4.3《不等式的解集》典型例题

不等式的解集 典型例题

例题1 分别试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：

（1）1=x 是不等式的一个解；

（2）它的正整数解为1，2，3，4．

例题2 11=x 是不是不等式1623-<+-x 的解？3=x 是不是不等式

1623-<+-x 的解？你能知道不等式1623-<+-x 的解集吗？

例题3 当x 取下列数值时，哪些是不等式36x +<的解？哪些不是？

-4，-2.5，0，1，3.5，4，4.5，7

例题4 试判断－2，1，2，2

11-，10，0，3是否是不等式532>+x 的解？再找出这个不等式的另外两个小于2的解．

例题5 求不等式63<+x 的正整数解．

例题6 方程93=x 的解有 个，不等式39x <的解有 个，其中非负整数有几 个.

例题7 对于不等式21<+x ，小东认为所有非正数（负数与零的统称）都是这个不等式的解，马上写下“该不等式的解集是0≤x ”，你认为对吗？为什么？

例题8 将下列不等式的解集在数轴上表示出来．

（1）3>x ；（2）31≥+x ；（3）5≤x 的非负整数解．

例题9 将数轴上x 的范围用不等式表示．

（1）

（2）

（3）

例题10 将下列不等式的解集在数轴上表示出来：

（1）2>x ； （2）2

（4）2≤x ； （5）3-≥x ； （6）a x ≤（0>a ）

例题11 已知－4是不等式9>ax 的解集中的一个值，试求a 的取值范围．

参考答案

例题1 分析 只要写出一个满足条件的不等式即可，事实上，满足这个条件的式子有无数个．

解答 （1）13>x ． （2）5.62<+x ．

例题2 解答 ∵当11=x 时，1631211323-<-=+⨯-=+-x ，

∴11=x 是1623-<+-x 的解．

∵当3=x 时，723323-=+⨯-=+-x 不小于－16，∴3=x 不是1623-<+-x 的解．

在1623-<+-x 的两边都减去2，得183-<-x ，再在两边都除以－3，得6>x 是不等式1623-<+-x 的解集．

例题3 分析 利用定义，只要把每个值代入不等式加以验算，就可得出结论.

解答 当4-=x 时,1343-=+-=+x ,而16-<,所以4-是不等式36x +<的解.

当4=x 时，7343=+=+x ，而7≮6（“≮”读作“不小于”），所以4不是不等式36x +<的解.

类似地，我们可得：

4-，5.2-，0，1都是不等式36x +<的解；

5.3，4，5.4，7都不是不等式36x +<的解.

例题4 分析 分别将题中所给的各数代入不等式的左边，求出对应值，然后比较左边的值是否大于5，．根据上述情况，确定不小于2的解．

解答 （1）当2-=x 时，不等式的左边<-=+-⨯=13)2(2右边，所以2-=x 不是不等式的解；

（2）当1=x 时，不等式的左边＝2×1＋3＝5＝右边，故1=x 不是不等式的解；

（3）当2=x 时，不等式的左边>=+⨯=7322右边，故2=x 是不等式的解；

（4）当211-=x 时，不等式的左边<=+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⨯=03232右边，故211-=x 不是不等式的解；

（5）当10=x 时，不等式的左边>=+⨯=233102右边，故10=x 是不等式的解；

（6）当0=x 时，不等式的左边<=+⨯=3302右边，故0=x 不是不等式的解：

（7）当3=x 时，不等式的左边>=+⨯=9332右边，故3=x 是不等式的解． 由上述可知，当1=x 时不等式的左边与右边相等，且负数和0都不是不等式的解，可推得不等式的解的值应大于1．故不等式小于2的解应在1与2之间，如311,211等，都是不等式小于2的解． 例题5 解答 由不等式的基本性质1，得36-

说明 本例是求不等式的特殊解（正整数解），可先利用不等式的基本性质求出不等式的所有解（即不等式的解集），然后从所有解中筛选出特殊解．

例题 6 解答 方程93=x 是一个一元一次方程，它只有一个解3=x ；而不等式39x <有无数多个解，表示为3x <，只要比3小的数都是它的解；比3小的非负整数有0，1，2三个.

例题7 分析 显然，所有非正数都能使该不等式成立，但所有非正数不是这个不等式解的全部．我们发现，还有0.1，0.2，0.3，…，0.11，0.12，0.3，…都是这个不等式的解．因此，小东写出的解集0≤x 是错误的．

解答 不对．因为还有满足10<

例题8 分析 将不等式的解集在数轴上表示时，应注意：①不等号的方向；②不含某一数时用空心点表示，含某一数时用实心点表示．本例中的（3）表示时是一些间断点，不连续．

解答 （1）

（2）

（3） 例题9 分析 （1）中，包括212-这一点，解集在2

12-的正方向． （2）中，不包括1这一点，解集在1的负方向；

（3）包括－2，不包括212，解集在－2和2

12之间． 解答 （1）212-≥x ；（2）1

122<≤-x ． 说明 解这类题时，先看实心点还是空心点，再看该点表示的数，最后看方向．

例题10 解答 （1）如图1 （2）如图2

图1 图2

（3）如图3 （4）如图4

图3 图4

（5）如图5 （6）如图6

图5 图6

说明 在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意画线的方向和起点：大于向右画，小于向在画；不等号中含有等号起点画实心圆点，不含有等号起点画圆圈．

例题11 解答 由94>-a 得

4

9-