4.3《不等式的解集》典型例题

不等式的解集 典型例题例题1 分别试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）1=x 是不等式的一个解；（2）它的正整数解为1，2，3，4．例题2 11=x 是不是不等式1623-<+-x 的解？3=x 是不是不等式1623-<+-x 的解？你能知道不等式1623-<+-x 的解集吗？例题3 当x 取下列数值时，哪些是不等式36x +<的解？哪些不是？-4，-2.5，0，1，3.5，4，4.5，7例题4 试判断－2，1，2，211-，10，0，3是否是不等式532>+x 的解？再找出这个不等式的另外两个小于2的解．例题5 求不等式63<+x 的正整数解．例题6 方程93=x 的解有 个，不等式39x <的解有 个，其中非负整数有几 个.例题7 对于不等式21<+x ，小东认为所有非正数（负数与零的统称）都是这个不等式的解，马上写下“该不等式的解集是0≤x ”，你认为对吗？为什么？例题8 将下列不等式的解集在数轴上表示出来．（1）3>x ；（2）31≥+x ；（3）5≤x 的非负整数解．例题9 将数轴上x 的范围用不等式表示．（1）（2）（3）例题10 将下列不等式的解集在数轴上表示出来：（1）2>x ； （2）2<x ； （3）2≥x ；（4）2≤x ； （5）3-≥x ； （6）a x ≤（0>a ）例题11 已知－4是不等式9>ax 的解集中的一个值，试求a 的取值范围．参考答案例题1 分析 只要写出一个满足条件的不等式即可，事实上，满足这个条件的式子有无数个．解答 （1）13>x ． （2）5.62<+x ．例题2 解答 ∵当11=x 时，1631211323-<-=+⨯-=+-x ，∴11=x 是1623-<+-x 的解．∵当3=x 时，723323-=+⨯-=+-x 不小于－16，∴3=x 不是1623-<+-x 的解．在1623-<+-x 的两边都减去2，得183-<-x ，再在两边都除以－3，得6>x 是不等式1623-<+-x 的解集．例题3 分析 利用定义，只要把每个值代入不等式加以验算，就可得出结论.解答 当4-=x 时,1343-=+-=+x ,而16-<,所以4-是不等式36x +<的解.当4=x 时，7343=+=+x ，而7≮6（“≮”读作“不小于”），所以4不是不等式36x +<的解.类似地，我们可得：4-，5.2-，0，1都是不等式36x +<的解；5.3，4，5.4，7都不是不等式36x +<的解.例题4 分析 分别将题中所给的各数代入不等式的左边，求出对应值，然后比较左边的值是否大于5，．根据上述情况，确定不小于2的解．解答 （1）当2-=x 时，不等式的左边<-=+-⨯=13)2(2右边，所以2-=x 不是不等式的解；（2）当1=x 时，不等式的左边＝2×1＋3＝5＝右边，故1=x 不是不等式的解；（3）当2=x 时，不等式的左边>=+⨯=7322右边，故2=x 是不等式的解；（4）当211-=x 时，不等式的左边<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=03232右边，故211-=x 不是不等式的解；（5）当10=x 时，不等式的左边>=+⨯=233102右边，故10=x 是不等式的解；（6）当0=x 时，不等式的左边<=+⨯=3302右边，故0=x 不是不等式的解：（7）当3=x 时，不等式的左边>=+⨯=9332右边，故3=x 是不等式的解． 由上述可知，当1=x 时不等式的左边与右边相等，且负数和0都不是不等式的解，可推得不等式的解的值应大于1．故不等式小于2的解应在1与2之间，如311,211等，都是不等式小于2的解． 例题5 解答 由不等式的基本性质1，得36-<x ，即3<x 是不等式63<+x 的解集，因此不等式63<+x 的正整数解为1，2，共两个．说明 本例是求不等式的特殊解（正整数解），可先利用不等式的基本性质求出不等式的所有解（即不等式的解集），然后从所有解中筛选出特殊解．例题 6 解答 方程93=x 是一个一元一次方程，它只有一个解3=x ；而不等式39x <有无数多个解，表示为3x <，只要比3小的数都是它的解；比3小的非负整数有0，1，2三个.例题7 分析 显然，所有非正数都能使该不等式成立，但所有非正数不是这个不等式解的全部．我们发现，还有0.1，0.2，0.3，…，0.11，0.12，0.3，…都是这个不等式的解．因此，小东写出的解集0≤x 是错误的．解答 不对．因为还有满足10<<x 的数是这个不等式的解，所以说这个不等式的解集应为1<x ．例题8 分析 将不等式的解集在数轴上表示时，应注意：①不等号的方向；②不含某一数时用空心点表示，含某一数时用实心点表示．本例中的（3）表示时是一些间断点，不连续．解答 （1）（2）（3） 例题9 分析 （1）中，包括212-这一点，解集在212-的正方向． （2）中，不包括1这一点，解集在1的负方向；（3）包括－2，不包括212，解集在－2和212之间． 解答 （1）212-≥x ；（2）1<x ；（3）2122<≤-x ． 说明 解这类题时，先看实心点还是空心点，再看该点表示的数，最后看方向．例题10 解答 （1）如图1 （2）如图2图1 图2（3）如图3 （4）如图4图3 图4（5）如图5 （6）如图6图5 图6说明 在数轴上表示不等式的解集时，要特别注意画线的方向和起点：大于向右画，小于向在画；不等号中含有等号起点画实心圆点，不含有等号起点画圆圈．例题11 解答 由94>-a 得49-<a 说明 －4是不等式的解集中的一个值，可代入，训练逆向思维能力．知识拓展:借助于不等式的解集解题不等式的解集是研究不等式问题的一个重要内容，它在实际解题中有着广泛的应用，现举几例说明.一、确定字母的范围例1 已知关于x 的不等式2x a -≤1的正整数解是1，2，3，4，5，6，7，8，试求a 的取值范围.分析 若能用含a 的不等式表示出不等式的解集，再由已知的正整数解，即可确定解集中最大解的取值范围，从而建立关于a 的不等式即可求解. 解 解关于x 的不等式2x a -≤1，得x ≤2+a . 因为关于x 的不等式2x a -≤1的正整数解是1，2，3，4，5，6，7，8， 所以有不等式8≤2+a ＜9，解得6≤a ＜7.说明 求解本题时逆用了不等式的解集的概念.二、确定另一个相关不等式的解集例2 若关于不x 等式mx ＞n 的解集为x ＜43.试解关于x 的不等式：(2m －n )x +m －5n ＞0.分析 因为一次不等式的解集只有一个，即不等式的解集是唯一的，所以此类题可先由解集存在的唯一性，列方程求系数间的关系，再代入另一个不等式求解集.解 因为mx ＞n 的解集为x ＜43，所以可知m ＜0，当m ＜0时，则x ＜m n ， 所以m n ＝43，所以n ＝43m . 所以不等式(2m －n )x +m －5n ＞0即可转化为54mx ＞114m . 说明 本题实际上运用了不等式的解集存在的唯一性求解.三、求代数式的值例3 若不等式组24,25x a x a b +>⎧⎨--<⎩的解是0＜x ＜2，试求a +b 的值. 分析 视a 与b 为常数，确定不等式组24,25x a x a b +>⎧⎨--<⎩的解集，进而利用已知条件构造方程组即可求出a 与b 的值，从而使问题获解.解 视a 与b 为常数，解不等式组24,25,x a x a b +>⎧⎨--<⎩得42,5.2x a a b x >-⎧⎪⎨++<⎪⎩ 因为不等式组24,25x a x a b +>⎧⎨--<⎩的解是0＜x ＜2，所以有420,5 2.2a ab -=⎧⎪⎨++=⎪⎩解得2,3.a b =⎧⎨=-⎩ 所以当a ＝2，b ＝－3时，a +b ＝－1.说明 解此类题的关键的要熟悉逆向应用不等式或不等式组的解集，从而根据解集存在的唯一性，列出方程或方程组求解.下面几道题目供同学们自己练习：1，已知关于(1－a )x ＞2的不等式的解集为x ＜a-12，则a 的范围是＿＿＿. 2，若不等式组⎩⎨⎧->+<121m x m x 无解，试确定m 的取值范围. 3，若关于不x 等式mx ＞n 的解集为x ＜53，试解关于x 的不等式(2m －n )x ＞m +5n .4，若不等式组21,23x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为－1＜x ＜1，求(a +1)(b －1)的值.参考答案：1，由不等式的性质可知：当(1－a )x ＞2的解集为x ＜a-12时，只有在1－a ＜0的前提下，才能成立，故a ＞1.2，因不等式组无解，所以两个解集x ＜m +1与x ＞2m －1无公共部分,，可以借助数轴可观察到：点m +1在点2m －1的左边或两点重合，所以m +1≤2m －1，所以得m ≥2. 3，由mx ＞n 的解集为x ＜53，可知m ＜0，当m ＜0时，则x ＜m n ，所以mn ＝53，所以n ＝53m ，不等式(2m －n )x ＞m +5n 可化为75mx ＞2m ，又m ＜0，所以解得x ＜710. 4，原不等式组可化为1,232.a x xb +⎧<⎪⎨⎪>+⎩又知解集为－1＜x ＜1，所以12a +＝1，3+2b ＝－1，所以a ＝1，b ＝－2，所以(a +1)(b －1)＝－6.。