六节点三角形单元

3、应力矩阵
根据应力-应变关系，可以计算单元中的应力，得到式（228）同样形式
{ } [D]{} [S][ ]e
（7-11）
应力矩阵[S]具有与式（2-29）同样形式
[S] [D][B]
将[S]写成子矩阵形式 [S] [Si S j Sl Sm ]
（7-12） （7-13）
其中
（7-17）
上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只须将上式 中的E、作相应的改变。
5、等价节点力 单元体积力和表面力引起的节点力仍可用式（2-45）和 （2-46）进行计算。
{FV } A[N ]T {qV }hdxdy
T
{FS}
[N]
l
{qS }hdl
（2-45） （2-46）

（7-2）
式中形函数为 ：
Ni

1 4
1
x a
1
y b

பைடு நூலகம்
N
j

1 4
1
x a
1
y b



Nl

1 4
1
x a
1
y b



Nm

1 4
1
x a
1
u a1 a2x a3 y a4xy
v

a5

a6
x

a7
y

a8
xy

（7-1）
在上式表示的位移模式中，a1, a2, a3, a5, a6, a7， a8
反映了单元的刚体位移和常
应变。在单元的边界(x=±a
y
或y =±a)上（或），位移是
m
l
按线性分布的。因此，相邻
b
单元在公共边上的位移是连
7.2 四节点矩形单元
1 xy x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
图7-3示出的矩形单元，边长分别为2a和2b。取4个角点为 节点，编号为i，j，l，m。将x轴和y轴置于单元的对称轴上。
1、位移函数 单元的位移函数可取为：
b
x
续的。这样，位移模式满足 了解答收敛性的充分条件。
ia
aj
图7-3
在式（7-1）中代入节点位移和节点坐标后，可解出
各待定系数(a1… a8)。将这些系数再代入式（7-1），可得：
u Niui N ju j Nlul Nmum
v

N i ui

N ju j

N l ul

N
mum
把应变矩阵[B]写成子矩阵形式
其中
[B] [[ Bi ] [Bj ] [Bl ] [Bm ]]
（7-9）
[Bi
]

1 4ab
bi (1 i)

0
ai (1 i )
0
ai (1 i )(i, j,l, m)（7-10） bi (1 i)
由此可见，[B]是、 的函数，即是x、y的函数。因此 单元中的应变不再是常数。
[kij ] [k jj ] [klj ] [kmj ]
[kil ] [k jl ] [kll ] [kml ]
[kim ] [k jm ] [klm ] [kmm ]
其中的子矩阵[krs]2×2可由下式计算
（7-16）
[krs ]22

Eh
4(1 2 )


y b

（7-3）
令
x, y
a
b
在节点上的值为：
i

xi a
,
i

yi b
则式（7-3）可简写为
(i, j,l,m)
Ni (1 i )(1 i) / 4 (i, j,l, m)
（7-4）
将位移函数写成矩阵形式，即有与式（2-20）相同的形式
式中
{
f
}

b a
rs
1

13rs


1
2

rs

1
2
a b
rs
rs
1

1 3
rs

b a
rs
1

1 3
rs

1
2
rs


1
2

rs
a b
rs
1

13rs

(r, s i, j,l, m)

[Si ]

E 4ab(1
2)
bi (1 i)

1
bi (1

2
ai
i ) (1 i
)

ai (1 i )
1
ai (1 i )

2
bi
(1

i
)
(i, j,l,m)
（7-14）
上式对应平面应力情形。对于平面应变情形，只需将其中
模式取完全一次式，共3项。 六节点三角形单元，位移模 式取完全二次式共6项。如 果某一阶次不能全取，则 应按对称性原则适当选取。
1 xy x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4
图7-2 多项式选择的 怕斯卡三角形
例如在下节将要讨论的四 结点矩形单元中，位移模 式不能取1，x，y，x2四项， 也不能取1，x，y， y2四项， 而应取1，x，y，xy四项。
的E，作相应的改变即可。
4、单元刚度矩阵 单元刚度矩阵可采用式（2-33a）进行计算
[k] A[B]T [D][B]hdxdy
（2-33a）
在四节点矩形单元中，[k]是一个8×8的矩阵。将[k]写成分 块形式：
[kii ]
[k ]88


[k
ji
]
[kli ]
[kmi ]
对本问题给定的位移函数，若体积力是重力的情形（设
重度为），单元等价节点载荷列阵为：
{FV }e hab [0 1 0 1 0 1 0 1]T （7-18）
有了对单元的上述结果，便可应用第5章的方法组集结 构刚度矩阵和节点荷载向量；求解节点位移；计算内力和 应力。
u
v


[
N
]{
}e
（7-5）
{}e [ui vi u j v j ul vl um vm ]T （7-6）
[N] [NiI N jI NlI NnI] 其中，I为二阶单位矩阵。
（7-7）
2、应变矩阵
根据几何方程，可得与式（2-25）同样的形式
{} [B]{ }e
（7-8）
选择位移模式时，第2章提到要考虑解的收敛性，即要考虑
到位移模式的完备性和协调性。实际操作中，一般应考虑
位移模式的对称性。这是因为，有限元位移模式的选择实
际是以帕斯卡（Pascal）三解形基础上的（如图7-2所示），
由低价至高阶，顺序选取，组成多项式。多项式中的项数
等于单元节点自由度数。如三节点三角形单元，位移