上海市静安区2021届新高考二诊数学试题含解析

上海市静安区2021届新高考二诊数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数168i z =-，2i z =-，则1

2

z z =（ ） A ．86i - B ．86i +

C ．86i -+

D ．86i --

【答案】B 【解析】

分析：利用2

1i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1

2

86z i z =+ 详解：2

12

2686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.

2．已知角α的终边与单位圆22

1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，则cos2α等于（ ）

A ．

19

B ．79

-

C ．23

-

D ．

13

【答案】B 【解析】 【分析】

先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】

解：角α的终边与单位圆22

1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭

1

cos 3

α=，

2

217cos 22cos 12139αα⎛⎫

=-=⨯-=- ⎪⎝⎭

，

故选：B 【点睛】

考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.

3．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】

252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.

4．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2

19m n a a a ⋅=，则

19m n

+的最小值为（ ）. A ．16 B ．

283

C ．5

D ．4

【答案】D 【解析】 【分析】

由76523a a a =+，可得3q =，由2

19m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子

的最小值. 【详解】

设等比数列公比为(0)q q >，由已知，52

5523a a q a q =+，即2

23q q =+，

解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以2

11111339m n a a a --⋅=，

即2233m n +-=，故4m n +=，所以

1914m n +=1919()()(10)4n m

m n m n m n

++=++ 1

(1044

≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】

本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 5．设22

(1)1z i i

=

+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）

A B ．1

C ．2

D 【答案】A 【解析】 【分析】

先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】

∵22

)1121(1z i i i i i

=-+=

+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．

6．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-

C ．()1,2

D ．()2,1

【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】

由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．

z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．

故选：C ． 【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 7．已知集合A {}0,1,2=，B={}

(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1

C ．{}1,2

D ．{}0,1,2

【答案】A 【解析】 【分析】

先解A 、B 集合，再取交集。 【详解】

()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

8．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在