例谈几何应用题的解法

例谈几何应用题的解法

山东 戴桂生 张同军

全日制义务教育数学新课程标准对数学建模提出了明确要求。标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”数学建模对初中学生来说是难点，强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。但许多同学在数学建模时不得法，导致失分严重。下面结合具体例题，分类解析与几何图形有关的应用题的求解策略.

一. 与直线有关的应用问题

例1. 为保护环境，市政府计划在连结A 、B 两居民区的公路北侧1 500m 的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A,B 两居民区的距离相等．

(1)若要以1：50 000的比例尺画设计图,求污水处理厂到公路的图上距离；

(2)在图中画出污水处理厂的位置P.

解：(1)设图上污水处理厂到公路的距离为x m,则有5000011500=x .解得x=0.03(m)=3(cm).

(2)因为要求污水处理厂到A,B 两居民区的距离相等，所以污水处理厂的位置应在线段AB 的垂直平分线的正北方向,并且到线段AB 的距离为3cm ．如图6所示．

点拨：该应用比例尺计算时应注意设未知数时,未知数的单位要与题中已知的长度单位统一.

二.与三角形有关的应用问题

例2. 如图，小明想测量校园一棵不可攀的树的高度，由于无法直接度量

A 、

B 两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案．

（1)画出测量图案；

(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）；

(3)计算A 、B 间的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）． 解；如果是在晴朗的白天测量，可借鉴一面小镜子侧量．

(1)测量图案如右图所示．

(2)测量步骤：①量出CA=a ，在C 处放一个小镜子；②沿AC 向后退，直至能在小镜中看到树尖B 时停止；③量出CD=b ，侧量者的目高DE=c.(3)根据光学中的“入射角＝反射角”可知∠DCE ＝∠ACB,从而有Rt △DCE ∽Rt △ACB,∴

CD AC DE AB =,即b a c AB =,解得AB=b

ac .如果是阴天，可使用专业测量仪器进行测量． (1)侧量图案如右图所示.

(2)测量步骤：

①度量AD=a ；②仪器高度CD=b ；③∠BCE=α.

(3)计算： AB=BE+EA=atan α+b.

点拨：测量方法不唯一,只要合理即可.上述测量的方法一虽然比较便捷,但有个限定条件—必须有阳光；后一种方法虽然适用于任何天气,但需要有测量仪.

三. 与四边形有关的应用问题

例3. 如图，在把易拉罐中的水倒人一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P 与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为（ ）

A. 2 cm

B. 4 cm

C. 6 cm

D. 8 cm

分析：从图中的数据和符号可知，易拉罐镶入圆水杯中的部分是一个等腰直角三角形，点P 到水杯口的水平面的距离等于直角三角形斜边的一半（水杯直径的一半），即为4．此时水杯中的水深为10-4＝6（cm)．

答案：C.

点拨：该题关键是结合图形理解题意,正确地进行数学建模.

四. 与圆有关的应用问题

例4. 2005年10月，继杨利伟之后，航天员费俊龙、聂海胜又遨游了太空，这大大激发了王红庭同学爱好天文学的热情．他通过上网查阅资料了解到，金星和地球的运行轨道可以近似地看做是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上(如图①所示），由于金星和地球的运转速度不同，所以两者的位置不断发生变化，当金星、地球距离最近时，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约为15(千万km ），金星与太阳相距约10(千万km)，分别求“下合“东大距”“西大距”“上合”时，金星、地球的距离（可用根号表示）．

（注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时,别叫做西大距、东大距）

解：由题意可知，小圆是金星运行的轨道，大圆是地球运行的轨道，圆心O 是太阳所在位置（如图②）．当金星位于点A ，地球位于点B 时，金星和地球的距离最近，即下合．此时它们的距离等于两圆半径之差，即15-10=5(千万km).当金星位于点C,地球位于点B 时，金星和地球相距最远，即上合．此时它们的距离等于两半径之和，即15＋10=25(千万km)．当金星位于点D,地球位于点B(OD ⊥BD)时，称为西大距．此时，金星、地球的距离BD=5510152222=-=-OD OB （千万km)．根据圆的轴对称性可知，金星与地球的东大距也等于55（千万km)．

点拨：该题的关键是数学建模,将实际问题转化为同心圆的计算问题.

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