2013-2015概率统计试题及解答

U
=
(n1 −1) S12
σ
2 1
=
8S12 5
~
χ2 (8),V
=
(n2 −1) S22
σ
2 2
= 10S22 4
~
χ 2 (10)
。(3
分)
根据
F
分布定义，
F
=U8 V 10
=
4S12 5S22
~
F (8,10) 。(4
分)
3. (1)
E
(
X
)
=
∫θ
0
x
⋅
1 θ
dx
=
θ 2
(2 分)。令 E ( X ) = X ，得 θ1 = 2X
一、1. 0.7 2. 4 5 3.
4. 18.4 5. B 6. B 7. A 8. D
二、1. 设 A 表示射击中靶，B 表示所用枪已校正，则 B 表示所用枪未校正，则
( ) ( ) P(A B) = 0.8, P A B = 0.3 ， P(B) = 5 8,P B = 3 8 。(2 分)
由全概率公式， P( A) = P( A B)P(B) + P( A B)P(B) = 0.8 × 5 8 + 0.3× 3 8 = 49 80 。(3 分)
姓名：
2014～2015 学年 第一学期试卷 课程名称：概率统计 考试形式：闭卷 试卷： A
题号
一 二 三 四 总分
标准分 24 16 30 30
得分
注 请填写清楚左侧装订线内的所有信息，并在交卷时保持三页试卷装订完好。
A 一、填空题和选择题 (每题 3 分，共 24 分)
1. 已知 P(A) = 0.5 ， P(B) = 0.6 ， P ( B A) = 0.8 ，则 P ( A ∪ B) =
(2 分)。
∏ L = L( x1, x2,
, xn,θ ) =
n i =1
f
(
xi
;θ
)
=
⎪⎧1 θ ⎨ ⎪⎩ 0,
n
,
0 ≤ xi ≤ θ , 其它.
(2 分)
当 0 ≤ xi ≤ θ 时， L 为单减函数，即 θ 越小， L 越大，所以应取 θ 为满足 0 ≤ xi ≤ θ 的最小者，
即 θ 的最大似然估计量 θ2 = max{X1, X 2, , X n} 。(3 分)
3. X 的分布律为
，则 Y = X 2 的分布律为
。
学号： 线
专业班级： 订
任课教师 装
4. 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为 0.4，则 X 的数学
( ) 期望 E X 2 =
。
5. 设 A 和 B 是任意两个事件且 A ⊂ B, P(B) > 0 ，则( )。
=
+∞ −∞
xfθ2
(
x)
dx
=
θ 0
x ⋅ nxn−1
θ n dx
=
nθ n +1
，故 θ2
不是 θ
的无偏估计。(2
分)
任课教师 装
适用 全校 考场教室 [该项由出卷人填写]
第( 1 )页共( 3 )页
姓名：
学号： 线
2015～2016 学年 第一学期试卷 课程名称：概率统计 考试形式：闭卷 试卷： A
n
，则由题意
P{X
≤
n}
≥
0.90
，
P ⎧⎨Y ⎩
=
X
−10 3
≤
n −10⎫
3
⎬ ⎭
≈ Φ⎝⎛⎜
n −10 ⎞ 3 ⎠⎟
≥
0.90 ，
得 n −10 > 1.28 ， n > 13.84 ，即总机至少需要 14 条外线才能满足要求。(2 分) 3
2.
由 (n −1) S 2
σ2
~ χ 2 (n −1) 得，
再由贝叶斯公式，所求为 P(B A) = P( A B)P(B) = 0.8 × 5 8 = 40 49 。(3 分)
P( A)
49 80
⎧
0,
x ≤ 100,
∫ ∫ 2. (1)
F(x) =
x −∞
f
(t)dt
=
⎪ ⎨ ⎪⎩
x 100 100 t 2
dt
=1−
100 , x
x
> 100.
(3 分)
第( 1 )页共( 3 )页
适用 全校 考场教室 [该项由出卷人填写]
2014～2015 学年 第一学期试卷 课程名称：概率统计 考试形式：闭卷 试卷： A
A 三、计算下列各题 (共 30 分)
1. (18 分)
设 ( X ,Y ) 的概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎪⎧ae− ⎨
y
,
⎪⎩ 0,
0 < x < y, 其它.
=1+
e−1
−
−1
2e 2
。(3
分)
x+ y≤1
0
x
(4) FZ ( z) = P{Z ≤ z} 。因为 Z = X + Y ∈ (0,+∞) ，所以 z ≤ 0 时， FZ ( z) = 0 ； (2 分)
∫∫ ∫ ∫ z > 0 时， FZ ( z) = P{X + Y ≤ z} =
f ( x, y) dxdy =
题号
一 二 三 四 总分
标准分 27 16 28 29
得分
A 二、计算下列各题 (共 16 分) 1. (8 分) 一袋中装有 m 个正品硬币和 n 个次品硬币(次品硬币两面都印有国徽)，在袋中任取一 枚硬币，将其掷 r 次，均得国徽一面，求该硬币为正品的概率。
注 请填写清楚左侧装订线内的所有信息，并在交卷时保持三页试卷装订完好。
(A) P( A) < P( A B)
(B) P( A) ≤ P( A B)
(C) P(A) > P(A B)
(D) P( A) ≥ P( A B)
( ) ( ) 6. 设 X ~ N µ,42 , Y ~ N µ,52 ，记 p1 = P{X ≤ µ − 4}, p2 = P{Y ≥ µ − 5} ，则( )。
(A) 对任何实数 µ ，都有 p1 = p2
(B) 对任何实数 µ ，都有 p1 < p2
(C) 只对 µ 的个别值，才有 p1 = p2 (D) 对任何实数 µ ，都有 p1 > p2
7. 设 ( X ,Y ) ~ N (0,0,1,1,0) ，则下列结论中正确的个数为( )。
(1) X 与 Y 必独立；
3. (16 分) 设总体 X ~ U [0,θ ] 。(1) 求未知参数 θ 的矩估计量 θl1 和最大似然估计量 θl2 ；(2) 研
究 θl1 和 θl2 是否满足无偏性。
以不低于 90%的概率保证每个分机在使用外线时不用等候？( Φ (1.28) = 0.90 )
2. (7 分) 设样本 X1, X 2,", X9 和 Y1,Y2,",Y11 分别来自正态总体 N (−1,5) ， N (2, 4) ，且相互独
+∞ −∞
f
(x,
y)dx
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y e− ydx = ye− y , y > 0,
0
0，
其它,
(2 分)
因 fX ( x)) fY ( y) ≠ f ( x, y) ，故 X , Y 不独立。(2 分)
∫∫ ∫ ∫ (3) P{X + Y ≤ 1} =
f ( x, y)dσ =
12
dx
1−x e− ydy
(2) X 与 S 2 独立；
(4) X − µ ~ N (0,1) 。
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
2.
(8 分)
设电子管寿命 X 的概率密度为
f
(
x)
=
⎧100
⎪ ⎨
x2
,
x > 100, (1)
求分布函数 F ( x) ；(2)
若一
⎪⎩ 0 , 其它.
台收音机上装有三个这种管子，求在使用的最初 150 小时内至少有两个电子管损坏的概率。
立， S12 和 S22 分别为两个样本的样本方差，试推导统计量
4S12 5S22
的分布。
学号： 线
专业班级： 订
专业班级： 全校工科、经管、理科各专业 [该项由出卷人填写]
装
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姓名：
学号： 线
专业班级： 订
2014～2015 学年 第一学期试卷 课程名称：概率统计 考试形式：闭卷 试卷： AB
z2
dx
z−x
e− ydy
=
1+
e−z
−
−z
2e 2
，(3
分)
x+ y≤z
0
x
从而，
Z
的概率密度
fZ
(z)
=
⎧⎪⎨e−
z 2
−
e−z ,
z
>
0,
(1 分)
⎪⎩ 0, 其它.
∫ ∫ ∫ ∫ 2. E(X ) = +∞ +∞ xf (x, y)dxdy = 2 2 x( x + y) dxdy = 7 ，
A 一、填空题和选择题 (每题 3 分，共 27 分)
( ) ( ) 1. 设随机事件 A, B 独立， P AB = 0.3, P(A ∪ B) = 0.7 ，则 P AB =
。
2.
设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
=
⎧ ⎨ ⎩
来自百度文库
2x, 0,
0 < x < 1, 其它,
Y 表示对 X 的三次独立重复观察中
。
2. 若随机变量 ξ ~ U (1,6) ，则方程 x2 + ξ x + 1 = 0 有实根的概率是
。
A 二、计算下列各题 (共 16 分) 1. (8 分) 设 8 支枪中有 3 支未经校正，5 支已经试射校正。一射手用校正的枪射击时，中靶的 概率为 0.8，用未校正的枪射击时，中靶的概率为 0.3。现从 8 支枪中任取一支进行射击，结果 中靶，求所用的枪是已校正过的概率。
36
6
36
∫ ∫ ∫ ∫ E(XY ) =
+∞
+∞
xyf (x, y)dxdy =
2
2 xy ( x + y) dxdy = 4 ，
−∞ −∞
00
8
3
Cov(X ,Y ) = E( XY ) − E( X )E(Y ) = − 1 ， (3 分) 36
ρ XY =
Cov( X ,Y ) = − 1 ，故 D( X − Y ) = D( X ) + D(Y ) − 2Cov( X ,Y ) = 2 。(3 分)
事件 {X ≤ 1 2} 出现的次数，则 P{Y = 2} =
。
3. 设 X ,Y 的方差分别为 25, 36，相关系数为 0.4，则 D( X − Y ) =
(2) 设 Y 为 150h 内烧坏的电子管数，则 Y ~ B(3, p) ， p = P{X < 150} = F (150) = 1 。(3 分)
3
所求为 P{Y ≥ 2} = C32 (1 3)2 (2 3) + (1 3)3 = 7 27 。(2 分)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 三、1. (1) 由
−∞ −∞
00 8
6
( ) ∫ ∫ ∫ ∫ E X 2 = +∞ +∞ x2 f (x, y)dxdy = 2 2 x2 ( x + y) dxdy = 5 ，
−∞ −∞
00
8
3
D( X ) = E( X 2) − E2 ( X ) = 11 ，同理 E(Y ) = 7 , D(Y ) = 11 。(6 分)
⎪⎩ 0,
其它.
cov( X ,Y ), ρXY , D( X − Y ) 。
姓名：
学号： 线
专业班级： 订
专业班级： 全校工科、经管、理科各专业 [该项由出卷人填写]
装
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姓名：
2014～2015 学年 第一学期试卷 课程名称：概率统计 考试形式：闭卷 试卷： A
A 四、计算下列各题 (共 30 分) 1. (7 分) 某单位设置一电话总机，共有 100 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话 是相互独立的，且每时刻每个分机有 10%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能
+∞
+∞ f ( x, y) dxdy = 1 ，即 a
+∞ e− ydy
y
dx = a
+∞ ye− ydy = a = 1 。(3 分)
−∞ −∞
0
0
0
∫ ∫ (2)
fX (x) =
+∞ −∞
f
(x,
y)dy
=
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
+∞ e− ydy = e−x , x > 0,
x
0,
其它,
(2 分)
∫ ∫ fY ( y) =
(2) X 2 Y 2 服从 F 分布；
(3) X + Y 服从正态分布；
(4) X 2 服从 χ 2 分布。
(A) 4
(B) 3
(C) 2
(D) 1
8. 设总体 X ~ N (µ,1), n > 1 ，则下列结论中不正确的个数为( )。
(1)
n −1 S2
~
χ
2
(
n
−
1)
；
(3) n ( X − µ ) ~ t (n −1) ；
D( X ) D(Y ) 11
3
四、1. 设 X 为用外线通话的分机数，则 X ~ B(100,0.1), E ( X ) = 10, D( X ) = 9 。(2 分)
由 Laplace 定理， Y = X − E(X ) = X −10 ~ N (0,1) 。(3 分)
D(X )
9.5
设外线数为
( ) ( ) (2) 由 E θ1
= E 2X
=
2E( X
)
=
2⋅θ 2
=θ
，知 θ1
是θ
的无偏估计。(2
分)
⎧ 0, x < 0,
Fθ2
(
x)
=
F
n
(
x)
=
⎪ ⎨
xn
⎪
⎩
θ 1,
n
,
0< x<θ x >θ,
,
fθ2
(
x)
=
⎧⎪nxn−1 θ ⎨ ⎪⎩ 0,
n
,
0< x <θ, 其它,
(3 分)
( ) ∫ ∫ E θ2
求 (1)
a ；(2) 边缘概率密度，
并判断 X , Y 是否独立；(3) P{X + Y ≤ 1} ；(4) Z = X + Y 的概率密度 fZ ( z) 。
2.
(12
分)
设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
f
(x,
y)
=
⎧⎪ ⎨
x
+ 8
y,
0≤
x, y ≤ 2, 求 E ( X ), E (Y ),