人教版初中数学锐角三角函数的图文解析

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第二十八章 锐角三角函数小结 课件(共19张PPT) 人教版 九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数小结  课件(共19张PPT) 人教版  九年级数学下册

解直角三角形
直角三角形角的关系:
∠A+∠B=90°
B
直角三角形边的关系:
AC2+BC2=AB2
A
C
直角三角形边角关系:
sin A BC AB
sin B AC AB
cosA AC AB
cosB BC AB
tanA BC AC
tan B AC BC
解直角三角形
例3.请从下列三个条件中任选两个作为一个直角三 角形的两个条件,解这个直角三角形,并思考一共 有几种不同的情形。(线段长和角度分别精确到0.1 和0.1°)
AB 2 cosA 6
BC 62 22 4 2
A
C
sin A BC 4 2 2 2
AB 6 3
tanA BC 4 2 2 2 AC 2
直角三角形中的边角关系
锐角三角函数的定义:
B
sin
A
A的对边 斜边
BC AB
∠A的 锐角三 角函数
cos A
A的邻边 斜边
AC AB
A
C
tan A
x 3x 200
C 200km
x 73.2 3x 126 .8 100
直角三角 形中的边 角关系
定义
形成过程
确定关系
本章知识结构图
锐角三角 函数
特殊角 一般角 计算器
解直角三 角形
几个元素 几种情形 方程思想
实际问题
构造直角 寻找共边 综合运用
作业布置
必做题:书本P84页第6题, 书本P84页第9题, 书本P85页第11题
4
tan15 1 2 3 2 3
8 4 3 ( 6)2 2 6 2 ( 2)2

人教版《锐角三角函数》优秀课件初中数学ppt

人教版《锐角三角函数》优秀课件初中数学ppt

(C) 0<cosA< 3 2
(D) 3<cosA<1 2
3.特殊角300,450,600角的三角函数值.
锐角a 三角 函数
sin a
cos a
tan a
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
3
1
3
练一练
求下列各式的值: (1) sin230°+ cos230°-tan45°.
(2)3tan 30 tan 45 2sin 60;
求sin∠ABC的值。
构建直角三角形求三角函数值
求sin∠ABC的值。
解:过点A作AD⊥BC于D.
等腰三角形常作底边上的高线。
归纳:已知值,求角 求cosB 及tanB 的值.
(C) 0<cosA<
(D) <cosA<1
求锐角三角函数值的四种常用方法
方法
1
直接用锐角三角函数的定义求 三角函数值
1.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,
那么 cosA 的值等于 ( D )
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
D. 4 5
方法 2 巧设参数求三角函数值
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,且sinB=
12 13

5
则tanA= 12 .
方法
3 利用等角转化法求三角函数值
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是 斜边AB的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD, CB相交于点H,E且AH=2CH,求sin B的值.
17
E

人教版《锐角三角函数》PPT完美课件初中数学2ppt

人教版《锐角三角函数》PPT完美课件初中数学2ppt

sin
A
A的对边 斜边
a c
正弦
锐角三角函数
sinA,sin30°,sinα,sin∠1,sin∠BAC
小试牛刀
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求sinA.
B
5
3
A

4
C
sinA
小试牛刀
含30°角的直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半。
角而言,它的对边与斜边的比不变的规律.
难点:直角三角形中,探究正弦定义的过程,对于同一个锐
sin60° 含30°角的直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半。
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA .
sin45°
复习小结
正弦的定义
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦,记作sinA .
30°
A 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求sinA.
C 含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
C1 C2
含30°角的直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半。
角而言,它的对边与斜边的比不变的规律.
在直角三角形中,一个锐角的对边与斜边的比,叫做这个锐角的正弦。
相似
AA相似
∠A的对边/斜边
B3
B2 B1 B
5 3
A
C C1 C2 C3
相似
∠A≈37° AA相似
∠A的对边/斜边
B
A
┌C
∠A的对边/斜边
在直角三角形中,一个锐角的对边与斜边的比,叫做这个锐角的正弦。

人教版九年级数学下册 《锐角三角函数》(人教)教学课件(共20张ppt)

人教版九年级数学下册 《锐角三角函数》(人教)教学课件(共20张ppt)
第二十八单元 第1课
锐角三角函数
问题引入
问题1 ⑴相似三角形的对应边之间有什么关系? ⑵在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有什么关系? ⑶在直角三角形中,斜边与两条直角边之间有什么关系? 问题2 据研究,当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°度左右时, 人脚的感觉最舒适。假设美女脚前掌到脚后跟长为15厘米,不难 算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。你知道专家是如何算出鞋跟的 最佳高度的吗?
追问2:由此你能得出什么结论?
新知探究
追问3:在直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么它的对边与 斜边比值又是怎样的呢? 追问4:在直角三角形中,通过对30°和45°的对边与斜边比值的研究, 你能得出什么结论?
新知探究
问题4 一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否 也是一个固定值?
在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与 斜边的比也是一个固定值。
正弦函数概念:
新知探究
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦(sine),记住sinA,即
新知探究
问题5 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A确定时,∠A的对边与斜边的 比值随之确定。此时,其他边之间的比是否也随之确定呢?为什么?
因此
sin A BC 6 3
AB 10 5
cos A AC 8 4 AB 10 5
tan A BC 6 3 AC 8 4
应ห้องสมุดไป่ตู้新知
例3:求下列各式的值:
(1) cos2 60 sin2 60
; (2)
cos 45 tan 45 sin 45

解:(1)

《锐角三角函数》课件

《锐角三角函数》课件
锐角三角函数图像与性质
正弦函数图像及性质
周期性
振幅
相位
图像特点
正弦函数具有周期性,周期为2π。
正弦函数的相位表示函数在水平方向上的移动,通过调整相位可以得到不同位置的正弦波。
正弦函数的振幅为1,表示函数在垂直方向上的波动范围。
正弦函数的图像是一条连续的、平滑的曲线,呈现周期性的波动。
余弦函数图像及性质
202X
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《锐角三角函数》ppt课件
汇报日期
汇报人姓名
目录
锐角三角函数基本概念
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锐角三角函数图像与性质
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数运算规则
单击此处添加文本具体内容,简明扼要的阐述您的观点。
锐角三角函数在实际问题中应用
乘法运算规则
两个锐角三角函数的除法运算,通常转化为同角三角函数的除法运算,再利用同角三角函数的基本关系式进行化简。
除法运算规则
按照先乘除后加减的运算顺序进行乘除混合运算,注意运算过程中的化简和约分。
乘除混合运算规则
复合运算规则
复合函数的定义域
复合函数的值域
复合函数的单调性
复合函数的周期性
01
02
03
钝角三角函数定义
探讨了钝角三角函数的性质,如取值范围、增减性等,以及与锐角三角函数的异同点。
钝角三角函数的性质
介绍了在直角情况下,一些特殊角的三角函数值,如0°、30°、45°、60°、90°等,以及如何利用这些特殊值进行计算和证明。
直角情况下的特殊值
感谢观看
THANKS
渐近线与间断点
02

第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数++++复习课件+2024—2025学年人教版数学九年级下册
7.(2022·六盘水中考)“五一”期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨
会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,
用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E
的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
【解析】原式=1-2 + =1- .
9
维度2基本技能(方法)、基本思想的应用
4.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,
则cos A的值为( C )
3
A.
5
3
B.
4
4
C.
5
4
D.
3
5. (2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.
答:遮阳宽度CD约为3.6 m;
13
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到0.1 m).(参考数据:
sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14, 2≈1.41)
【解析】(2)如图,
过点E作EH⊥AB于H,∴∠BHE=90°,
12
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,∴sin

α= ,

∴OD=AD·sin α=2×sin 65°≈2×0.9=1.8(m),∴CD=2OD=3.6 m,
3
课标 内容要求

锐角三角函数4.ppt

锐角三角函数4.ppt

一般地,对于每一个确定的锐角α,在角的
一边上任取一点B,作BC⊥AC于点C,则比
值 BC , AC , BC都是一个确定的值,与点B在角的边
AB AB AC
上的位置无关,因此,比值 BC , AC , BC都是锐角α
的三角函数。
AB AB AC B
A
C
这几个比值都是锐角∠A的函数,记
作sin A、cos A、tan A、cot A,
AB 5
AB 5
cosA = AC = 4 , AB 5
cosB = BC = 3 , AB 5
tanA = BC = 3 . AC 4
tanB = AC = 4 . BC 3
当∠A+∠B=90°时,
sinA=cosB, cosA=sinB, tanA·tanB=1
B
在直角三角形中,∠A+∠B=90
相等,则这两个锐角相等.
课外探 索:
1、在平面坐标系第一象限内是否存在点P,使得OP=4, sin∠POB=0.5.求点P的坐标,并求出OP所在直线的解 析式.
思考:OP所在直线的解析式的比例系数K与∠POB有
什么关系呢?
y
6 5
4
3
2
1
B
0 12 34 5x
课外探索:
2、如图,一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上,当端点A离 地面的高度AC长为1m时,竹竿AB的倾斜角α的正切 tanα的值是多少? 当端点A位于D,离地面的高度CD为2m时,倾斜角β 的正切tanβ的值是多少?
锐角的正切值最大?
A
α
B
5.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩
大100倍,sinA的值( C )

锐角三角函数ppt课件

锐角三角函数ppt课件

A
cos A AD 3 AD 3 2 3 3
AC 2
2
D
B
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
9
练习
1. 求下列各式的值:
(1)1-2 sin30°cos30°
(2)3tan30°-tan45°+2sin60°
(3)
1
cos 60 sin 60
60°
3 2
1 2
3
5
例1求下列各式的值:
(1)cos260°+sin260°
(2)
cos 45 sin 45
tan
45
(3)tan450.sin450-4sin300.cos450+cos2300
解: (1) cos260°+sin260°
1 2
2
2
3 2
=1
(2)
cos 45 sin 45
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
对于sinα与tanα,角度越大,函数值也越大;(带正) 对于cosα,角度越大,函数值越小。
14
B
求∠A、∠B的度数.
7
解: 由勾股定理
A
C
21
2
2
AB AC2 BC2 21 7 28 2 7
sin A BC 7 1 AB 2 7 2
∴ A=30°
∠B = 90°- ∠ A = 90°-30°= 60°
12
1?
sin 230 +tan 245 +sin 260 cos 245 +tan30 cos30
米.然后他很快就算出旗杆的高度了。

第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章+锐角三角函数知识点总结及思维导图+2023—2024学年人教版数学九年级下册

第28章锐角三角函数【思维导图】28.1锐角三角函数【知识点】1.Rt△ABC中,∠C=90°.(1)∠A的对边与斜边比,叫做∠A的正弦,记为sinA,即sinA=∠A的对边斜边=aa(2)∠A的邻边与斜边比,叫做∠A的余弦,记为cosA,即cosA=∠A的邻边斜边=aa(3)∠A的对边与邻边比,叫做∠A的正切,记为tanA,即tanA=∠A的对边∠A的邻边=aa∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.提示:sin A 不是sin与A的乘积,而是一个整体,cosA和tanA同理;锐角三角函数的三种表示方法:sin A,sin 56°,sin∠DEF.2.一个锐角的三角函数值是一个比值,它与三角形的大小无关,它没有单位.在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的锐角三角函数值为定值.锐角三角函数锐角α30°45°60°sin α12√22√32cos α√32√2212tan α√331√3(1)正弦值、正切值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小.(2)sin α=cos(90°-α)cos α=sin(90°-α)tan α·tan(90°-α)=1(3)锐角A 的正弦、余弦的取值范围分别为:0<sin A<1,0<cos A<1, (4)cos 2A+sin 2A=1 sin 2A+sin 2(90°-α)=1(5)tan A=sin A cos A4.锐角三角函数值是个常数值,它只与角的度数有关,将来离开了直角三角形也存在.5.若α=45°,则sin α=cos α; 若α<45°,则sin α<cos α; 若α>45°,则sin α>cos α;28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形【知识点】1.在直角三角形中,由已知元素求出其余未知元素的过程就是解直角三角形.2.在直角三角形中,三边之间的关系是a 2+b 2=c 2(勾股定理); 两锐角之间的关系是∠A+∠B=90° 边角之间的关系有sinA=∠A 的对边斜边,cosA=∠A 的邻边斜边,tanA=∠A 的对边∠A 的邻边3.在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素只要知道其中的两个元素,就可以求出其余三个元素,其中至少有一个是边.4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若已知∠A=α,AB=c ,较简便的方法是用正弦求出BC ,用余弦求出AC ,也可用勾股定理求出AC ,根据直角三角形的两锐角互余求出∠B.单元练习一、选择题1.已知∠α为锐角,且sin a=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.sin 60°的相反数是( )A.-12B.−√33C.−√32D.−√223.如图,在∠ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为( )A.52B.12C.255D.554.如图,在4×5 的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,∠ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,那么sin∠ACB 的值为( )A.3√55B.√175C. 35D. 455.在∠ABC中,∠A,∠B均为锐角,且|2sin A-1|与(cos a-√22)2互为相反数,则∠C的度数是( )A.45°B.75°C.105°D.120°6.如图,在∠ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=35,则AC的长为( )A.3 B.9 C.4 D.127.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪的高A D为1.5米,则铁塔的高BC为( )A.(1.5+150tanα)米a.(1.5+150tan a)米C.(1.5+150sinα)米a.(1.5+150sin a)米8.在Rt∠ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,则cos A 的值为 ( ) A.√32 B .12 C .√33 D .√229.如图,在∠ABC 中,CA =CB =4,cosC =14 ,则sinB 的值为( )A.102 B .153 C .64 D .10410.如图,电线杆CD 的高度为h ,两根拉线 AC 与BC 相互垂直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(点 A,D,B 在同一条直线上)( ) a .asin a a .acos a a .atan a D. h·cosα11.定义一种运算:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.例如:当α=60°,β=45°时,cos(60°-45°)=12×√22+√32×√22=√2+√64,则cos 75°的值为 ( )A.√6+√24 B .√6-√24C.√6-√22 D .√6+√2212.如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点A ,B ,C 都在格点上,以AB 为直径的圆经过点C ,D ,则cos∠ADC 的值为( )A .21313B .31313C .23D .53 二、填空题,则cos B=_______.13.在∠ABC中, aa=90°,tan a=√3314.已知α为锐角,当无意义时,cos α的值是_______.√3tan a-115.如图,在Rt∠ABC中,∠ACB=90°,CD∠AB,垂足为D,若AC= 5 ,BC =2,则sin∠ACD的值为_________.16.某物体沿着坡比为4:3的坡面上升了8米,那么在坡面上移动了_______米.17.如图,已知正方形ABCD和正方形BEFG,点G在AD上,GF与CD交于点,正方形ABCD的边长为8,则BH的长为_______.H,tan∠ABG=1218.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点,且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是_________.三、解答题19.图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB=AC=50 cm,∠AB C=47°.(1)求车位锁的底盒BC的长;(2)若一辆汽车的底盘高度为30cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位? (参考数据:aaa47°≈0.73,aaa47°≈0.68,aaa47°≈1.07)20.某景区为给游客提供更好的游览体验,拟在如图∠所示的景区内修建观光索道.其设计示意图如图∠所示,以山脚A为起点,沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道,最终到达山顶D处,中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长为50 m.索道AB与AF的夹角为15°,CD与水平线的夹角为45°,A、B两处的水平距离AE为576 m,DF∠AF,垂足为点F.(图∠中所有点都在同一平面内,点A、E、F 在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1 m);(2)求AF的长(结果精确到1 m).(参考数据:sin 15°≈0.25,cos 15°≈0.96,tan 15°≈0.26,√2≈1.41)21.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上,求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数.参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)。

《解直角三角形》锐角三角函数PPT课件4-人教版九年级数学下册PPT课件

《解直角三角形》锐角三角函数PPT课件4-人教版九年级数学下册PPT课件

P1
P
A
45˚ 60˚
D
C
B
解:过点A作AD⊥BC于D, 设AD=x
∵ ∠PBA= 60˚, ∠P1CA= 30˚, ∴ ∠ABC=30˚, ∠ACD= 30˚, 在Rt△ADC中, CD=AD•cot∠ACD= x•cot60˚,
在Rt△ADB中, BD=AD•cot45˚= x•cot45˚, ∵ BD-CD=BC, BC= 1∴8 x•cot45˚- x•cot60˚=18
CD的长.
5
CD的长为1
坡度、坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡 度(或叫做坡比), 一般用i表示.把坡面与 水平面的夹角α叫做坡角.
h
i h tan ( 坡角)
【例6 】(1)如图, 温州某公园入口处原有 三级台阶, 每级台阶高为30cm, 深为30cm.为方 便残废人士, 现拟将台阶改为斜坡, 设台阶的起 始点为A, 斜坡的起始点为C, 现将斜坡的坡角 ∠BCA设计为12°, 求AC的长度. (sin12°≈ 0.2079)
a≈213.3. b≈192.7.
归纳
已知
两边
两直角边 一斜边, 一直角边
一边一角
一锐角, 一直角边 一锐角, 一斜边
优选关系式
已知斜边求直边, 正弦余弦很方便; 已知直边求直边, 正切余切理当然; 已知两边求一角, 函数关系要选好; 已知两边求一边, 勾股定理最方便; 已知锐角求锐角, 互余关系要记好; 已知直边求斜边, 用除还需正余弦; 计算方法要选择, 能用乘法不用除.
解:要使A、C、E在同一直线上, 则∠ABD是 △BDE的一个外角. ∴∠BED=∠ABD-∠D=90° ∴DE=BD·cosD=500×0.6428

人教版锐角三角函数_ppt2

人教版锐角三角函数_ppt2

人教版锐角三角函数_ppt2
人教版锐角三角函数_ppt2
思考探究
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,∠C=∠C’=90°,∠A
=∠A’ ,那么 AC 与 A'C' 有什么关系.你能解释一
下吗?
AB A' B'
B'
B
A
C A'
C'
∵∠C=∠C’=90°, ∠A=∠A’
∴Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
(C)
B
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变
D.不能确定
A
C
2.如图,为了测量河两岸A.B两点的距离,在与AB垂直的
方向点C处测得AC=a,∠ACB=α,那么AB等于(B )
A.a·sinα C.a·cosα
B.a·tanα D.
AaC
α
人教版锐角三角函数_ppt2
B
人教版锐角三角函数_ppt2
• cosA,tanA没有单位,它表示一个比值,
即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比;
• cosA不表示“cos”乘以“A”, tanA不表示 “tan”乘以“A”
人教版锐角三角函数_ppt2
人教版锐角三角函数_ppt2
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
尝试运用
1 、 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,
AB=10,求∠A,∠B的sinA,cosA,tanA值.
B
解:由勾股定理得
10
6
AC AB2 BC2 102 62 8
A

人教版《锐角三角函数》PPT初中数学ppt

人教版《锐角三角函数》PPT初中数学ppt
45 若经s历in探α=索3,0则°锐、角45α°=_、__6_0_°;角的三角函数值的过程,能够进行有关的推理,进一步体会三角函数的意义。0
B 若sinα= ,则锐角α=_____;
sin45°= 特殊角30°,45°,60°角的三角函值.
x 锐角A的正弦、余弦、正切是锐角A的锐角三角函数.
关系法:互为余角的关系 ①含30°和60°两个锐角的三角尺;
450
450 ┌ 600 ┌
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具: ①含30°和60°两个锐角的三角尺; ②皮尺.
请你设计一个测量方案,能测出一棵大树的高度.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
为图了表测 法量:一观棵察大正树弦的值高、度余,弦准值备、了正如切下值测的量变工化具情:况 特 0 殊1角30°2 ,453°,604°角5的三6角函值7. 8 9 10
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的
除直角以 三外角还形有中其的他边关角系关吗系? 若为s了in测α=量一,则棵锐大角树α的=高__度__,_;准备了如下测量工具:
位置B处,使这位同学拿起三角尺,她
直关角系三 法角:形互两为锐余角的关系.
的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,
锐为01、角了在1A测含的量3正一02弦°棵、的大3余直树弦角的4、三高正角度5切形,是中准锐,3备0角了°A如角的下所锐测对角量的三工直角具角函:边数等. 于斜边的一半。30°的邻边和水平方向平行,用卷尺测
30°=? 30°=? 30°=?
小组讨论
A
300

B
C
新知讲授
运用知识:
A
1、在含30°的直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜
边的一半。(令BC=x)

28章锐角三角函数全章ppt课件

28章锐角三角函数全章ppt课件

问题(1)当梯子与地面所成的角a为75°时,梯子顶端与地面的 距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度.
问题(1)可以归结为:在Rt △ABC中,已知∠A=75°,斜
边AB=6,求∠A的对边BC的长.
B
由 sin A BC 得 AB
BC AB sin A 6sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题(2),当梯子底端距离墙面2.4m时,求梯子与地面所成的 角a的问题,可以归结为:在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6, 求锐角a的度数
由于
B
cos a AC 2.4 0.4
AB 6
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
例题示范
例3: 如图,在Rt△ABC中,∠C=90° B
1.求证:sinA=cosB,sinB=cosA
2.求证:tan A sin A ;tan A 1
cos A
tan B
3.求证:sin2 A cos2 A 1
A
C
sin2 A sin A sin A
如图,Rt△ABC中,直角边AC、BC小于斜边AB,
sin A BC <1
AB
sin B AC AB
<1
A
C
所以0<sinA <1, 0<sinB <1, 如果∠A < ∠B,则BC<AC , 那么0< sinA <sinB <1
探究
精讲
如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,当锐角A确定时,∠A 的对边与斜边的比就随之确 定,此时,其他边之间的比 是否也确定了呢?为什么?
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∴大正方形的边长为 5 5 ,小正方形的边长为 5,
∴ 5 5 cos 5 5 sin 5 ,
∴ cos sin 5 , 5
∴ sin cos 2 1 .
5
故选:A. 【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积,难度适中,解题的关键是正
确得出 cos sin 5 . 5
【详解】
如图所示,
过 A 作 AE⊥CP 于 E,过 B 作 BF⊥DQ 于 F,则
Rt△ACE 中,AE= 1 AC= 1 ×54=27(cm), 22
同理可得,BF=27cm, 又∵点 A 与 B 之间的距离为 10cm, ∴通过闸机的物体的最大宽度为 27+10+27=64(cm), 故选 C. 【点睛】 本题主要考查了特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值应用广泛,一是它可以当作数 进行运算,二是具有三角函数的特点,在解直角三角形中应用较多.
5.如图,点 E 从点 A 出发沿 AB 方向运动,点 G 从点 B 出发沿 BC 方向运动,同时出发 且速度相同, DE GF AB ( DE 长度不变, F 在 G 上方, D 在 E 左边),当点 D 到 达点 B 时,点 E 停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积的大小变化情况是
()
∵∠DEB=90°,∴BD= DE 2 3 . sin60 3
故选 B. 【点睛】 本题考查了解直角三角形,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形斜边的中 线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9.公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示, 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面
30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为( )
A.(54 3 +10) cm B.(54 2 +10) cm C.64 cm
D.54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过 A 作 AE⊥CP 于 E,过 B 作 BF⊥DQ 于 F,则可得 AE 和 BF 的长,依据端点 A 与 B 之间的
距离为 10cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.
10.如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是菱形,点 B 的坐标是(0,4),点 D 的
坐标是(8 3 ,4),点 M 和点 N 是两个动点,其中点 M 从点 B 出发,沿 BA 以每秒 2 个
单位长度的速度做匀速运动,到点 A 后停止,同时点 N 从点 B 出发,沿折线 BC→CD 以每 秒 4 个单位长度的速度做匀速运动,如果其中一个点停止运动,则另一点也停止运动,设 M,N 两点的运动时间为 x,△BMN 的面积为 y,下列图象中能表示 y 与 x 的函数关系的图 象大致是( )
【详解】
由题意知, C1A1 1 , C1A1B1 60 ,
则 C1B1A1 30 , A1B1 A2B2 2 , C1B1 C2B2 C3B3 3 , 结合图形可知,三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环,
2019 3 673 ,
OC2019 673(1 2 3) 2019 673 3 ,
所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角, 90 的圆周角所对的
弦是直径.也考查了解直角三角形.
7.如图,菱形 ABCD 的两个顶点 B、D 在反比例函数 y= 的图象上,对角线 AC 与 BD 的交 点恰好是坐标原点 O,已知点 A(1,1),∠ABC=60°,则 k 的值是( )
A.(2018+672 3 ,0)
B.(2019+673 3 ,0)
C.( 4035 +672 3 , 3 )
2
2
D.(2020+674 3 ,0)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知三角形在 x 轴上的位置每三次为一个循环,又因为 2019 3 673 ,那么
C2019 相当于第一个循环体的 673个C3 即可算出.
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】 根据两个点的运动变化,写出点 N 在 BC 上运动时△BMN 的面积,再写出当点 N 在 CD 上 运动时△BMN 的面积,即可得出本题的答案; 【详解】 解:当 0<x⩽2 时,如图 1:
连接 BD,AC,交于点 O′,连接 NM,过点 C 作 CP⊥AB 垂足为点 P, ∴∠CPB=90°,
解:由三视图可知:该几何体是一个圆锥,其轴截面是一个高为 3 的正三角形.
∴正三角形的边长 3 2 . sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1,母线长是 2,
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ,∵底面积为 r2 ,
2 ∴全面积是 3 .
故选:C. 【点睛】 本题考查了圆锥的计算,正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
∴tan40°=
DG AG
167 y 120
0.84
解得:y=78.8 故选:C 【点睛】 本题是三角函数的考查,注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
3.图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机.如图 2,它的双翼展开时,双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm,双翼的边缘 AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=
解:连接 BD ,如图,
AB 为直径,
ADB ACB 90 , AD CD,
DAC DCA,
而 DCA ABD ,
DAC ABD , ∵DE⊥ AB , ABD BDE 90 ,
而 ADE BDE 90 , ABD ADE , ADE DAC ,
FD FA 5 , 在 RtAEF 中, sin CAB EF 3 ,
∵四边形 ABCD 是菱形,其中点 B 的坐标是(0,4),点 D 的坐标是(8 3 ,4),
∴BO′=4 3 ,CO′=4,
∴BC=AB= OB2 OC2 8,
A. 3 3
B. 2 3 3
C.6 3
D.3 3
【答案】B 【解析】 【分析】 证明△OBE 是等边三角形,然后解直角三角形即可. 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形,∴OD=OB,CD=BC. ∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,∴OE=OD=OB. ∵∠DOE=120°,∴∠BOE=60°,∴△OBE 是等边三角形,∴∠DBC=60°.
C2019(2019 673 3,0) , 故选 B .
【点睛】 考查解直角三角形,平面直角坐标系中点的特征,结合找规律.理解题目中每三次是一个循 环是解题关键.
2.在课外实践中,小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ,采取了如下措施:如 图在江边 D 处,测得信号塔 A 的俯角为 40,若 DE 55米, DE CE , CE 36米, CE 平行于 AB , BC 的坡度为 i 1: 0.75,坡长 BC 140 米,则 AB 的长为( )(精确 到 0.1 米,参考数据: sin 40 0.64 , cos 40 0.77 , tan 40 0.84 )
积是 125,小正方形面积是 25,则 sin cos 2 ( )
A. 1 5
【答案】A 【解析】
B. 5 5
C. 3 5 5
D. 9 5
【分析】
根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 5 5 ,小正方形的边长为 5,再根据直角三
角形的边角关系列式即可求解.
【详解】
解:∵大正方形的面积是 125,小正方形面积是 25,
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm,则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中, x2 0.75x2 1402 ,解得:x=112
∴CF=112m,BF=84m ∵DE⊥CE,CE∥AB,∴DG⊥AB,∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m,CE=FG=36m ∴DG=167m,BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
人教版初中数学锐角三角函数的图文解析
一、选择题
1.如图,已知△A1B1C1 的顶点 C1 与平面直角坐标系的原点 O 重合,顶点 A1、B1 分别位于 x 轴与 y 轴上,且 C1A1=1,∠C1A1B1=60°,将△A1B1C1 沿着 x 轴做翻转运动,依次可得到 △A2B2C2,△A3B3C3 等等,则 C2019 的坐标C.﹣3
【答案】C
【解析】
分析:根据题意可以求得点 B 的坐标,从而可以求得 k 的值.
详解:∵四边形 ABCD 是菱形,
∴BA=BC,AC⊥BD,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∵点 A(1,1),
∴OA= ,
∴BO=

∵直线 AC 的解析式为 y=x, ∴直线 BD 的解析式为 y=-x, ∵OB= , ∴点 B 的坐标为(− , ),
1
= DE·AB·sinB
2
∵DE、AB 和∠B 都为定值
∴S 阴影也为定值
故选 B.
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积,掌握利用锐角三角函数解直角三角形和
三角形的面积公式是解决此题的关键.
6.如图,四边形 ABCD 内接于 O , AB 为直径, AD CD ,过点 D 作 DE AB于点 E ,连接 AC 交 DE 于点 F .若 sin CAB 3 , DF 5 ,则 AB 的长为( )
AF 5 EF 3 ,
AE 52 32 4 , DE 5 3 8, ADE DBE , AED BED ,
ADE∽DBE , DE : BE AE : DE ,即 8: BE 4 :8 , BE 16 , AB 4 16 20. 故选:D. 【点睛】 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧
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