第6章 马尔可夫预测方法
如何利用马尔可夫逻辑网络进行趋势预测(六)
马尔可夫逻辑网络（MLN）是一种用于建模和预测复杂系统行为的强大工具。
它可以应用于各种领域，包括金融、医疗、气象和社交网络等。
通过分析系统中的状态转移，并结合概率推理，MLN可以帮助我们理解系统的演变规律，从而进行趋势预测。
MLN的基本原理是基于马尔可夫过程的概率图模型。
它通过将系统中的状态抽象为节点，状态之间的转移关系抽象为边，然后利用概率推理算法来学习系统的演化规律。
MLN中的节点可以代表系统中的任何状态，比如股票价格、疾病状态、气象变化等，而边则表示状态之间的转移概率。
通过对这些状态和转移关系进行建模，我们可以利用MLN来预测未来的状态变化。
在实际应用中，利用MLN进行趋势预测通常包括以下几个步骤。
首先，我们需要对系统中的状态进行抽象和建模。
这包括选择合适的状态变量，确定状态之间的转移关系，以及对状态转移概率进行建模。
在金融领域，我们可以选择股票价格、利率、汇率等作为状态变量，然后通过历史数据来学习它们之间的转移关系。
其次，我们需要利用概率推理算法来学习系统的演化规律。
常用的算法包括逻辑回归、朴素贝叶斯、马尔可夫链蒙特卡洛等。
这些算法可以帮助我们从历史数据中学习状态之间的转移规律，并建立MLN模型。
通过对模型进行训练和验证，我们可以得到一个较为准确的系统演化模型。
最后，我们可以利用学习到的MLN模型来进行趋势预测。
这可以通过模拟系统的演化过程，根据当前状态推断未来的状态变化。
在金融领域，我们可以利用学习到的股票价格模型来预测未来的股价走势，从而指导投资决策。
在医疗领域，我们可以利用疾病模型来进行疾病预测，帮助医生制定治疗方案。
除了单独利用MLN进行趋势预测外，还可以将MLN与其他技术结合起来，以提高预测的准确性。
比如，我们可以将MLN与深度学习模型相结合，利用深度学习来提取更高级别的特征，然后将这些特征输入到MLN模型中进行预测。
这样可以充分发挥各自的优势，提高预测的准确性和鲁棒性。
另外，MLN还可以应用于一些特定的问题，比如社交网络分析和推荐系统。
马尔可夫预测方法
几个基本概念 马尔可夫预测法
马尔可夫链是最简明的马尔可夫过程, 它是状态、时 间都是离散量的马尔可夫过程. 它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分 析、近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代 物理、随机分形、公共事业中的服务系统、电子信息、 计算机技术等. 自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统 或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
同理可得
7 0.538 5 13 2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.153 8 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.307 7 13 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 )
即
1 0.200 0 1 0.538 5 2 0.363 6 3 2 0.466 7 1 0.1538 3 0.454 5 3 0.3333 0.307 7 0.1818 1 2 3 3 求解该方程组得： 1＝0.365 3, 2＝0.352 5， 3
所以
3 P 0.200 0 11 P ( E1 E1 ) P ( E1 E1 ) 15
7 P 0.466 7 12 P ( E1 E2 ) P ( E2 E1 ) 15
5 P 0.333 3 13 P ( E1 E3 ) P ( E3 E1 ) 15
n
i
1
使得
P
（3.7.4）
这样的向量α称为平衡向量，或终极向 量。这就是说，标准概率矩阵一定存在平 衡向量。
马尔科夫预测法
• 定义2： (k) pij (m) = P(Xm+k = E j | Xm = Ei ) 为k步 称 的转移概率。 特别是，当k=1时， P( xm+1 = Ej | Xm = Ei)称为一步转移概率，记为：
p ij (m) = P(X m +1 = E j | X m = E i )
若对任何非负整数n,马尔科夫链 ｛ Xn,n ≥ 0｝的一步转移概率 pij (m) 与m无 关，则为齐次马尔科夫链。记作 p ij
V (1) +r V2(1) +r 1 11 12 R = V (1) +r V (1) +r 21 2 22 1
• 由此二步转移之后的期望利润为 • V (2) = V (1) + r p + V (1) + r
i
[1
i1
]
i1
[2
i2
]pi2
= ∑Vj (1)pij + qi
S = P ,P ,P
0 (0) 1 (0) 2
式中： S (0)------初始市场占有率向量 (0) p i i=1，2，3------甲乙丙厂初始市 场占有率 另有市场占有率转移概率矩阵：
(
(0) 3
)
P 11 P = P21 P 31
P 12 P22 P32
P 13 P32 P33
用数学表达定义为（定义1）： 设随机时间序列｛ Xn,n ≥ 0｝满足如下条件： （1）每个随机变量Xn只取非负整数值。 （2）对任何的非负整数t1< t2 <… <m <m+k,及E1, E2,…, Em ；当P(Xt1 = E1 , Xt2 = E2,…… Xm = Em) ＞0 时，有 P( Xm+k = Ej | Xt1 = E1 , Xt2 = E2，…， Xm = Em)=P( xm+k = Ej | Xm = Em)，则称｛ Xn,n ≥ 0｝ 为马尔科夫链。
马尔柯夫预测法 PPT课件
3
在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现 象：
（1）确定性现象（在一定条件下必然出现）；
（2）随机现象（掷硬币、射手打靶等）。
随机现象的统计规律性：
同一随机现象在大量重复出现时，其每种可能 的结果出现的频率却具有稳定性，从而表明随 机现象也具有其固有的规律性。
马尔柯夫预测法：
应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究 有关经济现象变化规律并藉以此预测未来状况 的一种方法。
6月份，甲厂有400户原来的顾客，上月的顾客有 50户转乙厂，50户转丙厂；乙厂有300户原来的顾 客，上月的顾客有20户转甲厂，80户转丙厂；丙厂 有80户原来的顾客，上月的顾客有10户转甲厂， 10户转乙厂。
试计算其状态转移概率。
2020/3/31
8
6月份顾客转移表
从到
甲
乙
丙
合计
甲
400
50
记为： P(xn j | x0 i) Pij (n)
并令
P11 (n) P12 (n)
P(n)
P21 (n)
PN1 (n)
P22 (n)
PN 2 (n)
则称P（n）为n步转移概率矩阵。
P1N (n)
P2N (n)
PNN (n)
当n=2时，为2步转移概率，P（2）为2步转移概率矩阵。
0.1
P32 100 0.1
P33
0.8 100
10
基本概念
3、状态转移概率矩阵
状态转移概率具有如下特征： 0 Pij 1 i, j 1,2, , N
N
Pij
1
i 1,2 , N
j1
并且，在一定条件下，系统只能在可能出现的状态 E1，
马尔可夫预测算法
马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。
方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。
基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。
确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。
因此，变化过程可用时间的函数来描述。
不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。
这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。
在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。
这就要研究无限多个，即一族随机变量。
随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。
客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
马尔科夫预测法简介
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :
第六章 马尔科夫预测法完整版
(3)25
1、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占 有率情况，得到初始分布为
2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵
(3)26
假设P是稳定的，得到： 1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，
2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，
(3)27
2、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此 存在唯一的市场均衡点。因此存在
S3
S3
S2
S1
S1
S3
S2
S2
S1
S2
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 状态
S1
S3
S2
S1
S1
S2
S2
S3
S1
S2
(3)30
试计算： 1、初始状态概率。 2、该地区农业收成变化的一步和二步转移 概率矩阵。 3、2006-2010年可能出现的各种状态的概 率 4、终极状态的概率
(0) (0.5 0.3 0.2)
(3)42
未来各期的市场占有率：
1 0 P 0.7 0.1 0.2 0.5,0.3,0.2 0.1 0.8 0.1 0.05 0.05 0.9 0.39,0.3,0.31
基期 t=0 时的状态概率称为初始概率，初始概率 向量为 (0) (1 (0), 2 (0), n (0)) ，k步转移概率矩 k 阵为 ，预测稳定下来的平衡向量。 Pk P 当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态 经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡 状态为 ( , , ) 则 P
• 这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状 态概率。我们会在后面补充。
经济预测与决策课件 第6章 马尔柯夫预测法
6.1 马尔柯夫预测法的基本原理
【例6.1.1】
在对产品抽样检验时，每次取一件，以随机变量 表示检验结
果， 1 表示废品， 0 表示合格品，连续进行n 次，即抽
n件检验，从而得到随机变量序列：1,2,L ,n L记为
，
而状态n , n空 1间, 2E,L={0，1}。
【例6.1.2】
统计某种商品在t时刻的库存量，假若该仓库最大的容量为R；t
（3）对于任意i，j∈E，pij
(0)
1 0
i j i j
一步转移矩阵的形式如下：
p11
p=
p21
pn1
p12 p22 pn2
p1n p2n pnn
i，j =1，2，…，n
6.1 马尔柯夫预测法的基本原理
⒊ 转移矩阵的计算
（1）根据概率的古典定义计算
若事物由状态i，经过一步转向状态j的次数为 nij ，则一
一、 随机过程的概念
设｛ i ；t T ｝是一组随机变量， T 是一个实数集合， 若对任意的实数 t∈ T ； i都是一个随机变量，则称 ｛ i ；t T ｝是一个随机过程。 T是参数t的集合，才可以看成时间， i 的每一个取值 可称为随机过程中的一个状态，而状态的所有可能值构成 的集合称为状态空间，记为E。 • 当T是正整数集合时，随机过程又称为随机序列。下面要 讲的马尔柯夫链就是一类随机序列。
（第一次从1中取）
p12 =p(2 2 1 1) 1 4
（第二次从2中取）
p13 =p(2 3 1 1) 1 4 p21 =p(2 1 1 2) 2 3
（第二次从3中取） p22 p(2 2 1 2) 0
p23 =p(2 3 1 2) 1 3
马尔可夫预测方法
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
预测方法——马尔可夫预测
预测⽅法——马尔可夫预测马尔可夫预测若某⼀系统在已知现在情况的条件下，系统未来情况只与现在有关，与历史⽆直接关系，则称描述这类随机现象的数学模型为马尔可夫模型（马⽒模型）。
时齐马尔可夫链：系统由状态i转移到状态j的转移概率只与时间间隔长短有关，与初始时刻⽆关。
状态转移概率矩阵及柯尔莫哥洛夫定理：概率矩阵：若系统在时刻 t0 处于状态 i，经过 n 步转移，在时刻 tn 处于状态 j 。
那么，对这种转移的可能性的数量描述称为 n 步转移概率。
记为:P(xn =j|x=i)=P(n)ij令P(n)=P11(n)P12(n)⋯P1N(n) P21(n)P22(n)⋯P2N(n)⋯⋯⋯P N1(n)P N2(n)⋯P NN(n)为n部转移概率矩阵。
(P0为初始分布⾏向量)性质：1. P(n)=P(n−1)P2. P(n)=P n转移概率的渐进性质——极限概率分布正则矩阵:若存在正整数k，使得p k的每⼀个元素都是正数，则称该马尔可夫链的转移矩阵P是正则的。
马克可夫链正则阵的性质：1. P有唯⼀的不动点向量W，W的每个分量为正，满⾜WP=W；2. P的n次幂P n随n的增加趋近于矩阵V, V的每⼀⾏向量均等于不动点向量W。
马尔可夫链预测法步骤：1. 划分预测对象可能出现的状态；2. 计算初始概率，由此计算⼀步状态转移概率；3. 计算多步状态转移概率；4. 根据状态转移概率进⾏预测。
()实例：eg：由于公路运输的发展，⼤量的短途客流由铁路转向公路。
历年市场调查结果显⽰，某铁路局发现今年⽐上年相⽐有如下规律：原铁路客流有85%仍由铁路运输，有15%转由公路运输，原公路运输的客流有95%仍由公路运输，有5%转由铁路运输。
已知去年公、铁客运量合计为12000万⼈，其中铁路10000万⼈，公路2000万⼈。
预测明年总客运量为18000万⼈。
运输市场符合马⽒链模型假定。
试预测明年铁、公路客运市场占有率各是多少？客运量是多少？最后发展趋势如何？解：1. 计算去年铁路、公路客运市场占有率将旅客由铁路运输视为状态1，由公路运输视作状态2，则铁、公占有率就是处于两种状态的概率，分别记作a1,a2.以去年作为初始状态，则初始状态概率向量:A(0)=(a1(0),a2(0))=(0.83,0.17)2. 建⽴状态转移矩阵PP=0.850.15 0.050.953. 预测明年铁路，公路客运市场占有率A(2)=(a1(2),a2(2))=A(0)P2=(0.83,0.17)0.850.150.050.952=(0.62,0.38)4. 进后发展趋势lim ()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。
《马尔可夫预测》PPT课件
二、状态和状态转移 1、状态：系统在某时刻出现的某种结果。 常用Ei表示（i=1，2，…，N）。 2、状态变量Xt=i：表示系统在时刻t处于 Ei 。 3、状态转移：系统由一种状态转移为另一种状态 。常用Ei →Ej表示。
状态举例： 例1：人民生活水平可分为三种水平状态：温 饱、小康、富裕。 例2：企业经营状况可分为：盈利、不盈不亏、 亏损。 例3：商品销售状况可分为：畅销、平销、滞 销。 状态转移举例： 例4：营业情况由盈利→亏损。
例：设一步转移矩阵为：
0.5 0.5 P 求P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 解： P(2) 0.6 0.4 0.5 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 = 0.6 0.5 0.4 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.55 0.45 = 0.54 0.46
0≤ Pij ≤1 ∑ Pij =1
所有Pij构成的矩阵为：
P 11 P P 21 PN 1 P 12 P22 PN 2 P 1N P2 N P ij N N PNN
称为一步转移概率矩阵。
在多步转移中，k步转移概率记为：
解：状态转移概率为
400 P 0.8 11 500 20 P21 0.05 400 10 P31 0.1 100 50 P 0.1 12 500 300 P22 0.75 400 10 P32 0.1 100 50 P 0.1 13 500 80 P23 0.2 400 80 P33 0.8 100
五、状态转移概率和转移概率矩阵
设系统有N个状态Ei（i=1，2，…，N），以状态变量 xt=i表示在时刻t处于Ei（i=1，2，…，N），如果系统在时 刻t处于Ei而在时刻t+1转移到Ej的概率只与Ei有关而与t以 前处的状态无关，则此概率可表示为： Pij=P（Ei→Ej）=P（ xt+1 =j∣xt =i） 并称为一步转移概率。
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法(六)
利用马尔可夫模型进行天气预测的方法随着气候变化的加剧，天气预测成为了如今人们生活中不可或缺的一部分。
而天气预测准确性的提高对于人们的生产生活有着重要的意义。
随着技术的发展，利用马尔可夫模型进行天气预测的方法逐渐受到了人们的关注。
一、马尔可夫模型简介马尔可夫模型是一种时间序列模型，其基本思想是假设未来的状态只与当前的状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫模型在天气预测中的运用，是基于天气的状态在短期内是相对稳定的这一特点。
通过建立天气状态之间的转移概率矩阵，可以实现对未来天气状态的预测。
二、数据收集在利用马尔可夫模型进行天气预测时，首先需要收集历史的天气数据。
这些数据包括温度、湿度、气压、风速等多种气象要素。
在收集完数据后，需要对数据进行预处理，包括去除异常值、填补缺失值等操作，以确保数据的准确性和完整性。
三、状态空间的确定在建立马尔可夫模型时，需要确定天气的状态空间。
通常情况下，可以将天气状态分为晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨等几种状态。
根据实际情况和需求，也可以对状态空间进行扩展，例如考虑雾霾、大风等特殊天气情况。
四、转移概率矩阵的建立在确定了状态空间后，需要建立天气状态之间的转移概率矩阵。
这一矩阵反映了不同天气状态之间的转移概率，可以通过历史数据进行统计得到。
转移概率矩阵的建立是马尔可夫模型的核心，直接影响着模型的预测准确性。
五、模型的预测与评估建立好马尔可夫模型后，可以利用该模型对未来的天气状态进行预测。
预测的过程通常采用迭代算法，根据当前的天气状态和转移概率矩阵，计算出未来几天的天气状态。
预测结果可以与实际观测数据进行对比，评估模型的准确性和稳定性。
六、模型的改进与应用随着数据和算法的不断进步，马尔可夫模型在天气预测中也在不断改进和应用。
一些学者通过引入更多的气象要素、考虑气象要素之间的相互影响等方式，对传统的马尔可夫模型进行了改进，提高了模型的预测准确性。
此外，马尔可夫模型在气象灾害预警、农业生产等领域也有着广泛的应用。
马尔可夫预测
1. 马尔可夫矩阵一般式
（十）均匀马尔可夫链
若
P(k) ij
Pij
k 1,2,
则称该马尔可夫链为均匀马尔可夫链。
用下式表示：
Pij
P(E j
/ Ei )
P
A(j k )
/
A( k 1) i
（十一）预测模型
前提：必须是均匀马尔可夫链。
S (0) ：初始状态；
S (k 1) ：经（K+1）次转移后的状态；
机变量,称为随机过程。 定义：在给定的概率空间( ,F,P)及实数集
T,其中 为样本空间,F为分布函数,P为概率, 对于
每一个 t T , 有定义在( ,F,P)上的随机变量
(t, w), w
与之对应,则称为 (t, w);t T 随机过程,一
般简化为 (t) 。
特点：
1. 随机性：确切的未来状态是不可预测；
2. 局限性：只适合于马尔可夫过程；
3. 简便性：有率、选 择服务点、设备更新等的预测。
（六）马尔可夫链
定义：设随机过程 (t)只能取可列个值 r1, r2 ,rn ,, 把 (t) rn 称为在时刻 t 系统处于状态 En (n 1,2,)
我厂牌子
0.8
0.2
别厂牌子
0.3
0.7
问:从经济效益的角度决定要否做这个广告?
定义：设随机过程(t) ,如果在已知时间t系统
处于状态x的条件下,在时刻 ( >t)系统所处
状态和时刻t以前所处的状态无关,则称 (t)为 马尔可夫过程。 从定义可知马尔可夫过程只与t时刻有关,与t 时刻以前无关。
（五）马尔可夫预测法
3.5马尔科夫预测法52页
第6节 马尔可夫预测方法
教学要求
几个基本概念——状态、状态转移 过程、马尔可夫过程（记忆）
马尔可夫预测法（理解）
• 马尔柯夫（A.A Markov 俄国数学家）。
• 20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变 化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状 态无关。
例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、 市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描 述或近似。
二、状态转移概率
• 客观事物可能有 E1,E2, ,EN共 n 种状态，其中每次只能处 于一种状态，则每一状态都具有 n 个转向（包括转向自身），
即 E i E 1 ,E i E 2 ,,E i E N 。
• 由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性 的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
7 p11 151 50% ??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度 销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。
• 同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。 • 客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能
处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品 在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心 理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。
马尔可夫预测方法、基本原理和应用
6.1 马尔可夫预测的基本原理 6.2 马尔可夫预测的应用 思考与练习
6.1
• 6.1.1
•
为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态）,可
以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在
任何时刻上的状态是随机的,则变化过程就是一个随机过
程。
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设有参数集T (-∞, +∞),如果对任意的t∈T,总有一随机
A、B、
C三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是0.3、0.4、0.3,则
可用向量P=(0.3, 0.4, 0.3)来描述该月市场洗衣粉销售的
状况。
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当系统由一种状态变为另一种状态时,我们称之为状态
转移。例如,洗衣粉销售市场状态的转移就是各种牌号洗衣
粉市场占有率的变化。显然,这类系统由一种状态转移到另 一种状态完全是随机的,因此必须用概率描述状态转移的各 种可能性的大小。如果在时刻tn系统的状态为Xn=i的条件下, 在下一个时刻tn+1系统状态为Xn+1=j的概率pij (n)与n无关,则
可夫链中任何k步状态转移概率都可由1步状态转移概率
求出。
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由全概率公式可知, 对k≥1,有（其中P (0) 表示单位矩阵）
•Байду номын сангаас•
p (k) ij=PN {Xn+k=j|Xn=i}
= PlN{1Xn+k-1=l| Xn =i}·P{Xn+k=j|Xn+k-1=l}
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=
p p (k-1)
l 1
il lj
称2, …此,马N称尔p可ij为夫p状i链j 态是P转齐{移X次n概马1率尔。可j显X夫n然链, ,i并}piij=,Pj{Xn1+,12=j,|X..nN =.i}i, j=1,
2019PPT-马尔科夫预测法
2.稳定性假设
若系统的一步状态转移概率 不随时间变化，即转移矩阵在各 个时刻都相同，称该系统是稳定 的。
这个假设称为稳定性假设。 蛙跳问题属于此类，后面的讨论 均假定满足稳定性条件。
{2004/11/22}
马尔科夫预测法
第一节 基本原理
一、基本概念
1.随机变量 、 随机函数与随机过程 一变量x，能随机地取数据（但不能准 确地预言它取何值），而对于每一个数值 或某一个范围内的值有一定的概率，那么 称x为随机变量。
假定随机变量的可能值xi发生概率为Pi
即P(x = xi) = Pi
对于xi的所有n个可能值，有离散型随
初期工作:
a)行销上海,日本,香港味精,确定状 态1,2,3.
b) 市 场 调 查 , 求 得 目 前 状 况 , 即 初 始 分布
c)调查流动状况;上月转本月情况,求 出一步状态转移概率.
1)初始向量:
设 上海味精状况为1;
日本味精状况为2;
2)确定一步状态转移矩阵
P11 P12 P13
0.4 0.3 0.3
0.5 0.25 0.25
lim S(k) = [0.5 0.25 0.25]
= lim
第三节 期望利润预测
是考虑:一个与经济有关随 机系统在进行状态转移时,利润 要发生相应变化,例如商品连续 畅销到滞销,显然在这些过程变 化时,利润变化的差距是很大的.
所以有如下的定义:
若马尔科夫链在发生状态转 移时,伴随利润变化,称这个马尔
定理二：设X为任意概率向量， 则XT = U
即任意概率向量与稳态概率矩阵 之点积为固定概率向量。
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第6章 6.1.2 马尔可夫链是一种描述动态随机现象的数学模型 ,
它建立在系统“状态”和“状态转移”的概念之上。
所谓系统,就是我们所研究的事物对象；所谓状态,是表 示系统的一组记号。当确定了这组记号的值时,也就确 定了系统的行为,并说系统处于某一状态。系统状态常 表示为向量,故称之为状态向量。例如, A、 B 、 C 三种牌号洗衣粉的市场占有率分别是 0.3 、 0.4 、 0.3,则可用向量P=(0.3, 0.4, 0.3)来描述该月市场洗衣粉 销售的状况。
对k≥1,记pi(k)=P{Xk=i}, pi(k)=
j 1
N
pj(0)·p (k) ji
i=1, 2, …, N; k≥1
第6章 由全概率公式可知, 对k≥1,有（其中P (0) 表示单位矩阵） p (k) ij=P{Xn+k=j|Xn=i}
= P{Xn+k-1=l| Xn =i}·P{Xn+k=j|Xn+k-1=l} l 1
= p (k-1) ilplj
l 1 N
N
i, j=1, 2, …, N
其中用到马尔可夫链的“无记忆性”和齐次性。用矩阵 表示,即为 p (k) =P (k-1) P,
变量Xt与之对应,则称{Xt, t∈T}为一随机过程。
是离散的,则称{Xt, t∈T}为离散型随机过程。
T
为离散集（不妨设T={t0, t1, t2, …, tn, …}）,同时Xt的取值也
第6章 设有一离散型随机过程 ,它所有可能处于的状态的集合 为S={1, 2,…, N},称其为状态空间。系统只能在时刻t0, t1, t2, …
第6章 当系统由一种状态变为另一种状态时 ,我们称之为状态 转移。例如,洗衣粉销售市场状态的转移就是各种牌号洗衣 粉市场占有率的变化。显然,这类系统由一种状态转移到另 一种状态完全是随机的,因此必须用概率描述状态转移的各 种可能性的大小。如果在时刻tn系统的状态为Xn=i的条件下,
在下一个时刻tn+1系统状态为Xn+1=j的概率pij (n)与n无关,则
第6章
第6章 马尔可夫预测方法
6.1 马尔可夫预测的基本原理 6.2 马尔可夫预测的应用
思考与练习
第6章
6.1 马尔可夫预测的基本原理
6.1.1 为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态）,可 以用一组随时间进程而变化的变量来描述。如果系统在
任何时刻上的状态是随机的,则变化过程就是一个随机过
程。 设有参数集T (-∞, +∞),如果对任意的t∈T,总有一随机
改变它的状态。为简便计,以下将Xtn等简记为Xn。
一般地说 ,描述系统状态的随机变量序列不一定满足相 互独立的条件,也就是说,系统将来的状态与过去时刻以及现
在时刻的状态是有关系的。在实际情况中,也有具有这样性
质的随机系统： 系统在每一时刻（或每一步）上的状态,仅 仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。这个性质称为无 后效性,即所谓马尔可夫假设。具备这个性质的离散型随机 过程,称为马尔可夫链。用数学语言来描述就是：
称矩阵
p11 p P 21 pN 1
p12 p22 pN 2
p1N p2 N pNN
(6.2)
为该系统的状态转移概率矩阵,简称转移矩阵。
为了论述和计算的需要,引入下述有关概念。
第6章 概率向量 对于任意的行向量（或列向量）,如果其 每个元素均非负且总和等于1,则称该向量为概率向量。 概率矩阵 由概率向量作为行向量所构成的方阵称 为概率矩阵。对于一个概率矩阵 P, 若存在正整数 m, 使 得 Pm的所有元素均为正数 , 则称矩阵 P为正规概率矩阵。
称此马尔可夫链是齐次马尔可夫链 , 并 pij=P{Xn+1=j|Xn=i}i, j=1, 2, …, N称pij为状态转移概率。显然,
pij P{ X n 1 j X n i} i, j 1,2,...N
p
j 1
N
ij
1
i 1,2,...N
第6章 转移矩阵设系统的状态转移过程是一齐次马尔可夫 链,状态空间S={1, 2, …, N}为有限,状态转移概率为pij,则
p (k) ij=P{Xn+k=j|Xn=i} P(k) =(p (k) ij) N×N (6.3) 称p (k) ij为k步状态转移概率, P(k)为k步状态转移概率 矩阵,它们均与n无关（从式(6.4)也可看出）。 特别地,当k=1时,p 概率求出。
(1) ij=pij为1步状态转移概率。马
ห้องสมุดไป่ตู้
尔可夫链中任何 k 步状态转移概率都可由 1 步状态转移
p
(k)
=Pk
k ≥1
(6.4)
记t0为过程的开始时刻,pi(0)=P{X0=X(t0)=i}, P(0)=(p1(0), p2(0), …, pN(0))
第6章 为初始状态概率向量。 如已知齐次马尔可夫链的转移矩阵 P=(pij) 以及初始状态
概率向量P(0),则任一时刻的状态概率分布也就确定了：
例如,
0.7 0.3 A 0 . 5 0 . 5
中每个元素均非负 , 每行元素之和皆为 1, 行数和列 数相同,为2×2方阵,故矩阵A为概率矩阵。
第6章 概率矩阵有如下性质： 如果A、B皆是概率矩阵,则 AB也是概率矩阵；如果 A是概率矩阵, 则A的任意次幂
Am(m≥0)也是概率矩阵。对k≥1,
第6章 如果对任一n>1,任意的i1, i2, …, in-1 , j∈S,
P{Xn=j|X1=i1, X2=i2, …, Xn-1=in-1}=P{Xn=j|Xn-1=in-1} (6.1) 则称离散型随机过程{Xt, t∈T}为马尔可夫链。 例如,在荷花池中有N张荷叶,编号为1, 2, …, N。假设有一 只青蛙随机地从这张荷叶上跳到另一张荷叶上。青蛙的运动 可看作一随机过程。在时刻tn,青蛙所在的那张荷叶,称为青蛙 所处的状态。那么 ,青蛙在未来处于什么状态 ,只与它现在所 处的状态i(i=1, 2, …, N) 有关,与它以前在哪张荷叶上无关。 此过程就是一个马尔可夫链。 由于系统状态的变化是随机的 , 因此 , 必须用概率描述状 态转移的各种可能性的大小。