传热学课件第二章导热基础理论

y



t y

z


t z

dxdydz
单位时间内微元体内热源的生成热：V V dxdydz
单位时间内微元热 力学能的增加：
dU c t dxdydz
导热微分 方程式
根据微元体的热平衡表达式 + V = dU 可得
（4）热流密度
q d
dA
nt dA
热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示
q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 2 导热的基本定律—傅里叶定律
图2-5 圆柱坐标系中的微元体
图2-6 球坐标系中的微元体
圆柱坐标导热微分方程式：
a（
2 r
t
2

1 r
t r

1 r2
2t
2

2t ） z 2

c

t

稳态无内热源径向一维导热时简化为
d 2t 1 dt 0 dr2 r dr
球坐标稳态无内热源一维径向导热时的 简化形式为：
法国数学家傅立叶（J.B.J.Fourier）在 对导热过程进行实验研究的基础上,发现了导 热热流密度与温度梯度之间的关系,于1822年 提出了著名的傅立叶定律即导热基本定律。
一、数学表达式：
q grad t t n W/m2
n
式中“-”号表示 q 与gradt二者方向相
内容精粹
§1 导热的基本概念 §2 导热的基本定律 §3 热导率 §4 导热微分方程和单值性条件
第一节 导热的基本概念
一、温度场
1.概念
在某一时刻τ ，物体内所有各点温度分 布的总称，称为该物体在τ 时刻的温度场。 一般，温度场是空间坐标和时间的函数，在 直角坐标系中可表示为：
t=f (x,y,z,τ )
常见的边界条件分为以下三类:
梯度不一定在同一条直线上。
n
qx
q
x
x
（2）傅立叶定律适用于工程技术中的一般稳态和 非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问 题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, 如 大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态 加热等, 傅立叶定律不再适用。
第二节 导热基本定律
• 绝热材料:习惯上把热导率较小的材料称 为绝热材料（也称保温材料）。
• 绝热材料热导率的界定值的大小反映了 一个国家绝热材料的生产水平，我国标准 GB4272-92中规定，平均温度不高于350℃时， 绝热材料的热导率小于0.12W/(m·℃)。
• 各向异性材料:在结构上有方向性的材料称为 各向异性材料。如木材、石墨、纤维材料等， 各向异性材料在不同方向的热导率数值不同， 如木材，沿木纹方向的热导率约为垂直于木 纹方向的2～4倍，因此，对于各向异性材料， 其热导率必须指明方向才有意义。
c t


x



t x


y



t y


z



t z


V
导热微分方程式建立了导热过程中物体的温度随时 间和空间变化的函数关系。
当热导率为常数时, 导热微分方程式可简化为
或写成
t

2t
（2-1）
2.分类
直角坐标系中
求解导热问题的主要任务就是要获得 物体内的温度场。
二、等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或
面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交, 就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。
等温面与等温线的特征：
温度变化率最大，温度变化最
剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
gradt t n n
温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。
n--等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。
在直角坐标系中，温度梯度可表示为
gradt t i t j t k x y z
t 、t 、t 分别为x、y、z 方向的偏导数; i、j、k 分 x y z 别为x、y、z 方向的单位矢量。
导热微分方程式与单值性条件一起构成具体导 热过程完整的数学描述。
单值性条件一般包括：几何条件、物理条件、 时间条件、边界条件。
1.几何条件
说明参与导热物体的几何形状及尺寸。几何条件决 定温度场的空间分布特点和分析时所采用的坐标系。
2.物理条件 说明导热物体的物理性质, 例如物体有无内热源以
d 2t 2 dt dr 2 r dr 0
即
1 d（2 rt） 0
r dr 2
二、 单值性条件
导热微分方程式推导过程中没有涉及导热过程 的具体特点, 适用于无穷多个导热过程, 也就是说 有无穷多个解。
为完整的描写某个具体的导热过程，必须说明 导热过程的具体特点, 即给出导热微分方程的单值 性条件（或称定解条件），使导热微分方程式具有 唯一解。
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能
相交； 在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）或
者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于物
体的边界，不可能在物体中中断。
三、温度梯度
在温度场中，温度沿x方
向的变化率(即偏导数)
t lim t
x
x
x 0
明显, 等温面法线方向的
也称导温系数,
单位为m2Βιβλιοθήκη Baidus。
其大小反映物体被瞬态加热或冷却时温度变化的快慢。
导热微分方程式的简化
(1) 物体无内热源：V = 0 t a2t
(2) 稳态导热： t 0 a2t V 0 c
(3)稳态导热、无内热源：
2t 2t 2t 2t = 0，即 x2 y2 z2 0
第二章 导热基础理论
例内重基 题容点本 赏精难要 析粹点求
基本要求
1． 理解温度场、等温面（线）、温度梯 度、热流密度等概念。
2． 掌握傅立叶定律及其应用。 3. 掌握热导率和热扩散率的定义、意
义、影响因素和确定方法。 4． 能写出典型简单几何形状物体导热问
题的数学描述表达式。
重点与难点
重点： 1. 傅里叶定律与热导率。 2. 导热微分方程及单值性条件。 难点： 1. 傅里叶定律的矢量表达式。 2. 导热微分方程及单值性条件。
步骤：1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程 式进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
导热过程中微元体的热平衡：
单位时间内，净导入微元
体的热流量与微元体内热源 的生成热V之和等于微元体热
• 4.傅立叶定律提供了热导率的定义式。
傅立叶定律的适用范围: 对各向同性的连续体普遍适用（不论任 何形态、任何形状、是否变物性、是否有内 热源、是否稳态）。对于非稳态导热过程， 式中参数为瞬时值。
第三节 热导率
一、定义：
热导率的定义式由傅立叶定律给出


q t n
n
二、物理意义：
W/(m·℃) （ 2-4）
• 二、应用:

• 1.傅立叶定律建立了 q 与gradt之间的关系，
是求解导热问题的依据。若已知物体的温度
场，便可由傅立叶定律求得各点的热流密度。
• 2.对一维稳态无内热源的导热问题，可用傅 立叶定律表达式直接积分求解且较方便。
• 3.用傅立叶定律与能量守恒定律一起可建立 描述导热问题的导热微分方程式。
反；λ 为热导率 ，单位为 W/（m·℃）。
在直角坐标系中的向量表达式为：
q

( t
i
t
j
t
k)
x y z
对一维稳态导热可写为：
qx


dt dx
i
W/m2
傅立叶定律表明：在导热现象中，导热
热流密度的大小正比于该点温度梯度的绝对
值；热流密度的方向与温度梯度方向相反。

c


x
2
2t y2
2t z2


V c
t a2t V

c
式中2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中，

2t

2t x2

2t y2

2t z2
木材a =1.5×10-7 紫铜a = 5.33×10-5
a
c
称为热扩散率,

x



t x

dxdydz
同理可得从y和z方向净导入微元体的热流量分别为
y

y



t y
dxdydz
z

z


t z

dxdydz
于是, 在单位时间内净导入微元体的热流量为


x


t x

t y
qz


t z
由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知
道材料的热导率, 还必须知道温度场。所以,求解温
度场是导热分析的主要任务。
傅里叶定律的适用条件：
（1）傅里叶定律只适用于各
向同性物体。对于各向异性物体， 热流密度矢量的方向不仅与温度
qy
梯度有关,还与热导率的方向性
有关, 因此热流密度矢量与温度 y y
作为热工技术人员应掌握一些常用材 料的热导率数据。
第四节 导热微分方程式及单值性条件
目的：求解温度场 t f x, y, z,
一、 导热微分方程式的导出
依据：能量守恒和傅里叶定律。 假设：1）物体由各向同性的连续介质组成；
2）有内热源，强度为V ，表示单位时间、单
位体积内的生成热，单位为W/m3 。
及内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)
的数值及其特点等。
3.时间条件 说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳
态导热。对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内 部的温度分布规律（称为初始条件）：
t f (x, y, z) 0
4.边界条件
说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间 的相互作用, 例如,边界上的温度、热流密度分布以及 边界与周围环境之间的热量交换情况等。
对于大多数工程材料，热导率都是温度的
函数。在日常生活和工业应用的温度范围内，
可近似地认为热导率随温度线性变化，并表示
为： （ 0 1 bt）
（2-5）
λ 0—按公式计算的0℃时的热导率
b—实验测定的系数，b>0或b≤0
常取t=(t1+t2)/2 一般材料生产厂家都会随材料提供其热导
率的数值,工程中的常用材料在特定温度下的热 导率值可参看附录，查取热导率数值时,应注意 材料的确切名称、密度、使用温度范围等。
标量形式的付里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的导热系数相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q




t x
i

t y
j

t z
k

qx


t x
qy


付里叶（ Fourier）于1822年提出了著名的导热基本 定律—傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度梯 度之间的关系。
对于各向同性物体, 付里叶定律表达式为
q gradt t n
n
傅里叶定律表明, 导热热流密度的大小与温度梯 度的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
力学能的增加dU, 即
+ V = dU
= x + y + z
x = x － x+dx = qx dydz － qx+dx dydz

qxdydz


qx

qx x
dx

dydz


qx x
dxdydz


x



t x

dxdydz
由式（2-4）可知，热导率在数值上等于单 位温度梯度时通过物体的热流密度的模值。热导 率表征物体导热能力的大小，λ 越大表示物体导 热能力越强。它是物质的重要热物性参数，在热 力工程设计中是合理选用材料的重要依据。
三、影响因素及确定： 热导率的影响因素很多，主要取决于物质
的种类、物态以及温度、密度、湿度等。不同 物质的热导率数值差别很大。一般在同一种物 质的三态中,固态的热导率最大，液态的次之， 气态的最小，如水的三态中λ 冰＞λ 水＞λ 汽 。 对于同一种物质，温度的影响最大。大多数材 料的热导率都是通过专门的实验测定的。为了 工程计算的方便，常绘成图表以供查取。