一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像
三角函数的泰勒展开式
三角函数的泰勒展开式泰勒展开式是将一个函数在其中一点附近用多项式近似表示的方法。
对于三角函数来说，它们也可以用泰勒展开式来表示。
首先，我们从最基本的三角函数开始，即正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)。
它们的常用的泰勒展开式如下：对于正弦函数sin(x)，其泰勒展开式为：sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...对于余弦函数cos(x)，其泰勒展开式为：cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - (x^6)/6! + ...这两个展开式可以无限地继续下去，每一项都是x的幂次是奇数时的负倒数阶乘乘上x的幂次是该奇数的项。
我们可以通过增加展开式的项数来获得更高精度的近似。
此外，正切函数tan(x)也可以用泰勒展开式来表示。
对于tan(x)，其泰勒展开式为：tan(x) = x + (x^3)/3 + (2*x^5)/15 + (17*x^7)/315 + ...这里，tan(x)的泰勒展开式的每一项的系数是Fibonacci数列(1, 1, 2, 5, 14, 42, ...)的一部分。
同样地，我们可以通过增加展开式的项数来获得更高精度的近似。
此外，其他的三角函数如sec(x)、csc(x)、cot(x)等也都可以用泰勒展开式来表示。
它们分别对应cos(x)的倒数、sin(x)的倒数、tan(x)的倒数。
需要注意的是，泰勒展开式只在展开点附近有效，越远离展开点，近似程度越低。
因此，在实际计算中，我们需要根据具体的问题来确定展开点和展开式的项数，以获得所需的精度。
此外，值得一提的是，泰勒展开式是一种数学工具，可以用于近似计算三角函数的值。
但在计算机中，通常会使用一些更高效的算法来计算三角函数，如Cordic算法、查表法等。
这些方法能够在保证较高精度的同时，提高计算速度。
总之，泰勒展开式是一种用多项式来近似表示三角函数的方法。
泰勒(Taylor)展开式(泰勒级数)
泰勒(Taylor)展开式（泰勒级
数）
目录
泰勒公式
余项
1、佩亚诺(Peano）余项：
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
4、柯西（Cauchy）余项：
5、积分余项：
带佩亚诺余项
参考资料
泰勒公式
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是(x-x0)n的高阶无穷小。
余项
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺(Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈(0,1)，p为任意正实数。
（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈(0,1)。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈(0,1)。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
带佩亚诺余项
以下列举一些常用函数的泰勒公式：
参考资料
泰勒的通俗理解：
泰勒的更深层次的理解：。
几个常用的泰勒公式展开式
几个常用的泰勒公式展开式常用的泰勒公式展开式有许多，本文将介绍其中几个常用的展开式，并解释它们在不同领域的应用。
1. 正弦函数的泰勒展开式：正弦函数的泰勒展开式可以用来近似计算正弦函数在某个点附近的值。
正弦函数的泰勒展开式如下：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个展开式在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
例如，在物理中，我们可以使用这个展开式来近似计算振动系统中的正弦函数的值。
2. 指数函数的泰勒展开式：指数函数的泰勒展开式可以用来近似计算指数函数在某个点附近的值。
指数函数的泰勒展开式如下：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...这个展开式在金融、物理、计算机科学等领域中有广泛应用。
例如，在金融领域中，我们可以使用这个展开式来近似计算复利的收益。
3. 自然对数函数的泰勒展开式：自然对数函数的泰勒展开式可以用来近似计算自然对数函数在某个点附近的值。
自然对数函数的泰勒展开式如下：ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这个展开式在金融、统计学、物理等领域中有广泛应用。
例如，在统计学中，我们可以使用这个展开式来近似计算某个事件的概率。
4. 余弦函数的泰勒展开式：余弦函数的泰勒展开式可以用来近似计算余弦函数在某个点附近的值。
余弦函数的泰勒展开式如下：cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...这个展开式在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
例如，在物理中，我们可以使用这个展开式来近似计算振动系统中的余弦函数的值。
以上是几个常用的泰勒公式展开式的介绍。
这些展开式在各个领域中都有广泛的应用，可以用来近似计算各种函数的值，从而简化复杂的计算过程。
在实际应用中，我们可以根据需要选择适当的展开式，并根据展开式的精度要求确定展开式的截断阶数。
通过使用这些展开式，我们可以更方便地进行数值计算，并得到满足精度要求的结果。
泰勒展开式与洛朗展开式(课堂PPT)
f (z) cn(zz0)n (1) n0
f (z)在z0处 的Taylor级数
其中:cn
1 n!
f
(n)(z0)
n0,1,2,L
分析：
Ñ cn n1!f(n)(z0)21i kf(z0)n1d
代入(1) k:z0 r
D
z0
k
n 0cn(zz0)nn 0f(nn )(!z0)(zz0)n
设函 f(z)在 数区 D 内 域 解 ,K: 析 z0 r
如图:
.z
z 0 . r .K
K内任意点
圆周 z0r
D
2. 泰勒(Taylor)级数展开定理
定理（泰勒级数展开定理）
设 f(z)在 区 域 D 内 解 析 ,z0 D ,R 为 z0 到 D 的 边 界
上 各 点 的 最 短 距 离 ， 则 当 z z0 R 时 ,
1 zz01(zz0) 1z01z1 zz00,
1 z 1 z0 1 z z z 0 0 (z z z 0 0 )2 L (z z z 0 0 )n L (2 )
故f( z)n 0f (z)0
(zz0)n
(z0)n
n0
(
f (z0))n1(zz0)n
(*)式
证明： 设 k:z0 r,{z0 r}D,
Ñ n 021 i k( f(z0))n1d(zz0)n Ñ 21 i kn 0( f(z0))n1(zz0)nd (I)
又 f(z)21 iÑ kf( z)d (II)
联合(I),(II)
D
z0
z
k
需 证 f() z n 0(
f(z0) )n 1(zz0)n(* )
z z0 q 1, z0
解析函数的Taylor展式PPT课件
2! 4!
(2n)!
( z )
6) ln(1 z) z z2 z3 (1)n zn1 ,
23
n1
(1)n zn1
n0
n1
( z 1)
7)(1 z) 1 z ( 1) z2 ( 1)( 2) z3
2!
3!
( 1)( n 1) zn , ( z 1)
第2页/共33页
当 时,
za
za
1;
1
un
1 u n0
a
u 1
故
1
1 za
n0
(z
a a
)n
,
在上关于
一致收敛,
a
以
上有界函数
f
( )
a
乘上式两边得,
f
( )
z
n0
(
f ( )
a)n1
(z
a)n ,
在上关于 仍一致收敛,
故由定理4.7,
上式两边沿
积分,
并乘以
1
2
i
得
第3页/共33页
1
f (z) 2i
f ( ) d z
1
n0 2 i
(
f ( )
a)n1
d
(
z
a)n
cn (z a)n
n0
n0
f (n) (a) (z a)n; n!
由z的任意性，定理前半部分得证。
下证唯一性,设另有展式
f (z) cn' (z a)n, z K : z a R,
n0
由定理4.13知
cn'
1 n!
f
(n) (a)
cn;
故展式唯一.
3,3泰勒公式-52页PPT精品文档
f ( x0) +
f ( x0 )( x - x0 ) +
f
( x0 2!
)
(x
-
x0 )2
+
+
f
(n) ( x0 n!
)
(x
-
x0 )n
+
Rn
(
x)
其中 Rn( x) =
f (n+1)( ) ( x
(n + 1)!
-
x0 )n+1(
在
x0与
x之间).
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泰勒公式
证明: 由 假 设 , R n ( x )在 ( a ,b )内 具 有 直 到 ( n + 1 ) 阶
L+f(nn )(!x0)(x-x0)n=kn=0 f(kk)(!x0)(x-x0)k
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n次近开 似多的 项式 .
f(x)=kn =0f(kk )(!x0)(x-x0)k+R n(x)
称f为 (x)按 (x-x0)的幂展 n阶泰 开 勒公的 式.
R n(x)=fn (n + + 1)1 (!)(x-x 0)n + 1(在 x 0 与 x 之 )间
x
以直代曲
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) x - ( x 0 ) + o ( x - x 0 )
例 如 ,当 x很 小 时 ,ex1+x,ln1+ (x)x
（如下图）
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泰勒公式
以直代曲
y = ex
y = ex
y=x
y=1+x
泰勒Taylor级数展开
z0=0点展开成泰勒级数。
1 ∵ f ( z) 2 有一个奇点z=-1 (1 z )
∴R=|0-(-1)|=1 由
1 1 z z 2 z 3 ... z n ... 1 z | z | 1
可知：
1 1 1 z 1 ( z ) 1 z z 2 z 3 ... (1) n z n ... | z | 1
且
z z0 1 z0
z z0 1 1 ( z z0 ) /( z0 ) k 0 z0
k
( z z0 ) k 1 z k 0 ( z0 ) k 1
代入柯西公式，逐项积分
f ( z ) ( z z0 ) k
§3.3
泰勒(Taylor)级数展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数 的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。 现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一 个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不 但有理论意义，而且很有实用价值。 实变函数可展开为泰勒级数的条件是存在任意阶 导数；而解析函数的性质之一正是存在任意阶导 数，因此解析函数可展开为复变项的泰勒级数。
1 n a ( z a ) 表示成形如 n z b n 0
的
则当 z a 1时，有
ba 2 n 1 za za za 1 ... ... za ba ba ba 1 ba
1 1 1 1 2 ( z a ) ( z a ) z b b a (b a) 2 (b a)3 1 n 1 ... ( z a ) ... n (b a)
∵离z0=1最近的支点为z=0 ∴收敛半径取R=1，收敛圆为|z-1|< 1
常用函数的泰勒展开式
常用函数的泰勒展开式
泰勒展开式是一种将一个函数表示为一系列无限次可导函数的
和的方法。
它可以用来近似计算一个函数在某个点的值，并且在数学和物理学中有广泛应用。
下面是一些常用函数的泰勒展开式：
1. $mathrm{e}^x$ 的泰勒展开式为：$$mathrm{e}^x =
sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$$
2. $sin x$ 的泰勒展开式为：$$sin x = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
3. $cos x$ 的泰勒展开式为：$$cos x = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$
4. $ln(1+x)$ 的泰勒展开式为：$$ln(1+x) = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$$
5. $(1+x)^{alpha}$ 的泰勒展开式为：$$(1+x)^{alpha} = sum_{n=0}^{infty} binom{alpha}{n} x^n$$
以上展开式只针对某些特定的函数，不同的函数可能有不同的泰勒展开式。
学习泰勒展开式的基本原理和应用可以帮助我们更好地理解和应用数学和物理学中的概念和方法。
- 1 -。
复变函数(4.3.1)--泰勒极数
dz
� �( z �
z0
)n
￥
ﾥ n0
f
( n) ( z0 n!
)(z
z0
)n
.
定理 4.10 给出了函数在 z0 点的邻域内展开成 Taylor 级数的公式 , 同时给出了展开式的收敛半
径 R=|z0-|, 其中是离 z 最近的 f (z) 的奇点 .
Taylor 展开式的惟一性定理
e , ( 1)ln(1+ z)
f ﾢﾢ(z) ( 1)e( 2)ln(1+z) ,
L LL
f (n) (z) ( 1)L( n + 1)e( n)ln(1+z) ,
L LL 令 z=0, 有
f (0) 1, f ﾢ(0) , f ﾢﾢ(0) ( 1), L,
可展开为幂级
数
f (z) cn (z z0 )n , n0
其中
cn
1 n!
f
(n)(z0 )
D
z z在0 < R 内可
R
z0 .
( n 0, 1, 2,L) . 系数 cn 按上述表示的幂级数称为
f (z)在 z0 点的 Taylor 级数 .
证明 使得 r < R,
对
z
+L
z <1 .
( ) 例 3.4 将 f (z)
1 1+ z2
2 展开为 z 的幂级数 .
根据例 3.3 ，
￥ ( ) 1
(1 + x )2
ﾥ
(1)n(n + 1)x n
n0
x <1 ,
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
常见函数的泰勒级数展开
常见函数的泰勒级数展开在数学的广袤天地中，泰勒级数展开是一个极为重要的概念和工具。
它为我们理解和处理各种函数提供了一种强大的方法。
那么，什么是泰勒级数展开呢？简单来说，就是将一个复杂的函数在某个点附近用一系列简单的幂函数相加的形式来近似表示。
让我们先来看看一些常见的函数及其泰勒级数展开。
首先是指数函数＄e^x$ 。
它在＄x=0$ 处的泰勒级数展开为：＼e^x ＝ 1 ＋ x ＋＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^4}｛4!｝＋＼cdots ＋＼frac{x^n}｛n!｝＋＼cdots\这个展开式的每一项都是通过求导得到的。
比如，＄e^x$ 的一阶导数还是＄e^x$ ，在＄x=0$ 处的值为 1，所以第一项是 1；二阶导数也是＄e^x$ ，在＄x=0$ 处的值为 1，所以第二项是＄＼frac{x^2}｛2!｝＄，以此类推。
接下来是正弦函数＄＼sin x$ ，在＄x=0$ 处的泰勒级数展开为：＼＼sin x ＝ x ＼frac{x^3}｛3!｝＋＼frac{x^5}｛5!｝＼frac{x^7}｛7!｝＋＼cdots ＋（－1)＾n\frac{x^｛2n ＋ 1}｝｛（2n ＋ 1)！｝＋＼cdots\余弦函数＄＼cos x$ 在＄x=0$ 处的泰勒级数展开则是：＼＼cos x ＝ 1 ＼frac{x^2}｛2!｝＋＼frac{x^4}｛4!｝＼frac{x^6}｛6!｝＋＼cdots ＋（－1)＾n\frac{x^｛2n}｝｛（2n)！｝＋＼cdots\再看一下对数函数＄＼ln(1 ＋ x)＄，它在＄x=0$ 处的泰勒级数展开是：＼＼ln(1 ＋ x) ＝ x ＼frac{x^2}｛2} ＋＼frac{x^3}｛3} ＼frac{x^4}｛4} ＋＼cdots ＋（－1)＾｛n 1}＼frac{x^n}｛n} ＋＼cdots\这些常见函数的泰勒级数展开有什么用呢？首先，它们可以帮助我们进行近似计算。
泰勒公式课件
2021/5/27
24
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利用泰勒公式求极限
例5
计算
e x2 lim
x0
2cos x 3. x4
解 e x2 1 x2 1 x4 o( x4 )
2!
ex
x2
c1os xx 12!
x2!2 x4xn!4n!o((nxe5 )x1)!
x n1
(0 1).
21
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所 以 c o s 2 x 1 2 1 2 1 2 1 !2 x 2 4 1 !2 x 4 1 m 2 1 m !2 x 2 m
2m 1 2!2x2m 2cos x2m 2 2 ，
故 cos2
x 1 2 x2 23 x4
2! 4!
(1)m
误差 Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
2021/5/27
8
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二、 Pn(x)和Rn (x)的确定
分析: 若要 f(x)Pn(x),且近似程度 , 要好
Pn(x)应满足什么条?件
1.若在 x 0 点相交
y
近 似
Pn ( x0 ) f ( x0 )
程 度
e x2 2 cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o( x4 )
原式
lim
x0
7 12
x4 o( x4
2! x4)
4! 7. 12
练 li x 2 习 f m ( x ) cx ： o 1 0 s ,求 li 2 f m ( x ) 1 . ( 1 )
x 0
x 4
2 x x 0
(0 1)
2021/5/27
泰勒展开.ppt
解：（1）梯长
l (x a)2 b 2 (1 a )2 a l
x
b
a 8,b 27
x
>>L='sqrt((x+8)^+2+27^2*(1+8/x)^2)';
>>ezplot(L,10,60)
>>[xmin,Lmin]=fminbnd(l,15,20)
xmin = 18.0000
[例2] 分别求函数
y 1 u 1 x
在 x 0 和 u 0 处的泰勒展开式的前
3 项。
>>syms x u; >>taylor((1/(1+x))^u,x,3,0) ans =
1-u*x+(u+1/2*u*(u-1))*x^2 >>taylor((1/(1+x))^u,u,3,0) ans =
f1 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3
f2 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4
f3 = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3 +1/24*x^4-1/120*x^5
yy = 0.9048 0.9048 0.9048 0.9048
e= 1.0e-005 * -0.4085 0.0082 -0.0001
（3）计算 sin 0.5 的近似值，并比较误差。
3、求函数
y 2x 的极值。 1 x2
二、应用型实验
1、一幢楼房的后墙紧靠一个温室，温室宽 a 2m, 高 b 3m, 现用一梯子越过温室，一头
放在地平面，一头靠在楼房墙上，问梯子的