高考解三角形大题(30道)

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完整版)高考解三角形大题(30道)

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完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且有以下等式:frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值,以及:2)若$\cos B=\frac{1}{4}$,$b=2$,求三角形ABC的面积S。

2.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\sin C+\cos C=1$,求:1)$\sin C$的值;2)若$a+b=4a-8$,求边c的值。

3.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c。

1)若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$,求角A的值;2)若$\cos A=\frac{3}{c}$,求$\sin C$的值。

4.在三角形ABC中,D为边BC上的一点,且$BD=\frac{3}{3}$,$\sin B=\frac{5}{3}$,$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$,求AD。

5.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$a=1$,$b=2$,$\cos C=-\frac{1}{4}$,求:1)三角形ABC的周长;2)$\cos(A-C)$的值。

6.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$,且$ac=\frac{1}{2}b$。

1)求a,c的值;2)若角B为锐角,求p的取值范围,其中$p=\frac{1}{5}$,$b=1$。

7.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。

1)求角A的值;2)求$\sin B+\sin C$的最大值。

8.在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题,带答案1. (宁夏17)(本小题满分12分)如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形,90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =.(Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE .解:(Ⅰ)因为9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,所以15CBE =∠.所以62cos cos(4530)4CBE +=-=∠. ···················································· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE=-+.故2sin 30cos15AE =122624⨯=+62=-. 12分2. (江苏17)(14分) 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm 。

(1)按下列要求写出函数关系式:①设∠BAO=θ(rad ),将y 表示成θ的函数关系式; ②设OP=x (km ),将y 表示成x 的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。

高考解三角形面积大题(30道)

高考解三角形面积大题(30道)

高考解三角形面积大题(30道)1. 题目描述题目:计算三角形的面积。

2. 解题思路解题思路如下:1. 确定三个顶点的坐标;2. 根据三个顶点的坐标,计算两条边的长度;3. 根据两条边的长度,使用海伦公式计算三角形的半周长;4. 根据半周长和两条边的长度,计算三角形的面积。

3. 解题步骤具体解题步骤如下:1. 读取三个顶点的坐标;2. 计算边的长度,如$AB$的长度为$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$;3. 计算另外两条边的长度$BC$和$CA$;4. 计算半周长$s$,即$s = \frac{1}{2}(AB + BC + CA)$;5. 计算三角形的面积,如$S = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - CA)}$;6. 输出三角形的面积。

4. 注意事项注意事项如下:- 在计算边长时,需要考虑顶点的坐标顺序;- 在计算面积时,需要根据实际情况选择合适的计算方法。

5. 示例代码以下是一个计算三角形面积的示例代码:def calculate_triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3):计算边的长度AB = ((x1 - x2)2 + (y1 - y2)2)**0.52 + (y1 - y2)2)**0.5BC = ((x2 - x3)2 + (y2 - y3)2)**0.52 + (y2 - y3)2)**0.5CA = ((x3 - x1)2 + (y3 - y1)2)**0.52 + (y3 - y1)2)**0.5计算半周长s = (AB + BC + CA) / 2计算面积area = (s * (s - AB) * (s - BC) * (s - CA))**0.5return area输入三个顶点的坐标x1, y1 = 1, 1x2, y2 = 3, 4x3, y3 = 6, 2计算面积triangle_area = calculate_triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3)输出结果print("三角形的面积为:", triangle_area)6. 总结通过以上解题步骤和示例代码,可以方便地计算三角形的面积。

解三角形高考题汇编

解三角形高考题汇编

解三角形一、选择题1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C=60°,则ab 的值为A .34 B .348- C . 1 D .32 2.在ABC ∆中,D 是边AC 上的点,且BD BC BD AB AD AB 2,32,===,则C sin 的值为A .33 B.63 C.36 D.663.在ABC ∆中,C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤.则A 的取值范围是A .(0,6π] B .[ 6π,π) C .(0,3π] D .[ 3π,π) 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2=+,则=ab(A) (B) (C(D5.如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=( ) ABCD6.在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为( )A.B. 2C. 12D. 12-7.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定 8 .已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-9.在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =10 .在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π 11.在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12πB.6π C.4π D.3π二、填空题:1.在相距2千米的B A ,两点处测量目标C ,若0060,75=∠=∠CBA CAB ,则C A ,两点之间的距离是 千米。

高考解三角形大题(30道)(精选.)

高考解三角形大题(30道)(精选.)

专题精选习题----解三角形1.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . (1)求ACsin sin 的值; (2)若2,41cos ==b B ,求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值;(2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值.3.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+π,求A 的值; (2)若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.4.ABC ∆中,D 为边BC 上的一点,53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD .5.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知41cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ∆的周长; (2)求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且241b ac =. (1)当1,45==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围.7.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值;(2)求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知412cos -=C . (1)求C sin 的值;(2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . (1)求ABC ∆的面积;(2)若6=+c b ,求a 的值.10.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,22)4cos()4cos(=-++ππC C . (1)求角C 的大小;(2)若32=c ,B A sin 2sin =,求b a ,.11.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且. (1)求角A 的大小;(2)若1=a ,求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足0cos cos )2(=--C a A c b . (1)求角A 的大小;(2)若3=a ,433=∆ABC S ,试判断的形状,并说明理由.13.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且.3)(2222ab c b a =-+(1)求2sin2BA +; (2)若2=c ,求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. (1)求角B 的大小;(2)设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=C A ,求⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ,若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.(1)求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合;(2)在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求)(A f 的取值范围.16.如图,ABC ∆中,2,332sin ==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上,且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长; (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. (1)求)cos(βα-的值; (2)若02,20<<-<<βππα,135sin -=β,求αsin .18.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ,且5=+b a ,7=c .(1)求角C 的大小; (2)求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . (1)求角A 的大小;(2)若32,22==∆ABC S a ,求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ,当]1,1[-∈x 时,其图象与x 轴交于N M ,两点,最高点为P .(1)求PN PM ,夹角的余弦值;(2)将函数)(x f 的图象向右平移1个单位,再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍,而得到函数)(x g y =的图象,试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2(a 为常数)在83π=x 处取得最大值. (1)求a 的值;(2)求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且bc a c b =-+222. (1)求角A 的大小;(2)若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=,当212)(+=B f 时,若3=a ,求b 的值.23.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知. (1)求C sin 的值; (2)求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且B c a C b cos )3(cos -=. (1)求B sin 的值;(2)若2=b ,且c a =,求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间;(2)在锐角三角形ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-,求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2=+.(1)求ab ; (2)若2223a b c +=,求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站,港口正东方向的B 处有一轮船,距离检查站为31海里,该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站,已知观测站与检查站距离为21海里,问此时轮船离港口A 还有多远?28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船,正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶,巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击,问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船,并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.(1)求船航行速度;(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.30.如图所示,甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行,速度为215海里/小时,在甲船从A 到出发的同时,乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发,朝北偏东θ(21tan =θ)的方向做匀速直线航行,速度为m 海里/小时.(1)求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里; (2)若两船能相遇,求m.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。

大题 解三角形(精选30题)(学生版)-2024届新高考数学大题

大题  解三角形(精选30题)(学生版)-2024届新高考数学大题

大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos B +1=c a.(1)证明:B =2A ;(2)若sin A =24,b =14,求△ABC 的周长.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C .(1)求角C ;(2)若a ,b ,c 成等差数列,且△ABC 的面积为1534,求△ABC 的周长.3(2024·江苏·一模)在△ABC 中,sin B -A +2sin A =sin C .(1)求B 的大小;(2)延长BC 至点M ,使得2BC =CM .若∠CAM =π4,求∠BAC 的大小.4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c sin B=2b.(1)求C;(2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC的面积.5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值;(2)若△ABC为锐角三角形,2b=3c,求sin C的值.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a sin C=c sin B,C= 2π3.(1)求B;(2)若△ABC面积为334,求BC边上中线的长.7(2024·山东淄博·一模)如图,在△ABC中,∠BAC=2π3,∠BAC的角平分线交BC于P点,AP=2.(1)若BC=8,求△ABC的面积;(2)若CP=4,求BP的长.8(2024·安徽·模拟预测)如图,在平面四边形ABCD中,AB=AD=4,BC=6.(1)若A=2π3,C=π3,求sin∠BDC的值;(2)若CD=2,cos A=3cos C,求四边形ABCD的面积.9(2024·浙江·一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c2b2+c2-a2=sin Csin B.(1)求角A;(2)设边BC的中点为D,若a=7,且△ABC的面积为334,求AD的长.10(2024·湖北·一模)在△ABC中,已知AB=22,AC=23,C=π4.(1)求B的大小;(2)若BC>AC,求函数f x =sin2x-B-sin2x+A+C在-π,π上的单调递增区间.11(2024·福建厦门·二模)定义:如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍,那么这个三角形叫做倍角三角形.如图,△ABC的面积为S,三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2Sc2-b2.(1)证明:△ABC是倍角三角形;(2)若c=9,当S取最大值时,求tan B.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=π2,B=π6,且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42,AD=22,求△ACD的面积;(2)若D=2π3,求BC-AD的最大值.13(2024·山东济南·二模)如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120°≤θ<180°.(1)若θ=120°,AD=3,求∠ADC的大小;(2)若CD=6,求四边形ABCD面积的最大值.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC的三内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b2+c2 -(b⋅cos C+c⋅cos B)2=bc,(1)求角A的大小;(2)如果该三角形外接圆的半径为3,求bc的取值范围.15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的周长为a sin Bsin A+sin B-sin C.(1)求C;(2)若a=2,b=4,D为边AB上一点,∠BCD=π6,求△BCD的面积.16(2024·广东梅州·二模)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,3a cos B-b sin A= 3c,c=2,(1)求A的大小:(2)点D在BC上,(Ⅰ)当AD⊥AB,且AD=1时,求AC的长;(Ⅱ)当BD=2DC,且AD=1时,求△ABC的面积S△ABC.17(2024·广东广州·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.已知S=-34(a2+c2-b2).(1)求B;(2)若点D在边AC上,且∠ABD=π2,AD=2DC=2,求△ABC的周长.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=1,cos A= 2c-12b.(1)求角B的大小;(2)如图,D为△ABC外一点,AB=BD,∠ABC=∠ABD,求sin∠CABsin∠CDB的最大值.19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(2sin A,3sin A+3cos A),n =(cos A,cos A-sin A),f(A)=m ⋅n ,A∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f(A)=0,a=3,sin B+sin C=62,求△ABC的面积.20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b-c cos A= 2a cos B cos C.(1)求cos B;(2)若点D在AC上(与A,C不重合),且C=π4,∠ADB=2∠CBD,求CDAD的值.21(2024·辽宁·二模)在△ABC中,D为BC边上一点,DC=CA=1,且△ACD面积是△ABD面积的2倍.(1)若AB=2AD,求AB的长;(2)求sin∠ADBsin B的取值范围.22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=π4,4b cos C=2c+2a.(1)求tan C;(2)若△ABC的面积为32,求BC边上的中线长.23(2024·重庆·模拟预测)如图,某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度,测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上,从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角,∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上).他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点,此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°,楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部,在线段MO 上).(1)求楼高MO 和楼尖MN ;(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时,测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大,求此时测角仪底到楼底的距离FO .参考数据:sin16.5°sin48.5°sin32°≈25,tan16.5°≈827,tan48.5°≈87,40×35≈37.4,24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 .(1)求角A 的大小;(2)若BP =PC ,且b +c =2,求AP 的最小值.25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =a +b ,c ,n =sin A -sin C ,sin A -sin B ,且m ⎳n .(1)求B ;(2)求b 2a 2+c2的最小值.26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos A =2a sin B .(1)求sin A ;(2)若a =3,再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求△ABC 的面积.条件① :b =6c ;条件② :b =6;条件③ :sin C =13.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.27(2024·河南·一模)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足b 2-a 2=ac .(1)求证:B =2A ;(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin (C -A )-sin B sin A的取值范围.28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c =a 2+b 2-c 2b2,且a ≠c .(1)求证:B =2C ;(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ,且a =12,求线段BD 的长度的取值范围.29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c a <b ,c =2a cos A cos B -b cos2A .(1)求A ;(2)者BD =13BC ,AD =2,求b +c 的取值范围.30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ,则称点P 为△ABC 的布洛卡点,θ为△ABC 的布洛卡角.如图,已知△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,点P 为的布洛卡点,θ为△ABC 的布洛卡角.(1)若b =c ,且满足PB PA=3,求∠ABC 的大小.(2)若△ABC 为锐角三角形.(ⅰ)证明:1tan θ=1tan ∠BAC +1tan ∠ABC +1tan ∠ACB .(ⅱ)若PB 平分∠ABC ,证明:b 2=ac .。

大题 解三角形(精选30题)(解析版)1

大题  解三角形(精选30题)(解析版)1

大题 解三角形(精选30题)1(2024·江苏·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos B +1=ca.(1)证明:B =2A ;(2)若sin A =24,b =14,求△ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7+14【分析】(1)利用正弦定理边化角结合角范围可证;(2)利用倍角公式求得sin C ,然后利用正弦定理可得【详解】(1)2cos B +1 sin A =sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B ⇒sin A =sin B cos A -cos B sin A =sin B -A 因为A ,B ∈0,π ,∴B -A ∈-π,π∴A =B -A 或A +B -A =π(舍),∴B =2A .(2)由sin A =24,结合(1)知A +B =3A ∈0,π ,则A ∈0,π3 ,得cos A =1-sin 2A =1-242=144sin B =sin2A =2sin A cos A =2×24×144=74,cos B =cos2A =1-2sin 2A =1-2×18=34,∴sin C =sin A +B =sin A cos B +cos A sin B =24×34+144×74=10216=528,由正弦定理得a sin A=b sin B =c sin C ⇒a 24=1474=c528⇒a =2c =5 ∴△ABC 的周长为a +b +c =7+14.2(2024·湖南常德·三模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C .(1)求角C ;(2)若a ,b ,c 成等差数列,且△ABC 的面积为1534,求△ABC 的周长.【答案】(1)2π3(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出a 2+b 2+ab =c 2;再结合余弦定理得出cos C =-12即可求解.(2先根据a ,b ,c 成等差数列得出a +c =2b ;再利用三角形的面积公式得出ab =15;最后结合(1)中的a 2+b 2+ab =c 2,求出a ,b ,c 即可解答.【详解】(1)因为sin 2A +sin 2B +sin A sin B =sin 2C ,由正弦定理a sin A=b sin B =csin C 可得:a 2+b 2+ab =c 2.由余弦定理可得:cos C =a 2+b 2-c 22ab =a 2+b 2-(a 2+b 2+ab )2ab=-12.又因为C ∈(0,π),所以C =2π3.(2)由a ,b ,c 成等差数列可得:a +c =2b ①.因为三角形ABC 的面积为1534,C =2π3,∴12ab sin C =1534,即ab =15②.由(1)知:a 2+b 2+ab =c 2③由①②③解得:a =3,b =5,c =7.∴a +b +c =15,故三角形ABC 的周长为15.3(2024·江苏·一模)在△ABC 中,sin B -A +2sin A =sin C .(1)求B 的大小;(2)延长BC 至点M ,使得2BC =CM .若∠CAM =π4,求∠BAC 的大小.【答案】(1)B =π4;(2)∠BAC =π12或5π12.【分析】(1)由sin C =sin A +B ,代入已知等式中,利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =22,可得B 的大小;(2)设BC =x ,∠BAC =θ,在△ABC 和△ACM 中,由正弦定理表示边角关系,化简求∠BAC 的大小.【详解】(1)在△ABC 中,A +B +C =π,所以sin C =sin A +B .因为sin B -A +2sin A =sin C ,所以sin B -A +2sin A =sin A +B ,即sin B cos A -cos B sin A +2sin A =sin B cos A +cos B sin A 化简得2sin A =2cos B sin A .因为A ∈0,π ,所以sin A ≠0,cos B =22.因为0<B <π,所以B =π4.(2)法1:设BC =x ,∠BAC =θ,则CM =2x .由(1)知B =π4,又∠CAM =π4,所以在△ABM 中,∠AMC =π2-θ.在△ABC 中,由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin B ,即x sin θ=ACsin π4①.在△ACM 中,由正弦定理得CM sin ∠CAM =AC sin M ,即2x sin π4=ACsin π2-θ②.①÷②,得222sin θ=cos θ22,即2sin θcos θ=12,所以sin2θ=12.因为θ∈0,3π4,2θ∈0,3π2,所以2θ=π6或5π6,故θ=π12或5π12.法2:设BC=x,则CM=2x,BM=3x.因为∠CAM=π4=B,所以△ACM∽△BAM,因此AMBM=CMAM,所以AM2=BM⋅CM=6x2,AM=6x.在△ABM中,由正弦定理得BMsin∠BAM=AMsin B,即3xsin∠BAM=6x22,化简得sin∠BAM=3 2.因为∠BAM∈0,3π4,所以∠BAM=π3或2π3,∠BAC=∠BAM-π4,故∠BAC=π12或5π12.4(2024·浙江温州·二模)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c sin B=2b.(1)求C;(2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC的面积.【答案】(1)C=π4或3π4(2)43【分析】(1)根据正弦定理,边化角,结合三角形中角的取值范围,可得sin C,从而确定角C.(2)根据条件求角求边,再结合三角形面积公式求面积.【详解】(1)由2c sin B=2b 得2sin C sin B=2sin B,而B为三角形内角,故sin B>0,得sin C=22,而C为三角形内角,∴C=π4或3π4(2)由tan A=-tan B+C=tan B+tan C得-tan B+tan C1-tan B tan C=tan B+tan C,又tan B+tan C≠0,∴tan B tan C=2, ,故B,C∈0,π2,由(1)得tan C=1,故tan B=2,∴tan A=tan B+tan C=3,而A为三角形内角,∴sin A=31010.又asin A=csin C即231010=c22⇒c=203,又tan B=2,而B为三角形内角,故sin B=255,∴S=12ac sin B=12×2×203×255=43.5(2024·浙江嘉兴·二模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cos A-3cos2A= 3.(1)求cos A的值;(2)若△ABC为锐角三角形,2b=3c,求sin C的值.【答案】(1)cos A=13或cos A=0;(2)429.【分析】(1)根据题意,利用二倍角余弦公式化简求解;(2)解法一,由2b =3c ,利用正弦定理边化角得2sin B =3sin C ,结合sin A +C =sin B 和cos A =13,化简运算并结合平方关系求得答案;解法二,根据条件利用余弦定理可得c =23a ,再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】(1)由题可得2cos A -32cos 2A -1 =3,即3cos 2A -cos A =0,解得cos A =13或cos A =0.(2)解法一:因为2b =3c ,由正弦定理得2sin B =3sin C ,即2sin A +C =3sin C ,即2sin A cos C +2sin C cos A =3sin C ,因为cos A =13,所以sin A =223;所以423cos C +23sin C =3sin C ,又sin 2C +cos 2C =1,且△ABC 为锐角三角形,解得sin C =429.解法二:由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc=13,因为2b =3c ,所以9c 24+c 2-a 23c2=13,即c 2=49a 2,所以c =23a ,所以sin C =23sin A ,又cos A =13,所以sin A =223,所以sin C =23sin A =429.6(2023·福建福州·模拟预测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a sin C =c sin B ,C =2π3.(1)求B ;(2)若△ABC 面积为334,求BC 边上中线的长.【答案】(1)B =π6(2)212【分析】(1)由正弦定理边化角即可得到角B ;(2)根据A =B ,得a =b ,结合三角形面积公式即可得到a =b =3,再由正弦定理得边c ,以及2AD =AB +AC ,即可得到答案.【详解】(1)∵a sin C =c sin B ,由正弦定理边化角得sin A sin C =sin C sin B ,∵sin C ≠0,∴sin A =sin B ,∴A =B 或A +B =π(舍),又∵C =2π3,∴B =π6;(2)∵B =π6,C =2π3,A =π6,∴a =b ,∴S △ABC =12ab sin C ,即334=12a 2⋅32,解得a =b =3,由正弦定理a sin A=csin C ,得c =a sin Csin A=3,设BC 边的中点为D ,连接AD ,如下图:∵2AD =AB +AC ,即(2AD )2=(AB +AC)2,即4AD 2=c 2+b 2+2bc cos A =9+3+2×3×3×32,解得AD =212.7(2024·山东淄博·一模)如图,在△ABC 中,∠BAC =2π3,∠BAC 的角平分线交BC 于P 点,AP =2.(1)若BC =8,求△ABC 的面积;(2)若CP =4,求BP 的长.【答案】(1)3+1952(2)2+2133【分析】(1)利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案;(2)首先利用余弦定理求出AC =1+13,再利用正弦定理求出sin C ,再根据三角恒变换求出sin B ,最后再根据正弦定理即可.【详解】(1)△ABC 中,设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,在△ABC 中由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠CAB ,即64=c 2+b 2+b ⋅c ①因S △ABC =S △MBP +S △MCP ,即bc 2⋅32=2c 2⋅32+2b 2⋅32,整理得b ⋅c =2b +2c ②①②解得b ⋅c =2+265,所以S △ABC =12bc sin ∠BAC =3+1952.(2)因为AP =2,CP =4,∠PAC =π3,所以在△APC 中由余弦定理可得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ⋅AC ⋅cos ∠CAP ,所以16=4+AC 2-2AC解得AC =1+13,由正弦定理得APsin C =PCsin ∠CAP,即2sin C=432,解得sin C =34,所以cos C =1-sin 2C =134,sin B =sin (∠BAC +C )=sin ∠BAC cos C +cos ∠BAC sin C =39-38,△ABC 中由正弦定理得AC sin B =BC sin ∠BAC,则1+1339-38=BC32,解得BC =14+2133,所以PB =BC -PC =14+2133-4=2+2133.8(2024·安徽·模拟预测)如图,在平面四边形ABCD 中,AB =AD =4,BC =6.(1)若A =2π3,C =π3,求sin ∠BDC 的值;(2)若CD =2,cos A =3cos C ,求四边形ABCD 的面积.【答案】(1)34(2)162+853【分析】(1)△ABD 中求出BD ,在△BCD 中,由正弦定理求出sin ∠BDC 的值;(2)△ABD 和△BCD 中,由余弦定理求出cos A 和cos C ,得sin A 和sin C ,进而可求四边形ABCD 的面积.【详解】(1)在△ABD 中,AB =AD =4,A =2π3,则∠ADB =π6,BD =2AD cos ∠ADB =2×4×cos π6=43,在△BCD 中,由正弦定理得BC sin ∠BDC =BDsin C ,sin ∠BDC =BC sin C BD =6sin π343=34.(2)在△ABD 和△BCD 中,由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ⋅AD cos A =42+42-2×4×4×cos A =32-32cos A ,BD 2=CB 2+CD 2-2CB ⋅CD cos C =62+22-2×6×2×cos C =40-24cos C ,得4cos A -3cos C =-1,又cos A =3cos C ,得cos A =-13,cos C =-19,则sin A =223,sin C =459,四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △BCD =12AB ⋅AD ⋅sin A +12CB ⋅CD ⋅sin C=12×4×4×223+12×6×2×459=162+853.9(2024·浙江·一模)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知c 2b 2+c 2-a2=sin Csin B .(1)求角A ;(2)设边BC 的中点为D ,若a =7,且△ABC 的面积为334,求AD 的长.【答案】(1)A =π3(2)132【分析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b 2+c 2-a 2=bc ,再结合余弦定理即可求出角A ;(2)根据三角形面积公式得到bc =3和b 2+c 2=10,再结合中线向量公式计算即可.【详解】(1)在△ABC 中,由正弦定理得,sin C sin B =cb,因为c 2b 2+c 2-a 2=sin C sin B ,所以c 2b 2+c 2-a 2=cb ,化简得,b 2+c 2-a 2=bc ,在△ABC 中,由余弦定理得,cos A =b 2+c 2-a 22bc=12,又因为0<A <π,所以A =π3(2)由S △ABC =12bc sin A =34bc =334,得bc =3,由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得7=b 2+c 2-3,所以b 2+c 2=10.又因为边BC 的中点为D ,所以AD =12AB +AC,所以AD =12(AB +AC )2=12b 2+c 2+2bc cos A =12×10+2×3×12=13210(2024·湖北·一模)在△ABC 中,已知AB =22,AC =23,C =π4.(1)求B 的大小;(2)若BC >AC ,求函数f x =sin 2x -B -sin 2x +A +C 在-π,π 上的单调递增区间.【答案】(1)B =π3或B =2π3(2)-π,-7π12 ,-π12,5π12 ,11π12,π【分析】(1)利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解;(2)利用大边对大角及三角形的内角和定理,再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】(1)在△ABC 中,由正弦定理可得:AB sin C=AC sin B ,即2222=23sin B ,解得sin B =32,又0<B <π,故B =π3或B =2π3.(2)由BC >AC ,可得A >B ,故B =π3,A +C =2π3.f x =sin 2x -π3 -sin 2x +2π3 =sin 2x -π3 -sin 2x +π-π3=2sin 2x -π3,令-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z .由于x∈-π,π,取k=-1,得-π≤x≤-7π12;取k=0,得-π12≤x≤5π12;取k=1,得11π12≤x≤π,故f x 在-π,π上的单调递增区间为-π,-7π12,-π12,5π12,11π12,π.11(2024·福建厦门·二模)定义:如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍,那么这个三角形叫做倍角三角形.如图,△ABC的面积为S,三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2Sc2-b2.(1)证明:△ABC是倍角三角形;(2)若c=9,当S取最大值时,求tan B.【答案】(1)证明见解析(2)23-3【分析】(1)由三角形面积公式化简条件,结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明;(2)由正弦定理结合题中条件得到a=9sin3Bsin2B,结合三角形面积公式S=12×ac sin B化为关于tan B的表达式,构造函数,利用导数求得最大值即可.【详解】(1)因为sin C=2Sc2-b2=2×12ab sin Cc2-b2=ab sin Cc2-b2,又sin C≠0,所以abc2-b2=1,则b2=c2-ab,又由余弦定理知,b2=a2+c2-2ac cos B,故可得2c cos B=a+b,由正弦定理,2sin C cos B=sin A+sin B,又sin A=sin B+C=sin B cos C+cos B sin C,代入上式可得sin C cos B=sin B cos C+sin B,即sin C cos B-sin B cos C=sin B,sin C-B=sin B,则有C-B=B,C=2B,故△ABC是倍角三角形.(2)因为C=2B,所以A=π-B-C=π-3B>0,故0<B<π3,则tan B∈0,3,又c=9,又asin A=csin C,则a=9sin Asin C=9sinπ-3Bsin2B=9sin3Bsin2B,则S=12×ac sin B=92a sin B=92×9sin3Bsin2B×sin B=814⋅sin3Bcos B,=814⋅sin2B cos B+cos2B sin Bcos B=814×sin2B+cos2B tan B=8142tan B1+tan2B+1-tan2B1+tan2B⋅tan B=814×3tan B-tan3B1+tan2B设x=tan B∈0,3,f x =3x-x31+x2,则f x =3-3x21+x2-3x-x3⋅2x1+x22=-x4-6x2+31+x22令f x =0得x2=23-3或者x2=-23-3(舍),且当0<x2<23-3时,f x >0,当23-3<x2<3时,f x <0,则f x 在0,23-3上单调递增,在23-3,3上单调递减,故当x=23-3时,f x 取最大值,此时S也取最大值,故tan B=23-3为所求.12(2024·福建漳州·模拟预测)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=π2,B=π6,且△ABC的外接圆半径为4.(1)若BC=42,AD=22,求△ACD的面积;(2)若D=2π3,求BC-AD的最大值.【答案】(1)4;(2)833.【分析】(1)在三角形ABC中,根据正弦定理求得AC,∠CAB,再在三角形ADC中,利用三角形面积公式即可求得结果;(2)设∠DAC=θ,在三角形ADC,ABC中分别用正弦定理表示BC,AD,从而建立BC-AD关于θ的三角函数,进而求三角函数的最大值,即可求得结果.【详解】(1)因为B=π6,△ABC的外接圆半径为4,所以ACsin B=8,解得AC=4.在△ABC中,BC=42,则BCsin∠CAB=42sin∠CAB=8,解得sin∠CAB=22.又∠CAB∈0,π2,所以∠CAB=π4;在△ACD中,AC=4,∠DAC=π2-∠CAB=π4,AD=22,所以SΔACD=12×4×22×22=4.(2)设∠DAC=θ,θ∈0,π3.又D=2π3,所以∠ACD=π3-θ.因为∠DAB=π2,所以∠CAB=π2-θ.在△DAC中,AC=4,由正弦定理得ACsin D=ADsin∠ACD,即432=ADsinπ3-θ,解得AD=833sinπ3-θ=83332cosθ-12sinθ=4cosθ-433sinθ.在△ABC中,AC=4,由正弦定理得ACsin B=BCsin∠CAB,即412=BCsinπ2-θ,解得BC=8sinπ2-θ=8cosθ,所以BC-AD=4cosθ+33sinθ=833sinθ+π3.又θ∈0,π3,所以θ+π3∈π3,2π3,当且仅当θ+π3=π2,即θ=π6时,sinθ+π3取得最大值1,所以BC-AD的最大值为83 3.13(2024·山东济南·二模)如图,在平面四边形ABCD中,BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=θ,120°≤θ<180°.(1)若θ=120°,AD=3,求∠ADC的大小;(2)若CD=6,求四边形ABCD面积的最大值.【答案】(1)∠ADC=45°(2)3+2【分析】(1)在△ABC中,利用余弦定理可得AC=6,由等腰三角形可得∠BCA=30°,然后在△ADC中利用正弦定理即可求解;(2)利用勾股定理求得BD=22,然后四边形面积分成S△BCD+S△ABD即可求解.【详解】(1)在△ABC中,AB=BC=2,θ=120°,所以∠BCA=30°,由余弦定理可得,AC2=22+22-2×2×2×-1 2=6,即AC=6,又BC⊥CD,所以∠ACD=60°,公众号:慧博高中数学最新试题在△ADC中,由正弦定理可得3sin60°=6sin∠ADC,得sin∠ADC=22,因为AC<AD,所以0°<∠ADC<60°,所以∠ADC=45°.(2)在Rt△BCD中,BC=2,CD=6,所以BD=22,所以,四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△ABD=12×2×6+12×2×22sin∠ABD=3+2sin∠ABD,当∠ABD =90°时,S max =3+2,即四边形ABCD 面积的最大值为3+2.14(2024·湖北武汉·模拟预测)已知锐角△ABC 的三内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且b 2+c 2-(b ⋅cos C +c ⋅cos B )2=bc ,(1)求角A 的大小;(2)如果该三角形外接圆的半径为3,求bc 的取值范围.【答案】(1)π3(2)6,9【分析】(1)由余弦定理将cos B ,cos C 化成边,化简再结合余弦定理可求得答案;(2)利用正弦定理,将边化角,再利用角的范围即可得出结果.【详解】(1)∵b 2+c 2-b cos C +c cos B 2=bc ,由余弦定理可得b 2+c 2-b ⋅a 2+b 2-c 22ab+c ⋅a 2+c 2-b 22ac 2=bc ,化简整理得b 2+c 2-a 2=bc ,又b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,∴cos A =12,又0<A <π2,所以A =π3.(2)因为三角形外接圆半径为R =3,所以b =23sin B ,c =23sin C ,∴bc =12sin B sin C ,由(1)得B +C =2π3,所以bc =12sin B sin C =12sin B sin 2π3-B =12sin B 32cos B +12sin B =63sin B cos B +6sin 2B =33sin2B +31-cos2B=632sin2B -12cos2B +3=6sin 2B -π6+3,因为△ABC 是锐角三角形,且B +C =2π3,所以π6<B <π2,∴π6<2B -π6<5π6,∴12<sin 2B -π6≤1,∴6<6sin 2B -π6+3≤9,即6<bc ≤9.所以bc 的取值范围为6,9 .15(2024·湖南邵阳·模拟预测)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且△ABC 的周长为a sin Bsin A +sin B -sin C .(1)求C ;(2)若a =2,b =4,D 为边AB 上一点,∠BCD =π6,求△BCD 的面积.【答案】(1)C =2π3;(2)235.【分析】(1)根据给定条件,利用正弦定理角化边,再利用余弦定理求解即得.(2)由(1)的结论,利用三角形面积公式,结合割补法列式求出CD ,再求出△BCD 的面积.【详解】(1)在△ABC 中,a +b +c =a sin B sin A +sin B -sin C,由正弦定理得a +b +c =aba +b -c ,整理得a 2+b 2-c 2=-ab ,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=-12,而0<C <π,所以C =2π3.(2)由D 为边AB 上一点,∠BCD =π6及(1)得∠ACD =π2,且S △ACD +S △BCD =S △ABC ,即有12b ⋅CD sin π2+12a ⋅CD sin π6=12ab sin 2π3,则4CD +CD =43,解得CD =435,所以△BCD 的面积S △BCD =12a ⋅CD sin π6=14×2×435=235.16(2024·广东梅州·二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,3a cos B -b sin A =3c ,c =2,(1)求A 的大小:(2)点D 在BC 上,(Ⅰ)当AD ⊥AB ,且AD =1时,求AC 的长;(Ⅱ)当BD =2DC ,且AD =1时,求△ABC 的面积S △ABC .【答案】(1)A =2π3(2)AC =83+411;S △ABC =32+34【分析】(1)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值,结合A ∈(0,π)即可求解A 的值;(2)(Ⅰ)根据锐角三角函数和差角公式可得cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =-510+155正弦定理即可求解.(Ⅱ)采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决.【详解】(1)因为3a cos B -b sin A =3c ,所以由正弦定理可得3sin A cos B -sin B sin A =3sin C ,又sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ,所以-sin B sin A =3cos A sin B ,因为B 为三角形内角,sin B >0,所以-sin A =3cos A ,可得tan A =-3,因为A ∈(0,π),所以A =2π3;(2)(Ⅰ)此时AB =2=2AD ,AD ⊥AB ,所以DB =AB 2+AD 2=5,所以cos ∠ABC =AB BD =25,sin ∠ABC =AD BD =15,sin C =sin B +2π3 =15×-12 +25×32=-510+155,在△ABC 中,由正弦定理可得AC sin ∠ABC =AB sin C ⇒AC =AB sin ∠ABC sin C =2×15-510+155=83+411;(Ⅱ)设∠CAD =α,由S △ABC =S △BAD +S △CAD ,可得3b =2sin 2π3-α +b sin α,化简可得3b -b sin α=2sin 2π3-α 有b sin ∠ADC =CD sin α,2sin ∠ADB =BDsin 2π3-α,由于BD =2DC ,所以b sin αsin ∠ADC ×sin ∠ADB 2sin 2π3-α =12,所以b =sin 2π3-α sin α=12×3b -b sin αsin α⇒sin α=33,b =6+12,则S △ABC =12bc sin A =32+34.17(2024·广东广州·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S .已知S =-34(a 2+c 2-b 2).(1)求B ;(2)若点D 在边AC 上,且∠ABD =π2,AD =2DC =2,求△ABC 的周长.【答案】(1)2π3;(2)3+23【分析】(1)根据三角形面积公式和余弦定理,化简已知条件,结合B 的范围,即可求得结果;(2)利用平面向量的线性运算及数量积运算,求得AB ,BC ,即可求得三角形周长.【详解】(1)由S =-34(a 2+c 2-b 2),则12ac ⋅sin B =-34×2ac ⋅cos B ,tan B =-3又B ∈0,π ,故B =2π3.(2)由(1)可知,B =2π3,又∠ABD =π2,则∠CBD =π6;由题可知,AD =2DC =2,故BD =BC +CD =BC +13CA =BC +13BA -BC =23BC+13BA ,所以BA ⋅BD =BA ⋅23BC +13BA =13c 2-13ac =0,因为c ≠0,所以a =c ,A =C =π6,在Rt △ABD 中,c =AD ⋅cos π6=3,故△ABC 的周长为AB +BC +AC =3+3+3=3+2 3.18(2024·广东佛山·模拟预测)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,其中a =1,cos A =2c -12b.(1)求角B 的大小;(2)如图,D 为△ABC 外一点,AB =BD ,∠ABC =∠ABD ,求sin ∠CABsin ∠CDB的最大值.【答案】(1)B =π3(2)3【分析】(1)根据题意,由正弦定理将边化为角,可得角的方程,化简计算,即可得到结果;(2)根据题意,由正弦定理可得sin ∠CAB sin ∠CDB =CDAC,再由余弦定理分别得到AC 2,CD 2,再由基本不等式代入计算,即可得到结果.【详解】(1)因为a =1,所以cos A =2c -a2b,由正弦定理a sin A=b sin B =c sin C ,可得cos A =2sin C -sin A2sin B ,整理可得2sin B cos A =2sin C -sin A ,又因为sin C =sin A +B =sin A cos B +sin B cos A ,化简可得sin A =2sin A cos B ,而sin A ≠0,则cos B =12,又B ∈0,π ,则B =π3(2)在△BCD 中,由BC sin ∠CDB =CDsin ∠CBD 可得sin ∠CDB =sin 23πCD,在△ABC 中,由BC sin ∠CAB =AC sin ∠ABC 可得sin ∠CAB =sin π3AC,所以sin ∠CAB sin ∠CDB =CD AC ,设AB =BD =t t >0 ,由余弦定理CD 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBD ,AC 2=BA 2+BC 2-2BA ⋅BC ⋅cos ∠CBA ,可得CD 2=t 2+1+t ,AC 2=t 2+1-t ,因此CD 2AC 2=t 2+1+t t 2+1-t =1+2t t 2+1-t ≤1+22t ⋅1t -1=3,当且仅当t =1t时,即t =1等号成立,所以sin ∠CAB sin ∠CDB的最大值为3,此时AB =BD =1.19(2024·河北石家庄·二模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设向量m=(2sin A ,3sin A +3cos A ),n =(cos A ,cos A -sin A ),f (A )=m ⋅n ,A ∈π6,2π3.(1)求函数f A 的最大值;(2)若f (A )=0,a =3,sin B +sin C =62,求△ABC 的面积.【答案】(1)3(2)S △ABC =34【分析】(1)由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得f (x )=2sin 2A +π3,再结合三角函数的值域计算即可求得;(2)由题中条件计算可得A =π3,再由正弦定理得b +c =6,由余弦定理可得bc =1,再由三角形的面积公式计算即可求得.【详解】(1)f (x )=m ⋅n=2sin A cos A +(3sin A +3cos A )(cos A -sin A )=sin2A +3(cos 2A -sin 2A )=sin2A +3cos2A =2sin 2A +π3因为A ∈π6,2π3 ,所以2A +π3∈2π3,5π3,所以当2A +π3=2π3,即A =π6时,f (x )有最大值2×32=3;(2)因为f A =0,所以2sin 2A +π3 =0,所以2A +π3=k π,k ∈Z ,因为A ∈π6,23A ,所以A =π3,由正弦定理得:2R =a sin A =332=2,所以sin B =b 2R =b 2,sin C =c 2R=c2,又因为sin B +sin C =62,所以b 2+c 2=62,所以b +c =6,由余弦定理有:a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即3=(b +c )2-3bc ,所以bc =1,所以S △ABC =12bc sin A =12×1×32=34.20(2024·广东·一模)设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b -c cos A =2a cos B cos C .(1)求cos B ;(2)若点D 在AC 上(与A ,C 不重合),且C =π4,∠ADB =2∠CBD ,求CD AD的值.【答案】(1)12(2)2+3【分析】(1)根据条件,边转角得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ,再利用sin B =sin A cos C +cos A sin C 即可求出结果;(2)根据题设得到∠DBC =C =π4,进而可求得A =5π12,∠ABD =π12,再利用CDAD=S △BCD S △ABD ,即可求出结果.【详解】(1)由b -c cos A =2a cos B cos C ,得到sin B -sin C cos A =2sin A cos B cos C ,又sin B =sin (π-A -C )=sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C ,所以cos C sin A=2sin A cos B cos C,又三角形ABC为锐角三角形,所以sin A≠0,cos C≠0,得到1=2cos B,即cos B=1 2 .(2)因为∠ADB=2∠CBD,又∠ADB=∠ACB+∠CBD,所以∠ACB=∠CBD,则BD=CD,所以∠DBC =C=π4,由(1)知,B=π3,则A=π-π3-π4=5π12,∠ABD=π-π2-5π12=π12,则CDAD=S△BCDS△ABD=12BC⋅BD sinπ412AB⋅BD sinπ12=sin A⋅sinπ4sin C⋅sinπ12=sin5π12⋅sinπ4sinπ4⋅sinπ12=cosπ12sinπ12=1tanπ12,又tan π12=tanπ4-π3=1-331+33=3-33+3,所以CDAD=3+33-3=2+ 3.21(2024·辽宁·二模)在△ABC中,D为BC边上一点,DC=CA=1,且△ACD面积是△ABD面积的2倍.(1)若AB=2AD,求AB的长;(2)求sin∠ADBsin B的取值范围.【答案】(1)1(2)54,+∞【分析】(1)根据三角形面积公式,结合余弦定理进行求解即可;(2)根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出AB,AD的表达式,最后根据正弦定理求出sin∠ADBsin B的表达式,利用余弦函数的最值性质进行求解即可.公众号:慧博高中数学最新试题【详解】(1)设BC边上的高为AE,垂足为E,因为△ACD面积是△ABD面积的2倍,所以有S△ACDS△ABD=12CD⋅AE12BD⋅AE=2⇒BD=12⇒BC=32,设AB=2AD=x⇒AD=22x,由余弦定理可知:cos C=AC2+BC2-AB22AC⋅BC =AC2+DC2-AD22AC⋅DC⇒1+94-x22×1×32=1+1-12x22×1×1,解得x=1或x=-1舍去,即AB=1;(2)由(1)可知BD=12,BC=32,设∠ADC=θ,由DC=CA⇒∠DAC=∠ADC=θ⇒C=π-2θ且θ∈0,π2,由余弦定理可得:AD=12+12-2×1×1⋅cosπ-2θ=2+2cos2θ=2+22cos 2θ-1 =2cos θ,AB =12+32 2-2×1×32⋅cos π-2θ =134+3cos2θ=134+32cos 2θ-1 =6cos 2θ+14,在△ABD 中,因为θ∈0,π2 ,所以由正弦定理可知:AB sin ∠ADB =AD sin B ⇒sin ∠ADB sin B =ABAD =6cos 2θ+142cos θ=14×24cos 2θ+1cos 2θ=14×24+1cos 2θ,因为θ∈0,π2,所以cos θ∈0,1 ⇒cos 2θ∈0,1 ⇒1cos 2θ>1⇒24+1cos 2θ>25⇒24+1cos 2θ>5,于是有sin ∠ADB sin B >54,因此sin ∠ADB sin B的取值范围为54,+∞ ..22(2024·黑龙江齐齐哈尔·一模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知B =π4,4b cos C =2c +2a .(1)求tan C ;(2)若△ABC 的面积为32,求BC 边上的中线长.【答案】(1)tan C =12(2)52.【分析】(1)利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .(2)根据三角形ABC 的面积求得ac ,根据同角三角函数的基本关系式求得sin A ,cos A ,利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】(1)由正弦定理可得c sin C=bsin B ,所以4sin B cos C =2sin C +2sin A ,即22cos C =2sin C +2sin A ,又A +B +C =π,所以22cos C =2sin C +2sin π4+C =22sin C +2cos C ,整理得2cos C =22sin C ,解得tan C =12;(2)依题意,12ac sin B =12ac ×22=32,解得ac =32,又tan A =tan 3π4-C =-1-tan C1-tan C =-3,所以A 为钝角,所以由sin A cos A=-3sin 2A +cos 2A =1 ,解得sin A =310,cos A =-110,由正弦定理可得c a =sin C sin A=15310=23,又ac =32,所以a =3,c =2,b =c sin Bsin C=2×2215=5,设BC 的中点为D ,则AD =12AB +AC,所以AD 2=14(AB +AC )2=b 2+c 2+2bc cos A 4=2+5+2×2×5×-1104=54,所以BC 边上的中线长为52.23(2024·重庆·模拟预测)如图,某班级学生用皮尺和测角仪(测角仪的高度为1.7m )测量重庆瞰胜楼的高度,测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上,从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角,∠MCE =16.5°(点E 在线段MO 上).他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点,此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角∠MDE =48.5°,楼尖MN 的视角∠MDN =3.5°(N 是楼尖底部,在线段MO 上).(1)求楼高MO 和楼尖MN ;(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时,测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大,求此时测角仪底到楼底的距离FO .参考数据:sin16.5°sin48.5°sin32°≈25,tan16.5°≈827,tan48.5°≈87,40×35≈37.4,【答案】(1)41.7m ,5m (2)FO 为37.4m【分析】(1)法一:在△CDM 中,由正弦定理得,可得CM =100sin48.5°sin32°,进而求得ME ,MO ,进而求得CE ,计算可求得楼离MO 和楼尖MN ;法二:利用CE =ME tan ∠MCE,DE =MEtan ∠MDE ,可求得ME ,进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ;(2)设FO =xm ,tan ∠MGE =40x ,tan ∠NGE =35x,进而可得tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =40x -35x1+40x ⋅35x,利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值.【详解】(1)法一:∠MCE =16.5°,∠MDE =48.5°,∴∠DMC =32°.在△CDM 中,由正弦定理得,CM =CD sin ∠CDMsin ∠DMC,又CD =100m ,∴CM =100sin 180°-48.5° sin32°=100sin48.5°sin32°.∴ME =CM sin ∠MCE =100sin48.5°sin16.5°sin32°=40m ,∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m .CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135(m ).∴DE =CE -CD =35m .∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°,∴NE =DE =35m ,MN =ME -NE =5m .法二:CE =ME tan ∠MCE,DE =MEtan ∠MDE ,∴CE -DE =ME tan ∠MCE-MEtan ∠MDE =100,即ME ×278-78=100,∴ME =40m ,∴MO =ME +EO =40m +1.7m =41.7m .CE =ME tan ∠MCE =40tan16.5°=40827=135m .∴DE =CE -CD =35m .∵∠NDE =∠MDE -∠MDN =45°,∴NE =DE =35m ,MN =ME -NE =5m .(2)设FO =xm ,tan ∠MGE =40x ,tan ∠NGE =35x,∴tan ∠MGN =tan ∠MGE -∠NGE =tan ∠MGE -tan ∠NGE1+tan ∠MGE ⋅tan ∠NGE=40x -35x1+40x ⋅35x =5x +40×35x ≤52x ⋅40×35x =5240×35,当且仅当x =40×35x,即x ≈37.4时,等号成立.∴测角仪底到楼底的距离FO 为37.4m 处时,测得楼尖MN 的视角最大.24(2024·重庆·模拟预测)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 .(1)求角A 的大小;(2)若BP =PC ,且b +c =2,求AP 的最小值.【答案】(1)A =π3;(2)32.【分析】(1)根据题意,由正弦定理代入计算,结合三角恒等变换公式代入计算,即可得到结果;(2)根据题意,由平面向量数量积的运算律代入计算,结合基本不等式代入计算,即可得到结果.【详解】(1)在△ABC 中,由正弦定理a sin A=bsin B ,可得a sin B =b sin A又由b =2b cos 2π12-A 2 -a sin B 2cos B 2 知2a sin B 2cos B 2=b ⋅2cos 2π12-A 2-1 ,即a sin B =b cos π6-A ,得b sin A =b cos π6-A ,得sin A =cos π6-A =32cos A +12sin A ,得12sin A =32cos A ,所以tan A =3;又因为A ∈0,π ,所以A =π3.(2)由BP =PC ,得AP =12AB +12AC ,所以AP 2=12AB +12AC 2=14AB 2+14AC2+12AB ⋅AC=14c 2+14b 2+12bc cos A =14c 2+14b 2+14bc =14b +c 2-bc ≥14b +c 2-b +c 2 2 =316b +c 2=34,当且仅当b =c b +c =2 ,即b =c =1时等号成立,故AP 的最小值为32.25(2024·山西朔州·一模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =a +b ,c ,n=sin A -sin C ,sin A -sin B ,且m ⎳n .(1)求B ;(2)求b 2a 2+c2的最小值.【答案】(1)B =π3(2)12【分析】(1)利用向量共线的坐标形式可得a 2+c 2-b 2=ac ,结合余弦定理可求B ;(2)利用基本不等式可求最小值.【详解】(1)因为m ⎳n,所以a +b sin A -sin B =c sin A -sin C ,由正弦定理可得a +b a -b =c a -c 即a 2-b 2=ac -c 2,故a 2+c 2-b 2=ac ,所以cos B =a 2+c 2-b 22ac =12,而B 为三角形内角,故B =π3.(2)结合(1)可得:b 2a 2+c 2=a 2+c 2-ac a 2+c 2=1-aca 2+c2,1-ac a 2+c2≥1-ac 2ac =1-12=12,当且仅当a =c 时等号成立,故b 2a 2+c2的最小值为12.26(2024·河南开封·二模)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos A =2a sin B .(1)求sin A ;(2)若a =3,再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求△ABC 的面积.条件① :b =6c ;条件② :b =6;条件③ :sin C =13.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)sin A =33;(2)答案见解析.【分析】(1)利用正弦定理边化角,结合同角公式计算即得.(2)选择条件①,利用余弦定理及三角形面积公式计算求解;选择条件②,利用正弦定理计算判断三角形不唯一;选择条件③,利用正弦定理计算判断,再求出三角形面积.【详解】(1)由b cos A =2a sin B 得:sin B cos A =2sin A sin B ,而sin B ≠0,则cos A =2sin A >0,A 为锐角,又sin 2A +cos 2A =1,解得sin A =33,所以sin A =33且A 为锐角.(2)若选条件①,由sin A =33,A 为锐角,得cos A =63,由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,又b =6c ,则3=6c 2+c 2-4c 2,解得c =1,b =6,△ABC 唯一确定,所以S △ABC =12bc sin A =22.若选条件②,由正弦定理得a sin A =b sin B ,则sin B =6×333=63<1,由b =6>a =3,得B >A ,因此角B 有两解,分别对应两个三角形,不符合题意.若选条件③,由sin A =33,A 为锐角,得cos A =63,又sin A =33>sin C =13,得a >c ,A >C ,则cos C =223,因此sin B =sin (A +C )=sin A cos C +cos A sin C =63,△ABC 唯一确定,由正弦定理得a sin A=c sin C ,则c =3×1333=1,所以S △ABC =12ac sin B =22.27(2024·河南·一模)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足b 2-a 2=ac .(1)求证:B =2A ;(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin (C -A )-sin Bsin A的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(-2,0)【分析】(1)用正弦定理边化角,再利用和差化积公式与诱导公式进行化简,得sin (B -A )=sin A ,从而用等量关系即可得证;(2)由(1)知,锐角三角形△ABC 中B =2A ,利用角A ,B ,C 关系求得角A 的范围,再把式子sin (C -A )-sin Bsin A用角A 的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简,进而用三角函数的取值范围即可求解.【详解】(1)证明:由条件b 2-a 2=ac ,根据正弦定理可得sin 2B -sin 2A =sin A sin C ,1-cos2B 2-1-cos2A2=sin A sin C ,即cos2A -cos2B =2sin A sin C ,cos2A -cos2B =cos A +B +A -B -cos A +B -A -B =-2sin (A +B )sin (A -B )=2sin A sin C ,又△ABC 中sin (A +B )=sin π-C =sin C ≠0,进行化简得sin (B -A )=sin A ,所以B -A =A ,即B =2A 或B -A =π-A ,即B =π(舍去),所以B =2A .(2)若△ABC 为锐角三角形,根据(1)B =2A ,则B =2A <π2C =π-A -B <π2 ⇒2A <π2π-3A <π2 ,得π6<A <π4,式子sin (C -A )-sin B sin A =sin (π-A -B -A )-sin B sin A =sin4A -sin2Asin A ,=sin (3A +A )-sin (3A -A )sin A=2cos3A ,由π6<A <π4得π2<3A <3π4,又易知函数y =cos x 在π2,3π4内单调递减,所以cos3A ∈-22,0,因此sin (C -A )-sin B sin A =2cos3A ∈(-2,0).28(2023·河南·三模)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c =a 2+b 2-c 2b 2,且a ≠c .(1)求证:B =2C ;(2)若∠ABC 的平分线交AC 于D ,且a =12,求线段BD 的长度的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(43,62)【分析】(1)根据正余弦定理边角互化可得sin B =sin2C ,即可利用三函数的性质求解,(2)根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.【详解】(1)证明:由余弦定理可得a c =2ab cos C b 2=2a cos Cb , 故b =2c cos C ,由正弦定理得sin B =2sin C cos C =sin2C .所以在△ABC 中,B =2C 或B +2C =π.若B +2C =π,又B +A +C =π,故A =C ,因为a ≠c ,所以A ≠C ,故B +2C =π不满足题意,舍去,所以B =2C .(2)在△BCD 中,由正弦定理可得a sin ∠BDC =BD sin C ,即12sin ∠BDC =BDsin C所以BD =12sin C sin ∠BDC =12sin C sin2C =6cos C因为△ABC 是锐角三角形,且B =2C ,所0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2 得π6<C <π4,22<cos C <32 所以43<BD <62.所以线段BD 长度的取值范围是(43,62).29(2024·湖北·二模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c a <b ,c =2a cos A cos B -b cos2A .(1)求A ;(2)者BD =13BC ,AD =2,求b +c 的取值范围.【答案】(1)A =π3(2)1277<b +c <6【分析】(1)借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得;(2)借助向量的模长与平方的关系,结合数量积公式计算可得(b +c )2+3c 2=36,借助三角函数的性质,可令b +c =6cos α,3c =6sin α,结合余弦定理计算可得1277<6cos α<6,即可得解.【详解】(1)由正弦定理得sin C =2sin A cos A cos B -sin B cos2A ,则sin C =sin2A cos B -sin B cos2A ,则sin C =sin 2A -B ,∵C =π-A +B ,∴sin A +B =sin 2A -B .即A +B =2A -B 或A +B =π-2A -B ,解得A =2B 或A =π3.因为a <b ,所以A <B ,所以A =2B 舍去,即A =π3;(2)由BD =13BC 得AD -AB =13AC -AB ,则AD =13AC +23AB ,则|AD |2=19b 2+49c 2+49bc cos A ,则4=19b 2+49c 2+29bc ,则b 2+4c 2+2bc =36,即(b +c )2+3c 2=36.令b +c =6cos α,3c =6sin α,因为c >0,b +c >0,所以0<α<π2.因为b =6cos α-23sin α>0,所以tan α<3,解得0<α<π3.由(1)得A =π3,则a 2=b 2+c 2-2bc cos A =b 2+c 2-bc ,又因为a <b .所以a 2<b 2,所以7b 2+c 2-bc <b 2,解得c <b ,所以23sin α<6cos α-23sin α,解得tan α<32,所以0<tan α<32.令tan α1=32,则0<α<α1<π3,则cos α1<cos α<1.因为cos α1=277,所以1277<6cos α<6,即1277<b +c <6.30(2024·河北·二模)若△ABC 内一点P 满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =θ,则称点P 为△ABC 的布洛卡点,θ为△ABC 的布洛卡角.如图,已知△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,点P 为的布洛卡点,θ为△ABC 的布洛卡角.。

解三角形高考真题汇总(汇编)

解三角形高考真题汇总(汇编)

精品文档2017高考真题解三角形汇编1.(2017北京高考题)在△ABC 中,A ∠ =60°,c =37a . (Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)若a =7,求△ABC 的面积.2.(2017全国卷1理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin B sin C ;(2)若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长.3.(2017全国卷1文科)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=,a =2,cC =BA .π12B .π6C .π4D .π34.(2016全国卷2理科)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=. (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b5.(2017全国卷2文科16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=6.(2017全国卷3理科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin Acos A =0,a,b =2.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积.7.(2017全国卷3文科)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。

已知C =60°,b,c =3,则A =_________。

8.(2017山东高考题理科)在C ∆AB 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若C ∆AB 为锐角三角形,且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ,则下列等式成立的是( )(A )2a b = (B )2b a = (C )2A =B (D )2B =A 9.(2017山东高考题文科)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .精品文档10.(2017天津高考题理科)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5,6a c ==,3sin 5B =.(Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值. 11.(2017天津高考题文科)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =,222)ac a b c =--.(I )求cos A 的值; (II )求sin(2)B A -的值.12.(2017浙江高考题)已知△ABC ,AB =AC =4,BC =2. 点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连结CD ,则△BDC 的面积是___________,cos ∠BDC =__________.13.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅(Ⅰ)判断△ABC 的形状; (Ⅱ)若k c 求,2=的值.精品文档14.设ABC ∆是锐角三角形,,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长,并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+。

(完整版)解三角形大题及答案

(完整版)解三角形大题及答案

1.(2013大纲)设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 2.(2013四川)在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.3.(2013山东)设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.4.(2013湖北)在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.5.(2013新课标)△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.6.(2013新课标1)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA[7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ABC ,,ABC ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C(1) 求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围33.(2013大纲)设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 【答案】4.(2013年高考四川卷(理))在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得 , 即, 则,即 ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ()I ()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-()3cos 5A B B -+=-3cos 5A =-由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为 35.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,又,,,所以,解得,.(Ⅱ)在△中,,由正弦定理得,因为,所以为锐角,所以因此.36.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数的最小正周期为.()II 3cos ,05A A π=-<<4sin 5A =sin sin a bA B=sin sin 2b A B a ==a b >A B >4B π=(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭1c =7c =-BABC cos BA B =ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -2222cos b a c ac B =+-()222(1cos )b ac ac B =+-+6a c +=2b =7cos 9B =9ac =3a =3c =ABC sin 9B ==sin sin 3a B A b ==a c=A 1cos 3A ==sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭π(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ).所以 (Ⅱ)所以37.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数ϖ()f x []0,22)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x 122=⇒=⇒ωπωπ1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f ;解得,令时,当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x .]28[]8,0[)(上单调递减,上单调递增;在在πππx f y =(Ⅱ)当时,,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意(Ⅲ)依题意,,令当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点38.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分14分.已知,. (1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵ ∴ 即,又∵,∴∴∴(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ==,παβ<<<0||2a b -=a b ⊥(0,1)c =a b c +=βα,2||=-b a 2||2=-b a ()22222=+-=-b b a a b a 1sin cos ||2222=+==ααa a 1sin cos ||2222=+==ββb b 222=-b a 0=b a b ⊥a(2)∵∴即两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ 39.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))已知函数,.(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. 40.(2013年高考湖南卷(理))已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x 的取值集合.【答案】解: (I))1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos βsin 221-=21sin =β21sin =απαβ<<<0πβπα61,65==()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ∈R 6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭4sin 5θ=-24sin 22sin cos 25θθθ==-227cos 2cos sin 25θθθ=-=-23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=α()f α=()g α()()f x g x ≥.(II) 41.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,. (1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵, ∴∴,∴ 根据得 533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππA C A C AB BC A AC min /50m min 2A B B min 1C min /130m AC m 12601312cos =A 53cos =C AB C 31312cos =A 53cos =C ),(、20π∈C A 135sin =A 54sin =C []6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B )()(πsinB sinC AC AB =m C AC AB 1040sin sinB==CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000,其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265+3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min. 1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d )507037(20022+-=t t d 13010400≤≤t 80≤≤t 3735=t 3735sinBsinA ACBC =50013565631260sin sinB ===A AC BC min /m 350710500≤-v 3507105003≤-≤-v 14625431250≤≤v C 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265-3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.42.(2013年高考湖北卷(理))在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:,解得,角 (II),由余弦定理得:, 43.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=1cos 2A =60A =︒1sin 2S bc A ==4c ⇒=221a =()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==CBADMN44.(2013年高考新课标1(理))如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA 中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.45.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标; (2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.[解](1)(2) 【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. 因为所以, xOy A y n P x n x {}n x 1nn n P AP θ+∠=n N *∈31arctan 3θ=A A (0n θn (0 )A t ,12n n x -=31arctan 3θ=31tan 3θ=3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅241323t t =+4t =8t =A (0 4),(0 8),n P 1(2 0)n -,1tan n n OAP -∠=111212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===2n n ≥tan 4n θ≤=当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. 46.(2013年高考江西卷(理))在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得 即有因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有.因为,有. 又,于是有,即有.2nn =4n =0 tan 2n y x πθ<<=,(0 )2π,4n =nθarctan4cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=sin sin cos 0A B A B =sin 0A≠sin 0B B =cos 0B≠tan B =0B π<<3B π=2222cos b a c ac B =+-11,cos 2a c B +==22113()24b a =-+01a <<2114b ≤<112b ≤<。

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题-带答案

解三角形高考大题,带答案1、 (宁夏17)(本小题满分12分)如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形,,交于,、(Ⅰ)求得值;(Ⅱ)求、 解:(Ⅰ)因为,, 所以、所以、 ········································································································· 6分(Ⅱ)在中,, 由正弦定理、故、 12分2、 (江苏17)(14分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 得顶点A 、B 及CD 得中点P 处,已知AB =20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂得污水,现要在矩形ABC D得区域上(含边界),且A、B 与等距离得一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道A O、BO 、OP,设排污管道得总长为ykm 。

解三角形高考大题,带答案

解三角形高考大题,带答案

解三角形高考大题,带答案之相礼和热创作1. (宁夏17)(本小题满分12分)如图,ACD △是等边三角形,ABC △是等腰直角三角形,90ACB =∠,BD 交AC 于E ,2AB =.(Ⅰ)求cos CAE ∠的值; (Ⅱ)求AE .解:(Ⅰ)由于9060150BCD =+=∠,CB AC CD ==,以是15CBE =∠. 以是6cos cos(4530)CBE =-=∠. ······························· 6分 (Ⅱ)在ABE △中,2AB =, 由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+.故2sin 30cos15AE=124⨯== 12分2. (江苏17)(14分)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处,已知AB=20km ,BC=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含鸿沟),且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并展设排污管道AO 、BO 、OP ,设排污管道的总长为ykm.(1)按下列要求写出函数关系式:①设∠BAO=θ(rad),将y 暗示成θ的函数关系式; ②设OP=x(km),将y 暗示成x 的函数关系式;(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的地位,使三条排污管道总长度最短. 【解析】:本小题考查函数的概念、BACDEB解三角形、导数等基本学问,考查数学建模才能、 笼统概括才能和处理实践成绩的才能.(1)①由条件知PQ 垂直中分AB ,若∠BAO=θ(rad),则10cos cos AQ OA BAO θ==∠,故10cos OB θ=又1010OP tan θ=-,以是10101010cos cos y OA OB OP tan θθθ=++=++-所求函数关系式为2010sin 10(0)cos 4y θπθθ-=+≤≤②若OP=x(km),则OQ=10-x ,以是OA OB ==所求函数关系式为(010)y x x =+≤≤ (2)选择函数模型①,2210cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)'cos cos y θθθθθθθ-----== 令'0y =得1sin 2θ=046ππθθ≤≤∴= 当(0,)6πθ∈时'0y <,y 是θ的减函数;当(,)64ππθ∈时'0y >,y是θ的增函数; 以是当6πθ=时,min 120101010y -⨯=+=此时点O 位于线段AB 的中垂线上,且距离AB km 处.3. (辽宁17)(本小题满分12分)在ABC △中,内角A B C ,,对边的边长分别是a b c ,,,已知2c =,3C π=.(Ⅰ)若ABC △a b ,; (Ⅱ)若sin 2sin B A =,求ABC △的面积. 解:(Ⅰ)由余弦定理得,224a b ab +-=,又由于ABC △1sin 2ab C =4ab =. ··· 4分 联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩,,解得2a =,2b =.······················· 6分(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为2b a =, ······················· 8分联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩,,解得3a =,3b =.以是ABC △的面积1sin 23S ab C ==. ····························· 12分4.(天下Ⅰ17)(本小题满分12分)设ABC △的内角A B C ,,所对的边长分别为a b c ,,,且cos 3a B =,sin 4b A =.(Ⅰ)求边长a ;(Ⅱ)若ABC △的面积10S =,求ABC △的周长l . 解:(1)由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除,有: 又经过cos 3a B =知:cos 0B >, 则3cos 5B =,4sin 5B =, 则5a =. (2)由1sin 2S ac B =,得到5c =. 由222cos 2a c b B ac+-=,解得:b =末了10l =+.5.(天下Ⅱ17)(本小题满分10分) 在ABC △中,5cos 13A =-,3cos 5B =.(Ⅰ)求sin C 的值;(Ⅱ)设5BC =,求ABC △的面积.解:(Ⅰ)由5cos 13A =-,得12sin 13A =,由3cos 5B =,得4sin 5B =. ··············································· 2分以是16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=. ····················· 5分(Ⅱ)由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===. ··················· 8分以是ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=. ······· 10分6. (上海17)(本题满分13分)如图,某住宅小区的立体图呈扇形AOC .小区的两个出入口设置在点A 及点C 处,小区里有两条笔挺的小路AD DC ,,且拐弯处的转角为120.已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟,从D 沿DA 走到A 用了6分钟.若此人步行的速率为每分钟50米,求该扇形的半径OA 的长(精确到1米).【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意,得 CD=500(米),DA=300(米),∠CDO=060……………………………4分在CDO ∆中,22022cos60,CD OD CD OD OC +-⋅⋅⋅=……………6分 即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯=…………………….9分 解得490044511r =≈(米). …………………………………………….13分【解法二】连接AC ,作OH ⊥AC ,交AC 于H…………………..2分由题意,得CD=500(米),AD=300(米),0120CDA ∠=………….4分∴ AC=700(米) …………………………..6分22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅………….…….9分在直角1411,350,cos 0,14HAO AH HA ∆=∠=中(米) ∴4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠(米). ………………………13分. (重庆17)(本小题满13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)222b c a +=,求:(Ⅰ)A 的大小;(Ⅱ)2sin cos sin()B C B C --的值.解:(Ⅰ)由余弦定理,2222cos ,a b c bc A =+- (Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --8. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.⑴若ABC △求,a b ;⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.。

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)

解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)解三角形全国高考题汇总一、全国1卷(2019年)17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC1)求A;2)若2a+b=2c,求sinC。

分析】1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b²+c²-a²=bc,从而可整理出cosA,根据A∈(0,π)可求得结果;2)利用正弦定理可得2sinA+sinB=2sinC,利用sinB=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果。

详解】1)将(sinB-sinC)²=sin²A-sinBsinC化简可得:sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC由正弦定理可得:b²+c²-a²=bccosA=(b²+c²-a²)/(2bc)因为A∈(0,π),所以A=cos⁻¹[(b²+c²-a²)/(2bc)]2)方法一:由正弦定理可得:2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式可得:2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得:3sinC-2sinA=cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A),代入上式可得:3sinC-2sinA=±cosC√(1-sin²A)整理可得:sinC=(3±2√2)sinA/(2±√2)因为sinA∈(0,1),所以sinC>(3-2√2)/(2+√2)=1.082,sinC<(3+2√2)/(2-√2)=1.414所以sinC=1.25方法二:由正弦定理可得:2sinA+sinB=2sinC又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式可得:2sinA+sinAcosC+cosAsinC=2sinC整理可得:3sinC-6=3cosCsinA由sin²A+cos²A=1可得cosA=±√(1-sin²A),代入上式可得:3sinC-6=±3cosCsinA√(1-sin²A)整理可得:(sinC-2)²=3-sin²C解得:sinC=1.25二、2018全国新课标Ⅰ理在平面四边形ABCD中,∠ADC=90,∠A=45,AB=2,BD=5.1)求cos∠ADB;2)若DC=22,求BC.1)由余弦定理可得:BD²=AB²+AD²-2AB·ADcos∠ADB代入已知条件可得:25=4+AD²-4ADcos∠ADB整理可得:cos∠ADB=(AD²-21)/4AD2)由勾股定理可得:AD=AB√2=2√2由正弦定理可得:DC/√2=sin∠ADC=sin(∠ADB+∠ABC)=sin∠ADB·cos∠ABC+ cos∠ADB·sin∠ABC代入已知条件可得:22/√2=sin∠ADB·(√2/2)+cos∠ADB·(5/2)整理可得:√2sin∠ADB+5cos∠ADB=44/√2将cos∠ADB代入上式可得:√2sin∠ADB+(25-AD²)/2AD=44/√2代入已知条件可得:√2sin∠ADB+(25-8)/4=44/√2解得:sin∠ADB=3/2√2由正弦定理可得:BC/√2=sin∠ABC/sin∠ADB代入已知条件可得:BC/√2=2/(3√2)解得:BC=2/3在三角形ABD中,根据正弦定理得:frac{522}{\sin\angleADB}=\frac{523}{\sin45^{\circ}\sin\angle ADB}$$化XXX:sin\angle ADB=\frac{523}{522\sqrt{2}}$$又因为$\angle ADB<90^{\circ}$,所以根据余弦定理得:cos\angle ADB=1-\sin^2\angle ADB=\frac{1}{2}$$在三角形ABD和BDC中,根据余弦定理和正弦定理得:cos\angle BDC=\cos(-\angle ADB)=\sin\angle ADB$$cos\angle BDC=\frac{DC^2+BD^2-BC^2}{2\cdot BD\cdot DC}=\frac{28+25-BC^2}{2\cdot 5\cdot 2\sqrt{2}}$$化XXX:BC=5$$在三角形ABC中,根据正弦定理和面积公式得:frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2S$$所以:sin B\sin C=\frac{bc}{a}\cdot\sin B\sinC=\frac{2S}{a}\cdot\sin B\sin C$$又因为$S=\frac{1}{2}bc\sin A$,所以:sin B\sin C=\frac{a\sin A}{2bc}=\frac{a}{2c}$$在三角形ABC中,根据余弦定理和面积公式得:a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4c^2-4S^2/c^2$$所以:cos A=\frac{4c^4-4S^2}{4c^3}=\frac{c^2-S^2}{2c^2}$$ 又因为$\sin A=\frac{2S}{bc}$,所以:sin A=\frac{2S}{bc}=\frac{2S}{2c\sin C}=\frac{S}{c\sin C}=\frac{a\sin A}{c}$$代入$\cos A$的式子中得:cos A=\frac{c^2-S^2}{2c^2}=\frac{a^2-b^2}{2ac}=\frac{a\sin A}{c}$$所以:sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{\sin A}{2\cos A}$$又因为$6\cos B\cos C=\frac{3bc}{a^2}=\frac{3}{2S}\cdot bc=\frac{3}{S}\cdot\frac{1}{2}bc=\frac{3}{S}\cdot S\sinA=\frac{3}{\sin A}$,所以:sin B\sin C=\frac{1}{6\cos B\cos C}=\frac{\sin A}{18}$$代入第一个式子中得:frac{a}{\sin A}=\frac{2c\sin B\sin C}{\sin A}=\frac{c}{9}$$又因为$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sinC=\frac{1}{2}ab\sin A$,所以:c=2S/a=4$$代入上式中得:a=36$$所以:sin B\sin C=\frac{a}{2c}=\frac{9}{4}$$cos B\cos C=\frac{1}{6\sin B\sin C}=\frac{2}{27}$$根据余弦定理和面积公式得:b^2=c^2+a^2-2ac\cos B=4a^2-4S^2/a=128$$cos B=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{3}{4}$$sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$sin C=\frac{a\sin A}{b}=\frac{6}{7\sqrt{7}}$$所以:cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\frac{5\sqrt{3}}{7\sqrt{7}}$$tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a\sin A}{c^2-S^2}=\frac{36\cdot 6/7\sqrt{7}}{16-36^2/4}=24\sqrt{7}$$tan B=\frac{\sin B}{\cosB}=\frac{\sqrt{7}/4}{3/4}=\frac{\sqrt{7}}{3}$$tan C=\frac{\sin C}{\cosC}=\frac{6/7\sqrt{7}}{5\sqrt{3}/7\sqrt{7}}=\frac{6}{5\sqrt{3}}$ $所以:tan A+\tan B+\tanC=24\sqrt{7}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{6}{5\sqrt{3}}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{7}}{15}+\frac{6\sqrt{3}}{15}$$ 24\sqrt{7}+\frac{5\sqrt{21}+2\sqrt{3}}{15}$$在三角形ABC中,根据余弦定理和面积公式得:cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{a^2+(a+1)^2-4^2}{2a(a+1)}$$化XXX:2a^3+3a^2-2a-15=0$$因为$a>0$,所以:a=\frac{\sqrt{93}-3}{4}$$代入面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$中得:S=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{93}-3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{93}-3}{40}$$ 根据正弦定理得:frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sinC}=\frac{5\sqrt{93}-15}{8}$$所以:b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{c\sin B}{\sin C}=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{a\sin A}{\sinB}=\frac{ac}{b}=\frac{a^2}{b}=\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}$$所以:a+b+c=\frac{\sqrt{93}-3}{4}+\frac{(\sqrt{93}-3)^2}{5\sqrt{93}-15}+4=\frac{8\sqrt{93}+12}{5\sqrt{93}-15}$$2015年17题:在三角形ABC中,D是BC边上的点,AD平分∠BAC,且∆ABD的面积是∆ADC的2倍。

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(解三角形)练习(附答案)

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(解三角形)练习(附答案)

高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(解三角形)练习一、单选题1.(2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m ),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A ,B ,C 三点,且A ,B ,C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45A C B ∠'''=︒,60A B C ''∠'=︒.由C 点测得B 点的仰角为15︒,BB '与CC '的差为100;由B 点测得A 点的仰角为45︒,则A ,C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''- 1.732≈)( )A .346B .373C .446D .4732.(2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题)在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若222sin a b c ab C +=+,且sin cos +a B C sin cos 2c B A =,则tan A 等于( ) A .3B .13-C .3或13- D .-3或133.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A .19B .13C .12D .234.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则tan B =( )A B .C .D .5.(2018ꞏ全国ꞏ高考真题)ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC 的面积为2224a b c +-,则C =A .π2B .π3C .π4D .π66.(2019ꞏ全国ꞏ高考真题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A-b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则b c =A .6B .5C .4D .37.(2018ꞏ全国ꞏ高考真题)在ABC ∆中,cos 25C =,BC=1,AC=5,则AB=A.B C D .8.(2019ꞏ北京ꞏ高考真题)如图,A ,B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB ∠是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A .4β+4cos βB .4β+4sin βC .2β+2cos βD .2β+2sin β二、多选题9.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)双曲线C 的两个焦点为12,F F ,以C 的实轴为直径的圆记为D ,过1F 作D 的切线与C 交于M ,N 两点,且123cos 5F NF ∠=,则C 的离心率为( )AB .32C D三、填空题10.(2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S =其中a ,b ,c 是三角形的三边,S 是三角形的面积.设某三角形的三边2a b c ===,则该三角形的面积S =___________.11.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==.当ACAB取得最小值时,BD =________. 12.(2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积60B =︒,223a c ac +=,则b =________.13.(2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题)在△ABC 中,43=90AB AC BAC ==︒,,∠,D 在边BC 上,延长AD 到P ,使得AP =9,若3()2PA mPB m PC =+-(m 为常数),则CD 的长度是________.14.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)如图,在三棱锥P –ABC 的平面展开图中,AC =1,AB AD ==AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,∠CAE =30°,则cos ∠FCB =______________.15.(2019ꞏ全国ꞏ高考真题)ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===,则ABC 的面积为__________. 16.(2018ꞏ全国ꞏ高考真题)△ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为________.17.(2019ꞏ全国ꞏ高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b sin A +a cos B =0,则B =___________.18.(2018ꞏ江苏ꞏ高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为________.四、解答题19.(2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题)在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值; (2)求sin B 的值;(3)求sin(2)A B -的值.20.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ,已知12313S S S B -+==.(1)求ABC 的面积;(2)若sin sin 3A C =,求b .21.(2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题)在ABC 中,sin 2C C =. (1)求C ∠;(2)若6b =,且ABC 的面积为ABC 的周长.22.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.(1)若2A B =,求C ; (2)证明:2222a b c =+23.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+; (2)若255,cos 31a A ==,求ABC 的周长. 24.(2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知34,cos 5a C ==. (1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC 的面积.25.(2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B =++.(1)若23C π=,求B ; (2)求222a b c +的最小值.26.(2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题)在ABC ,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin :sin :sin 2A B C =b =. (I )求a 的值; (II )求cos C 的值;(III )求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.27.(2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题)在ABC 中,角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ,1b a =+,2c a =+..(1)若2sin 3sin C A =,求ABC 的面积;(2)是否存在正整数a ,使得ABC 为钝角三角形?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.28.(2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题)在ABC 中,2cos c b B =,23C π=. (1)求B ∠;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求BC 边上中线的长.条件①:c =;条件②:ABC 的周长为4+条件③:ABC 29.(2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题)记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.30.(2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知5,a b c ==(Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.31.(2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题)在ABC 中,11a b +=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (Ⅰ)a 的值:(Ⅱ)sin C 和ABC 的面积.条件①:17,cos 7c A ==-;条件②:19cos ,cos 816A B ==.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.32.(2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin 0b A =. (I )求角B 的大小;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.33.(2020ꞏ海南ꞏ高考真题)在①ac ②sin 3c A =,③=c 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在ABC ,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin A B =,6C π=,________?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.34.(2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ==︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.35.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a,b ,求ABC 的面积;(2)若sin AC =2,求C . 36.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin .C (1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.37.(2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知25cos ()cos 24A A π++=.(1)求A ;(2)若3b c a -=,证明:△ABC 是直角三角形. 38.(2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sinsin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求ABC ∆面积的取值范围.39.(2019ꞏ全国ꞏ高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ;(22b c +=,求sin C .40.(2018ꞏ全国ꞏ高考真题)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠= ,45A ∠= ,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠; (2)若DC =,求BC .41.(2019ꞏ北京ꞏ高考真题)在△ABC 中,a =3,b −c =2,cos B =12-.(Ⅰ)求b ,c 的值; (Ⅱ)求sin (B –C )的值.42.(2018ꞏ天津ꞏ高考真题)在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角B 的大小;(2)设a =2,c =3,求b 和()sin 2A B -的值.43.(2019ꞏ江苏ꞏ高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .(1)若a =3c ,b cos B =23,求c 的值;(2)若sin cos 2A B a b=,求sin(2B π+的值.44.(2018ꞏ北京ꞏ高考真题)在ABC 中,17,8,cos 7a b B ===-.(1)求A ∠; (2)求AC 边上的高.五、双空题45.(2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题)在ABC 中,60,2B AB ∠=︒=,M 是BC 的中点,AM =AC =___________,cos MAC ∠=___________.46.(2019ꞏ浙江ꞏ高考真题)在ABC 中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____;cos ABD ∠=________.47.(2018ꞏ北京ꞏ高考真题)若ABC 222)a c b +-,且∠C 为钝角,则∠B =_________;ca的取值范围是_________.48.(2018ꞏ浙江ꞏ高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =b =2,A=60°,则sin B=___________,c =___________.参考答案1.B【要点分析】通过做辅助线,将已知所求量转化到一个三角形中,借助正弦定理,求得''A B ,进而得到答案.【过程详解】过C 作'CH BB ⊥,过B 作'BD AA ⊥,故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+, 由题,易知ADB 为等腰直角三角形,所以AD DB =. 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+. 因为15BCH ∠=︒,所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中,由正弦定理得:''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒,而sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30︒=︒-︒=︒︒-︒︒=,所以1004''1)273A B ⨯==+≈,所以''''100373AA CC A B -=+≈. 故选:B .【名师点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +.2.A【要点分析】利用余弦定理求出tan 2C =,并进一步判断4C π>,由正弦定理可得sin()sin A C B +=⇒=,最后利用两角和的正切公式,即可得到答案; 【过程详解】 222sin cos tan 222a b c C C C ab +-==⇒=,4C π∴>, 2sin sin sin a b cR A B C===,sin sin cos sin sin cos sin 2A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=,sin()sin 22A CB ∴+=⇒=,4B π∴=, tan 1B ∴=,∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅,故选:A. 3.A【要点分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB ,再根据222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,即可求得答案.【过程详解】 在ABC 中,2cos 3C =,4AC =,3BC = 根据余弦定理:2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅ 2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ,即3AB =由 22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =.故选:A.【名师点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形,考查了要点分析能力和计算能力,属于基础题. 4.C【要点分析】先根据余弦定理求c ,再根据余弦定理求cos B ,最后根据同角三角函数关系求tan .B【过程详解】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴=2221cos sin tan 299a c b B B B ac +-==∴==故选:C【名师点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系,考查基本要点分析求解能力,属基础题. 5.C【过程详解】要点分析:利用面积公式12ABC S absinC = 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得.过程详解:由题可知222124ABC a b c S absinC +-==所以2222absinC a b c +-= 由余弦定理2222a b c abcosC +-= 所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.名师点睛:本题主要考查解三角形,考查了三角形的面积公式和余弦定理. 6.A【要点分析】利用余弦定理推论得出a ,b ,c 关系,在结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.【过程详解】过程详解:由已知及正弦定理可得2224a b c -=,由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=,故选A .【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 7.A【过程详解】要点分析:先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.过程详解:因为223cos 2cos 12(1,255C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴= A.名师点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的. 8.B【要点分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置,然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.【过程详解】观察图象可知,当P 为弧AB 的中点时,阴影部分的面积S 取最大值,此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力,有一定的难度.关键观察要点分析区域面积最大时的状态,并将面积用边角等表示.9.AC【要点分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴,设过1F 作圆D 的切线切点为G ,利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =,即可得解,注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【过程详解】[方法一]:几何法,双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支,依题意不妨设双曲线焦点在x 轴,设过1F 作圆D 的切线切点为B ,所以1OB F N ⊥,因为123cos 05F NF ∠=>,所以N 在双曲线的左支, OB a =,1OF c =, 1FB b =,设12F NF α∠=,由即3cos 5α=,则4sin 5α=, 235NA NF 22a a ==, 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,2b e a =∴=, 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支,因为123cos 05F NF ∠=>,所以N 在双曲线的右支, 所以OB a =,1OF c =, 1FB b =,设12F NF α∠=, 由123cos 5F NF ∠=,即3cos 5α=,则4sin 5α=, 235NA NF 22a a ==, 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=, 所以23b a =,即32b a =,所以双曲线的离心率c e a ===选C[方法二]:答案回代法A e 2=选项 特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴,过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =,两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝,2112NF 5,NF 1,FF ∴===, 则123cos 5F NF ∠=,C e 2=选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴,过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=+,两交点在左右两支,N 在右支,N ∴,2112NF 5,NF 9,F F ∴===, 则123cos 5F NF ∠=, [方法三]:依题意不妨设双曲线焦点在x 轴,设过1F 作圆D 的切线切点为G , 若,M N 分别在左右支, 因为1OG NF ⊥,且123cos 05F NF ∠=>,所以N 在双曲线的右支, 又OG a =,1OF c =,1GF b =, 设12F NF α∠=,21F F N β∠=, 在12F NF △中,有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+, 故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-,所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-,而3cos 5α=,sin ac β=,cos b c β=,故4sin 5α=,代入整理得到23b a =,即32b a =,所以双曲线的离心率2c e a ===若,M N 均在左支上,同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+,其中β为钝角,故cos bcβ=-,故()212sin sin sin NF NF c βαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a cβαβαβα=--,代入3cos 5α=,sin ac β=,4sin 5α=,整理得到:1424a b a =+, 故2a b =,故e ==故选:AC.10【要点分析】根据题中所给的公式代值解出.【过程详解】因为S =S ==111##-【要点分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【过程详解】[方法一]:余弦定理 设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++, 在ACD 中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=- 当且仅当311mm +=+即1m =时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m=. 1.[方法二]:建系法令 BD=t ,以D 为原点,OC 为x 轴,建立平面直角坐标系. 则C (2t,0),A (1,B (-t,0)()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。

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专题精选习题----解三角形
1.在ABC ∆中,内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,已知
b
a
c B C A -=
-2cos cos 2cos . (1)求A
C
sin sin 的值; (2)若2,4
1
cos ==b B ,求ABC ∆的面积S .
2.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2
sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值;
(2)若8)(42
2
-+=+b a b a ,求边c 的值.
3.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. (1)若A A cos 2)6sin(=+
π
,求A 的值;
(2)若c b A 3,3
1
cos ==,求C sin 的值.
4.ABC ∆中,D 为边BC 上的一点,5
3
cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ,求AD .
5.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4
1cos ,2,1===C b a . (1)求ABC ∆的周长; (2)求)cos(C A -的值.
6.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+,且24
1b ac =
. (1)当1
,4
5
==b p 时,求c a ,的值; (2)若角B 为锐角,求p 的取值范围.
7.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. (1)求A 的值;
(2)求C B sin sin +的最大值.
8.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知4
12cos -=C . (1)求C sin 的值;
(2)当C A a sin sin 2,2==时,求c b ,的长.
ABC ∆b c C a =+2
1cos 9.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足3,5
522cos =⋅=AC AB A . (1)求ABC ∆的面积;
(2)若6=+c b ,求a 的值.
10.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,2
2)4cos()4cos(=-++ππ
C C . (1)求角C 的大小;
(2)若32=c ,B A sin 2sin =,求b a ,.
11.在ABC ∆中,
角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且. (1)求角A 的大小;
(2)若1=a ,求ABC ∆的周长l 的取值范围.
12.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足0cos cos )2(=--C a A c b . (1)求角A 的大小;
(2)若3=a ,4
3
3=∆ABC S ,试判断的形状,并说明理由.
13.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且.3)(22
22ab c b a =-+
(1)求2
sin
2
B
A +; (2)若2=c ,求ABC ∆面积的最大值.
14.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足2
2
2
2
cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. (1)求角B 的大小;
(2)设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=n C A m ,求n m ⋅的取值范围.
15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ,若函数2
1
)(-
⋅=n m x f 的最小正周期为π4.
(1)求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合;
(2)在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求)(A f 的取值范围.
16.如图,ABC ∆中,2,332sin ==∠AB ABC ,点D 在线段AC 上,且3
3
4,2==BD DC AD . (1)求BC 的长; (2)求DBC ∆的面积.
A
B
D
C
17.已知向量5
5
2sin ,(cos ),sin ,(cos ===b a ββαα. (1)求)cos(βα-的值; (2)若02
,2
0<<-
<<βπ
π
α,13
5
sin -
=β,求αsin .
18.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知12cos sin 2sin 2sin 2
=+⋅+C C C C ,且
5=+b a ,7=c .
(1)求角C 的大小; (2)求ABC ∆的面积.
19.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足2
1)cos sin 3(cos =-⋅A A A . (1)求角A 的大小;
(2)若32,22==∆ABC S a ,求c b ,的长.
20.已知函数)(,cos 2
1
sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ,当]1,1[-∈x 时,其图象与x 轴交于N M ,两点,最高点为P .
(1)求PN PM ,夹角的余弦值;
(2)将函数)(x f 的图象向右平移1个单位,再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍,而得到函数)(x g y =的图象,试画出函数)(x g y =在]3
8
,32[上的图象.
3,5
3
sin ,3===b A B π
21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2
(a 为常数)在8

=x 处取得最大值. (1)求a 的值;
(2)求)(x f 在],0[π上的增区间.
22.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且bc a c b =-+2
22. (1)求角A 的大小;
(2)若函数2
cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=,当2
1
2)(+=
B f 时,若3=a ,求b 的值.
23.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知. (1)求C sin 的值; (2)求ABC ∆的面积.
24.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且B c a C b cos )3(cos -=. (1)求B sin 的值;
(2)若2=b ,且c a =,求ABC ∆的面积.
25.已知函数212cos 2cos 2sin
3)(2++=x x x x f .
(1)求)(x f 的单调区间;
(2)在锐角三角形ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-,求)(A f 的取值范围.
26.在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,a A b B A a 2cos sin sin 2
=+.
(1)求
a
b ; (2)若2
2
2
3a b c +=,求角B .
27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站,港口正东方向的B 处有一轮船,距离检查站为31海里,该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站,已知观测站与检查站距离为21海里,问此时轮船离港口A 还有多远?
28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船,正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶,巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击,问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船,并指出巡逻艇航行方向.
29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.
(1)求船航行速度;
(2)求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离.
30.如图所示,甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行,速度为215海里/小时,在甲船从A 到出发的同时,乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发,朝北偏东θ(2
1
tan =θ)的方向做匀速直线航行,速度为m 海里/小时.
(1)求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里; (2)若两船能相遇,求m.。

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