(完整版)3固体物理-晶格振动1

nN
AeitnN aq
An
Ae i t naq e iNaq
eiNaq n
eiNaq 1 Naq 2m q 2 m
Na
又由 q 可得到 N m N
a
a
2
2
因此，一维单原子链中允许的波矢q数目为N，正好是系统自 由度的数目；
一维单原子链
一维单原子链色散关系 2 sin aq （1）长波极限 q 0, m 2
矢q描述的是相同的格波运动；
a
如右图
红色格波波矢
q
2
2
4a
2a
绿色格波波矢
q q 2
a
q
2
2
4a 5
5
2a
2 sin aq 2 sin a 2
m 2 m 2 2a m
2 sin aq 2 sin a 5 2
m2
m 2 2a m
n
Ae i t naq
Aei
n1 Aeitn1aq Aeitnaqeiaq eiaqn
m2n eiaq eiaq 2 n
m2 2 cosaq 1
2 4 sin2 aq 2
m2
sin aq
m2
色散关系
一维单原子链
一维单原子链振动解 n Aeitnaq
描述的是所有原子同时做振幅为A，波矢为q，频率为ω的 振动；原子的集体运动形成了在晶体格子中传播的波，称 为格波；
形式解代回微分方程，可得到
m2 2 cosaq 1
2 4 sin2 aq 2 sin aq
m2
m2
一维单原子链
形式解 n
代回微分方程
Ae i t naq
m
d 2n
dt2
n1 n1 2n
d 2n
dt2
2 Aeitnaq
2n
n1 Aeitn1aq Aeitnaqeiaq eiaqn
sin aq aq a q
22
m
波速 v a 为常数
qm
相邻两个原子的振动相位差 n 1q nq q 0
因此近似于连续介质弹性波（声波，无色散） 解释：当波长 a 时，原子链可以近似看作连续的；
一维单原子链色散关系
一维单原子链
一维单原子链色散关系 2 sin aq
t
na
2a
Ae i
t
n 2
波矢q’和波矢q描述的是相同 的格波运动，因此只需要研 究波矢限制在一个周期（第 一布里渊区）内的情况即可
n
Ae i t naq
Aei
t
na
5 2a
Ae i
t 5n 2
Aei
t
5n 2
2n
Ae i
t
n 2
n
不同波长（波矢）格波的等价性
一维单原子链
只考虑最近邻原子间的相互作用，分析第n个原子受力
受到第n+1个原子的作用力大小为 β(μn+1- μn)，方向向右
受到第n-1个原子的作用力大小为 β(μn- μn-1)，方向向左
第n个原子受合力为β(μn+1+μn-1 -2μn)
根据牛顿第二定律，可得到第n个原子运动方程
m
（2）短波极限
m2
q , 2 2a
a
q
一维单原子链
考虑原子在平衡位置附近振动，偏离平衡位置的位移δ<<a
将U(r)=U(a+ δ)在a附近进行泰勒展开
U
α
δ
U
α
dU dr
ra
δ
1 2
d 2U dr2
ra
δ2
第一项U(r)为常数；
第二项中
dU dr
ra
f
r ra
0
说明：平衡位置处的原子受力为零；
保留二阶项，更高阶项忽略；
d 2n
dt2
n1 n1 2n
一维单原子链
第n个原子运动方程
m
d 2n
dt2
n1 n1 2n
对于原子链中的每个原子，都有一个运动方程
m
d 21
dt2
2
0
21
m
d 22
dt2
3
1
22
m
d 2N
dt2
N 1 N 1 2N
波恩-卡曼(Born-Karman) 周期性边界条件
U
α
δ
U
α
1 2
d 2U dr2
ra
δ2
一维单原子链
考虑原子间的相互作用
U α δ U α
1 2
d 2U dr2
ra
δ2
原子受力
令
d 2U dr2
f r dU dU
dr d
为恢复力常数 ra
d 2U dr2
ra
则有 f ，正好与胡克定律形式相同；
因此，我们所做的近似相当于把相邻原子之间的相互作用
某一时刻的格波运动如右图 所示 （1）图中向上的箭头表示原 子沿x轴向右振动，向下的箭 头表示原子沿x轴向左振动， 箭头的长度表示原子离开平 衡位置的位移大小； （2）相邻两个原子之间的相 位差为(n+1)aq-naq=aq某一 时刻
格波
不同波长（波矢）格波的等价性
当波矢相差为倒格矢整数倍即 q q 2 m时，波矢q’和波
固体物理学
晶格振动1
晶格振动
晶格振动的物理图像 （1）假定晶体中的原子位置用布拉维格子的格矢Rn标记， 但将Rn理解为原子的平衡位置； （2）原子在平衡位置附近做微小的振动，其瞬间位置对平 衡位置的偏离远小于离子间距。 考虑最简单的理想固体：一维单原子链
一维单原子链
一维单原子链 （1）所有原子相同，质量为m； （2）相邻原子平衡位置间距相等，为a； （3）原子间Βιβλιοθήκη Baidu相互作用相同 ，形式为U(r)，r为原子间距；
一维单原子链
一维单原子链色散关系 2 （1）格波波速（相速度）v
sin aq
m2
q
（2）由于 0 sin aq 1可得到
2
02
m （截止频率）
（3）ω具有周期性，周期T=2π/a，研究一个周期内性质即
可，一般取第一布里渊区 q
a
a
一维单原子链
（4）考虑周期性边界条件 nN n 代入 n Aeitnaq 可得到
nN n 1N 1 0N 0
周期性边界条件既保证了 原子数的有限，又消除了 边界的影响，简化了方程 的求解
一维单原子链
在周期性边界条件下，不同原子运动方程满足通式
m
d 2n
dt2
n1 n1 2n
方程具有形式解 n Aeitnaq
其中
A为原子振动的振幅；ω=2πf为圆频率；q=2π/λ为波矢；
使用一个劲度系数为β的弹簧代替；
这一近似称为“简谐近似”；
一维单原子链
一维单原子链 （1）原子质量为m；平衡位置间距为a；相互作用为U(r) ； （2）原子偏离平衡位置距离为μ； 由于热运动，第n个原子偏离平衡位置距离为μn； 第n和n+1个原子的距离由平衡时的a变为a+ μn+1- μn；