第九章 习题及参考答案

第九章 系综理论

习题9.1证明在正则分布中熵可表为∑-=s

s s k

S ρρln 其中s

E s e Z

βρ-=

1是系统处在s 态的概率。 证： )ln (ln ββ

∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1s

s E s

E e Z e Z ββρ--=⇒=∑ )2(ln ∑∑---=∂∂k

E k

E k k

k

e

e E Z

βββ

由(1)知 []s s s s s E Z E Z E Z e

s

ρβ

ρβρβln ln 1

;ln ln +=

-+=-⇒=-

代至(2)得

[]∑∑+=+=∂∂s

s s

s s s Z Z Z ρρ

ββρρβ

βln 1

ln 1ln ln 1ln ;

于是 ∑-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-=s

s s

k Z Z k S ρρ

ββln ln ln

习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 证： ()

2

221

21;iz

iy ix N

i s s

E p p p m

E e

Z s

++==

∑

∑=-β 符号∏=i

iz iy

ix

dp dp

dp dp

符号∏=

i

i

i

i

dz

dy dx dq

()

(

)

2

/33)

(232332!!!!12221

2221

222

N N

N

N

p p p m N N

p p p m N

N

p p p

N m h N V

Z dp e h N V

dp

e

h N V

dpdq e h

N Z z y x N

i iz

iy ix N

i iz

iy ix ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∑=

∑=⎰⎰⎰∞+∞

-++-∞+∞

-++-++-==βπβ

ββ

利用式（9.5.3）V

NTk

V Z Z Z P =∂∂=∂∂=

⇒βββ1ln 1类似求S U ,。

习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。 试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。

解：

()()[]∏∏⎰∑=+++++-+j

j j i i i i iz iy ix p p p p p p m

n n dq dp dz dy dx dp dp dp e h n n Z jz jy jx iz iy ix

2222

22212)(321!!1β

()2

/3)(321)(2121212!!n n n n n n m h n n V Z +++⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

⇒βπ

()kT n n PV V

kT n n V Z P )(ln 12121+=⇒+=∂∂=

⇒β

习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。

解： Q m N Z N 2

/32!1⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=βπ

()()()

Z Q m N Q N N m Z U N N N /2!12/3!2ln 2/32/312

/3⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∂∂-=--ββπβπβ dr f V N V Q Q Q N N N

⎰--+=∂∂-=12121

2

;1)2/3(ββ

()φββφφβ

ββ----=∂∂⇒-=∂∂=∂∂⇒⎰e f e f dr f V N Q r N 121212

121;212

()⎰⎰⎰-----++

=-=∂∂⇒dr

f V N V dr

e V N NTk U dr e V N Q N N N N 121212

12

122/3;2

2βφβφφφβ

一般认为dr f V

N 122

2较小； V a kNT dr f V N

V dr

e V N NTk U N N /2/32122/3122

1

2-≈⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=⎰⎰--βφφ 习题9.6被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用 正则分布证明，二维气体的物态方程为[]S B NTk pS /1+=，其中：

()

⎰--

=-S rdr e

N

B kT

;212

/πφ为液体的面积，φ为两分子的互作用势。

解： 二维气体

∏∏⎰⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛++-∑∑=

p p N dy dx dp dp

e h

N Z j

i i iy ix m φβ)(22221!1