>,11[]1δε∃=+,||x δ∀<,即111x N N <<+,其中1||[]N ε>, 此时111|[]1|min{,}1x x N N ε-<=+,从而可知命题成立.█6.证 利用极限的定义证明:对于任意的点0[0,1]x ∈,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,必0δ∃>,当00(,)x x x δδ∀∈-+,111{1,1,,,...,,}22x N N 1∀∉---,那么1||1x N ε≤<+,从而命题成立.█7.证 利用定义证明一致收敛首先,显然函数在整个实数域收敛于0,对于0ε∀>,1[]1N ε∃=+,对于n N ∀>,根据基本不等式有:221||||1x x n x nx nε≤=<+,所以,可见命题成立.█8.证 首先如上讨论,知函数序列收敛于0,然后,考虑如下的序列: 111()0112n S n==≠+,利用定理(参见陈纪修老师的《数学分析》)或者反证法,可以得到非一致收敛的结论.█ 一. 以下6题选答4题 9.证 利用反证法如果,所有的点,函数的一阶导数都是0,那么命题得证否则,必然存在某个点,在该点函数的一阶导数不等于0,不妨设为0'()0f x A =>根据题目的已知条件"()0f x ≥,可见,函数的导函数连续而且单调递增,即'()f x A ≥,0x x ∀>.所以, 0x x ∀>,00()()()f x f x A x x -≥-,这显然和题目中的函数上有界矛盾 反之,如果,该点的导数小于0,只需考虑下界即可推出矛盾 综上所述,知函数必为常值函数.命题得证.█10.证 同样利用反证法和极限的定义来证明lim ()x f x A →∞=相当于对于0ε∀>,N ∃,x N ∀>,|()|f x A ε-<假设,存在一个点,0()f x A A δ=+≠,只需取||2δε=,当m 足够大的时候,02m x N >,00(2)()mf x f x =.但是0|(2)|mf x A ε->和题目假设的有所矛盾,从而知命题成立.█11.证 利用定义证明由于积分绝对收敛,不妨假设|()|af x dx M +∞=⎰函数一致连续即对0ε∀>,A ∃,使||()||Aaf x dx M ε-<⎰,uεδ∃=,对12||x x δ∀-<,12|()sin ()sin |AAaaf x ux dx f x ux dx -⎰⎰1212()()2|()cos sin |22A au x x u x x f x dx +-=⎰12()2|()|sin2Aau x x f x dx -<⎰|()|A a A f x dx M δε<<⎰ (1)12|()sin ()sin |2AAf x ux dx f x ux dx ε+∞+∞-≤⎰⎰(2)综合(1)(2)得到12|()sin ()sin |(2)aaf x ux dx f x ux dx M ε+∞+∞-<+⎰⎰由于ε的任意性,知命题成立.█12.证 由于没有函数连续的条件, 所以01[()]'()xf t dt f x x=⎰不一定成立,所以不可以用L ’Hospital 法则，所以还是要回到定义证明由于lim ()x f x λ→∞=，所以根据定义0ε∀>,A ∃,x A ∀>,|()|f x λε-<()()()()()()1()AAxf x dx x A f x dx x A f t dt xx xλελε+--++-<<⎰⎰⎰,由于ε的任意性和夹逼定理,不难证明,命题成立.█13.证 和上一题类似，要利用L ’Hospital 法则的推导过程 01lim()x x f t dt x λ→+∞=⎰即0ε∀>,A ∃,x A ∀>,01|()|xf t dt xλε-<⎰不妨设21x x A ∀>>, 1110()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰2121112120()()()()()()()x x x x f x f t dt x x x f x λελε-+-<<++-⎰ （1）2220()()()x x f t dt x λελε-<<+⎰（2） 联立(1,2)2121112122()()()()()()()()x x x x f x x x x f x x λελελελε-<-+-≤++-<+12()()f x f x λελε⇒-<≤<+由于ε的任意性不难得到命题成立.█14.解 利用Gauss 定理和换元法来解决问题2222()SVI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰换元：cos sin ,[0,2),[,]x a r y b r r m R R z c m θθθπ=+⎧⎪=+∈∈∈-⎨⎪=+⎩20202232(cos sin )(cos sin )2))()()38()6VRR RR R R RRI a b c m r r rdrd dma b c m r r rd drdm a b c m rdrdm a b c m dr dm a b c m R m dmR a b c R πθθθθθθππππ----=+++++=+++++=+++=+++=+++-+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰█由于时间仓促,没有输入题目,请原谅!。
大连理工大学06解答
T
P1 , P2 , P3 两两正交,故 P2 = (0,0,1) T .令 P = ( P1 , P2 , P3 ) ,则
∗
解答人: 陈现平
聊城大学
0 1 −1 A = P − 1 P = 1 .■ − 1 0
只有零解,其中 y1 , y 2 分别为 n 维和 1 维列向量.由于
(λE − A) y1 + xy 2 = 0 x T y1 = 0 Ax = λx x T A = λx T
于是
0 = x T (λE − A) y1 + x T xy 2 = λx T y1 − x T Ay1 + x T xy 2 = x T xy 2
二.(10 分) 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 1,已知η1 ,η2 ,η3 是它的三个解 向量 , 且 η1 + η2 = (1, 2,3) ' , η 2 + η3 = (0, −1,1) ' , η3 + η1 = (1, 0, −1) ' . 求该方程组的通解 , 其中对任意向量 b , b ' 表示 b 的转置<下同>. 三. (10 分)设 λ + an −1λ
m
⊥
v ∈ R n 使得 A = uv ' .
十.(15 分) 若 A 是实对称正定矩阵,则存在实对称正定矩阵 B,使得 A = B .
2
十一.(15 分) 证明:设 f ( x ) 是整系数多项式,且 f (1) = f (2) = f (3) = p < p 为素数>, 则不存在整数 m ,使 f ( m) = 2 p .
大连理工大学线性代数第二章书后习题答案2
习题2-11. 32A =6.2. 用行列式的定义计算下面的行列式.(1)35;(2)256;(3)8;(4)29.--思考题 2-21.若对方阵A 进行一次对调变换得到B ,则=-A B ；若对方阵A 进行一次倍乘变换（假设第i 行或第i 列乘以数k ）得到B ,则k =B A ；若对方阵A 进行一次倍加变换得到B ,则.=A B2.0.=A3.(1)不正确。
例如，设1112111221222122,,a a b b a a b b ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B 则 1111121211121211121221212222212222212222a b a b a a b b a b a b a b a a b b a b +++++==+++++A B 111211121112111211121112212221222122212221222122a a ab b a b b a b b a a a a b b a b b a b b a =+++=+++A B（2）不正确。
设A 的阶数为n ，则(1)n-=-A A（3）不正确。
例如，设1200⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则0,=A 但.≠A O 4. ,,1,(),()1i j i i j k k k =-==E E E5. 性质2-2讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与第i 行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于A 的行列式；性质2-7讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.习题2-21. 2111231123123det()3,,39,,9,,18.c c a a a a a a a a a a a -=+-=-+=-=-A2. 131223123233122312312323,2,3,,3,,3,,6c c c c c c -+--++=-===a a a a a a a a a a a a a a a a3.321123211321212311223,,,,,,,,,,,,,,,n m +=+=-+=-a a a b b a a a b a a a b a a a b a a b a4.证：（1）将第2列和第3列都加到第1列，得00.0a b b c c ab c c a b c c a a b c a a b c aa bb ca b b c --------=--=----- （2）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++1111111111111111122222222222222222333333333333333332a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c ++=+++=+=++ （3）设A 的阶数为n ，则n 为奇数.由A 是反称矩阵,得T =-A A .两边取行列式，得 ,(1),,T n =-=-=-A A A A A A 故0.=A5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得2111121211221212222221122n n n nn n n n nn n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b11112212112222121122n n n nnn n nn na b a b a b a b a b a b b b b a b a b a b =1112121222222222121212n n nn n n nna a a a a ab b bb b bc a a a ==6．（1）解：先按行提公因式，在按列提公因式，得1111114111ab ac aebd cd de abcdef abcdef bfcfef---=-=--(2)103100204310043141992003951200510012520301300600130013=--=--=提高题2-21.,,,,,,+=++++=+-++A B ξηαββγαγξηαγβγαγ ,,,,,,22,,,=+-++=+-+=+ξηαγβγαγξηαγβγγξηαβγ 2(,,,,,,)2()6=+=+=ξαβγηαβγA B2.1231231231232323,24,36,3,25=++++++=++++B a a a a a a a a a a a a a a a a 1232331223123,3,,,,,2=+++-=-+=-=-a a a a a a a a a a a a a 3.根据性质2-7，得 414243444142434411110A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅=4.(1)132343(1)(1)52(1)301(1)415D +++=-⋅-+⋅-++⋅-=-. (2) 1424449(1)(1)52(1)01(1)40,2a a +++-⋅-+⋅-++⋅-==-.5.（1）对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2-7，得212223242521222324254()3()4,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得2122232A A A ++=-.（2）对第2行和第4行分别应用性质2-7，得 313233343531323334354()3()0,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得313233A A A ++=0.思考题 2-31.212r r -表示第二行先乘以2，再用第二行减去第一行，212232311212r r -=.2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行列式进行初等变换时，关心的是最后的数值；对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数，对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。
2000-9年大连理工大学高等代数考研试题
v ∈ Rn 使得 A = uv ' .
十.(15 分) 若 A 是实对称正定矩阵,则存在实对称正定矩阵 B,使得 A = B2 . 十一.(15 分) 证明:设 f (x) 是整系数多项式,且 f (1) = f (2) = f (3) = p < p 为素数>, 则不存在整数 m ,使 f (m) = 2 p .
大连理工大学 2004 年硕士生入学考试<<高等代数>>试题 说明：填空题的括号在原试题中均是横线 一．填空题（每小题四分）
1.设f (x), g(x)是有理系数多项式，且f (x), g(x)在复数域内无公共根，则f (x), g(x)在有理数域 上的最大公因式是 =（）
⎡ 1 1 " 1 2 − n⎤
⎜⎝ 0 0 3⎟⎠
则向量β
=
2α1
+ 3α 2
−
α
的长度为（）
3
二：（24 分）设 R,Q 分别表示实数域和有理数域，f(x),g(x)属于 Q[x].证明：
（1） 若在 R[x]中有 g(x)|f(x),则在 Q[x]中也有 g(x)|f(x)。 （2） f(x)与 g(x)在 Q[x]中互素，当且仅当 f(x)与 g(x)在 R[x]互素。 （3） 设 f(x)是 Q[x]中不可约多项式，则 f(x)的根都是单根。
2，β
3可又向量组α
1，α
2，α
线性表示：
3
β1 = α1 + 4α 2 + α3
β2 = 2α1 + α 2 −α3
β3 = α1 − 3α3
则β1，β 2，β 3线性()
5.设A是n阶矩阵，如果r( A) = n −1,且代数余子式A11 ≠ 0,则齐次线性方程组Ax = 0 得通解是（）
大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答
大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答一、填空题(每小题4分)设a 、P 均为n 维列向量：a 'P =2,则A = E +aP '可逆,A" = E -^aP '3飞"2 +5+川+5h=^1 +口3 +)丨|+5P r =% + t||+^r _1 P r +=«1+«2+H|+«rX S ,川，P r, P r 十线性相关.5.设A 是n 阶矩阵，秩A = r ，非齐次线性方程组 Ax = P 有解，则Ax = P 的解向量组的秩为n —r +1.6.设a 、b 均为实数，二次型f(X 1,X 2，小,X n ) =(ax 1 +bx 2)2 +(ax 2 +bx 3)2+'" + (aX n4 + bX n )2 +(aX n +以)2a 、b 满足条件a n+(—1)n^b nH0时，f 为正定二次型.7.设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中了10 ©2/则V 的一组基是E,A,A 2.取定V 的一个非零向量a ,则V = L(a)的全部线性变换形女口1. 设f(X)是有理数域上的不可约多项式 ,Ot 为f(X)在复数域内的一个根，Ot 的重数为1 2.n 阶行列式1 II I1 3II I1II III I II1IIIn+1n1 =[1+送 1]n!.k4k3. 4. 设向量组％,(/2,|||,%线性无关，8.设V 是数域P维线性空间，写出V 上的所有线性变换f a : x a T a(x a),其中a是P中任一取定的数■9.正交矩阵的实特征值为±1.10.设G为群，H、N分别是G的子群，H、N的阶分别是m、n,且m、n互素,令a H c N ,则元素a的阶为_1：二、(10分)设f(x),g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P上，若f3(x)|g3(x).则f(x)|g(x).参考解答：若f (x), g(x)中有一个是零多项式或零次多项式，则结论显然成立.下设戲(X)A O,0(X) A O,且g(x^a^ri(x)p2r2(x^|p s rs(x)是g(x)的标准分解式，其中p i(x), P2(X),IH, p s(x)是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式，「1,「2,111,1都是正整数.任取f (x)的一个不可约因式q(x),由于q(x)| f(x), f(x)| f3(x), f3(x)|g3(x)3利用多项式整除的传递性，得q(x)|g (x).由于q(x)是不可约多项式，故q(x)|g(x),进一步可知,q(x) =cp i(x),对某个1兰i兰s及c忘P.于是我们可以设f(X)= bp,1(X)pJWlll P s ts(x),其中t1,t2,HI,t s是非负整数.从f 3(x) |g3(x)知，存在多项式h(x卢P[x],使得3 3g(X)= f (X) | h(x),即a3 P13r1(x) P23r2(x) 111P s3rs(x) =b3pi3t1(x) P23t2(x)HI P s3ts(x)h(x).由此推出3r i >3t i ,即r i >t i , ^1,2j|l,s.因此g(x)=bpi t1(x) P2t2(X)川p s ts(X)*7 p/ T (x) P2r2主(x)liI P s rs」s (x)b= f(x) €口心&) P s r H(X)b由多项式整除的定义知，f(x)|g(x).2 k三、(15分)设A为n级矩阵,且秩A=秩A ,证明：对任意自然数k ,有秩A =秩A.参考解答：对k作数学归纳法.当k =1,2时结论显然成立.假设k -1时结论成立，即rank A =rank A k丄.令V ={X€=0}, i =1,2,m那么显然有V i匸V2匸从rank A =rank A k-知. k 1dim V, = n-rankA = n — rank A =dim V k』于是V i=V k」.任取X。
高等代数习题解答(第一章)
高等代数习题解答第一章 多项式补充题1．当,,a b c 取何值时，多项式()5f x x =-与2()(2)(1)g x a x b x =-++2(2)c x x +-+相等？提示：比较系数得6136,,555a b c =-=-=.补充题2．设(),(),()[]f x g x h x x ∈，2232()()()f x xg x x h x =+，证明：()()()0f x g x h x ===．证明 假设()()()0f x g x h x ===不成立．若()0f x ≠，则2(())f x ∂为偶数，又22(),()g x h x 等于0或次数为偶数，由于22(),()[]g x h x x ∈，首项系数（如果有的话）为正数，从而232()()xg x x h x +等于0或次数为奇数，矛盾．若()0g x ≠或()0h x ≠则232(()())xg x x h x ∂+为奇数，而2()0f x =或2(())f x ∂为偶数，矛盾．综上所证，()()()0f x g x h x ===．1．用g (x ) 除 f (x )，求商q (x )与余式r (x )： 1）f (x ) = x 3-3x 2 -x -1，g (x ) =3x 2 -2x +1； 2）f (x ) = x 4 -2x +5，g (x ) = x 2 -x +2． 1）解法一 待定系数法．由于f (x )是首项系数为1的3次多项式，而g (x )是首项系数为3的2次多项式，所以商q (x )必是首项系数为13的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设q (x ) =13x +a ,r (x ) =bx +c根据 f (x ) = q (x )g (x )+r (x )，即x 3-3x 2 -x -1= (13x +a )( 3x 2 -2x +1)+bx +c右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得2333a -=-,1123a b -=-++,1a c -=+解得79a =- , 269b =- , 29c =- ，故得17(),39q x x =-262().99r x x =--解法二 带余除法．3 -2 1 1 -3 -1 -11379- 1 23-1373-43- -1 73-14979- 269-29- 得17(),39q x x =-262().99r x x =--2）2()1,()57.q x x x r x x =+-=-+262().99r x x =-- 2．,,m p q 适合什么条件时，有 1）231;x mx x px q +-++ 2）2421.x mx x px q ++++1）解 21x mx +-除3x px q ++得余式为：2()(1)()r x p m x q m =+++-，令()0r x =，即 210;0.p m q m ⎧++=⎨-=⎩故231x mx x px q +-++的充要条件是2;10.m q p m =⎧⎨++=⎩ 2）解 21x mx ++除42x px q ++得余式为：22()(2)(1)r x m p m x q p m =-+-+--+，令()0r x =，即 22(2)0;10.m p m q p m ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩ 解得2421x mx x px q ++++的充要条件是0;1m p q =⎧⎨=+⎩ 或 21;2.q p m =⎧⎨=-⎩ 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式()r x ： 1）53()258,()3;f x x x x g x x =--=+ 2）32(),()12.f x x x x g x x i =--=-+ 1）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -3 2 0 -5 0 -8 0 + -6 18 -39 117 -327 2 -6 13 -39 109 -327 所以432()261339109,()327.q x x x x x r x =-+-+=-2）解法一 用带余除法（略）．解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0：()f x1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i -9+8i 1 -2i -5-2i -9+8i 所以2()2(52),()98.q x x ix i r x i =--+=-+4．把()f x 表成0x x -的方幂和，即表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式：1）50(),1;f x x x ==2）420()23,2;f x x x x =-+=-3）4320()2(1)37,.f x x ix i x x i x i =--+-++=- 注 设()f x 表成201020()()c c x x c x x +-+-+的形式，则0c 就是()f x 被0x x -除所得的余数，1c 就是()f x 被0x x -除所得的商式212030()()c c x x c x x +-+-+再被0x x -除所得的余数，逐次进行综合除法即可得到01,,,.n c c c1）解 用综合除法进行计算 1 1 0 0 0 0 0 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 + 1 3 6 1 3 6 101 + 1 4 1 4 10 1 + 1 1 5所以 5234515(1)10(1)10(1)5(1)(1).x x x x x x =+-+-+-+-+-2）3）略5．求()f x 与()g x 的最大公因式：1）43232()341,()1;f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2）4332()41,()31;f x x x g x x x =-+=-+3）42432()101,()6 1.f x x x g x x x =-+=-+++ 1）解 用辗转相除法()g x ()f x 2()q x 12-141 1 -1 -1 1 1 -3 -4 -1 1()q x 1 0 132121 1 -1 -1 12-32- -1 1()r x -2 -3 -13()q x 8343 12-34-14- -2 -2 2()r x 34-34- -1 -1 -1 -13()r x 0所以((),()) 1.f x g x x =+2）((),()) 1.f x g x =3）2((),()) 1.f x g x x =--6．求(),()u x v x 使()()()()((),()):u x f x v x g x f x g x += 1）432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---； 2）43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+； 3）4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--． 1）解 用辗转相除法()g x ()f x2()q x 11 1 1 -1 -2 -2 1 2 -1 -4 -2 1()q x 110-20 1 1 -1 -2 -2 11 -2 -21()r x 10 -2 0 3()q x 10 1 0-2 0 1 0 -22()r x 1 0 -2 3()r x 0由以上计算得11()()()(),f x q x g x r x =+212()()()(),g x q x r x r x =+ 132()()(),r x q x r x =因此22((),())()2f x g x r x x ==-，且2((),())()f x g x r x =21()()()g x q x r x =-21()()[()()()]g x q x f x q x g x =-- 212()()[1()()]()q x f x q x q x g x =-++所以212()()1,()1()()2u x q x x v x q x q x x =-=--=+=+．2）((),())1f x g x x =-，21122(),()13333u x x v x x x =-+=--．3）((),())1f x g x =，32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．7．设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 略．8．证明：如果()(),()()d x f x d x g x 且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由于()(),()()d x f x d x g x ，所以()d x 为()f x 与()g x 的一个公因式．任取()f x 与()g x 的一个公因式()h x ，由已知()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，所以()()h x d x ．因此，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．9．证明：(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =，（()h x 的首项系数为 1）． 证明 因为存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，所以((),())()()()()()()()f x g x h x u x f x h x v x g x h x =+，这表明((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个组合，又因为((),())(),((),())()f x g x f x f x g x g x ， 从而((),())()()(),((),())()()()f x g x h x f x h x f x g x h x g x h x ，故由第8题结论，((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式．注意到((),())()f x g x h x 的首项系数为1，于是(()(),()())((),())()f x h x g x h x f x g x h x =．10．如果(),()f x g x 不全为零，证明：()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．证明存在多项式()u x 和()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+，因为(),()f x g x 不全为零，所以((),())0f x g x ≠，故由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以()()(,)1((),())((),())f xg x f x g x f x g x =．11．证明：如果(),()f x g x 不全为零，且()()()()((),())u x f x v x g x f x g x +=，那么((),())1u x v x =．证明 因为(),()f x g x 不全为零，故 ((),())0f x g x ≠，从而由消去律得()()1()()((),())((),())f xg x u x v x f x g x f x g x =+，所以((),())1u x v x =．12．证明：如果((),())1f x g x = ，((),())1f x h x =，那么((),()())1f x g x h x =． 证法一 用反证法．假设()((),()())1d x f x g x h x =≠，则(())0d x ∂>，从而()d x 有不可约因式()p x ，于是()(),()()()p x f x p x g x h x ，但因为((),())1f x g x =，所以()p x 不整除()g x ，所以()()p x h x ，这与((),())1f x h x =矛盾．因此((),()())1f x g x h x =．证法二 由题设知，存在多项式1122(),(),(),()u x v x u x v x ，使得11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=，两式相乘得12121212[()()()()()()()()()]()[()()]()()1u x u x f x v x u x g x u x v x h x f x v x v x g x h x +++=，所以((),()())1f x g x h x =．13．设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且 ((),())1(1,2,,;1,2,,).i j f x g x i m j n ===求证：1212(()()(),()()()) 1.m n f x f x f x g x g x g x =证法一 反复应用第12题的结果 证法二 反证法14．证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x +=． 证明 由于((),())1f x g x =，所以存在多项式()u x 和()v x 使()()()()1u x f x v x g x +=，由此可得()()()()()()()()1,u x f x v x f x v x f x v x g x -++= ()()()()()()()()1,u x f x u x g x u x g x v x g x +-+=即[][]()()()()()()1,u x v x f x v x f x g x -++=[][]()()()()()()1,v x u x g x u x f x g x -++=于是((),()())1f x f x g x +=，((),()())1g x f x g x +=，应用第12题的结论可得(()(),()())1f x g x f x g x +=．注 也可以用反证法．15．求下列多项式的公共根：32432()221;()22 1.f x x x x g x x x x x =+++=++++提示 用辗转相除法求出2((),()) 1.f x g x x x =++于是得两多项式的公共根为16．判别下列多项式有无重因式： 1）5432()57248f x x x x x x =-+-+-； 2） 42()443f x x x x =+--1）解 由于432'()5202144f x x x x x =-+-+，用辗转相除法可求得2((),'())(2)f x f x x =-，故()f x 有重因式，且2x -是它的一个 3 重因式．2）解 由于3'()484f x x x =+-，用辗转相除法可求得((),'())1f x f x =，故()f x 无重因式．17．求t 值使32()31f x x x tx =-+-有重根． 解 2'()36f x x x t =-+．先用'()f x 除()f x 得余式 1263()33t t r x x --=+． 当3t =时，1()0r x =．此时'()()f x f x ，所以21((),'())'()(1)3f x f x f x x ==-，所以1是()f x 的3重根．当3t ≠时，1()0r x ≠．再用1()r x 除'()f x 得余式215()4r x t =+．故当154t =-时，2()0r x =．此时，121((),'())()92f x f x r x x =-=+，所以12-是()f x 的2重根．当3t ≠且154t ≠-时，2()0r x ≠，则((),'())1f x f x =，此时()f x 无重根． 综上，当3t =时，()f x 有3重根1；当154t =-时，()f x 有2重根12-．18．求多项式3x px q ++有重根的条件． 解 略．19．如果242(1)1x Ax Bx -++ ，求,A B ．解法一设42()1f x Ax Bx =++，则3'()42f x Ax Bx =+．因为242(1)1x Ax Bx -++，所以1是()f x 的重根，从而1也是'()f x 的根．于是(1)0f =且'(1)0f =，即10;420.A B A B ++=⎧⎨+=⎩解得1,2A B ==-．解法二 用2(1)x -除421Ax Bx ++得余式为(42)(31)A B x A B ++--+，因为242(1)1x Ax Bx -++，所以(42)(31)0A B x A B ++--+=，故420;310.A B A B +=⎧⎨--+=⎩ 解得1,2A B ==-．20．证明：212!!nx x x n ++++没有重根．证法一设2()12!!nx x f x x n =++++，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 因为()'()!nx f x f x n -=，所以((),'())((),)1!nx f x f x f x n ==．于是212!!nx x x n ++++没有重根． 证法二 设2()12!!nx x f x x n =++++ ，则21'()12!(1)!n x x f x x n -=++++-． 假设()f x 有重根α，则()0f α=且'()0f α=，从而0!nn α=，得0α=，但0α=不是()f x 的根，矛盾．所以212!!nx x x n ++++没有重根． 21．略．22．证明：0x 是()f x 的k 重根的充分必要条件是 (1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．证明（必要性）设0x 是()f x 的k 重根，从而0x 是'()f x 的1k -重根，是''()f x 的2k -重根，…，是(1)()k f x -的单根，不是()()k f x 的根，于是(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠．（充分性）设(1)000()'()()0k f x f x f x -====，而()0()0k f x ≠，则0x 是(1)()k f x -的单根，是(2)()k f x -的2重根，…，是()f x 的k 重根．23．举例说明断语“如果α是'()f x 的m 重根，那么α是()f x 的m +1重根”是不对的．解 取1()()1m f x x α+=-+，则()'()1()m f x m x α=+-．α是'()f x 的m 重根，但α不是()f x 的m +1重根．注：也可以取具体的，如0,1m α==．24．证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -． 证明 略．25．证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么12(1)(),(1)()x f x x f x --．证明 2121()()x x x x ωω++=--，其中12ωω==． 由于23312(1)()()x x f x xf x +++，故存在多项式()h x 使得33212()()(1)()f x xf x x x h x +=++，因此112122(1)(1)0;(1)(1)0.f f f f ωω+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而12(1)(),(1)()x f x x f x --．26．求多项式1n x -在复数范围内和实数范围内的因式分解．解 多项式1n x -的n 个复根为22cos sin ,0,1,2,,1k k k i k n n n ππω=+=-，所以1n x -在复数范围内的分解式为1211(1)()()()n n x x x x x ωωω--=----．在实数范围内，当n 为奇数时：222112211221(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x ωωωωωω---+-=--++-++-++，当n 为偶数时：222112222221(1)(1)[()1][()1][()1]n n n n n x x x x x x x x x ωωωωωω---+-=-+-++-++-++．27．求下列多项式的有理根：1）3261514x x x -+-；2）424751x x x ---；3）5432614113x x x x x +----．1）解 多项式可能的有理根是1,2,7,14±±±±．(1)40f =-≠，(1)360f -=-≠．由于44444,,,,1(2)171(7)1141(14)-------------都不是整数，所以多项式可能的有理根只有2．用综合除法判别：2 1 15 -14+ 2 -8 142 1 -4 7 0+ 2 -41 -2 3≠0所以2是多项式的有理根（单根）．注：一般要求指出有理根的重数．计算量较小的话，也可以直接计算，如本题可直接算得(2)0f =，说明2是()f x 的有理根，再由'(2)0f ≠知． 2是单根．用综合除法一般比较简单．2）答 12-（2重根）． 3）答 1-（4重根），3（单根）．28．下列多项式在有理数域上是否可约？1）21x -；2）4328122x x x -++；3）631x x ++；4）1p x px ++，p 为奇素数；5）441x kx ++，k 为整数．1）解 21x -可能的有理根是1±，直接检验知，都不是它的根，故21x -不可约．2）解 用艾森斯坦判别法，取2p =．3）解 令1x y =+，则原多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++，取3p =，则由艾森斯坦判别法知多项式65432615211893y y y y y y ++++++不可约，从而多项式631x x ++也不可约．4）提示：令1x y =-，取素数p ．5）提示：令1x y =+，取2p =．。
大连理工大学线性代数第二章习题答案
习题2-11. =6.32A 2. 用行列式的定义计算下面的行列式.(1)35;(2)256;(3)8;(4)29.−−思考题 2-21.若对方阵A 进行一次对调变换得到,则B =−A B ；若对方阵A 进行一次倍乘变换（假设第i 行或第i 列乘以数）得到,则k B k =B A ；若对方阵A 进行一次倍加变换得到,则B .=A B2.0.=A3.(1)不正确。
例如，设则 1112111221222122,,a a b b a a b b ⎡⎤⎡==⎢⎥⎢⎣⎦⎣A B ⎤⎥⎦1111121211121211121221212222212222212222a b a b a a b b a b a b a b a a b b a b +++++==+++++A B111211121112111211121112212221222122212221222122a a ab b a b b a b b aa a ab b a b b a b b a =+++=+++A B（2）不正确。
设A 的阶数为，则n (1)n−=−A A （3）不正确。
例如，设，则1200⎡⎤=⎢⎣⎦A ⎥0,=A 但.≠A O 4. ,,1,(),()1i j i i j k k k =−==E E E5. 性质2-2讲的是方阵A 的第行（列）的数与第i 行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于i A 的行列式；性质2-7讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.习题2-21. 2111231123123det()3,,39,,9,,18.c c a a a a a a a a a a a −=+−=−+=−=−A 2. 131223123233122312312323,2,3,,3,,3,,c c c c c c −+−−++=−===a a a a a a a a a a a a a a a a 63.321123211321212311223,,,,,,,,,,,,,,,n m +=+=−+=−a a a b b a a a b a a a b a a a b a a b a4.证：（1）将第2列和第3列都加到第1列，得0000a b b c c a b c c ab c c a a b c a a b c a a b b ca b b c−−−−−−−−=−−=−−−−−. （2）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++ 1111111111111111122222222222222222333333333333333332a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c ++=+++=+=++ （3）设A 的阶数为，则为奇数.由n n A 是反称矩阵,得T=−A A .两边取行列式，得 ,(1),Tn=−=−=−,A A A A A A 故0.=A 5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得2111121211221212222221122n n n n n n n n nn na b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b11112212112222121122n n n nn n n nn a b a b a b a ba b a b b b b a b a b a b =n1112121222222222121212n nnn n n nna a a a a ab b bb b bc a a a ==6．（1）解：先按行提公因式，在按列提公因式，得1111114111ab ac ae bd cd de abcdef abcdef bfcfef −−−=−=−−(2)103100204310043141992003951200510012520301300600130013=−−=−−=提高题2-21.,,,,,,+=++++=+−++A B ξηαββγαγξηαγβγαγ,,,,,,22,,,=+−++=+−+=+ξηαγβγαγξηαγβγγξηαβγ2(,,,,,,)2()6=+=+ξαβγηαβγA B =2.1231231231232323,24,36,3,25=++++++=++++B a a a a a a a a a a a a a a a a 1232331223123,3,,,,,=+++−=−+=−=−a a a a a a a a a a a a a 103.根据性质2-7，得41424344414243441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅=4.(1).132343(1)(1)52(1)301(1)415D +++=−⋅−+⋅−++⋅−=− (2) 1424449(1)(1)52(1)01(1)40,2a a +++−⋅−+⋅−++⋅−==−.5.（1）对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2-7，得212223242521222324254()3()4,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得.2122232A A A ++=−（2）对第2行和第4行分别应用性质2-7，得313233343531323334354()3()0,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩解得=0.313233A A A ++思考题 2-31.表示第二行先乘以2，再用第二行减去第一行，22r r −12122323112012r r −=.2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行列式进行初等变换时，关心的是最后的数值；对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数，对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。
大连理工大学(已有10试题)
大连理工大学应用数学系数学分析2001——2005（2005有答案）高等代数2000——2005、2007（2005有答案）物理系数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005普通物理2000——2005光学（几何光学与波动光学）2000晶体管原理2000半导体材料2004——2005半导体器件2004——2005半导体物理2001——2002，2004——2005神经科学基础2004——2005生物统计学2004——2005生物物理学2004——2005工程光学2005微电子技术2003——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005模拟电子技术2001——2005工程力学系材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）理论力学1995，1999——2001，2003——2005理论力学（土）2000土力学1999——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005杆系结构静力学1998，2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005机械工程学院机械设计2001——2005（2001——2005有答案）机械原理1999——2000，2003——2005画法几何及机械制图2003——2005控制工程基础2001，2003——2005微机原理及应用（8086）1999——2000微机原理及应用（机）2004——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000模拟电子技术2001——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005过程控制（含计算机控制）2000杆系结构静力学1998，2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002晶体管原理2000系统工程概论1999——2005管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）计算机组成原理（软）2005管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）自动控制原理(含现代20%) 1999——2005材料科学与工程学院材料科学基础2003——2005，2010（2010为回忆版）机械设计2001——2005（2001——2005有答案）模拟电子技术2001——2005微电子技术2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）胶凝材料学2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005杆系结构静力学1998，2000金属学2000金属热处理原理2000金属材料学2000钢筋混凝土结构1999——2000晶体管原理2000土木水利学院材料力学（土）2000，2003——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）土力学1999——2005结构力学2000——2001，2003——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005杆系结构静力学1998，2000理论力学（土）2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005系统工程概论1999——2005工程经济学2004——2005无机化学2003——2005传热学2002，2004——2005工程力学2004——2005工程项目管理2004——2005建筑材料2005工程热力学2001——2002，2004——2005热工基础（含工程热力学和传热学）2003化工学院无机化学2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）有机化学及实验2001，2003——2005高分子化学及物理2002——2005化工原理及化工原理实验2001——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）工程流体力学2001，2004——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005热力学基础2005天然药物化学2005药剂学2005生物化学及生物化学实验1999——2005船舶工程学院船舶动力装置2002——2005船舶设计原理2001——2005水声学原理2002——2005船舶静力学2001——2005杆系结构静力学1998，2000电子与信息工程学院模拟电子技术2001——2005信号与系统（含随机信号20%）1999——2005 自动控制原理(含现代20%) 1999——2005工程光学2005通信原理2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005 计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001高等代数2000——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000能源与动力学院汽车理论2000——2005机械原理1999——2000，2003——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005化工原理及化工原理实验2001——2005普通物理2000高等代数2000——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005运筹学基础及应用2004——2005计算机信息管理1999——2001，2004——2005 微电子技术2003——2005杆系结构静力学1998，2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000信息管理与信息系统2010（回忆版）管理学院计算机信息管理1999——2001，2004——2005 运筹学基础及应用2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）运筹学基础及应用2004——2005公共管理学2005社会保障学2004——2005管理学2010（回忆版）信息管理与信息系统2010（回忆版）人文社会科学学院经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）系统工程概论1999——2002现代科学技术基础知识1999——2000，2004——2005思想政治教育学2004——2005马克思主义哲学原理2004——2005马克思主义哲学2001——2002西方哲学史2005哲学概论2004——2005科学技术史（含命题作文）2004——2005科学史、技术史、命题作文2001——2003政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）传播学2004——2005新闻传播实务2004——2005民法学2004——2005法理学与商法总论2004——2005政治学2004——2005中外教育史2004——2005教育学2005中国近现代史2004——2005世界近现代史2004——2005电气工程及应用电子技术系电路理论2002——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2005晶体管原理2000外国语学院二外德语2002，2004二外俄语2002——2004二外法语2004——2005二外日语2002——2004专业基础英语2003英汉翻译2003，2005英汉翻译与写作2004英语水平测试2004——2005二外英语2002——2005日语水平测试2004——2005翻译与写作（日）2004——2005专业基础日语2002——2003外国语言学与应用语言学（日语）专业综合能力测试2002——2003体育教学部运动生物力学2005人体测量与评价2004——2005生物学基础2005体质学2004——2005建筑艺术学院建筑设计（8小时）2000，2004——2005建筑设计原理1999——2000，2003建筑设计理论综合2004——2005城市建设史2002——2003中国与外国建筑史2000建筑构造与建筑结构1999——2000城市规划历史与理论2004——2005城市规划原理2003城市设计2002规划设计(8小时)2004-2005素描(8小时)2005泥塑(8小时)2005色彩(4小时)2005软件学院离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001环境与生命学院物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）化工原理及化工原理实验2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005基因工程原理2004——2005微生物学2004——2005细胞生物学2005环境化学2004——2005环境工程原理2004——2005，2010（2010为回忆版）分子遗传学2004——2005环境微生物2002经济系经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）高科技研究院数学分析2001——2005（2005有答案）高等代数2000——2005数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）硅酸盐物理化学2001——2002，2005微电子技术2003——2005。
高数课本大连理工第四章习题答案
高数课本大连理工第四章习题答案在高等数学的学习过程中，解决课本习题是巩固知识点和提高解题能力的重要环节。
以下是大连理工大学出版的高等数学教材第四章习题的一些参考答案，请注意，这些答案仅供参考，解题思路和方法才是学习的关键。
第一章：极限与连续1. 求极限：对于函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果存在一个确定的实数L，使得f(x)的值无限接近于L，则称L为f(x)在x=a处的极限。
2. 极限存在准则：如果函数f(x)在x=a的邻域内连续，那么f(x)在x=a处的极限存在。
3. 连续性：如果函数f(x)在x=a处的极限与f(a)相等，则称f(x)在x=a处连续。
第二章：导数与微分1. 导数的定义：函数f(x)在x=a处的导数定义为极限\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \]，如果该极限存在，则称f(x)在x=a处可导。
2. 基本导数公式：例如，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( (\sin x)' = \cos x \)，\( (\ln x)' = \frac{1}{x} \) 等。
3. 复合函数的导数：链式法则的应用，\( (f(g(x)))' = f'(g(x))\cdot g'(x) \)。
第三章：微分中值定理及其应用1. 罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点c在开区间(a,b)内，使得f'(c)=0。
2. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点c在开区间(a,b)内，使得\( f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)。
3. 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g'(x)不为0，则存在一点c在开区间(a,b)内，使得\( \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \)。
大连理工大学线性代数第一章习题答案
思考题1-11. 不成立。
因为()222A ,+=+++B A AB BA B AB 不一定等于. BA 2. 成立。
因为22(),A +=+++E A AE EA E =AE EA . 3. 成立。
因为22()(),+−=−+−=−A E A E A AE EA E A E2()()−+=−A E A E A E .4. 不成立。
因为矩阵的乘法不满足消去律，由22()=2AB A B ，得不出=AB BA .5. 不成立。
反例，。
1111⎡⎤=⎢⎥−−⎣⎦A 6. 不成立。
反例，。
1000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 7. 不成立。
反例，。
1001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A 8. 成立。
因为,()().Tk TT k===kA A A A A9. 不成立。
因为,()()()(1),Tk TT kkk=−==−=−kA A A A A A 结论与的奇偶性有关。
k 10. 成立。
由对称阵的定义可知结论成立。
习题1-11. 2.111100−⎡⎤=⎢⎣⎦X ⎥1,2x y ==3.正确，依次为5BA ABC ABABC 、、5×矩阵、41×矩阵、41×矩阵。
4.（1）；（2）；（3）3-3-5-7915⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎥10530100⎡⎤⎢⎥−⎣⎦32659110-4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）1432321211⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）;222111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x +++++（6）；（7） 157063004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦050505050−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦5.（1），在矩阵111112221222331332k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的左边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各行；（2），在矩阵111212313121222323k a k a k a k a k a k a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 的右边乘以对角矩阵时，其乘积等于用该对角矩阵的对角元分别乘以矩阵A 的各列。
线性代数（大连理工大学）第6章习题答案
思考题6-11）正确。
2）不正确。
=Ax b 有可能无解，例如，1212120030x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩有唯一解，但1212121231x x x x x x +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩无解。
3）正确。
因为()[](,)m r r m =≤≤A A b ，[]()(,)r r =A b A ，所以=Ax b 一定有解. 4）正确。
因为()r m n ≤<A ，所以=Ax 0有非零解.习题6-11.（1）0k =或1k = （2）2k =-2.（1）当0k ≠且2k ≠±时，有唯一解；当0k =或2k =时，无解；当2k =-时，有无穷多个解。
（2）当1k ≠且2k ≠-时，有唯一解；当2k =-时，无解；当1k =时，有无穷多个解。
（3）当0a ≠且a b ≠时，有唯一解；当0a =时，无解；当0a b =≠时，有无穷多个解。
（4）当1k ≠且2k ≠-时，无解；当1k =时，有唯一解；当2k =-时，有无穷多个解。
3. 当2k ≠时，向量b 能由向量组123,,a a a 线性表示。
4.解：方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，就是方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 是有解的。
[]22111011101200110,140031012110101a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A b2211101110101010103100013301100011a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→---+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦221110111001010101001100110013300043a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−→−−→--+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦当1a ≠且3a ≠时，无解；当1a =时，有无穷多个解；当3a =时，有唯一解。
大连理工大学2004年硕士入学考试高等代数ahu_002
大连理工大学2004年硕士研究生入学考试《高等代数》试题一、填空题（每小题4分）1．设()(),f x g x 是有理系数多项式，且()(),f x g x 在复数域内无公共根，则()(),f x g x 在有理数域上的最大公因式是=＿＿．2．n 阶行列式111211212111n n n D n --==- ＿＿．3．设α是3维列向量，Tα是α的转置矩阵，若111111111T αα-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则T αα=＿＿．4．设向量组123,,ααα线性无关，向量组123,,βββ可由向量组123,,ααα线性表示：11232123313423βαααβαααβαα=++=+-=- 则123,,βββ线性＿＿．5．设A 是n 阶矩阵，如果()1r A n =-，且代数余子式110A ≠，则齐次线性方程组0AX =的通解是＿＿．6．已知00110100A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有三个线性无关的特征向量，则x =＿＿．7．已知n 阶实对称矩阵A 的特征值中有m 个0，t 个正实数，则A 的秩，正惯性指数，负惯性指数及符号差分别是＿＿．8．设P 是数域，33P⨯表示P 上的所有33⨯矩阵的集合，对于矩阵的加法及数乘运算，33P ⨯是P 上的线性空间，令{}33|0V A P TrA ⨯=∈=，则V 的维数=＿＿，V 的一组基为＿＿．9．设12,,,n e e e 和12,,,n f f f 是线性空间V 的两组基，且12,,,n e e e 到12,,,nf f f的过渡矩阵是P ，若σ是V 上的线性变换，且(),1,2,,i i e f i n σ== ，则σ在12,,,n f f f 下的矩阵是＿＿．10．已知3维欧氏空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为＿＿．二、（24分）设,R Q 分别表示实数域和有理数域，()()[],f x g x Q x ∈．证明： ⑴若在[]R x 中有()()|g x f x ，则在[]Q x 中也有()()|g x f x ． ⑵()f x 与()g x 在[]Q x 中互素，当且仅当()f x 与()g x 在[]R x 互素． ⑶设()f x 是[]Q x 中的不可约多项式，则()f x 的根都是单根．三、（10分）设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在秩为n r -的n 阶方阵B ，使得0AB =．四、（10分）设A 是n 阶方阵，证明：存在一可逆矩阵B 及一幂等矩阵C ，使A BC =． 五、（20分）设V 是4维欧氏空间，A 是V 的一个正交变换．若A 没有实特征值，求证：A 可分解为两个正交的2维A 不变子空间的直和．六、（10分）设A 满足20A =，确定A 的Jordan 标准型．七、（20分）设J 时表示元素全为1的级矩阵，设()f x ax b =+是实系数多项式，令()A f J =．⑴求J 的全部特征值和特征向量， ⑵求A 的所有特征子空间．八、（16分）设V 是实数域上n 维线性空间，f 为V 上的正定对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间，(){}|,0,W c f c b b ==是U 中任意向量．证明：⑴W 是V 的子空间， ⑵V 是U 和W 的直和．大连理工大学2004年硕士研究生入学考试《高等代数》试题解答一、填空题1．1．可参照第二大题． 2．()1nn --．3．3．易得111α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．4．无关．1214100113≠--．5．100k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，解空间的维数为1，而110A ≠，可得．6．0．可得特征值123,1,1λλλ==-，当1λ=时，有两个线性无关的向量（0x =）时，才有三个线性无关的特征向量． 7．,,,2n m t n m t t n m ----+．8．9，()ij E i j ≠与1010001,0,1000101⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 9．P ．()()11,,,,n n e e e e P σ= ，而()()11,,,,n n f f e e P = ，从而1A P PP P -==．10．5．二、证⑴．在[]R x 中有()()|g x f x ，则有()()()()[],f x g x h x h x R x =∈． 不妨设()()()0,,,,,n n niii i i i i i i i i i f x a x g x b x h x c x a b Q c R ======∈∈∑∑∑，对i c 用数学归纳法． 显然000a b c =，有0c Q ∈，同样10110a b c b c =+，显然有1c Q ∈．不妨设01,,k c c Q -∈ ，则0110k k k k a c b c b c b -=+++ ，显然k c Q ∈． 从而()[]h x Q x ∈，也即在[]Q x 中也有()()|g x f x ．⑵．()f x 与()g x 在[]Q x 中互素，则存在()()[],u x v x Q x ∈，使得()()()()1u x f x v x g x +=，另一方面，也有()()[],u x v x R x ∈，从而有()f x 与()g x 在[]R x 互素．⑶．假定()f x 有一根0x ，0x R ∈不是单根，不妨设为k 重根，则，()0kx x -是()f x 的因式，则()()()()10,k f x f x x x -'=-．另一方面，在[]Q x 有()()(),1f x f x '=，根据2可知在[]R x 也有()()(),1f x f x '=，但这与上面的结论矛盾，从而，0x 是单根．当()f x 有多个重根时，同样根据上面的推导，得出矛盾． 综上，()f x 的根都是单根．■三、证考虑齐次线性方程组0AX =的解空间，由A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，故解空间是由n r -维，不妨设0AX =的基础解系为1,n r αα- ，再取 ()100n rB αα-= ．则B 为秩为n r -的n 阶方阵B ，且有0AB =．■ 四、证不妨设()r A r =，则存在可逆矩阵,P Q ，满足000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭显然有1000rEA PQ Q Q -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令10,00rE B PQ C Q Q -⎛⎫==⎪⎝⎭． 则A BC =，且,B C 满足题目要求．■五、证设1234,,,εεεε为V 的一组标准正交基，线性变换A 在这组基下的矩阵为A ．设x yi +是n 维复向量空间nC 中A 对应特征值1u vi λ=+的一个特征向量，,n x y R ∈，即()()()A x yi u vi x yi +=++．比较实虚部得Ax ux vy Ay vx uy=-=+．设,y x αβ==，则A u v A v u ααββαβ=+=-+．显然，,αβ线性无关，否则，有A u kv kA v ku αααααα=+=-+可得，2u 也为A 的特征值，矛盾．令()1,V L αβ=，显然，1V 是A 的不变子空间，且1dim 2V =．从而有正交分解，11V V V ⊥=⊕，1V ⊥也是不变子空间．■六、解设A 的Jordan 标准型为11,1i i i r i J J J J λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即存在可逆矩阵Q ，满足1QAQ J -=．由于20A =，故()221210J QAQQA Q --===，从而，21,2,,i J i r = =0，，亦即2220112i i i i λλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 从而0i λ=，且0010i J ⎛⎫=⎪⎝⎭， 故A 的Jordan 标准型为100,10i r J J J J ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．■七、解⑴显然1111J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，从而()11111n E J n λλλλλ----==---，即J 的特征值为n ，0， 又由()11011n nE J P P n --⎛⎫ ⎪-== ⎪ ⎪--⎝⎭， 解得一个特征向量111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 同样对应于0λ=有特征向量，23111001,,,001100n P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．⑵由题意，a b a A a a b +⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，易得A 的特征值为,an b b +．对应于1an b λ=+的特征向量111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，对应于2b λ=有特征向量，23111001,,,001100n P P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．这样，A 的所有特征子空间为()()1212,,,n V L P V L P P λλ== ．■八、证⑴显然0W ∈,且任取12,,,W U k R ααβ∈∈∈，有()()()()()121211,,,0,,0f f f f k kf ααβαβαβαβαβ+=+===从而121,W k W ααα+∈∈，即W 是V 的子空间．⑵V 上定义二元函数()(),,fαβαβ=因为f 为V 上正定的对称双线性函数，故(),αβ为V 上的内积，对此内积，V 构成欧氏空间．又V 的子空间U ，存在唯一的正交补(){}(){}|,0,|,0,U V U V f U Wααββααββ⊥=∈=∈=∈=∈=即V U W =⊕．■。
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大连理工大学2005年攻读硕士研究生入学考试试题考试科目: 高等代数(404)一、填空题(每小题4分)1. 设()f x 是有理数域上的不可约多项式,α为()f x 在复数域内的一个根,则α的重数为_________.2. n 阶行列式211113111111n =+__________.3. 设α、β均为n 维列向量:'2αβ=,则'A E αβ=+可逆,1A -=__________.4. 设向量组12,,,r ααα 线性无关,123213121112r r r r r rβαααβαααβαααβααα-+=+++⎧⎪=+++⎪⎪⎨⎪=+++⎪=+++⎪⎩ 则121,,,,r r ββββ+ 线性__________.5. 设A 是n 阶矩阵,秩A r =,非齐次线性方程组Ax β=有解,则Ax β=的解向量组的秩为__________.6. 设a 、b 均为实数,二次型222212122311(,,,)()()()()n n n n f x x x ax bx ax bx ax bx ax bx -=++++++++a 、b 满足条件_________时,f 为正定二次型.7. 设V 是由矩阵A 的全体实系数多项式组成的线性空间,其中21000000A ωω⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中2ω=则V 的一组基是___________.8. 设V 是数域P 上的一维线性空间,写出V 上的所有线性变换____________.9. 正交矩阵的实特征值为___________.10. 设G 为群,H 、N 分别是G 的子群, H 、N 的阶分别是m 、n ,且m 、n 互素,令H N α∈⋂,则元素α的阶为__________.二、(10分) 设(),()f x g x 是数域P 上的多项式,证明:在数域P 上,若33()|()f x g x ,则()|()f x g x .三、(15分) 设A 为n 级矩阵,且秩A =秩2A ,证明:对任意自然数k ,有秩k A =秩A . 四、(15分) 证明:一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是,它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.五、(15分) 设1,,n εε 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基,W 是V 的非平凡子空间, 1,,r αα 是W 的一组基,证明:在1,,n εε 中可以找到n r -个向量1,,n ri iεε- ,使11,,,,,n rr i iααεε- 为V 的一组基.六、(10分)设3阶矩阵A 满足2320A A E -+=,写出A 的若当(Jordan)标准型的所有可能形式.七、(10分)设V 是一个n 维欧氏空间,1,,n αα 是V 的一个标准正交基, A 是V 的一个线性变换,()ij n n A a ⨯=是A 关于这个基的矩阵,证明:ji a =(A (i α),j α),,1,2,,i j n = .(其中( , )表示内积)八、(25分) 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,()f x 是A 的最小多项式,在[]P x 中,12()()()f x f x f x =,1()f x 、2()f x 均为首项系数为1的多项式,且1()f x 与2()f x 互素,令11{|V V f α=∈(A )(α)0=}, 22{|V V f α=∈(A )(α)0=}.证明:(1) (5分) 1V 和2V 都是A 的不变子空间； (2) (10分)12V V V =⊕；(3) (10分) A 1|V 的最小多项式是1()f x , A 2|V 的最小多项式是2()f x .九、(10分) 设R 是有1的交换环,P 是R 的素理想,12,,,n I I I 是R 的极大理想,如果P 包含12,,,n I I I 的交集,证明P 必为极大理想.大连理工大学2005年攻读硕士研究生入学考试高等代数(404)试题解答一、填空题1. 1.2. 111![]nk n k=+∑.3. '13E αβ-.4. 相关.5. 1n r -+.6. 1(1)0n n n a b ++-≠.7. 2,,E A A .8. 取定V 的一个非零向量α,则()V L α=的全部线性变换形如:()a f x a x αα , 其中a 是P 中任一取定的数.9. 1±.10. 1. ■二、若(),()f x g x 中有一个是零多项式或零次多项式,则结论显然成立.下设()0f x ∂>,()0g x ∂>,且1212()()()()s rrrs g x ap x p x p x =是()g x 的标准分解式,其中12(),(),,()s p x p x p x 是互不相同的最高次项系数为1的不可约多项式,12,,,s r r r 都是正整数.任取()f x 的一个不可约因式()q x ,由于()|()q x f x ,3()|()f x f x ,33()|()f x g x利用多项式整除的传递性,得3()|()q x g x .由于()q x 是不可约多项式,故()|()q x g x ,进一步可知,()()i q x cp x =, 对某个1i s ≤≤及c P ∈.于是我们可以设1212()()()()s ttts f x bp x p x p x = ,其中12,,,s t t t 是非负整数.从33()|()f x g x 知,存在多项式()[]h x P x ∈,使得33()()|()g x f x h x =,即1212333333331212()()()()()()()ssr t r r tt ssa p x p x p xb p x p x p x h x = .由此推出33i i r t ≥,即i i r t ≥,1,2,,i s = .因此1211221122121212()()()()()()()()()()()s s ss str t ttr t r t s sr t r t r t sg x a bp x p x p x p x p x p x ba f x p x p x p xb ------=∙=∙由多项式整除的定义知,()|()f x g x . ■三、 对k 作数学归纳法.当1,2k =时结论显然成立.假设1k -时结论成立,即rank A =rank 1k A -.令{|0}nii V X P A X =∈=, 1,2,i =那么显然有123V V V ⊆⊆⊆ .从rank A =rank 1k A -知dim 1V =n -rank A n =-rank 1k A -=dim 1k V -于是1V =1k V -.任取0k X V ∈,即00k A X =,亦即10()0k A A X -=,那么011k A X V V -∈=.于是200A X =.进一步有13200()0k k AX AA X --==,这表明01k X V -∈,从而1k k V V -⊆.因此,1k k V V -=.于是rank A n =-dim 1V =n -dim 1k V -=n -dim k V = rank k A . ■四、必要性.设实二次型12(,,,)n f x x x 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积1211221122(,,,)()()n n n n n f x x x a x a x a x b x b x b x =++++++若两个一次多项式的系数成比例,即(1,2,,)i i b ka i n == ,不妨设10a ≠,令1112222n n nn y a x a x a x y x y x=+++⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 则2121(,,,)n f x x x ky = ,即二次型12(,,,)n f x x x 的秩为1. 若两个一次多项式系数不成比例,不妨设1212a ab b ≠,令111222112233n nn n n ny a x a x a x y b x b x b x y x y x =+++⎧⎪=+++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩则1212(,,,)n f x x x y y = .再令11221233n ny z z y z z y z y z =+⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 则22121212(,,,)n f x x x y y z z ==- ,故二次型12(,,,)n f x x x 的秩为2,符号差为零.充分性. 若12(,,,)n f x x x 的秩为1, 则可经非退化线性替换使2121(,,,)n f x x x ky = , 其中11122n n y a x a x a x =+++ ,故2121122(,,,)()n n n f x x x k a x a x a x =+++ .若12(,,,)n f x x x 的秩为2, 符号差为0, 则可经非退化线性替换使2212121212(,,,)()()n f x x x y y y y y y =-=+- ,其中12,y y 均为12,,,n x x x 的一次多项式, 即1112221122n n n ny a x a x a x y b x b x b x =+++=+++故12(,,,)n f x x x 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积. ■五、 因为W 是V 的非平凡子空间,故W V ≠.于是r n <.对n r -作数学归纳法.首先,12,,,n εεε 不能都在W 中.否则,W V =,出现矛盾.设1i ε是12,,,n εεε 中不属于W 的一个向量,那么112,,,,r i αααε线性无关.令1112(,,,,)r i W L αααε= ,则dim 11W r =+.由归纳假设,在12,,,n εεε 中可以找到(1)n r -+个向量23,,,n ri i iεεε-使1212,,,,,,,n rr i i iαααεεε-是V 的一组基. ■六、 因为2320A A E -+=,故2()32f x x x =-+是A 的一个零化多项式.设()m x 是A 的最小多项式,则()|()m x f x .由于()(1)(2)f x x x =--没有重根,故()m x 没有重根.因此A 可以对角化.从2320A A E -+=知,A 的特征根为1或2.于是A 的Jordan 标准型的可能形式为111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,122⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,222⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ■七、由所给条件知 (A 1α, A 2α, , A n α)=(1α,2α, ,n α)A. 于是A i α=(1α,2α, ,n α)121122ii i i ni nnia a a a a a ααα⎛⎫ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭.注意1α,2α, ,n α为V 的一组标准正交基,故11221122((),)(,)(,)(,)(,)(,)i j i i ni n j i j i j ni n j ji j j jiA a a a a a a a a αααααααααααααα=+++=+++==八、(1) 注意1f (A ), 2f (A )都是A 的多项式,故A 1f (A )=1f (A )A , A 2f (A )=2f (A )A.任取1V α∈,则1f (A )(α)=0.由于1f (A )(A (α))=(1f (A )A )(α)=(A 1f (A ))(α)= A (1f (A )(α))= A (0)=0.故A (α)1V ∈.由不变子空间的定义知,1V 是A 的不变子空间.类似地可证,2V 也是A 的不变子空间.(2) 因为1()f x 与2()f x 互素,存在(),()[]u x v x P x ∈使得12()()()()1u x f x v x f x +=.将x =A 代入上式,得u (A )1f (A )+v (A )2f (A )=ε (ε为恒等变换). (*) 任取V α∈,则()u αεα==(A )1f (A )(α)+v (A )2f (A )(α). (**) 由于()f x 是A 的最小多项式,故f (A )=1f (A )2f (A )=0.于是2f (A )(u (A )1f (A )(α))=(u (A )1f (A )2f (A ))(α)=u (A )(f (A )(α))=u (A )(0)=0类似地, 1f (A )(v (A )2f (A )(α))=0.因此u (A )1f (A )(α)2V ∈，v (A )2f (A )(α)1V ∈.于是从(**)知12V V V ⊆+.注意12,V V 都是V 的子空间,故12V V V =+.设12V V β∈⋂,则1f (A )(β)=0, 2f (A )(β)=0.由(*)知()βεβ==(u (A )1f (A ))(β)+(v (A )2f (A ))(β)=0,故12{0}V V ⋂=.因此12V V V =⊕.(3) 由于对任1V α∈,有1f (A )(α)0=,故1f (A )作为1V 上的线性变换是零变换,即1f (A )1|V 0=,亦即1()f x 是A 1|V 的零化多项式.设1()g x 是A 1|V 的最小多项式,则11()|()g x f x ,从而有 11()()g x f x ∂≤∂.类似地,设2()g x 是A 2|V 的最小多项式,则22()|()g x f x ,且22()()g x f x ∂≤∂.取12()()()g x g x g x =,那么()|()g x f x ,故()()g x f x ∂≤∂. 任V γ∈,由(2)知12V V V =⊕,可设12γγγ=+,i i V γ∈.于是g (A )(γ)=1g (A )2g (A )(1γ)+ 1g (A )2g (A )(2γ)=2g (A )1g (A )(1γ)+1g (A )2g (A )(2γ)=000+=这表明()g x 是A 的零化多项式,故()|()f x g x .从而有()()f x g x ∂≤∂.于是12()()()()f x g x g x g x ∂=∂=∂+∂.从12()()()f x f x f x ∂=∂+∂, 11()()g x f x ∂≤∂, 22()()g x f x ∂≤∂知()()i i g x f x ∂≤∂.由于()i g x 是最高次项系数为1的多项式,且()|()i i g x f x 知()()i i g x f x =. ■九、已知12n P I I I ⊇⋂⋂⋂ . 现在我们证明:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.反 证法:假设对任1i n ≤≤,P 都不包含i I ,则存在i i a I ∈,i a P ∉.由于j I 为理想,故12n j a a a I ∈ , 1,2,,j n = .从而有1212n n a a a I I I P ∈⋂⋂⋂⊆ .从12n a a a P ∈ 及P 是R 的素理想知, 12,,,n a a a 中至少有一个属于P ,这与i a P ∉,1,2,,i n =矛盾.这就证明了:存在某个i ,1i n ≤≤,使得i P I ⊇.而i I 是极大理想,故i P I =或P R =. 但P 是素理想,P R ≠,故i P I =. 因此P 为极大理想. ■。