立体几何专题讲义

3
2
2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
图 16
图 17
17.如图 17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长 为 1，那么这个几何体的体积为______________.
18. 若一 个底 面为正 三角形 、侧 棱与 底面 垂直 的棱 柱的 三视 图如图 9-3-14 所示 ，则 这个棱 柱的体 积为 ______________.
4
图
图 11
图 12
图 13
12. 如图 12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧
面积为_____________.
13.已知某几何体的俯视图是如图 13 所示的边长为 2 的正方形，主视图与左视图是边长为 2 的正三角形，则其表
面积是_____________.
.
4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图 4 所示，则此几何体的体积是
.
a
3 正视图
Hale Waihona Puke Baidu
2 左视图
1
1 俯视图
第4题
第5题
5．如图 5 是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3 ，则 a
.
6．已知某个几何体的三视图如图 6，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是
.
3
20
20 正视图
2 求直线与平面所成的角 0,90 ：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角 三角形，求出线面角。
3 求二面角的平面角 0,
解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求 出二面角的平面角。
20 侧视图
10
10
20 俯视图
第6题
第7题
7.若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，则此几何体的体积是
cm 3
8.设某几何体的三视图如图 8（尺寸的长度单位为 m），则该几何体的体积为_________m3。
2
2
2
2
3
2
1
3
2
2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
第7题
第8题
9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为
球面积、体积公式：
S球
4
R2 ,V球
4 3
R3 （其中
R
为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
1
平行关系
平面几何知识 线线平行
平行与垂直关系可互相转化
1. a ,b a // b 2. a ,a // b b 3. a , a // 4. // , a a 5. // ,
14.如果一个几何体的三视图如图 14 所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.
图 14
15．一个棱锥的三视图如图图 9-3-7，则该棱锥的全面积（单位： cm2 ）_____________.
正视图
左视图 图 15
俯视图
16．图 16 是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________. 2
_________________.
图9
10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图 10 所示（单位 cm），则该三棱柱 的表面积为_____________.
图 10
11. 如图 11 所示，一个空间几 个直径为 1 正的视圆图，那么这个几何
何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一 体的全面积为俯__视__图_________.
长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体
侧面
F' A'
E' B'
侧棱
D' C'
l
底面
高 侧棱
S
顶点 侧面
F A
E
D
C
B
2. 棱锥
底面
A
D
C
O
H
B
斜高
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★② r R2 d 2 （其中，球心到截面的距离为
球心
轴
d、球的半径为 R、截面的半径为 r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长
方体，球与正方体等的内接与外切.
O
D'
C'
A'
C'
A'
B'
O
O
R
d
A r O1
球面 半径
B
D
C
A
B
A
c
注：球的有关问题转化为圆的问题解决.
立体几何专题讲义
一、考点分析
基本图形
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面
所围成的几何体叫做棱柱。
斜棱柱
①
棱柱
棱垂直于底面
直棱柱
底面是正多形 其他棱柱
正棱柱
★
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面
直平行六面体 底面为矩形
垂直关系
平面几何知识 线线垂直
判定
性质
判定
线面平行
判定推论 性质
面面平行
判定 性质
线面垂直
判定
面面垂直定义 面面垂直
异面直线所成的角，线面角，二面角的求法★★★
1．求异面直线所成的角 0,90：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作） 的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
二、典型例题 考点一：三视图
2
1．一空间几何体的三视图如图 1 所示,则该几何体的体积为_________________.
2
2
2
2 正(主)视
图
2 侧(左)视图
第1题
俯视图
2.若某空间几何体的三视图如图 2 所示，则该几何体的体积是________________.
第2题
第3题
3．一个几何体的三视图如图 3 所示，则这个几何体的体积为
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4
正视图
33
侧视图
图 18
俯视图
考点二 体积、表面积、距离、角
注：体积表面积 异面直线所成角 线面角
1. 将一个边长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了___________. 2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为 ___________.