上海市静安区2021届新高考二诊数学试题含解析
2021届上海市静安区高三4月教学质量检测(二模)(文理)数学试题
： ，
（舍 或 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查指数方程的求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂运算性质的合理运用及整体换元．
4．
【分析】
利用复数的运算法则，巧用共轭复数即可得出答案．
（1）问游轮自码头A沿 方向开往码头B共需多少分钟？
（2）海中有一处景点P（设点P在 平面内， ，且 ），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.
34．已知函数 ，若在区间 内有且只有一个实数 ，使得 成立，则称函数 在区间 内具有唯一零点.
（1）判断函数 在区间 内是否具有唯一零点，说明理由：
21．已知数列 满足 ， ， ，则数列 的前 项和 的最大值为______.
22．设关于 的实系数不等式 对任意 恒成立，则 _______.
二、单选题
23．（文） 的展开式中 的系数为（）
A．1B．4C．6D．12
24．下列不等式一定成立的是（）
A．lg(x2＋ )>lgx(x>0)B．sinx＋ ≥2(x≠kπ，k∈Z)
9．抛物线 上的一点到焦点的距离为1，则点 的纵坐标为_________.
10．设函数 ，则不等式 的解集为．
11．（理）一盒中装有12个同样大小的球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1个球，则取出的1个球是红球或黑球或白球的概率为__________.
12．关于的函数 的最大值记为 ，则 的解析式为__________.
36．（理）已知数列 满足 （ ），首项 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ， 是△ABC的内角，若 对于任意 恒成立，求角 的取值范围．
2021年上海市静安区中考数学二模试题(word版 含答案)
2021年上海市静安区中考数学二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．1﹣1＝﹣1B ．10＝0C ．（﹣1）﹣1＝1D ．（﹣1）0＝1 2．如果关于x 的方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．9m > B ．9m ≥ C ．9m ≤ D ．9m < 3．一次函数32y x =-的图像不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）A ．既是中心对称图形，又是轴对称图形B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3，那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（ ）A ．2.5与1.5B ．2与1.5C ．2.5D ．26．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题7．化简：|2|=__________．8．计算：()2x x x ÷-=________．9．函数()132f xx x -=-的定义域为________． 10．如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么函数值y 随x 的增大而________．11．方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩的解为________．12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是________．13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为________．14．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，ACD B ∠=∠， 2AD =，AC =，设BA a =， BC b =，那么CD =________ ．（用向量a ，b 的式子表示）．15．如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ，矩形DEFG 的顶点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，如果DE ＝5，tan C ＝52，那么AE 的长为_____．17．已知矩形纸片ABCD 的边10AB =，12BC =（如图），将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，那么折痕的长为________．18．在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．三、解答题19．先化简，再求值：2222141x x x x x x x +----+-．其中1x =． 20．已知点()2,3A m +在双曲线m y x =上． （1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；（2）如果点(),5B a a -在此双曲线上，图像经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．21．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ．DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，BD 与AE 、AC 分别相交于点F 、G ．求：（1）AF 的长；（2）AG 的长．22．小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？23．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线y ＝x 2+bx +5与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．25．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．参考答案1．D【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：A 、1﹣1＝1，故此选项错误；B 、10＝1，故此选项错误；C 、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此选项错误；D 、（﹣1）0＝1，故此选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确理解性质是关键2．C【分析】由关于x 的方程x 2-6x +m =0有实数根知△=b 2-4ac ≥0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵关于x 的方程260x x m -+=有实数根，∴△=（-6）2-4m ≥0，解得：m ≤9，故选：C ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．B【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数32y x =-中，30k =>，20b =-<，∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 4．B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念分析即可．【详解】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B ．【点睛】本题考查判断轴对称图形与中心对称图形．掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．5．A【分析】直接利用中位数的定义和方差的计算公式计算即可．【详解】 中位数23 2.52+==． 33223328x +++++==． ()()()()()()()()2222222223232022222320232 1.58S -+-+-+-+-+-+-+-==．综上可知，中位数为2.5、方差为1.5．故选：A ．【点睛】 本题考查求中位数和方差．掌握求一组数据中中位数和方差的公式是解答本题的关键． 6．A【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可．【详解】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．7．2【分析】先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】解：2<，∴原式2)=-2=-故答案为：2．【点睛】此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．8．11x - 【分析】先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．【详解】解：()221(1)1x x x x x x x x x x ÷-===---． 故答案为：11x -． 【点睛】 此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．32x ≠ 【分析】函数()132f xx x -=-的定义域，为自变量的取值范围，即320x -≠分母不为0． 【详解】 函数()132f x x x -=-的定义域为320x -≠，即32x ≠． 故答案：32x ≠． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关键．10．减小【分析】根据正比例函数的性质即可填空．【详解】根据函数图象经过第二、四象限可知其比例系数0k <．∴函数值y 随x 的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题考查正比例函数的性质．掌握正比例函数(0)y kx k =≠，当0k <时，其图象经过第二、四象限，且函数值y 随x 的增大而减小是解答本题的关键．11．21x y =⎧⎨=⎩ 【分析】先求出+3x y =，再利用加减消元法进行求解x ,y 即可．【详解】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②由①得：()()+3x y x y -=③将②代入③得：+3x y =④②+④得：24=x ，则2x =将2x =代入④得，1y =所以21x y =⎧⎨=⎩故答案为21x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．12．13【分析】利用树状图法求解即可．【详解】根据题意，列树状图如下：∴组成的两位共有：12，13，21，23，31，32，6个数，其中能够被3整除的有：12，21，2个数，∴恰好能被3整除的概率为2163P ==， 故答案为：13． 【点睛】本题考查列树状图或表格的方法求概率，准确根据题意列出树状图或表格是解题关键． 13．120【分析】根据直方图分析出课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率，然后利用频率乘总人数即可求解．【详解】由图中可知，课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率为0.25+0.15=0.4，∴所有学生中，课外阅读时间在6小时及以上的人数300×0.4=120人，故答案为：120．【点睛】本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解题关键．14．13a b -【分析】根据∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，可证ACD ABC ~，则有2AC AD AB =•，可得AB ＝3，BD ＝1，可求得13BD a =，然后根据CD CB BD =+ 求解即可．【详解】解：∵∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴ACD ABC ~，∴2AC AD AB =•，∴22AB =∴AB ＝3，∴BD ＝1， ∴13BD AB = ， ∴13BD a =，∵CD CB BD BD BC =+=-， ∴13CD a b =-． 故答案为：13a b -． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．2＜r ＜8【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R ﹣r ＜d ＜R +r ．【详解】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R +r；外切，则P＝R +r；相交，则R﹣r＜P＜R +r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）．16．2【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【详解】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EF//CD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD//BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt FGC中，tan C＝FGCG＝52，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．65 6【分析】通过作出折叠后的图形，作EM BC ⊥， 先证ADP MEF △∽△，得到AD DP EM EF= ，再求出12AD BC ==，162AP AB ==，13DP =，代入求解即可． 【详解】 解：作出折叠后的图形，作EM BC ⊥，垂足为点M ，连接PD ．∵矩形纸片ABCD ，将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，与点P 重合∴EPD EDP ∠=∠,+90DEF EDP ∠∠=︒∵四边形ABCD 是矩形，EM BC ⊥∴EM AD ⊥∴+90DEF FEM ∠∠=︒∴=EDP FEM ∠∠∵=90A EMF ∠∠=︒∴ADP MEF △∽△ ∴AD DP EM EF= ∵四边形ABCD 是矩形，10AB =，12BC =，点D 落在边AB 的中点P 处，∴10EM AB ==，12AD BC ==，162AP AB ==，在Rt ADP 中，13DP ===， ∴121310EF =则656EF =．故答案：656． 【点睛】 本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键．18．30或20︒或18︒或360()11 【分析】根据n 倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．【详解】设最小的内角为x ︒．分类讨论：①当2倍角为2x ︒，3倍角为3x ︒时，可得：23180x x x ︒+︒+︒=︒，解得30x =．②当2倍角为2x ︒，3倍角为6x ︒时，可得：26180x x x ︒+︒+︒=︒，解得20x ．③当3倍角为3x ︒，2倍角为6x ︒时，可得：36180x x x ︒+︒+︒=︒，解得18x =．④当3x ︒即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为32x ︒，可得：331802x x x ︒+︒+︒=︒， 解得36011x =． 综上可知，最小的内角为30或20︒或18︒或360()11． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理．理解题干中n 倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．19．21x x -，22- 【分析】分式的减法运算，先通分进行化简计算，然后代入求值．【详解】 解：2222141x x x x x x x +----+-=()()()()1121411x x x x x x x x -++--+-- =()()()()()2112114x x x x x x x ++-+---=()()223221411x x x x x x x x ++-+---+ =()()111x x x x ++- =21x x-当1x =时， 原式=()()2111-=22- 【点睛】本题考查分式的化简及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．20．（1）6y x=-，()2,3A -；（2）1y x 42=-． 【分析】 （1）把点A （2，m +3）代入m y x=求得m ，即可求出结果； （2）把点B （a ，5-a ）代入m y x =求得a 得到B 点的坐标，根据A 点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．【详解】解：（1）∵点A （2，m +3）在双曲线m y x =上， ∴.32m m +=， 解得：m =-6，∴m +3=-3，∴此双曲线的表达式为6y x -=， 点A 的坐标为（2，-3）；（2）∵点B （a ，5-a ）在此双曲线6y x -=上， ∴6.5a a--=， 解得：a =-1或a =6，经检验：1,6a a =-=都是原方程的根，且符合题意，∴点B 的坐标为（-1，6）或（6，-1），∵一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，由（1）知A （2，-3），∴点B 的坐标只能为（6，-1），设一次函数的解析式为y =kx +b ，∴3216k b k b -=+⎧⎨-=+⎩， 解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为1y x 42=-． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21．（1）2；（2）2【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E 是BC 的中点，证明AE ∥DC ，可得EF 是△BCD 的中位线，再根据条件证明△ADF 是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，所以AE ＝3，根据勾股定理可得AB ，所以AC ＝AB ，再证明△AFG ≌△CDG ，可得AG ＝CG ，进而可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴点E 是BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12×2＝1， ∵DC ⊥BC ，∴AE ∥DC ，∵DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∴BD ，∠CBD ＝45°，∵点E 是BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF ＝12DC ＝1，DF ＝12BD ， ∵∠CBD ＝45°，∴∠AFD ＝∠EFB ＝45°，∵∠ADB ＝90°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∴AF 2；（2）由（1）可知：AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，∴AE ＝AF +EF ＝2+1＝3，∴AB ，∴AC ＝AB ，∵AE ∥CD ，∴∠F AG ＝∠DCG ，在△AFG 和△CDG 中，，FAG DCG AGF CGD AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFG ≌△CDG （AAS ），∴AG ＝CG ，∴AG ＝12AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．22．12元【分析】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元，根据“比从甲批发部购进数量多了40件”建立分式方程求解并检验即可．【详解】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元， 根据题意得：9001200403x x=-+ 左右同乘()3x x +得：()()90012003403x x x x =+-+整理得：2291800x x --=则：()()215120x x +-=2150x +=或120-=x ，∴112x =，2152x =-（不符合题意，舍去） 检验：当12x =时，()30x x +≠，∴12x =是原分式方程的解，∴乙批发部的这种商品每件12元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，审清题意，找准等量关系建立方程，并注意最后要检验是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED 和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE AD CB AC=， ∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（1）y ＝x 2﹣6x +5，顶点C 的坐标为（3，﹣4）；（2；（3）y ＝x 2﹣6x +253或y ＝x 2﹣6x +11．【分析】 （1）将(5,0)A 代入25y x bx =++可得表达式，配方即得顶点坐标；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，求出EF 、BF 即可得出答案； （3）设D 坐标，用三边对应成比例列方程，求出D 的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）将(5,0)A 代入25y x bx =++得： 02555b =++，解得6b =-，∴抛物线表达式为：265y x x =-+，∵2265(3)4y x x x =-+=--，∴顶点C 的坐标为(3,4)-；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，如图所示：抛物线265y x x =-+与y 轴交于(0,5)B ，设BC 解析式为y mx n =+，将(0,5)B ，(3,4)C -代入得：543n m n =⎧⎨-=+⎩，解得35m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 解析式为35y x =-+，令0y =，得53x =， ∴F 5(,0)3， ∴103AF OA OF =-=， ∵(0,5)B ，(5,0)A ，∴5OA OB ==，AB =∠BAO ＝45°，∴cos 45AE AF EF =⋅︒==，∴3BE AB AE =-=，∴3BF ==，∴sin EF ABC BF ∠=== （3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，设(3,)D m ， 则平移后的新抛物线的表达式为2(3)y x m =-+，且(44CD m m --=)=+，AD =AC ==AB =BC =若△DCA 与△ABC 相似，只需三边对应成比例，但AC 对应边不能是AC ， 故分三种情况：①若△ABC ∽△DCA ，如图所示：AB BC ACDC CA AD==，即+4m==解得：23m=-，∴(3,)D m，∴平移后的新抛物线的表达式为：22225(3)633y x x x=--=-+，②若△ABC∽△DAC，则AB AC BCAD CD AC==4m==+③若△ABC∽△ACD，如图所示：AB AC BCAC AD CD ==4m ==+， 解得2m =，∴(3,2)D ，∴平移后的新抛物线的表达式22(3)2611y x x x =-+=-+；综上所述，△DCA 与△ABC 相似，平移后的新抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．【点睛】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．25．（1）见解析；（2）y ＝2x，x 范围是0＜x ≤2；；（3 【分析】（1）连接CP ，证明△ACP ∽△ADO 相似即可得到答案；（2）用x 的代数式表示AC ，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；（3）半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，利用x 的代数式表示EG 和BG 再列方程可得答案．【详解】解：（1）连接CP ，如图：∵AP ＝CP ，AO ＝DO ，∴∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴△ACP ∽△ADO ， ∴=CP AC OD AD， ∴AD •CP ＝OD •AC ，∴AD •AP ＝OD •AC ；（2）∵半圆O 的直径AB ＝4，∴AO ＝2，∵半圆P 的半径为x ，∴OP ＝2﹣x ，∵CO ⊥AB ，∴∠COP ＝90°，∴CO 2＝CP 2﹣OP 2＝x 2﹣（2﹣x ）2＝4x ﹣4，Rt △AOC 中，AC ＝∵∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴CP ∥DO ， ∴=AC AP CD OP， 又线段CD 的长为y ，∴2x y x=-，变形得：y =x 范围是0＜x ≤2； （3）设半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，如图：设半圆P 的半径为x ，由（2）知AC ＝∵CO ⊥AB ，∴BC ＝AC ＝，∵CP ∥DO ， ∴=BEOBBC PB ，而OB ＝2，PB ＝4﹣x ，24x =-，∴BE＝4x -，∵点E 在半圆P 上，∴∠EGB ＝∠ACB ，且∠B ＝∠B ，∴△CAB ∽△GEB ， ∴==EGBEBGAC AB BC ，∴44x -=，∴EG ＝24xx -，∵AC ＝BC ，∴EG ＝BG ，而BG ＝AB ﹣AG ＝4﹣2x ， ∴24xx -＝4﹣2x ，解得x =x =（大于2，舍去），∴半圆P 的半径为72x -=． 【点睛】本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．。
【最新】上海市2022-2021年高考二模数学试卷(理)含答案
上海市2022-2021年高考模拟考试数学试卷（理科）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m =．2．计算：131lim 32n n nn +→∞+=+． 3．函数3()1f x x =的反函数1()f x -=． 4．函数2()(sin cos )f x x x =-的最小正周期为．5．在极坐标系中，直线(cos 2sin )1ρθθ+=与直线sin 1ρθ=的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．6．已知菱形ABCD ，若||1AB =，3A π=，则向量AC 在AB 上的投影为． 7．已知一个凸多面体的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =．8．已知函数32()lg(1)f x x x x =++，若()f x 的定义域中的a 、b 满足f (-a )+f (-b )-3=f (a )+f (b )+3，则()()f a f b +=．9．在代数式5221(425)1x x x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数等于．10．若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则该椭圆的短轴长为．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各3个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码第7题1、2和3，现任取出3个，它们的颜色与号码均不相同的概率是（结果用最简分数表示）． 12．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望73E ξ=，则a b +=． 13．正整数a 、b 满足1a b <<，若关于x 、y 的方程组24033,|1|||||y x y x x a x b =-+⎧⎨=-+-+-⎩有且只有一组解，则a 的最大值为．14．数列{}n a 中，若10a =，2i a k =（*i ∈N ，122k k i +<≤，1,2,3,k =），则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的[答] ( )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．复数i1im z +=-（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上的点不可能位于[答] ( )． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC [答] ( )． A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形18．若函数()lg[sin()sin(2)sin(3)sin(4)]f x x x x x =π⋅π⋅π⋅π的定义域与区间[0,1]的交集由n 个开区间组成，则n 的值为[答] ( )．A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管．考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分细钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60︒．若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳子的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）．20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数．（1）若24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 10，求a 、b 的值．（2）若1a =，6x π=是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()3f x =0[0,2]x ∈π．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知函数2()1x x f x a x -=++，其中1a >． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（2）证明：不存在负实数0x 使得0()0f x =．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．ABC PO已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中*n ∈N ，1k 、2k ∈Z ． （1）试写出一组1k 、2k 的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数． （2）若11k =，*2k ∈N ，数列{}n b 满足nn a b n=，且对任意的*m ∈N （3m ≠），均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值．（3）若12k k <，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <）的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求1k 、2k 的最小值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于双曲线(,)a b C ：22221x y a b -=（,0a b >），若点00(,)P x y 满足2200221x y a b-<，则称P 在(,)a b C 的外部；若点00(,)P x y 满足2200221x y a b->，则称P 在(,)a b C 的内部．（1）若直线1y kx =+上点都在(1,1)C 的外部，求k 的取值范围．（2）若(,)a b C 过点(2,1)，圆222x y r +=（0r >）在(,)a b C 内部及(,)a b C 上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围．（3）若曲线2||1xy mx =+（0m >）上的点都在(,)a b C 的外部，求m 的取值范围．数学试卷（文理）参考答案一、填空题(本大题满分56分)1．1 2．13．3(1)x -，x ∈R 4．π 5．25 6．327．33 8．3- 9．（理）15（文）123n - 10．（理）103（文）1511．（理）114（文）103．（理）16（文）213．（理）2016（文）11414．（理）128（文）2016二、选择题(本大题满分20分)15．B 16．D17．C 18．C 三、解答题(本大题满分74分) 19．(本题满分12分)[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =（4分） 在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分） 三根细钢管的总长度3163.25sin60h≈︒厘米．（12分） 20．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分． [解]（1）因为22()sin cos )f x a x b x a b x θ=+++（其中22sin a bθ=+，22cos a bθ=+），所以()f x 22a b + 2210a b +（2分）及2224f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（4分）解得1a =-，3b =或3a =，1b =-．（6分）（2）易知，当x π=21b +21b -+ 于是213162f b π⎛⎫=+=±+ ⎪⎝⎭3b =（8分）于是()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，（10分）当()3f x =2x k =π或23x k π=π+（k ∈Z ）．（12分）因为0[0,2]x ∈π，故所求0x 的值为0，3π，2π．（13分）21．(本题满分13分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．[证明]（1）任取121x x -<<，1212121222()()11x x x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212121212223()()()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ⎛⎫---=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭．（3分） 因为121x x -<<，1a >，所以12x x a a <，110x +>，210x +>，120x x -<，于是120x x a a -<，12123()0(1)(1)x x x x -<++，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 因此，函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．（6分）（2）（反证法）若存在负实数0x （01x ≠-），使得0()0f x =，即方程201x x a x -+=+有负实数根．（8分）对于21x x a x -=-+，当00x <且01x ≠-时，因为1a >，所以0110,,1x a a a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（10分）而000231(,1)(2,)11x x x --=-+∈-∞-+∞++．（13分） 因此，不存在负实数0x 使得21x x a x -=-+，得证． 22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）2,0,||0,0.n n n n n n a a c a a a >⎧=+=⎨⎩≤其中2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且12k k <．当120k k <≤时，{}n a 各项均为正数，且单调递增，2n n c a =，也单调递增，不合题意；当120k k <≤时，222,,0,.n n a n k c n k >⎧=⎨⎩≤不合题意；（12分）于是，有120k k <<，此时12122,,0,.n n a n k or n k c k n k <>⎧=⎨⎩≤≤（14分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉． 于是由212121222()()2[()]n n c a n k n k n k k n k k ==--=-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<，此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分） 又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等， 不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分） （文）[解]（1）设直线310x y -+=上点的坐标为00(,31)x x +，代入22x y -，得2222200031(31)8()88x y x x x -=-+=--+，（2分） 对于x ∈R ，22118x y -<≤，因此，直线31y x =+上的点都在(1,1)C 的外部．（4分）（2）设点N 的坐标为00(,)x y ，由题设22001x y -≥．（6分） 2200||(1)MN x y =++22001x y +≥，得22200013||1(1)2()22MN y y y +++=++≥，（8分）对于0y ∈R 201362()22y ++6||MN ≥，（10分）因此，||MN 6（3）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22,22r r ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（12分） 将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（13分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（15分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（17分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（18分） 23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（理）[解]（1）由题意，直线1y kx =+上点00(,1)x kx +满足221x y -<，即求不等式2200(1)1x kx -+<的解为一切实数时k 的取值范围．（1分） 对于不等式220(1)220k x kx ---<，当1k =±时，不等式的解集不为一切实数，（2分）于是有22210,48(1)0,k k k ⎧-<⎪⎨∆=+-<⎪⎩解得||2k 故k 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．（4分）（2）因为圆222x y r +=和双曲线(,)a b C 均关于坐标轴和原点对称，所以只需考虑这两个曲线在第一象限及x 、y 轴正半轴的情况．由题设，圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧，它们交点的坐标为22r r ⎝⎭．将2r x ，2ry =代入双曲线(,)a b C 方程，得2222122r r a b -=（*），（6分）又因为(,)a b C 过点(2,1)，所以22411a b-=，（7分）将22241b a b =+代入（*）式，得22283b r b =-．（9分）由222308r b r =>-，解得28r >．因此，r 的取值范围为(22,)+∞．（10分） （3）由2||1xy mx =+，得1||||||y m x x =+．将1||||||y m x x =+代入22221x y a b -<，由题设，不等式22221||||1m x x x a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<对任意非零实数x 均成立．（12分） 其中22222222222221||||1[()2]m x x x a b a m x a m a b a b x⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=---． 令2x t =，设22222()()2af t b a m t a m t=---，（0t >）． 当2220b a m ->时，函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，()1f t <不恒成立；（14分） 当2220b a m -<时，22222222()2()a b a m t a m b a t----≤，函数()f t 的最大值为222222()2a m b a a m --，因为0m >222222()201a m b a a m---<<；（16分）当2220b a m -=时，22()201a f t a m t =--<<．（17分）综上，2220b a m -≤，解得b m a ≥．因此，m 的取值范围为,b a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（18分）（文） [解]（1）11k =-、22k =-（答案不唯一）．（4分）（2）由题设，22(1)n n a kb n k n n==+-+．（6分） 当21k =，2时，2()kf n n n =+均单调递增，不合题意，因此，23k ≥．当23k ≥时，对于2()kf n n n=+，当2n k ()f n 单调递减；当2n k ()f n 单调递增．由题设，有123b b b >>，34b b <<．（8分）于是由23b b >及43b b >，可解得2612k <<． 因此，2k 的值为7，8，9，10，11．（10分）（3）因为2121212()()()n a n k n k n k k n k k =--=-++，且120k k <<，所以12122,,||0,.n n n n a n k or n k c a a k n k <>⎧=+=⎨⎩≤≤（12分）因为0i j c c =≠（i 、*j ∈N ，i j <），所以i 、12(,)j k k ∉．（14分）于是由212122[()]n c n k k n k k =-++，可得1222k k i j++=，进一步得120i k k j <<<<， 此时，i 的四个值为1，2，3，4，因此，1k 的最小值为5．（16分）又1S 、2S 、…、n S 中有至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，不妨设+1+2==m m m S S S =，于是有+1+2==0m m c c =，因为当12k n k ≤≤时，0n c =，所以12512k m m k =+<+<≤≤， 因此，26k ≥，即2k 的最小值为6．（18分）。
2021年上海市静安区中考数学二模试卷有答案
2021年上海市静安区中考数学二模试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列二次根式中，是最简二次根式的为（）A.√3aB.√a3C.√27aD.√a32. 一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（）A.864×102B.86.4×103C.8.64×104D.0.864×1053. 如果关于x的方程x2+2x+m=0有实数根，那么m的取值范围是( )A.m<1B.m≤1C.m>1D.m≥14. 体育课上，甲同学练习双手头上前掷实心球，测得他5次投掷的成绩为：8，8.5，9.2，8.5，8.8（单位：米），那么这组数据的平均数、中位数分别是（）A.8.5，8.6B.8.5，8.5C.8.6，9.2D.8.6，8.55. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（）A.AO＝COB.AO＝BOC.∠AOB＝∠BOCD.∠BAD＝∠ABC6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A.∠ACB ＝∠AEDB.∠BAD ＝∠CAEC.∠ADE ＝∠ACED.∠DAC ＝∠CDE7. 计算：a 11÷a 7＝________．8. 因式分解：x 2−9=________．9. 不等式组{3x +2>x,x −1<0的解集是________．10. 方程√x −4⋅√x +2=0的根为________．11. 如果反比例函数y =k x (k 是常数，k ≠0)的图象经过点(−5, −1)，那么在这个函数图象所在的每个象限内，y 的值随x 的值增大而________（填“增大”或“减小”）．12. 在四张完全相同的卡片上，分别画有：正三角形、正八边形、圆和矩形．如果从中任意抽取1张卡片，那么这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________．13. 为了解某区24000名初中生平均每天的体锻时间，随机调查了该区300名初中生．如图是根据调查结果绘制成的频数分布直方图（每小组数据含最小值，不含最大值），由此可估计该区初中生平均每天的体锻时间不少于1.5小时的人数大约为________人．14. 运输两批救援物资：第一批220吨，用4节火车皮和5辆货车正好装完；第二批158吨，用3节火车皮和2辆货车正好装完．如果每节火车皮的运载量相同，每辆货车的运载量相同，那么一节火车皮和一辆货车共装救援物资________吨．15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，AB ＝4AD ，设AB →=a →，AC →=b →，那么向量DC →用向量a →、b →表示为________．16. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，∠CEA ＝30∘，OF ⊥CD ，垂足为点F ，DE ＝5，OF ＝1，那么CD ＝________．17. 已知矩形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝6，BC ＝8，分别以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是________．18. 如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，∠A ＝90∘，DC ＝AD ，∠B 是锐角，cot B =512，AB ＝17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为________．19. 计算：(√2−1)2+(12)−2+√2+1−812． 20. 解方程：1x+1+2x 2−1=1．21. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，BC ＝12，cos B =23，D 、E 分别是AB 、BC 边上的中点，AE 与CD 相交于点G ．（1）求CG的长；（2）求tan∠BAE的值．22. 疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系；B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域）（2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．23. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．（1）求证：BG＝GF；（2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH⋅BH．x2+bx+c（其中b、c是常24. 在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=−12数）经过点A(−2, −2)与点B(0, 4)，顶点为M．（1）求该抛物线的表达式与点M的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y轴交于点C（点C在点B的下方），且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l经过点A，直线l与x轴交于点D．①求点A随抛物线平移后的对应点坐标；②点E、G在新抛物线上，且关于直线l对称，如果正方形DEFG的顶点F在第二象限内，求点F的坐标．25. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝15，sin∠BAC=4．点D在边AB上（不与点A、5B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；̂的中点，求∠DFA的余切值；（2）如果点E是DG（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．参考答案与试题解析2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1.【答案】A【考点】最简二次根式【解析】根据最简二次根式的概念进行分析即可．【解答】A、√3a是最简二次根式，故此选项符合题意；B、√a3=a√a，故√a3不是最简二次根式，故此选项不符合题意；C、√27a=3√3a，故√27a不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D、√a3=√3a3，故√a3不是最简二次根式，故此选项不符合题意；2.【答案】C【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．【解答】86400＝8.64×104．3.【答案】B【考点】根的判别式【解析】由关于x的方程x2+2x+m＝0有实数根知△＝b2−4ac≥0，据此求解可得．【解答】解：根据题意得：Δ=22−4m≥0，解得m≤1.故选B.4.【答案】D【考点】算术平均数中位数【解析】直接根据平均数和中位数的概念求解可得．【解答】×(8+8.5+9.2+8.5+8.8)＝8.6，这组数据的平均数为15将数据重新排列为8、8.5、8.5、8.8、9.2，所以这组数据的中位数为8.5，5.【答案】C【考点】平行四边形的性质菱形的性质菱形的判定【解析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．【解答】选项A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；选项B，由▱ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以证明▱ABCD为矩形，但不能判定▱ABCD为菱形，故B不符合题意；选项C，当∠AOB＝∠BOC时，由于∠AOB+∠BOC＝180∘，故∠AOB＝∠BOC＝90∘，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；选项D，由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC＝180∘，故当∠BAD＝∠ABC时，∠BAD＝∠ABC＝90∘，从而可判定▱ABCD为矩形，故D不符合题意．综上，只有选项C可以判定▱ABCD是菱形．6.【答案】D【考点】旋转的性质【解析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形外角性质得∠BAD＝∠CAE，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到∠B＝∠ACE，则∠ADE＝∠ACE，于是可对C选项进行判断；先判断∠EDC＝∠BAD，而∠BAD不能确定等于∠DAC，则可对D选项进行判断．【解答】∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ACB＝∠AED，所以A选项的结论正确；∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，所以B选项的结论正确；∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠B＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，所以C选项的结论正确；∵∠ADC＝∠B+∠BAD，而∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD，而AD不能确定平分∠BAC，∴∠BAD不能确定等于∠DAC，∴∠EDC不能确定等于∠DAC，所以D选项的结论错误．二、填空题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）7.【答案】a4【考点】同底数幂的除法【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】a11÷a7＝a4．8.【答案】(x+3)(x−3)【考点】因式分解-运用公式法【解析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=(x+3)(x−3).故答案为：(x+3)(x−3).9.【答案】−1<x<1【考点】解一元一次不等式组【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解不等式3x+2>x，得：x>−1，解不等式x−1<0，得：x<1，则不等式组的解集为−1<x<1，10.【答案】x＝4【考点】无理方程【解析】利用有理数积的乘法得到x−4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．【解答】根据题意得x−4＝0或x+2＝0，解得x＝4或x＝−2，经检验x＝4为原方程的解．11.【答案】减小【考点】反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数的性质【解析】利用待定系数法求出k＝5，再根据k值的正负确定函数值的增减性．【解答】(k是常数，k≠0)的图象经过点(−5, −1)，反比例函数y=kx所以k＝−5×(−1)＝5>0，所以这个函数图象所在的每个象限内，y的值随自变量x值的增大而减小．12.【答案】34【考点】概率公式轴对称图形中心对称图形【解析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的定义得出符合题意的图形个数，进而得出概率．【解答】正三角形、正八边形、圆和矩形中既是轴对称图形又是中心对称图形是正八边形、圆和矩形．．故这张卡片上所画图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是：3413.【答案】4800【考点】用样本估计总体频数（率）分布直方图【解析】用总人数乘以样本中每天的体锻时间不少于1.5小时的人数占被调查人数的比例即可得．【解答】估计该区初中生平均每天的体锻时间不少于1.5小时的人数大约为24000×300−20−100−120300=4800（人），14.【答案】54【考点】二元一次方程组的应用——行程问题二元一次方程的应用二元一次方程组的应用——其他问题一元一次方程的应用——工程进度问题一元一次方程的应用——其他问题【解析】设一节火车皮装救援物资x 吨，一辆货车装救援物资y 吨，由题意得等量关系：4节火车皮运载量+5辆货车运载量＝220吨，3节火车皮运载量+2辆货车运载量＝158吨，根据等量关系列出方程组，再解即可．【解答】设一节火车皮装救援物资x 吨，一辆货车装救援物资y 吨，由题意得：{4x +5y =2203x +2y =158， 解得：{x =50y =4， 则一节火车皮和一辆货车共装救援物资：50+4＝54（吨），15.【答案】−14a →+b → 【考点】*平面向量【解析】利用三角形法则：DC →=DA →+AC →求解即可．【解答】∵ AB ＝4AD ，∴ AD =14AB ， ∴ AD →=14AB →，∵ DC →=DA →+AC →，∴ DC →=−14a →+b →，16.【答案】10−2√3【考点】垂径定理勾股定理【解析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．【解答】∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，根据垂径定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30∘，∴∠OEF＝30∘，∴OE＝2，EF=√3，∴DF＝DE−EF＝5−√3，∴CD＝2DF＝10−2√3．17.【答案】8<r<9【考点】矩形的性质圆与圆的位置关系【解析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案．【解答】设⊙O的半径为r1，⊙D半径为r，由⊙O与直线AD相交、与直线CD相离可知：3<r1<4，由题意可知：r>r1，否则⊙D与⊙O不能内切，∵OD=1AC＝5，2∴圆心距d＝5，∴d＝r−r1，∴r＝5+r1，∴8<r<9，18.【答案】42【考点】解直角三角形直角梯形【解析】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，证明四边形ADCH为矩形，得到AD＝CH＝12a，根据题意求出a，根据勾股定理求出BC，根据“等分周长线”计算，得到答案．【解答】作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B=5，12∴BHCH =512，∴CH＝12a，∵AB // CD，∴∠D＝∠A＝90∘，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC=√CH2+BH2=13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13−27＝3，∴EH＝12−3＝9，由勾股定理得，EC=√CH2+EH2=15，∴△BCE的周长＝14+13+15＝42，三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）19.【答案】原式=(3−2√2)+4+(√2−1)−2√2＝3−2√2+4+√2−1−2√2=6−3√2．【考点】负整数指数幂分数指数幂【解析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】原式=(3−2√2)+4+(√2−1)−2√2＝3−2√2+4+√2−1−2√2=6−3√2．20.【答案】去分母得：x−1+2＝x2−1，整理得：x2−x−2＝0，解得x1＝−1，x2＝2，经检验：x1＝−1是增根，舍去；x2＝2是原方程的根，∴原方程的根是x＝2．【考点】解分式方程【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】去分母得：x−1+2＝x2−1，整理得：x2−x−2＝0，解得x1＝−1，x2＝2，经检验：x1＝−1是增根，舍去；x2＝2是原方程的根，∴原方程的根是x＝2．21.【答案】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，BC＝12，cos B=23，∴AB=BCcos B =1223=18，∵D是斜边AB上的中点，∴CD=12AB=9，又∵点E是BC边上的中点，∴点G是△ABC的重心，∴CG=23CD=23×9=6；∵点E是BC边上的中点，∴CE=BE=12BC=6，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵在Rt△BEF中，cos B=23，BF＝BE⋅cos B=6×23=4，∴EF=√BE2−BF2=√62−42=2√5，∵AF＝AB−BF＝18−4＝14，∴tan∠BAE=EFAF =2√514=√57．【考点】解直角三角形直角三角形斜边上的中线【解析】（1）根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，BC＝12，cos B=23，可以求得AB的长，然后根据点D为AB的中点，可以得到C的长，再根据点G是△ABC中点的交点，可以得到CG =23CD ，从而可以求得CG 的长；（2）作EF ⊥AB 于点G ，然后根据题意，可以求得EF 和AF 的长，从而可以得到tan ∠BAE 的值． 【解答】∵ 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90∘，BC ＝12，cos B =23， ∴ AB =BC cos B=1223=18，∵ D 是斜边AB 上的中点， ∴ CD =12AB =9， 又∵ 点E 是BC 边上的中点， ∴ 点G 是△ABC 的重心， ∴ CG =23CD =23×9=6；∵ 点E 是BC 边上的中点， ∴ CE =BE =12BC =6， 过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， ∵ 在Rt △BEF 中，cos B =23， BF ＝BE ⋅cos B =6×23=4，∴ EF =√BE 2−BF 2=√62−42=2√5， ∵ AF ＝AB −BF ＝18−4＝14， ∴ tan ∠BAE =EFAF =2√514=√57．22.【答案】设一次函数的解析式为y ＝kx +b(k 、b 为常数，k ≠0)， 由一次函数的图象可知，其经过点(0, 0.8)、(10, 20.3)， 代入得{0+b =0.810k +b =20.3 ，解得{k =1.95b =0.8，∴ 这个一次函数的解析式为y ＝1.95x +0.8．如果在A 公司购买，所需的费用为：y ＝1.95×40+0.8＝78.8万元； 如果在B 公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40−30)＝79万元； ∵ 78.8<79，∴ 在A 公司购买费用较少．【考点】一次函数的应用 【解析】（1）运用待定系数法解答即可；（2）把x ＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可． 【解答】设一次函数的解析式为y ＝kx +b(k 、b 为常数，k ≠0)， 由一次函数的图象可知，其经过点(0, 0.8)、(10, 20.3)， 代入得{0+b =0.810k +b =20.3 ，解得{k =1.95b =0.8，∴ 这个一次函数的解析式为y ＝1.95x +0.8．如果在A 公司购买，所需的费用为：y ＝1.95×40+0.8＝78.8万元； 如果在B 公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40−30)＝79万元； ∵ 78.8<79，∴ 在A 公司购买费用较少． 23.【答案】∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝CD ，AB // CD ， ∵ AB ＝AE ， ∴ AE ＝CD ，∴ 四边形ACDE 是平行四边形， ∴ AC // DE ， ∴BG GF=AB AE=1，∴ BG ＝GF ； ∵ AB ＝AE ， ∴ BE ＝2AE ， ∵ AC ＝2AB ， ∴ BE ＝AC ，∵ 四边形ACDE 是平行四边形， ∴ AC ＝DE ， ∴ DE ＝BE ，∵ 点F 是DE 的中点， ∴ DE ＝2EF ， ∴ AE ＝EF ，∵ DE ＝BE ，∠E ＝∠E ，AE ＝EF ， ∴ △BEF ≅△DEA(SAS)， ∴ ∠EBF ＝∠EDA ， ∵ AC // DE ，∴ ∠GAH ＝∠EDA ． ∴ ∠EBF ＝∠GAH ． ∵ ∠AHG ＝∠BHA ， ∴ △AHG ∽△BHA ，∴AHBH =GHAH．∴AH2＝GH⋅BH．【考点】平行四边形的性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝AE，AB // CD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得BGGF =ABAE=1，可得结论；（2）由“SAS”可证△BEF≅△DEA，可得∠EBF＝∠EDA，通过证明△AHG∽△BHA，可得结论．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB // CD，∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACDE是平行四边形，∴AC // DE，∴BGGF =ABAE=1，∴BG＝GF；∵AB＝AE，∴BE＝2AE，∵AC＝2AB，∴BE＝AC，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC＝DE，∴DE＝BE，∵点F是DE的中点，∴DE＝2EF，∴AE＝EF，∵DE＝BE，∠E＝∠E，AE＝EF，∴△BEF≅△DEA(SAS)，∴∠EBF＝∠EDA，∵AC // DE，∴∠GAH＝∠EDA．∴∠EBF＝∠GAH．∵∠AHG＝∠BHA，∴△AHG∽△BHA，∴AHBH =GHAH．∴AH2＝GH⋅BH．24.【答案】将A(−2, −2)、B(0, 4)代入y =−12x 2+bx +c 中，{−12×(−2)2−2b +c =−2,0+0+c =4.解得{b =2,c =4.∴ 该抛物线的表达式为：y =−12x 2+2x +4； ∵ y =−12x 2+2x +4=−12(x −2)2+6，∴ 顶点M 的坐标是：(2, 6)；①∵ 平移后抛物线的对称轴经过点A(−2, −2)， ∴ 可设平移后的抛物线表达式为：y =−12(x +2)2+k ，∴ C(0, −2+k)．∴ S △BCM =12BC ⋅2=12[4−(−2+k)]⋅2=3，解得，k ＝3．∴ y =−12(x +2)2+3，即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线． ∴ 点A 对应点的坐标为(−6, −5)；②设EG 与DF 的交点为H ，在正方形DEFG 中，EG ⊥DF ，EG ＝DF ＝2EH ＝2DH ． ∵ 点E 、G 是这条抛物线上的一对对称点， ∴ EG // x 轴． ∴ DF ⊥x 轴， 设F(−2, 2a)．∵ 点F 在第二象限内， ∴ a >0．∴ EG ＝DF ＝2EH ＝2DH ＝2a ．不妨设点E 在点G 的右侧，那么E(−2+a, a)． 将点E 代入y =−12(x +2)2+3，得−12a 2+3=a ，解得，a 1=√7−1，a 2=−√7−1（不合题意，舍去）． ∴ F(−2, 2√7−2)． 【考点】待定系数法求二次函数解析式 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与几何变换 正方形的性质 二次函数的性质 【解析】（1）根据抛物线y =−12x 2+bx +c （其中b 、c 是常数）经过点A(−2, −2)与点B(0, 4)，从而可以求得抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点M 的坐标；（2）①根据题意，可以求得平移后新抛物线的解析式，从而可以得到点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②根据题意和正方形的性质，可以求得点F 的坐标． 【解答】将A(−2, −2)、B(0, 4)代入y =−12x 2+bx +c 中， {−12×(−2)2−2b +c =−2,0+0+c =4.解得{b =2,c =4.∴ 该抛物线的表达式为：y =−12x 2+2x +4；∵ y =−12x 2+2x +4=−12(x −2)2+6， ∴ 顶点M 的坐标是：(2, 6)；①∵ 平移后抛物线的对称轴经过点A(−2, −2)， ∴ 可设平移后的抛物线表达式为：y =−12(x +2)2+k ， ∴ C(0, −2+k)．∴ S △BCM =12BC ⋅2=12[4−(−2+k)]⋅2=3， 解得，k ＝3．∴ y =−12(x +2)2+3，即原抛物线向左平移4个单位，向下平移3个单位可以得到新的抛物线． ∴ 点A 对应点的坐标为(−6, −5)；②设EG 与DF 的交点为H ，在正方形DEFG 中，EG ⊥DF ，EG ＝DF ＝2EH ＝2DH ． ∵ 点E 、G 是这条抛物线上的一对对称点， ∴ EG // x 轴． ∴ DF ⊥x 轴， 设F(−2, 2a)．∵ 点F 在第二象限内， ∴ a >0．∴ EG ＝DF ＝2EH ＝2DH ＝2a ．不妨设点E 在点G 的右侧，那么E(−2+a, a)． 将点E 代入y =−12(x +2)2+3，得−12a 2+3=a ，解得，a 1=√7−1，a 2=−√7−1（不合题意，舍去）． ∴ F(−2, 2√7−2)． 25. 【答案】 如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H．在Rt△AEH中，DH=AD⋅sin∠BAC=45x，AH=√AD2−DH2=35x．在⊙A中，AE＝AD＝x，∴EH=AE−AD=x−35x=25x，∴DE=√EH2+DH2=2√55x；∵sin∠BAC=BCAB =45，∴可设BC＝4k(k>0)，AB＝5k，则AC=√AB2−BC2=3k．∵AC＝15，∴3k＝15，∴k＝5．∴BC＝20，AB＝25．∵点E是DĜ的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，∴∠FAC＝∠BAC．∵∠FCA＝∠BCA＝90∘，AC＝AC，∴△FCA≅△BCA(ASA)，∴FC＝BC＝20．∵tan∠AED=DHEH =45x25x=2，又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，∴tan∠FEC＝2．∴EC=FCtan∠FEC =202=10．∴AE＝AC−EC＝20−10＝5．过点A作AM⊥DE，垂足为M，则EM=12ED=12×2√55×5=√5．∵sin∠AED=DHED =45x2√55x=2√55，∴AM=AE⋅sin∠AED=2√55×5=2√5．在Rt △EFC 中，EF =√EC 2+FC 2=10√5． ∴ 在Rt △AFM 中，cot ∠AFD =FM AM=FE+EM AM=√5+√525=112．答：∠DFA 的余切值为112；当点E 在AC 上时，只有可能∠FAD ＝90∘． ∵ FC ＝CE ⋅tan ∠FEC ＝2(15−x)， ∴ EF =√EC 2+FC 2=√5(15−x)． ∴ FD =EF +ED =√5(15−x)+2√55x =15√5−3√55x ．∵ cos ∠AED =EHDH =√55， 又∵ ∠AED ＝∠ADE ，且∠AED 、∠ADE 都为锐角， ∴ cos ∠ADE =cos ∠AED =√55． ∴ cos ∠ADE =AD DF=15√5−3√55x=√55． ∴ AD ＝x =758．∴ DE =2√55x =2√55×758=15√54． 当点E 在AC 的延长线上时，只有可能∠AFD ＝90∘，此时∠AFC ＝∠AEF ． ∵ ∠AFC 、∠AEF 都为锐角， ∴ tan ∠AEF ＝tan ∠AFC ＝2． ∵ CE ＝AE −AC ＝x −15，∴ CF ＝CE ⋅tan ∠AEF ＝2(x −15)． ∴ tan ∠AFC =ACCF =152(x−15)=2． ∴ AD ＝x =754．∴ DE =2√55x =2√55×754=15√52． 综上所述，△AFD 为直角三角形时，DE 的长为15√54或15√52．【考点】圆的综合题 【解析】（1）过点D 作DH ⊥AC ，垂足为H ．根据锐角三角函数和勾股定理即可用x 的代数式表示DE 的长；（2）根据题意可设BC ＝4k(k >0)，AB ＝5k ，则AC =√AB 2−BC 2=3k ．过点A 作AM ⊥DE ，垂足为M ，再根据锐角三角函数和勾股定理即可表示∠DFA 的余切值； （3）分两种情况讨论：当点E 在AC 上时，只有可能∠FAD ＝90∘；当点E 在AC 的延长线上时，只有可能∠AFD ＝90∘，此时∠AFC ＝∠AEF ．根据锐角三角函数和勾股定理即可求DE 的长． 【解答】 如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H．在Rt△AEH中，DH=AD⋅sin∠BAC=45x，AH=√AD2−DH2=35x．在⊙A中，AE＝AD＝x，∴EH=AE−AD=x−35x=25x，∴DE=√EH2+DH2=2√55x；∵sin∠BAC=BCAB =45，∴可设BC＝4k(k>0)，AB＝5k，则AC=√AB2−BC2=3k．∵AC＝15，∴3k＝15，∴k＝5．∴BC＝20，AB＝25．∵点E是DĜ的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，∴∠FAC＝∠BAC．∵∠FCA＝∠BCA＝90∘，AC＝AC，∴△FCA≅△BCA(ASA)，∴FC＝BC＝20．∵tan∠AED=DHEH =45x25x=2，又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，∴tan∠FEC＝2．∴EC=FCtan∠FEC =202=10．∴AE＝AC−EC＝20−10＝5．过点A作AM⊥DE，垂足为M，则EM=12ED=12×2√55×5=√5．∵sin∠AED=DHED =45x2√55x=2√55，∴AM=AE⋅sin∠AED=2√55×5=2√5．在Rt △EFC 中，EF =√EC 2+FC 2=10√5．∴ 在Rt △AFM 中，cot ∠AFD =FM AM =FE+EM AM =√5+√525=112． 答：∠DFA 的余切值为112；当点E 在AC 上时，只有可能∠FAD ＝90∘．∵ FC ＝CE ⋅tan ∠FEC ＝2(15−x)，∴ EF =√EC 2+FC 2=√5(15−x)．∴ FD =EF +ED =√5(15−x)+2√55x =15√5−3√55x ． ∵ cos ∠AED =EH DH =√55， 又∵ ∠AED ＝∠ADE ，且∠AED 、∠ADE 都为锐角，∴ cos ∠ADE =cos ∠AED =√55． ∴ cos ∠ADE =AD DF =15√5−3√55x =√55． ∴ AD ＝x =758． ∴ DE =2√55x =2√55×758=15√54． 当点E 在AC 的延长线上时，只有可能∠AFD ＝90∘，此时∠AFC ＝∠AEF ． ∵ ∠AFC 、∠AEF 都为锐角，∴ tan ∠AEF ＝tan ∠AFC ＝2．∵ CE ＝AE −AC ＝x −15，∴ CF ＝CE ⋅tan ∠AEF ＝2(x −15)．∴ tan ∠AFC =AC CF =152(x−15)=2．∴ AD ＝x =754． ∴ DE =2√55x =2√55×754=15√52． 综上所述，△AFD 为直角三角形时，DE 的长为15√54或15√52．。
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)
2021年上海市静安区中考数学二模试卷(含解析)2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）1.下列计算正确的是（）A。
1-1=-1B。
1+1=2C。
(-1)-1=-2D。
(-1)×(-1)=12.如果关于x的方程x²-6x+m=0有实数根，那么m的取值范围是（）A。
m>9B。
m≥9C。
m<9D。
m≤93.一次函数y=3x-2的图象不经过的象限是（）A。
第一象限B。
第二象限C。
第三象限D。
第四象限4.对于等边三角形，下列说法正确的为（）A。
既是中心对称图形，又是轴对称图形B。
是轴对称图形，但不是中心对称图形C。
是中心对称图形，但不是轴对称图形D。
既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5.某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，2，2，3，4，3.那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（）A。
2.5与1.5B。
2与1.5C。
2.5与2D。
2与66.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离。
下列判断正确的是（）A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①、②都是真命题D。
①、②都是假命题二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）7.化简：|4-7|÷|3-6|=1/3.8.计算：x÷(x²-x)=1/(x-1)。
9.函数f(x)=√(x²-4x+3)的定义域为(-∞,1]∪[3,∞)。
10.如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小。
11.方程组2x-3y=7，3x+2y=1的解为x=-5，y=-9.12.从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是1/3.13.为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计。
上海市静安区2021年中考数学第二次模拟试卷及答案静安区数学
上海市静安区2021年中考数学第二次模拟试卷及答案静安区
数学
模拟试卷及答案
静安区“学业效能实证研究”学习质量调研
九年级数学学科 ____.4
（满分150分，100分钟完成）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1．下列运算正确的是
（A）( 1)0 1 （B）( 1)0 0 （C）( 1) 1 1 （D）( 1) 1 1 2．如果关于_的方程_2 4_ m 0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（A）m 4 （B）m 4 （C）m 4 （D）m 4 3．函数y
3
(_ 0)的图像位于 _
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4．下列统计量中，表示一组数据波动情况的量是
（A）平均数（B）中位数（C）众数（D）标准差 5．下列命题中，真命题是
（A）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（B）对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
（C）对角线互相平分且相等的四边形是菱形（D）对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
6．等边三角形绕它的一个顶点旋转90__186;后与原来的等边三角形组成一个新
的图形，那么这个新的图形
（A）是轴对称图形，但不是中心对称图形（B）是中心对称图形，但不是轴对称图形（C）既是轴对称图形，又是中心对称图形（D）既不是轴对称图形，又不是中心对称图形。
上海市静安区2021届新高考适应性测试卷数学试题(1)含解析
上海市静安区2021届新高考适应性测试卷数学试题（1）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。
【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为1445443643V V V=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=柱锥，故选B。
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。
求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。
2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（）A．219B．995C．4895D．519【答案】B 【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率2201089C 95P +==. 故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.3．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞ 【答案】A【解析】【分析】构造函数()()1g x f x =-，通过分析()g x 的单调性和对称性，求得不等式()(32)2f x f x +-≤的解集.【详解】构造函数()()()11111x x g x f x e x e --=-=-+-，()g x 是单调递增函数，且向左移动一个单位得到()()11x x h x g x e x e =+=-+， ()h x 的定义域为R ，且()()1x x h x e x h x e-=--=-， 所以()h x 为奇函数，图像关于原点对称，所以()g x 图像关于()1,0对称.不等式()(32)2f x f x +-≤等价于()()13210f x f x -+--≤，等价于()()320g x g x +-≤，注意到()10g =，结合()g x 图像关于()1,0对称和()g x 单调递增可知3221x x x +-≤⇒≥.所以不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是[)1,+∞.故选：A【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,10【答案】C【解析】【分析】 首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合.【详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-，1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =， 所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----，故{}1,2,3,4,5i ∈.故选：C.【点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.5．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）A ．6481B ．3227C ．89D ．1627【答案】B【解析】【分析】根据循环语句，输入1x =，执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入1x =，由题意执行循环结构程序框图，可得：第1次循环：23x =，24i =<，不满足判断条件； 第2次循环：89x =，34i =<，不满足判断条件； 第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果3227x =. 故选：B【点睛】本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.6．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A．⎣ B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]1,8 【答案】B【解析】【分析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得22xy +的取值范围. 【详解】由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而22x y +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时222245OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时2222228x y +=+=.所以22x y +的取值范围是4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 7．若复数z 满足3(1)1z z i +=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．1322-+ 【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则求出z ，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】 解：∵331z i zi -=， ∴1313213i z i+==--， 则132z =-， ∴1z z +=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．8．已知2cos(2019)3πα+=-，则sin(2)2πα-=（ ） A ．79 B ．59 C ．59- D ．79- 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式得cos(2019)cos παα+=-，sin(2)cos 22παα-=，再利用倍角公式，即可得答案. 【详解】 由2cos(2019)3πα+=-可得2cos()3πα+=-，∴2cos 3α=， ∴225sin(2)cos22cos 121299πααα-==-=⨯-=-. 故选：C.【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.9．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( )A ． 3B ． 2C ． 3或－3D ． 2和－2【答案】C【解析】【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±3故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．10．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围．【详解】画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，设，结合图形可得或，由题意得点A,B的坐标分别为，∴，∴或，∴的取值范围为．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．11．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】 解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证.【详解】解：22x a ≤，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立.当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.12．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2021年届高三数学下学期第二次质量调研测试(二模)试题.doc
上海市嘉定区2021届高三数学下学期第二次质量调研测试（二模）试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{2,4,6,8},{1,2,3}A B ==，则A B =∩______．2．线性方程组2538x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_________．3．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于_______． 4．在5(2)x -的二项展开式中，3x 项的系数为_______．5．若实数,x y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．6．已知球的主视图的面积是π，则该球的体积等于_________．7．设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为123,1,6n S a a a =+=，则6S =______． 8．已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=．若1(3)2f -=，则a =_____．9．设2,90z z ∈+=C ，则|4|z -=________．10．从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概率是_______（结果用数值表示）．11．设P 是双曲线2218y x -=的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与圆22(3)1x y -+=相交于A B 、两点，则PA PB ⋅的最小值是_________．12．在ABC 中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若222sin a b c A ++=，则A =______． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ）．A ．1y x=B ．2xy = C ．1||y x =- D ．lg ||y x = 15．如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）．A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n nS s t S -∈，则t s -的最小值为（ ）． A ．23 B ．94 C ．12 D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =，PD ⊥底面ABCD ．（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设常数a ∈R，函数2()2cos f x x a x =+．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若36f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工．据估计，若能动员()*x x ∈N户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92(0)50a x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元．（1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同．直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A B 、两点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =，求OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1, 2,nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）若18,2a m ==，求7S 的值； （2）若35,25m S ==，求1a 的值；（3）若11,a m =为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”．嘉定区2021第二学期高三年级质量检测卷检测（2021.5.19）一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1．解析：{2}．2．解析：125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭．3．解析：2124S ππ=⋅⋅=．4．解析：515()(2)r r r r T C x -+=-，故3x 的系数为225(2)40C -=．5．解析：max 213Z =+=．6．解析：3244133r S r r V ππππ==⇒=⇒==． 7．解析：由()6261126(0)26312q q q q S -+=>⇒=⇒==-．8．解析：1(3)2(2)332log 22a f f a -=⇒=⇒=+⇒=．9．解析：由2903z z i +=⇒=±，则|4||34|5z i -=±-=．10．解析：33438247C P C ⋅==． 11．解析：设圆心为(3,1)O ，并且直线过O ，则22222()()1213PA PB PO OA PO OB PO OA PO ⋅=+⋅+=-=-≥-=．12．解析：()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而222sin 2sin 1sin 16663bc A b c bc A A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥⇒+≥⇒+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．解析：|2|113x x -<⇒<<，故为必要非充分条件，此题选B ． 14．解析：D ．15．解析：P 到棱11A B 的距离即P 到1B 的距离．即点P 到定直线和定点距离相等（注意：点不在直线上）轨迹为抛物线，故此题选C ．16．解析：111313464636232n n n n n n n n n S a S S S S S S S ---⎛⎫⎛⎫=+⇒=+-⇒=-⇒-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即1311223n n S -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．若n 为奇数，3,22n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若n 为偶数，43,32n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．而13n n f S S =-是关于n S 的单调递增函数，并且41334f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11(2)2f =，故t s -最小值是11139244-=，故此题选B ．三、解答题（本大题共5题，共141414161876++++=分）17．解析：（1）易得四棱锥的高为4，所以体积为2134123V =⨯⨯=． （2）PBC ∠即为所求角，且55tan arctan 33PBC PBC ∠=⇒∠=．18．解析：（1）当()f x 为奇函数时，必有(0)00f a =⇒=．（2）233cos 3263624a f a a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2()22cos 2cos212sin 216f x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，由1()2sin 2226266f x x x k ππππ⎛⎫=⇒+=⇒+=+ ⎪⎝⎭或52266x k πππ+=+， x k π⇒=或()3x k k Z ππ=+∈，所以在区间[0,]π上的解为0,,3x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭． 19．解析：（1）(100)2(12%)200050x x x -⨯+≥⇒≤≤．（2）即92(100)2(12%)50x a x x x ⎛⎫-≤-⨯+ ⎪⎝⎭恒成立，其中050x ≤≤，即1004125xa x ≤++恒成立，又因为100411925x x ++≥=，当且仅当25x =时等号成立，所以max 9a =．20．解析：（1）2b c a ==⇒=22184x y +=． （2）:22l y x =-，将直线与椭圆联立得1614,99A ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,2)B -，故 1161416(2)02999ABCS=⨯--⨯=． （3）当直线斜率不为0时，设：:1l x my =+，(,0)M a ，()11,A x y ，()22,B x y ，将l 与椭圆联立得()222270my my ++-=，()()1212MA MB x a x a y y ⋅=--+()()()2222121222721(1)(1)1(1)(1)22mm y y a m y y a m a m a m m --=++-++-=+⋅+-⋅+-++ ()222282452m a a a m -+--=+，由于该式为定值，故()2211282454a a a a -=--⇒=，定值为716．当直线斜率为0时，A ，(B -，111174416MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 综上，定点11,04M ⎛⎫⎪⎝⎭，定值716．21．解析：（1）18a =，2m =，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故730S =． （2）设k 是整数．①若121a k =-，23242a k a k =+=+．则12355254a a a k k ++=+=⇒= 此时17a =．②若14a k =，22a k =，3a k =，则123725a a a k ++==，此时k 不存在．③若142a k =-，221a k =-，324a k =+，则12381253a a a k k ++=+=⇒=，此时110a =．故17a =或110a =．（3）充分性：若n a 为奇数，则1n n a a m m +=+>；必要性：先利用数学归纳法证：n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）． ①11a m =≤，212a m m =+≤，312ma m +=≤成立； ②假设n k =时，k a m ≤（k a 为奇数）；2k a m ≤（k a 为偶数）． ③当1n k =+时，当k a 是偶数，12kk a a m +=≤；当k a 是奇数，12k k a a m m +=+≤，此时1k a +是偶数． 综上，由数学归纳法得n a m ≤（n a 为奇数）；2n a m ≤（n a 为偶数）．从而若1n a m +>时，必有1n a +是偶数．进而若n a 是偶数，则122n n a a m +=>矛盾，故n a 只能为奇数．。
2021年上海市静安区中考数学二模试卷
2021年上海市静安区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列计算正确的是（）A．1﹣1＝﹣1B．10＝0C．（﹣1）﹣1＝1D．（﹣1）0＝1 2．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞9B．m≥9C．m＜9D．m≤93．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4分）对于等边三角形，下列说法正确的为（）A．既是中心对称图形，又是轴对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形C．是中心对称图形，但不是轴对称图形D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5．（4分）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0（）A．2.5与1.5B．2与1.5C．2.5与D．2与6．（4分）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）化简：||＝．8．（4分）计算：x÷（x2﹣x）＝．9．（4分）函数f（x）＝的定义域为．10．（4分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而．11．（4分）方程组的解为．12．（4分）从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数．13．（4分）为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值）．14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝2，AC＝，设＝，＝＝．（用向量、的式子表示）15．（4分）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是．16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，那么AE的长为．17．（4分）已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，那么折痕的长为．18．（4分）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝上．（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x 的增大而增大21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，BD 与AE、AC分别相交于点F、G．求：（1）AF的长；（2）AG的长．22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；（2）求∠ABC的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，点C在半圆P上，CO ⊥AB，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．2021年上海市静安区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列计算正确的是（）A．1﹣1＝﹣1B．10＝0C．（﹣1）﹣1＝1D．（﹣1）0＝1【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、1﹣1＝2，故此选项错误；B、10＝4，故此选项错误；C、（﹣1）﹣1＝﹣3，故此选项错误；D、（﹣1）0＝3，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．2．（4分）如果关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根，那么m的取值范围是（）A．m＞9B．m≥9C．m＜9D．m≤9【分析】由关于x的方程x2﹣6x+m＝0有实数根知△＝b2﹣4ac≥0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣6x+m＝5有实数根，∴△≥0，∴△＝（﹣6）4﹣4m≥0，∴m≤3，故选：D．【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．（4分）一次函数y＝3x﹣2的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣2中，k＝3＞0，∴此函数的图象经过一、三、四象限．故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．4．（4分）对于等边三角形，下列说法正确的为（）A．既是中心对称图形，又是轴对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形C．是中心对称图形，但不是轴对称图形D．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．【解答】解：等边三角形，是轴对称图形．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形以及中心对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．5．（4分）某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0（）A．2.5与1.5B．2与1.5C．2.5与D．2与【分析】将已知数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为0、0、4、2、3、3、3、3，所以这组数据的中位数为＝6.5＝7，则其方差为×[7×（0﹣2）5+2×（2﹣2）2+4×（3﹣2）2]＝7.5，故选：A．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、平均数及方差的定义．6．（4分）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【解答】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含；故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）化简：||＝．【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解．【解答】解：∵＜8∴||＝4﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．8．（4分）计算：x÷（x2﹣x）＝．【分析】先把除法运算写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：原式＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了利用分式的基本性质进行化简，对于分子或分母是多项式时，要先进行因式分解再约分．9．（4分）函数f（x）＝的定义域为x≠．【分析】函数的定义域，需要使函数有意义，即分母不为0，列出不等式，即可求出x 的取值范围．【解答】解：根据题意可得，3﹣2x≠3．故答案为：x≠．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，理解函数的自变量是使函数有意义的自变量的值是解题关键．10．（4分）如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y随x的增大而减小．【分析】画出大致图象即可得到答案；【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限x越大，y越小，故答案为：减小．【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是画出大致图象．11．（4分）方程组的解为．【分析】根据题意先对第一个式子因式分解，求出x+y的值，即可求解了．【解答】解：∵x2+y2＝（x+y）（x﹣y）．∴将x﹣y＝5代入．∴x+y＝3．∴．∴．故答案为：．【点评】本题考查高次方程的解法，运用了因式分解的知识，关键在于运用因式分解进行降次．12．（4分）从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数．【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，即12，21，31，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，21）有2个，∴在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被6整除的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．13．（4分）为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值）120人．【分析】求出九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数所占得百分比即可．【解答】解：300×（25%+15%）＝120（人），故答案为：120人．【点评】本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．14．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝2，AC＝，设＝，＝＝﹣．（用向量、的式子表示）【分析】根据＝+，求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴AC2＝AD•AB，∴（）2＝2•AB，∴AB＝3，∴BD＝5，∴BD＝AB，∴＝，∴＝+，∴＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（4分）如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3，那么⊙O2的半径r的取值范围是2＜r＜8．【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．【解答】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜4+r，即2＜r＜8．故答案为：3＜r＜8．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．16．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，矩形DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，如果DE＝5，那么AE的长为2．【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EF∥CD，EF＝DG，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD∥BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt△FGC中，tan C＝＝，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：8．【点评】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（4分）已知矩形纸片ABCD的边AB＝10，BC＝12（如图），将它折叠后，那么折痕的长为．【分析】方法一：先画出图形，构造相似三角形求出MF，再利用勾股定理求解．方法二：先根据勾股定理求出PD长，再证明△ADP∽△FEM，根据相似三角形的性质即可求出EF．【解答】解：方法一：如图，设折痕为EF，∵把矩形ABCD折叠，点D与AB中点P重合，∴EF垂直平分PD，∴∠EDP+∠DEF＝90°，∵∠DEF+∠MEF＝90°，∴∠EDP＝∠MEF，∵∠EMF＝90°，∠A＝90°，∴△ADP∽△FEM，∴．在矩形ABCD中，AB＝10，P为AB中点，∴AD＝12，AP＝5，∴，∴，在Rt△EMF中，．方法二：如图，设折痕为EF，则EM＝10，在矩形ABCD中，AB＝10，∴AP＝5，又∵∠A＝90°，AD＝12，∴PD＝13（勾股定理），由方法一得△ADP∽△FEM，∴，∴EF＝．故答案为：．【点评】本题考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．18．（4分）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为30°或20°或18°或．【分析】根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决．【解答】解：①设最小内角度数为n°，2倍角为2n°，∴n+2n+3n＝180，∴n＝30；②设最小内角度数为n°，2倍角为6n°，∴n+2n+6n＝180，∴n＝20．③设最小内角度数为n°，6倍角为3n°，∴n+3n+2n＝180，∴n＝18．④设最小内角度数为2n°，其余两个角为3n°和5n°，∴2n+3n+4n＝180，∴2n＝．故答案为：30°或20°或18°或．【点评】本题考查了n倍角三角形的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值：﹣﹣，其中x＝【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：﹣﹣＝＝＝＝＝，当x＝+1时＝＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．20．（10分）已知点A（2，m+3）在双曲线y＝上．（1）求此双曲线的表达式与点A的坐标；（2）如果点B（a，5﹣a）在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x 的增大而增大【分析】（1）把点A（2，m+3）代入y＝求得m，即可求出结果；（2）把点B（a，5﹣a）代入y＝求得a得到B点的坐标，由待定系数法求出一次函数解析式，根据题意舍去不合题意的解析式即可得到此一次函数的解析式．【解答】解：（1）∵点A（2，m+3）在双曲线y＝上，∴m+2＝，解得：m＝﹣6，∴m+8＝﹣3，∴此双曲线的表达式为y＝，点A的坐标为（7，﹣3）；（2）∵点B（a，5﹣a）在此双曲线y＝上，∴5﹣a＝，解得：a＝﹣4或a＝6，∴点B的坐标为（﹣1，7）或（6，由（1）知A（2，﹣6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，当B（﹣1，6）时，∵A（8，﹣3），6）时，B两点分别在第四，即直线AB经过第二，此时y随x的增大而减小，舍去；当B（6，﹣1）时，则，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x﹣4，∵k＞4，∴一次函数的函数值y随x的增大而增大，符合题意，∴此一次函数的解析式为y＝x﹣5．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，BD与AE、AC分别相交于点F、G．求：（1）AF的长；（2）AG的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E是BC的中点，证明AE∥DC，可得EF是△BCD的中位线，再根据条件证明△ADF是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AF＝CD＝2，EF＝1，BE＝1，所以AE＝3，根据勾股定理可得AB＝，所以AC＝AB＝，再证明△AFG≌△CDG，可得AG＝CG，进而可得结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AE⊥BC，∴点E是BC的中点，∴BE＝BC＝，∵DC⊥BC，∴AE∥DC，∵DC⊥BC，DC＝BC＝2，∴BD＝＝2，∵点E是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝DC＝2BD＝，∵∠CBD＝45°，∴∠AFD＝∠EFB＝45°，∵∠ADB＝90°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AD＝DF＝，∴AF＝＝2；（2）由（1）可知：AF＝CD＝2，EF＝6，∴AE＝AF+EF＝2+1＝4，∴AB＝＝＝，∴AC＝AB＝，∵AE∥CD，∴∠F AG＝∠DCG，在△AFG和△CDG中，，∴△AFG≌△CDG（AAS），∴AG＝CG，∴AG＝AC＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品【分析】设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，利用数量＝总价÷单价，结合从乙批发部购进的数量比从甲批发部购进数量多了40件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设乙批发部的这种商品每件x元，则甲批发部的这种商品每件（x+3）元，依题意得：﹣＝40，整理得：8x2﹣9x﹣180＝5，解得：x1＝12，x2＝﹣，经检验，x1＝12，x2＝﹣是原方程的解，x1＝12符合题意，x2＝﹣不合题意．答：乙批发部的这种商品每件12元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．【分析】（1）根据AAS证明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，进而可得四边形AFCD是平行四边形；（2）根据2AE2＝AD•BC，可得AE•AC＝AD•BC，所以＝，再证明△ADE∽△CAB，可得∠AED＝∠B＝90°，进而可得结论．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴ED＝EF，∵AE＝CE，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）证明：∵2AE2＝AD•BC，∴AE•AC＝AD•BC，∴＝，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∴△ADE∽△CAB，∴∠AED＝∠B＝90°，∴DF⊥AC，∴四边形AFCD是菱形．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定方法，全等三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质，菱形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y轴相交于点B，顶点为点C．（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；（2）求∠ABC的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，且△DCA与△ABC相似【分析】（1）将A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表达式，配方即得顶点坐标；（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；（3）设D坐标，用三边对应成比例列方程，求出D的坐标即可得出答案．【解答】解：（1）将A（5，0）代入y＝x6+bx+5得：0＝25+4b+5，解得b＝﹣6，∴抛物线表达式为y＝x6﹣6x+5，∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣8）2﹣4，∴顶点C的坐标为（5，﹣4）；（2）设BC与x轴交于F，过F作FE⊥AB于E抛物线y＝x2﹣6x+5与y轴交于B（0，7），设BC解析式为y＝mx+n，将B（0，5），﹣5）代入得：，解得，∴BC解析式为y＝﹣5x+5，令y＝0得x＝，∴F（，0），∴AF＝OA﹣OF＝，∵B（3，5），0），∴OA＝OB＝8，AB＝5，∴AE＝AF•cos45°＝＝EF，∴BE＝AB﹣AE＝，∴BF＝＝，∴sin∠ABC＝＝＝；（3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D，m）2+m，且CD＝m﹣（﹣4）＝m+5，AD＝＝2，BC＝5，若△DCA与△ABC相似，只需三边对应成比例，故分三种情况：①若△ABC∽△DCA，如图：，即，解得：m＝﹣，∴D（3，m），∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）3﹣＝x4﹣6x+，②若△ABC∽△DAC，则，即，无解，③若△ABC∽△ACD，如图：，即，解得m＝2，∴D（7，2），∴平移后的新抛物线的表达式y＝（x﹣3）8+2＝x2﹣2x+11；综上所述，△DCA与△ABC相似2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．【点评】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，难度较大，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P在线段OA上，点C在半圆P上，CO ⊥AB，OD与BC相交于点E．（1）求证：AD•AP＝OD•AC；（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x之间的函数解析式；（3）当点E在半圆P上时，求半圆P的半径．【分析】（1）连接CP，证明△ACP∽△ADO即可得到答案；（2）用x的代数式表示AC，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；（3）半圆P与AB交于G，连接EG，过E作EH⊥AB于H，利用x的代数式表示EG 和BG再列方程可得答案．【解答】解：（1）连接CP，如图：∵AP＝CP，AO＝DO，∴∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴△ACP∽△ADO，∴，∴AD•CP＝OD•AC，∴AD•AP＝OD•AC；（2）∵半圆O的直径AB＝4，∴AO＝2，∵半圆P的半径为x，∴OP＝5﹣x，∵CO⊥AB，∴∠COP＝90°，∴CO2＝CP2﹣OP4＝x2﹣（2﹣x）2＝4x﹣4，Rt△AOC中，AC＝，∵∠A＝∠ACP＝∠ADO，∴CP∥DO，∴，又线段CD的长为y，∴，变形得：y＝，当x≤2时过O的垂线与圆P无交点，x范围是1＜x＜2；（3）设半圆P与AB交于G，连接EG，如图：设半圆P的半径为x，由（2）知AC＝3，∵CO⊥AB，∴BC＝AC＝2，∵CP∥DO，∴，而OB＝2，PB＝7﹣x，∴，∴BE＝，∵点E在半圆P上，∴∠EGB＝∠ACB，且∠B＝∠B，∴△CAB∽△GEB，∴＝，∴，∴EG＝，∵AC＝BC，∴EG＝BG，而BG＝AB﹣AG＝4﹣2x，∴＝4﹣2x，解得x＝或（大于2，∴半圆P的半径为x＝．【点评】本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．。
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上海市静安区2021届新高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（ ） A ．86i - B ．86i +C ．86i -+D ．86i --【答案】B 【解析】分析：利用21i =-的恒等式，将分子、分母同时乘以i ，化简整理得1286z i z =+ 详解：2122686886z i i i i z i i --===+-- ，故选B 点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意21i =-符号的正、负问题.2．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.3．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】 【分析】先用公差d 表示出25,a a ，结合等比数列求出d . 【详解】252,24a d a d =+=+,因为125,,a a a 成等比数列，所以2(2)2(24)d d +=+，解得4d =.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．4【答案】D 【解析】 【分析】由76523a a a =+，可得3q =，由219m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值. 【详解】设等比数列公比为(0)q q >，由已知，525523a a q a q =+，即223q q =+，解得3q =或1q =-（舍），又219m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，即2233m n +-=，故4m n +=，所以1914m n +=1919()()(10)4n mm n m n m n++=++ 1(1044≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 5．设22(1)1z i i=+++（i 是虚数单位），则||z =（ ）A B ．1C ．2D 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数代数形式的四则运算法则求出z ，即可根据复数的模计算公式求出||z ． 【详解】∵22)1121(1z i i i i i=-+=+=+++，∴||z == 故选：A ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，以及复数的模计算公式的应用， 属于容易题．6．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求． 【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题． 7．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。
【详解】()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
8．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A 【解析】 【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=． 则 5.1963sin 0.8667θ==． 3πθ∴=，223πθ=． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ． 【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 9．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】化简复数，分子分母同时乘以1i +，进而求得复数z ，再求出z ，由此得到虚部. 【详解】11iz i i+==-，z i =-，所以z 的虚部为1-. 故选：C 【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.10．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】由2z iz i -=+得：()()()()2121313111222i i i i z i i i i ++++====+--+， z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.11．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 【答案】B 【解析】 【分析】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-，将13BQ BA AQ BA AC =+=+,AC BC BA=-代入化简即可. 【详解】23PA PC BA BP BC BP BA BC BQ +=-+-=+-2()3BA BC BA AQ =+-+1233BA BC =+-⨯13AC 1257()3999BA BC BC BA BA BC =+--=+. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算、数乘运算，考查学生的运算能力，是一道中档题.12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.14．直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22(4)4x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________ 【答案】22【解析】 【分析】根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设,OA a OB b ==， 由2ABC ∆与2ADC ∆相似，可得1142a a +=+，解得2a =， 再由AOB ∆与2AEC ∆相似，可得2413b b +=，解得22b =，由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为112222222S ab ==⨯⨯=. 2.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 15．过(2,0)M -且斜率为23的直线l 交抛物线2:2(0)C y px p =>于,A B 两点，F 为C 的焦点若MFB 的面积等于MFA 的面积的2倍，则p 的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可. 【详解】如图，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2MFBMFA SS=，则212y y =，由22(2),32y x y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得2340y py p -+=，由>0∆，则169p >， 所以212123,24y y p y y p p +===，得1629p =>. 故答案为：2【点睛】此题考查了抛物线的性质，属于中档题. 16．已知非零向量,a b 的夹角为3π，且1,23b a b =-=，则a =______.【答案】1 【解析】 【分析】由已知条件得出2244||||cos ,3a a b a b b -⋅⋅<>+=,可得22||||10a a --=，解之可得答案. 【详解】向量a b ，的夹角为3π,且2|3|a b -=,||1b =,可得:2244||||cos ,3a a b a b b -⋅⋅<>+=, 可得22||||10a a --=, 解得||1a =， 故答案为:1. 【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属于基础题.三、解答题：共70分。