海伦-秦九昭公式的推导与证明-江彬
秦九韶公式的推导过程
秦九韶公式的推导过程秦九韶公式，也称为求解一元二次方程的公式，是指在已知一元二次方程的三个系数（a、b、c）的情况下，通过特定的计算方法求得方程的根。
它的推导过程如下：我们假设一元二次方程的标准形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。
接下来，我们将方程两边同时乘以4a，得到4a²x²+4abx+4ac=0。
然后，我们将方程两边同时加上b²，得到4a²x²+4abx+b²+4ac=b²。
接着，我们将方程左边的式子进行因式分解，得到(2ax+b)²=b²-4ac。
然后，我们对方程两边同时开平方根，得到2ax+b=±√(b²-4ac)。
接下来，我们将方程两边同时减去b，得到2ax=-b±√(b²-4ac)。
我们将方程两边同时除以2a，得到x=(-b±√(b²-4ac))/2a。
至此，我们成功地推导出了秦九韶公式。
这个公式的推导过程并不复杂，但却是数学研究中的重要成果之一。
它为解决一元二次方程提供了简明有效的方法，使我们能够在不通过图像的情况下，直接通过计算得到方程的根。
秦九韶公式的推导过程中，我们运用了因式分解、开平方根等基本数学运算，这些运算是数学研究中常见且重要的方法。
通过这些方法，我们能够将复杂的数学问题转化为简单的计算过程，从而得到准确的结果。
在实际应用中，秦九韶公式被广泛地应用于数学、物理、工程等领域。
通过这个公式，我们能够解决一些实际问题，比如求解抛物线的顶点、计算抛物线与直线的交点等等。
这些问题在实际生活中具有一定的实用性和重要性。
秦九韶公式的推导过程简洁明了，通过几个基本的数学运算，我们可以得到一元二次方程的解析解。
这个公式在数学研究和实际应用中起到了重要的作用，方便了我们解决一些复杂的问题。
掌握了秦九韶公式的推导过程，我们能够更好地理解和应用这个公式，提高数学问题的解决能力。
秦九韶之“三斜求積術”及海倫公式之《測量儀器》証明法
秦九韶之“三斜求積術”及海倫公式之《測量儀器》証明法-1-秦九韶之“三斜求積術”及海倫公式之《測量儀器》証明法上傳書齋：瀟湘館112何世強HoSaiKeung提要：本文主要談及秦九韶《數學九章?三斜求積》之術，即已知一三角形之三邊，求其面積。
秦九韶有公式求其積，此公式可演變為海倫公式﹝Heron’sformula/Hero’sformula﹞。
海倫公式海倫在其著作《測量儀器》及《度量數》中作出證明，本文詳述其証明法。
本文尚涉及印度數學家婆什迦羅﹝Bhaskara﹞之求三角形面積法。
關鍵詞：秦九韶、數學九章、海倫公式、《測量儀器》、三斜求積、婆什迦羅、麗羅娃蒂。
第1節秦九韶之三斜求積術南宋數學家秦九韶著《數書九章》，又名《數學九章》，共九卷，每卷分上下﹝或視之為十八卷﹞。
秦九韶著此書於宋?淳祐七年（1247年）。
該書卷三上?有“三斜求積”之術，“三斜”即三邊不相等之三角形之三邊，即今之所謂任意三角形。
積，面積也。
任意三角形最長之邊是為“大斜”，中長之邊是為“中斜”，最短之邊是為“小斜”，此“三斜”為已知之數，今求其面積。
此三角形如下圖所示：-2-三斜圖今設“大斜”為a，“中斜為c，“小斜為b；各邊所對應之角分別為A、C及B。
另外，AD垂直BC，AD高h，BD之長為q，DC長p，即q+p=a。
秦九韶之三斜求積術只用a、b及c。
其面積可從下式而得：222222241cbaba。
以下為其現代數學証明法：求三角形面積先從餘弦公式開始cosC=ab21(a2+b2–c2)。
ΔABC=21absinC=21abC2cos1?=21ab2222224)(1bacba22222224)(4cbaba =22222222)(41cbaba =222222241cbaba。
-3-此即為秦九韶之求三角形面積公式，稱為“三斜求積”術。
但秦九韶並非以此法証明其式。
此証明法不算複雜，但須明白何謂“餘弦公式”。
以下為此式之文字說明﹝見《數學九章》原文﹞，非証明：術曰：以少廣求之。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
阅读思考..海伦公式
2ac
2
2
a c b
2 2
2 2
2ac a
c 2 b 2 2ac a 2 c 2 b 2
2
2
1 2a
a c
b 2 b 2 a c
1 2a
a c
2
b
2
b
2
a c
2
1 2a
4
b ac . 4
2
21 因为： p源自 a b c 2所以，原式
2p 2b 2 p 2c 2 p 2a p. . . 2 2 2
p P a p b p c
综合运用
如图，△ABC的三个顶点坐标分别是 A(0,2),B(4,0),C(6,4)求△ABC的周长和面积
a b c a c b b a c b a c
∴S△=½.a.AD
1 a b c a c b b a c b a c =½.a. 2a 1 a b c a c b b a c b a c 4 a b c . a b c . a b c . a b c
y
（6，4）
C
AB
Bc AC
x2 x1 y2 y1
2
2 2
2
2 5 （0，2）
A
x2 x1 y2 y1 x2 x1 y2 y1
2
2 5
O
2
2 10
5 2 10
B （4，0）
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
数学文化之海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程 ①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a-x,
由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，
则h 2=c 2-x 2=b 2-（a-x ）2，
解出x 得x=222
c -b +a 2a ， 于是h=222
2c -b +a c -2a 2
（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222
2c -b +a c -2a 2
（），
即S=12222
22c +a -b c a -22（），
令p=1
2（a+b+c ），
对被开方数分解因式，并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证.
②由海伦公式推导秦九韶公式
秦九韶公式：])2([4122
2
222c b a b a S -+-=.
推导过程:
))()((c p b p a p p ---.。
海伦-秦九韶公式
海伦公式在几何中，已知三边的长，求三角形的面积，我们都知道使用求积公式：△＝√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 其中s=1/2(a+b+c)这个公式一般称之为海伦公式，因为它是由古希腊的著名数学家海伦首先提出的。
有人认为阿基米德比海伦更早了稳这一公式，但是由于没有克凿的证据而得有到数学界的承认。
诲伦是亚历山大学派后期的代表人物，亚历山大后期，希腊文明遭到了严重的摧残，随着罗马帝国的扩张，希腊处于罗马的统治之下，亚里山的图书馆等被付之以火，这是历史上最大的文化浩动之一。
在罗马统治下，科学技术主要是为阶级的军事征战和一公贵族的奢侈需要服务的，他们讲求实用而轻视理论。
虽然亚历山大城仍然保持着数学中心的地痊，出现了诸如托勒密和丢番图等数学家，但是毕竟无法挽救希腊衰亡的命运。
与此同时，基督都在希腊兴起，基督教的兴起和传播，使得相像在一定历史条件下的科学淹没在宗教的热忱中，从此，希腊数学蒙受了更大的灾难。
到了公元415年，希腊女数学家希帕提亚在街上被疯狂的基督教徒割成碎块，她的学生被迫逃亡，从此，盛极一时的亚历山学派就这样无声无地结束了。
海伦就生活在这样的黑暗统治之中，幸运的是，他生活在亚历山大文明遭到摧残的早期，作为一各杰出的工程师和学者，他有许多发明，在数学、物理、测量等方面都有著作，是一位学识非常渊博的学者。
他注重实际应用。
最著名的贡献就是提出并证明了已知三边求三角形面积的公式。
这个公式出现在他的》几何学《一书中，除此之外，他还研究了正多边形示积法、二次方程求解等问题。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。
所以他们想到了三角形的三条边。
如果这样做求三角形的面积也就方便多了。
但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积直到南亲，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶数学公式推导海伦公式
秦九韶数学公式推导海伦公式好嘞，以下是为您生成的文章：在数学的奇妙世界里，有两个公式如同两颗璀璨的明珠，一个是秦九韶数学公式，另一个则是海伦公式。
今天咱们就来唠唠，这秦九韶数学公式是怎么推导出海伦公式的。
先来说说秦九韶数学公式。
秦九韶公式是这样的：对于一个三角形，三边分别为 a、b、c，它的面积S = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]，这里的 s = (a + b + c) / 2 。
再瞅瞅海伦公式，它是说：三角形的面积S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] ，其中 p = (a + b + c) / 2 。
你瞧，这俩公式是不是长得挺像？那它们到底是怎么关联起来的呢？我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别较真儿，一直缠着我问到底咋推导的。
我就耐心地给他一步一步地解释。
咱们先从秦九韶公式入手。
s = (a + b + c) / 2 ，那 2s = a + b + c 。
然后把秦九韶公式展开：S² = [s(s - a)(s - b)(s - c)]= s² × (s - a) × (s - b) × (s - c)= [(a + b + c) / 2]² × [(a + b + c) / 2 - a] × [(a + b + c) / 2 - b] × [(a + b + c) / 2 - c]咱们把后面那几个式子化简一下：[(a + b + c) / 2 - a] = (b + c - a) / 2[(a + b + c) / 2 - b] = (a + c - b) / 2[(a + b + c) / 2 - c] = (a + b - c) / 2把这些化简后的式子代回去：S² = [(a + b + c) / 2]² × (b + c - a) / 2 × (a + c - b) / 2 × (a + b - c) / 2这时候，你发现没有，这和海伦公式的形式已经非常接近啦！再把上面式子整理一下，就得到了海伦公式的形式。
秦九韶海伦公式的证明过程
秦九韶海伦公式的证明过程嘿，咱今儿来聊聊秦九韶海伦公式的证明过程哈！这可是个相当有意思的玩意儿呢！咱先来说说啥是秦九韶海伦公式。
简单来讲，它就是用来计算三角形面积的一个神奇公式。
你想啊，给你一个三角形，要你算出它的面积，要是没这个公式，那得多费劲呀！但有了它，就像找到了一把钥匙，一下子就能把门打开啦！那它到底是咋证明出来的呢？咱一步一步来看哈。
咱先设三角形的三条边分别为 a、b、c，半周长为 s。
然后呢，就开始捣鼓啦！这证明过程就像是搭积木一样，一块一块往上垒。
你看，先是通过一些巧妙的计算和推导，得出一些中间的式子。
这就好比是先找到合适的积木块。
然后呢，再把这些式子组合起来，就像把积木搭成一个漂亮的城堡。
哇塞，突然之间，秦九韶海伦公式就出现在眼前啦！这就好像变魔术一样神奇，不是吗？你想想，本来毫无头绪的一个问题，通过这么一番操作，就变得清晰明了啦！你说这古人咋就这么聪明呢？他们是咋想到这些的呀？难道他们脑袋里装了个超级计算器不成？其实啊，这都是他们不断思考、不断尝试的结果。
就跟咱平时做事一样，多琢磨琢磨，说不定就能找到好办法呢！而且你发现没，数学这东西，有时候真的很神奇。
一个小小的公式，背后可能蕴含着巨大的智慧和奥秘。
咱再回过头来看看这个秦九韶海伦公式的证明过程，每一步都充满了智慧的火花呀！这就像在黑暗中点亮了一盏盏小灯，最后照亮了整个道路。
咱学习这个证明过程，可不仅仅是为了知道怎么证明，更是要学习古人的那种钻研精神。
遇到问题不退缩，努力去寻找答案。
你说要是咱平时遇到难题都能像古人研究这个公式一样，那还有啥问题解决不了呀？对吧！总之呢，秦九韶海伦公式的证明过程是个非常有趣且充满智慧的东西。
咱可得好好研究研究，说不定还能从中发现更多的宝藏呢！你说是不是呀？嘿嘿！。
数学文化之海伦—秦九韶公式
数学文化之海伦—秦九
韶公式
Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
海伦—秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的着作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.
我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式
下面我们对公式②进行变形：
这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.
证明过程
①海伦公式的证明
证明：如图，在△ABC中，过A作高AD交BC于D,设BD = x，那么DC = a-x,
由于AD是△ABD、△ACD的公共边，
则h2=c2-x2=b2-（a-x）2，
对被开方数分解因式，并整理得到
②由海伦公式推导秦九韶公式
推导过程:
p
a
p-
-
-.
)
p
)(
b
)(
(c
p。
《海伦-秦九韶公式》课件PPT
海伦-秦九韶公式
海伦-秦九韶公式
如图，△ABC中，AB=
3 , BC=
15
, AC=2
2
, 求△ABC的面积.
如图，△ABC中，AC= 6 , BC=8 , ∠C= 30︒,求该三角形的面积。
海伦-秦九韶公式
已知：三角形的三边，a=1 ,b= 2 2 , c= 3, 求该三角形的面积。
已知： △ABC的三边，a=5 ,b= 12 , c= 13, 求该三角形的面积。
4
4.勾 股 定 理：
∠C=90︒
2
2
2
a
b
c
勾股定理的逆定理：
a 2 b 2 c 2.
∠C=90︒
1
ah
2 .
问题探究
学习新知
如图，在∆ABC中,BC=a,AC=b,AB=c, 求∆ABC的面积。
D
问题探究
学习新知
解:设CD=X,则BD=a-x
∵AD⊥BC
∴在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2=c2-(a-x)2
4
=
1
[(a b) 2 c 2 ][c 2 (a b) 2 ]
4
=
1
(a 2 b 2 c 2 2ab)[(a 2 b 2 c 2 2ab)]
4
=
1
4a 2 b 2 ( a 2 b 2 c 2 ) 2
4Байду номын сангаас
=
1
2a 2 b 2 2a 2 c 2 2b 2 c 2 a 4 b 4 c 4
2a
1
1
1
2
2
2a
∴S = BC ∙ AD = a ∙
海伦—秦九昭公式的推导和应用
海伦—秦九昭公式的推导与应用海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/ 2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦——秦九韶公式推导的多样性
，
（ ｂ ）ａ－一 ）
／ ＋ ＋）ｏ ｂ ｃ 一ａ Ⅱ ｂ ｃ一 ｂｎ ｂ ｃ 一ｃ （ ｂ ｃ（ ＋ ＋） ２（ ＋ ＋） ２（ ＋ ＋ ） ２ Ⅱ
２ ２ ２ ２ ‘
即 海 俭 — — 泰 力． 公 式 ． 韶
出． 参 考文献 ： ［］ ｔ 吴文俊． 文俊 论数 学机械 化 ［ ．济 南：山东教 吴 Ｍ］
育 出版 社 ，９ ６ １９ ．
（ ａ＋ｂ＋Ｃ （ ） ａ＋ｂ—ｃ （ ） ａ＋ｃ—ｂ （ ） ｂ＋Ｃ—ａ ）
即海 伦 —— 秦 九韶公 式 ：
Ａ ＝ ／（ ｓ Ｓ—ａ （ ） Ｓ—ｂ （ ） ｓ—ｃ ）
可知 ：
如上 图所 示 ， Ｄ ＝ 列方 程可得 Ａ
１
ｆ△ ｃ 寺 ．
１ ＋ｈ ＝ｂ ‘
【 一ｃ ＋ｈ ＝ ｎ （ ）
２ １一（ ｂ［
）］
（ ａ ） 一 （ ＋ｂ ２ ｂ ａ 一ｃ） 。！
一
我们的 目的是消 去 ， ， ｈ 得到 ａ ｂｃ △之 间的关 ，，， 系． 将变元依次排序 Ａ， ｈ 用吴 消元法 对多项 式组 ： ，．
Ｐ．； ｃ・ｈ 一 ２ ， ５
－
４
’
＿
所
＝
…２ ｂ
一
Ｃ
２
—
２ａ ｂ
…
Ｐ
ｈ ＋Ｘ 一ｂ 。 ２
．
一
（ ２ 二 ． ＝ 一 ± ： 二
４ ４
Ｐ ＋ （ —ｃ ：一ａ． ３ｉ ｈ ）
求其 特征列 ， 可得 ：
Ｃ３ ｉ ・ｈ 一 ２Ａ ， ｃ Ｃ ｉ ｘ ＋ ａ２ 一 ｂ 一 ｃ ２ｃ ２
．
ｎ ＋ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ— Ｃ ｃ ＋ ａ — ｂ Ｃ— ａ ＋ ｂ ２ ２ ２ ２ ’
秦九韶公式到海伦公式的变形过程
秦九韶公式到海伦公式的变形过程哎呀，这可是个大问题啊！今天我们就来聊聊秦九韶公式到海伦公式的变形过程，看看这个数学世界里的各种神奇变化。
我们得了解这两个公式是干什么用的。
秦九韶公式是用来解线性同余方程组的，而海伦公式则是用来计算三角形面积的。
这两个公式看起来好像没有什么关系，但是它们之间其实有着千丝万缕的联系哦！我们来看看秦九韶公式。
这个公式是用来解线性同余方程组的，它的原理很简单：把一个线性同余方程组表示成一个关于未知数的一次函数的形式，然后用秦九韶算法求出这个一次函数的值，最后就可以得到方程组的所有解了。
这个算法的名字来源于中国南宋时期的一位数学家秦九韶，他就是发明了这个算法的人。
这个算法虽然看起来很复杂，但是它的核心思想其实很简单：就是把一个复杂的问题分解成一个个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后把这些子问题的解组合起来，就可以得到原问题的解了。
接下来，我们再来看看海伦公式。
这个公式是用来计算三角形面积的，它的原理也很简单：把一个三角形分成三个小三角形，然后分别计算这三个小三角形的面积，最后把这三个小三角形的面积加起来，就可以得到原三角形的面积了。
这个公式的名字来源于古希腊数学家海伦，她是第一个发现这个公式的人。
这个公式虽然看起来很简单，但是它有一个很重要的特点：就是它可以把一个复杂的问题简化成一个个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后把这些子问题的解组合起来，就可以得到原问题的解了。
那么，秦九韶公式和海伦公式之间有什么联系呢？其实，它们之间的联系就是：它们都是用来解决一类特殊的问题的——线性同余方程组和三角形面积的问题。
这两种问题的共同点就在于：它们都可以被分解成一个个简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最后把这些子问题的解组合起来，就可以得到原问题的解了。
这就是秦九韶公式到海伦公式的变形过程！秦九韶公式和海伦公式虽然看起来没有什么关系，但是它们之间其实有着千丝万缕的联系。
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4
4
( (a b)2 c2 )((c2 (a b)2 )
4
4
abc • abc • acb •bca
2
2
2
2
令
p
1 abc
2
S p p a p b p c
学以致用
1、如图，在△ABC中，a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积，运用我们已 经学习过的知识可以直接求解吗？
海伦-秦九韶公式
中数推广组 江彬
教学目标
1、知识与技能： （1）理解秦九韶公式与海伦公式的本质相同； （2）会用海伦公式解决简单的涉及到三角形三边与面积之间关系的问题。 2、过程与方法： （1）经历由秦九韶公式变形到海伦公式的过程，培养学生严谨的数学逻辑思维； （2）提高学生应用海伦公式解决涉及三角形三边与面积之间关系问题的能力。 3、情感态度价值观： （1）体会到数学的简洁美； （2）体会数学以不变应万变的魅力。 (3) 提高学生文化修养,进行爱国主义教育.
a 2 x2 h2
1
c2
x
b
2
h2
2
类似于△ABC是锐角三角形的情况可得：
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
若△ABC是直角三角形，设∠C=90°，则由勾股定理有：
S 1 ab
1
a
2b
2
(
a2
b2
c2
)2
2
4
2
认识海伦公式
三角形的面积：S p p a p b p c
a 2 x2 h2
1
c2
b
x
2
h2
2
将（3）带入（1）式得： h
x a2 b2 c2 3
2b
4a2b2 (a 2 b 2 c 2 ) 4b 2
由于三角形面积：S 1 b h 由上式即得：
2
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
若△ABC是钝角三角形，设∠A＞90°，则由勾股定理有：
海伦-秦九韶公式的由来
能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？
S
1 4
a
2b2
a
2
b2 2
c2
2
( 1 ab)2 ( a2 b2 c2 )2
2
4
(1 ab a2 b2 c2 )(1 ab a2 b2 c2 )
2
4
2
4
( 2ab a2 b2 c2 )(2ab a2 b2 c2 )
知识背景
秦九韶在《数书九章》序言中说，数学"大 则可以通神明，顺性命;小则可以经世务， 类万物"。所谓"通神明"，即往来于变化莫 测的事物之间，明察其中的奥秘;"顺性命"， 即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看 来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且 应该达到"通神明，顺性命"的崇高境界。
秦九韶还创用了"三斜求积术"等，给出了已知三角形三边求三 角形面积公式，与古希腊数学家海伦(Heron，公元50年前后)公 式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的"坚 三穿四壤五，粟率五十，墙法半之"等，即使对当前仍有现实意 义。秦九韶还在十八卷77问"推计互易"中给出了配分比例和连 锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。
∴132-x2=142-(15-x)2
解得：x=6.6 则h=11.2
D
∴S△ABC=84
合作交流、探究新知
我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三 斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰： “三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘 大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为a，小斜记为b，中斜记为c，用 现代公式表示即为：
复习旧知，引入新课
1、三角形面积公式： S 1 底 高
2
2、如图，在△ABC中，a=15，b=14，c=13，求△ABC的面积，运用我们已 经学习过的知识可以直接求解吗？
解：过A点作AD⊥BC于D，设BD=x，CD=15-x，AD=h
利用勾股定理得：
h2=132-x2,h2=142-(15-x)2
由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为： 在任意内接于圆的四边形ABCD中，设四条边长分别 为a、b、c、d，且 p a b c d
2
则S四边形= ( p a)(p b)(p c)(p d)
THE END
博物致知始现良知， 喻事明理方为人杰。
解：p a b c 15 14 13 21
2
2
S△ABC p( p a)( p b)( p c) 21 (2115) (2114) (2113)
84
海伦-秦九韶公式猜想
三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想， 简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？
S
1 4
a 2b 2
a2
b2 2
c2
2
秦九韶公式的证明
中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程
中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式
S ABC
1 2
aha
入手，利用勾股
定理，列方程组求高。
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
秦九韶公式的证明
证明：如图BT是三角形AC边上的高，点T为垂足，记AB=c，AC=b，BC=a，BT=h，CT=x 若△是锐角三角形，则由勾股定理得:
其中：a、b、c分别是三角形的三边长，
p
1 2
a
b
c
海伦公式,此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海 伦发现的，并可在其于公元60年的《度量》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德 时代已经懂得这条公式，而由于《度量》是一部古代数学知识的结集，该公式的发 现时期很有可能先于海伦的著作。