第5讲角含半角模型(解析版)
专题 全等三角形模型——手拉手模型与半角模型(解析版)
全等三角形模型——手拉手模型与半角模型手拉手模型特点:由两个等顶角的等腰三角形所组成,并且顶角的顶点为公共顶点,如图所示结论:(1)△ABD ≌△AEC(2)∠α+∠BOC=180°(3)OA 平分∠BOC变形:1.如图,以ABC D 的边AB ,AC 为边,向外作等边ABD D 和等边ACE D ,连接BE ,CD 相交于点F .(1)求证:DC BE =.(2)求DFE Ð的度数.(3)求证:FA 平分DFE Ð.(4)求证:DF AF BF =+.【分析】(1)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出DC BE =即可;(2)根据全等三角形的性质和角的关系得出120DFE Ð=°即可;(3)过点A 作AP DC ^于P ,AQ BE ^于Q ,根据三角形面积公式和角平分线的性质解答即可;(4)在DF 上截取DM BF =,连接AM ,根据全等三角形的判定和性质解答即可.【解答】证明:(1)ABD D Q 和ACE D 是等边三角形,AD AB \=,AE AC =,60DAB EAC AEC ACE Ð=Ð=Ð=Ð=°,DAB BAC EAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð,即DAC BAE Ð=Ð,在DAC D 与BAE D 中,AD AB DAC BAE AC AE =ìïÐ=Ðíï=î,()DAC BAE SAS \D @D ,DC BE \=;(2)DAC BAE D @D Q ,ADF ABF \Ð=Ð,AGD FGB Ð=ÐQ ,60BFG DAG \Ð=Ð=°,120DFE \Ð=°;(3)过点A 作AP DC ^于P ,AQ BE ^于Q ,DAC BAE D @D Q ,\1122DAC BAE S DC AP S BE AQ D D =×==×,DC BE =Q ,AP AQ \=,AP DC ^Q ,AQ BE ^,FA \平分DFE Ð;(4)在DF 上截取DM BF =,连接AM ,在ADM D 与ABF D 中,AD AB ADM ABF DM BF =ìïÐ=Ðíï=î,()ADM ABF SAS \D @D ,AM AF \=,DAM BAF Ð=Ð,60DAB Ð=°Q ,60DAM MAG \Ð+Ð=°,60BAF MAG \Ð+Ð=°,即60MAF Ð=°,AMF \D 是等边三角形,MF AF \=,DF DM MF AF BF \=+=+.2.等边ABD D 和等边BCE D 如图所示,连接AE 与CD ,证明:(1)AE DC =;(2)AE 与DC 的夹角为60°;(3)AE 延长线与DC 的交点设为H ,求证:BH 平分AHC Ð.【分析】(1)根据ABD D 和BCE D 都是等边三角形,即可得到()ABE DBC SAS D @D ,进而得出AE DC =;(2)根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理,即可得到ADH D 中,60AHD Ð=°,进而得到AE 与DC 的夹角为60°;(3)过B 作BF DC ^于F ,BG AH ^于G ,根据全等三角形的面积相等,即可得到BG BF =,再根据BF DC ^于F ,BG AH ^于G ,可得BH 平分AHC Ð.【解答】证明:(1)ABD D Q 和BCE D 都是等边三角形,AB DB \=,EB CB =,ABD EBC Ð=Ð,ABE DBC \Ð=Ð,在ABE D 和DBC D 中,AB DB ABE DBC EB CB =ìïÐ=Ðíï=î,()ABE DBC SAS \D @D ,AE DC \=;(2)ABE DBC D @D Q ,BAE BDC \Ð=Ð,又120BAE HAD ADB Ð+Ð+Ð=°Q ,120BDC HAD ADB \Ð+Ð+Ð=°,ADH \D 中,18012060AHD Ð=°-°=°,即AE 与DC 的夹角为60°;(3)如图,过B 作BF DC ^于F ,BG AH ^于G ,ABE DBC D @D Q ,ABE DBC S S D D \=,即1122AE BG DC BF ´=´,又AE DC =Q ,BG BF \=,又BF DC ^Q 于F ,BG AH ^于G ,BH \平分AHC Ð.3.(2021春•宁阳县期末)如图两个等腰直角ADC D 与EDG D ,90ADC EDG Ð=Ð=°,连接AG ,CE 交于点H .证明:(1)AG CE =;(2)AG CE ^.【分析】(1)由两个等腰直角ADC D 与EDG D ,可得AD CD =,DG DE =,90ADC GDE Ð=Ð=°,进而得出ADG CDE Ð=Ð,然后由SAS 即可判定ADG CDE D @D ,进而可得结论;(2)根据全等三角形的性质则可证得DAG DCE Ð=Ð,再根据直角三角形的两锐角互余进而证出90CHA Ð=°即可得解.【解答】解:(1)证明:ADC D Q 与EDG D 是等腰直角三角形,AD CD \=,DG DE =,且90ADC GDE Ð=Ð=°,ADC CDG GDE CDG \Ð+Ð=Ð+Ð,即ADG CDE Ð=Ð,在ADG D 与CDE D 中,AD CD ADG CDEDG DE =ìïÐ=Ðíï=î,()ADG CDE SAS \D @D ,AG CE \=;(2)证明:设CD 与AG 相交于点P ,由(1)知,ADG CDE D @D,DAG DCE \Ð=Ð,90ADC Ð=°Q ,90DAG APD \Ð+Ð=°,APD CPH Ð=ÐQ ,90DCE CPH \Ð+Ð=°,90CHP \Ð=°,AG CE \^.4.如图,两个等腰Rt ADC D 与Rt EDG D ,连接AG ,CE 交于点H ,连接HD .求证:AHD EHD Ð=Ð.【分析】由“SAS ”可证ADG CDE D @D ,可得AG CE =,ADG CDE S S D D =,由面积公式可得DN DM =,由角平分线的判定定理可得结论.【解答】证明:如图,过点D 作DN AG ^于N ,DM CE ^于M ,90ADC GDE Ð=Ð=°Q ,ADG EDC \Ð=Ð,在ADG D 和CDE D 中,AD CD ADG CDE DG DE =ìïÐ=Ðíï=î,()ADG CDE SAS \D @D ,AG CE \=,ADG CDE S S D D =,\1122AG DN CE DM ´´=´´,DN DM \=,又DN AG ^Q ,DM CE ^,AHD EHD \Ð=Ð.5.如图,两个正方形ABCD 和DEFG ,连接AG 与CE ,二者相交于H .问:(1)求证:ADG CDE D @D .(2)AG 与CE 的关系?并说明理由.(3)求证:HD 平分AHE Ð.【分析】(1)由四边形ABCD 与DEFG 是正方形,可得AD CD =,90ADC GDE Ð=Ð=°,进而得出ADG CDE Ð=Ð,DG DE =,然后由SAS 即可判定ADG CDE D @D ;(2)根据全等三角形的性质则可证得AG CE =,DAG DCE Ð=Ð,进而证出90CHA Ð=°即可;(3)根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可.【解答】(1)证明:Q 四边形ABCD 和四边形DEFG 是正方形,AD CD \=,DG DE =,且90ADC GDE Ð=Ð=°,ADG CDE \Ð=Ð,在ADG D 与CDE D 中,AD CD ADG CDE DG DE =ìïÐ=Ðíï=î,()ADG CDE SAS \D @D ,(2)解:AG CE =,AG CE ^,理由如下:由(1)得:ADG CDE D @D ,AG CE \=,DAG DCE Ð=Ð,DCE CHA DAG ADC Ð+Ð=Ð+ÐQ ,90CHA ADC \Ð=Ð=°,AG CE \^;(3)证明:过点D 作DM AG ^于M ,DN CE ^于N ,如图:ADG CDE D @D Q ,DCE ADG S S D D \=,\1122CE DN AG DM ´´=´´,DM DN \=,MD AG ^Q ,DN CE ^,DH \平分AHE Ð.6.(2021秋•南岗区校级期中)已知:AB AC =,AD AE =,BAC DAE Ð=Ð.(1)如图1,求证:BD CE =;(2)如图2,当60BAC Ð=°时,BD 、CE 交于点P ,连接PA ,求证:PB PC PA -=;(3)如图3,在(2)的条件下,过E 作EH PA ^于H ,在PE 上取点F ,连接FH 并延长至G ,使GH FH =,连接GE ,若2HGE HEG Ð=Ð,求EHF Ð的度数.【分析】(1)证明BAD CAE D @D 即可;(2)作AF BD ^,AG CE ^,截取PH PA =,证明ABF ACG D @D ,可推出60APF APG Ð=Ð=°,从而可证ACH ABP D @D ,进而得证;(3)作HQ CE ^于Q ,作HM GH =交GE 于M ,作MN AE ^于N ,证明HQF ENM D @D ,可推出15AEG Ð=°,进而求得结果.【解答】(1)证明:如图1,BAC DAE Ð=ÐQ ,BAC CAD DAE CAD \Ð+Ð=Ð+Ð,BAD CAE \Ð=Ð,AB AC =Q ,AD AE =,()BAD CAE SAS \D @D ,BD CE \=;(2)证明:如图2,设AC 与PB 交于I ,作AF BD ^于F ,AG CE ^于G ,在PE 上截取PH PA =,90AFB AGC \Ð=Ð=°,由(1)知:BAD CAE D @D ,B C \Ð=Ð,PIC AIB Ð=ÐQ ,60CPF BAC \Ð=Ð=°,AB AC =Q ,()AFB AGC AAS \D @D ,AF AG \=,11(180)(18060)6022APF APG CPF \Ð=Ð=°-Ð=°-°=°,PAH \D 是等边三角形,60AHC \Ð=°,AHC APB \Ð=Ð,()ABP ACH AAS \D @D ,PB CH PC PH PC PA \==+=+,即:PB PC PA -=;(3)解:如图3,作HQ CE ^于Q ,作HM GH =交GE 于M ,作MN AE ^于N ,90HQF MNE \Ð=Ð=°,AMG G Ð=Ð,2G AEG Ð=ÐQ ,2AMG AEG \Ð=Ð,AMG AEG EHM Ð=Ð+ÐQ ,AEG EHM \Ð=Ð,MH ME \=,12EN AN EH \==,GH FH =Q ,ME FH \=,PH HE ^Q ,90PHE \Ð=°,由(2)知:60APF Ð=°,30HEP \Ð=°,12HQ EH \=,HQ NE \=,()HQF ENM HL \D @D ,AEG QHF \Ð=Ð,EHF G AEG Ð=Ð+ÐQ ,3FHE AEG \Ð=Ð,4QHE QHF FHE AEG \Ð=Ð+Ð=Ð,90HQE \Ð=°,30HEP Ð=°,60HQE \Ð=°,460AEG \Ð=°,15AEG \Ð=°,345EHF AEG \Ð=Ð=°.7.(2021秋•天河区期末)ABC D 是等边三角形,点D 是AC 边上动点,(030)CBD ααÐ=°<<°,把ABDD 沿BD 对折,得到△A BD ¢.(1)如图1,若15α=°,则CBA Т= .(2)如图2,点P 在BD 延长线上,且DAP DBC αÐ=Ð=.①试探究AP ,BP ,CP 之间是否存在一定数量关系,猜想并说明理由.②若10BP =,CP m =,求CA ¢的长.(用含m 的式子表示)【分析】(1)由ABC D 是等边三角形知,60ABC Ð=°,由15CBD αÐ==°,知A BD ABD ABC α¢Ð=Ð=Ð-,2602CBA A BD ABC ααα¢¢Ð=Ð-=Ð-=°-,代入α值即可;(2)①连接CP ,在BP 上取一点P ¢,使BP AP ¢=,根据SAS 证△BP C APC ¢@D ,得CP CP ¢=,再证CPP ¢D 是等边三角形,即可得出BP AP CP =+;②先证180BCP BCA ¢Ð+Ð=°,即A ¢、C 、P 三点在同一直线上,得出PA PC CA ¢¢=+,根据SAS 证ADP D @△A DP ¢,得出A P AP ¢=,即可求出CA ¢的值.【解答】解:(1)ABC D Q 是等边三角形,60ABC \Ð=°,CBD αÐ=Q ,A BD ABD ABC α¢\Ð=Ð=Ð-,2602CBA A BD ABC ααα¢¢\Ð=Ð-=Ð-=°-,15α=°Q ,6021530CBA ¢\Ð=°-´°=°,故答案为:30°;(2)①BP AP CP =+,理由如下:连接CP ,在BP 上取一点P ¢,使BP AP ¢=,ABC D Q 是等边三角形,60ACB \Ð=°,BC AC =,DAP DBC αÐ=Ð=Q ,\△()BP C APC SAS ¢@D ,CP CP ¢\=,BCP ACP ¢Ð=Ð,60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ¢¢¢¢\Ð=Ð+=Ð+Ð=Ð=°,CP CP ¢=Q ,CPP ¢\D 是等边三角形,60CPB \Ð=°,PP CP ¢=,BP BP PP AP CP ¢¢\=+=+,即BP AP CP =+;②如下图,由①知,60BPC Ð=°,180********BCP BPC PBC αα\Ð=°-Ð-Ð=°-°-=°-,由(1)知,602CBA α¢Ð=°-,由折叠知,BA BA ¢=,BA BC =Q ,BA BC ¢\=,11(180)[180(602)]6022BCA CBA αα¢¢\Ð=°-Ð=°-°-=°+,12060180BCP BCA αα¢\Ð+Ð=°-+°+=°,\点A ¢、C 、P 在同一直线上,即PA PC CA ¢¢=+,由折叠知,BA BA ¢=,ADB A DB ¢Ð=Ð,180180ADB A DB ¢\°-Ð=°-Ð,ADP A DP ¢\Ð=Ð,DP DP =Q ,ADP \D @△()A DP SAS ¢,A P AP ¢\=,由①知,BP AP CP =+,10BP =Q ,CP m =,10AP BP CP m \=-=-,10A P AP m ¢\==-,10102CA A P CP m m m ¢¢\=-=--=-.半角模型图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位,也是学生必须掌握的一块内容,本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形,正三角形,等腰直角三角形等,解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转——证全等——得到相关结论.1.(2022·湖北十堰·中考真题)【阅读材料】如图①,四边形ABCD 中,AB AD =,180B D Ð+Ð=°,点E ,F 分别在BC ,CD 上,若2BAD EAF ÐÐ=,则EF BE DF =+.【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形ABCD .已知100m CD CB ==,60D Ð=°,120ABC Ð=°,150BCD Ð=°,道路AD ,AB 上分别有景点M ,N ,且100m DM =,)501m BN =-,若在M ,N 之间修一条直路,则路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少_________m 1.7»).【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ,根据已知条件求得90E Ð=°,进而根据含30度角的直角三角形的性质,求得,EC EB ,,AE AD ,从而求得AN AM +的长,根据材料可得MN DM BN =+,即可求解.【详解】解:如图,延长,AB DC 交于点E ,连接,CM CN ,Q 60D Ð=°,120ABC Ð=°,150BCD Ð=°,30A \Ð=°,90E Ð=°,100DC DM ==Q DCM \V 是等边三角形,60DCM \Ð=°,90BCM \Ð=°,在Rt BCE V 中,100BC =,18030ECB BCD Ð=°-Ð=°,1502EB BC ==,EC ==100DE DC EC \=+=+Rt ADE △中,2200AD DE ==+150AE ==+,\200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=,100150250AM AN \+=++=+Rt CMB △中,BM ==Q )50501EN EB BN EC =+=+==ECN \V 是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð-Ð=°=Ð由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+-=,\路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少)250501200370+-+=+»m .答案:370.【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,理解题意是解题的关键.2.(2022·河北邢台·九年级期末)学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题:“如图1,在正方形ABCD 中,∠EAF =45°,求证:EF =BE +DF .”小明同学的思路:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD ,∠B =∠ADC =90°.把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE ¢△的位置,然后证明AFE AFE ¢≌△△,从而可得=EF E F ¢.E F E D DF BE DF ¢¢=+=+,从而使问题得证.(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:如图2,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B =∠D =90°,12EAF BAD Ð=Ð,直接写出EF ,BE ,DF 之间的数量关系.(2)【应用】如图3,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,12EAF BAD Ð=Ð,求证:EF =BE +DF .(3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC 是O e 的内接四边形,BC 是直径,AB =AC ,请直接写出PB +PC 与AP 的关系.由旋转可知ABE ADE ¢≌△△,∴BE ∵∠B +∠ADC =180°,∴ADC ADE Ð+Ð∵12EAF BAD Ð=Ð,∴BAE DAF Ð+Ð∴12DAE DAF BAD ¢Ð+Ð=,∴FAE Ð∵AF =AF ,∴FAE FAE ¢≌△△,∴FE 由圆内接四边形性质得:∠AC P 即P ,C ,P ¢在同一直线上.∴∵BC 为直径,∴∠BAC =90°=∠BAP ∴△PAP ¢为等腰直角三角形,∴【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点.解题关键是利用旋转构造全等三角形.3.(2022·福建·龙岩九年级期中)(1)【发现证明】如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 边上的动点,且45EAF Ð=°,求证:EF DF BE =+.小明发现,当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG V ,使AB 与AD 重合时能够证明,请你给出证明过程.(2)【类比引申】①如图2,在正方形ABCD 中,如果点E ,F 分别是CB ,DC 延长线上的动点,且45EAF Ð=°,则(1)中的结论还成立吗?若不成立,请写出EF ,BE ,DF 之间的数量关系______(不要求证明)②如图3,如果点E ,F 分别是BC ,CD 延长线上的动点,且45EAF Ð=°,则EF ,BE ,DF 之间的数量关系是_____(不要求证明).(3)【联想拓展】如图1,若正方形ABCD 的边长为6,AE =AF 的长.BAE DAG \Ð=Ð,AE AG =,90B ADG Ð=Ð=°,180ADF ADG \Ð+Ð=°,F \,D ,G 三点共线,45EAF Ð=°Q ,45BAE FAD \Ð+Ð=°,45DAG FAD \Ð+Ð=°,EAF FAG \Ð=Ð,AF AF =Q ,()EAF GAF SAS \D @D ,EF FG DF DG \==+,EF DF BE \=+;(2)①不成立,结论:EF DF BE =-;证明:如图2,将ABE D 绕点A 顺时针旋转90°至ADM D ,EAB MAD \Ð=Ð,AE AM =,90EAM =°∠,BE DM =,45FAM EAF \Ð=°=Ð,AF AF =Q ,()EAF MAF SAS \D @D ,EF FM DF DM DF BE \==-=-;②如图3,将ADF D 绕点A 逆时针旋转90°至ABN D ,4.(2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中)【模型引入】当几何图形中,两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系,我们称之为“半角模型”【模型探究】(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°,探究图中线段EF,AE,FC之间的数量关系.【模型应用】(2)如图2,如果四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,∠EAF=45°,且BC=7,DC=13,CF=5,求BE的长.【拓展提高】(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,点E、F分别在射线CB、DC上,且∠EAF12=∠BAD.当BC=4,DC=7,CF=1时,V CEF的周长等于.(4)如图4,正方形ABCD中,V AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上,AH⊥MN,且AH=AB,连接BD分别交AM、AN于点E、F,若MH=2,NH=3,DF=,求EF的长.(5)如图5,已知菱形ABCD中,∠B=60°,点E、F分别是边BC,CD上的动点(不与端点重合),且∠EAF=60°.连接BD分别与边AE、AF交于M、N,当∠DAF=15°时,求证:MN2+DN2=BM2.(5)将△ADF 绕A 顺时针旋转120°,AD与AB 重合,F 转到G ,在AG 上取AH =AN ,连接BH 、MH ,利用△ABH ≌△ADN 和△AMH ≌△AMN ,证明MN =MH ,DN =BH ,再证明△BMH 为直角三角形即可.【详解】(1)EF =FC +AE ,理由如下:证明:将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°,得到△DCM ,∴△DAE ≌△DCM ,∴DE =DM ,AE =CM ,∠ADE =∠CDM ,B 、C 、M 三点共线,∵∠EDF =45°,∴∠ADE +∠FDC =∠CDM +∠FDC =∠MDF =45°,在△DEF 和△DMF 中,45DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ð=°íï=î,∴△DEF ≌△DMF (SAS ),∴EF =FM ∴EF =FM =FC +CM =FC +AE ;(2)解:如图,在DC 上取一点G ,使得DG =BE ,∵∠BAD =∠BCD =90°,∴∠ABC +∠D =180°,∠ABE +∠ABC =180°,∴∠ABE =∠D ,∵AB =AD ,BE =DG ,∴△ABE ≌△ADG (SAS ),∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,∵∠EAF =45°,∴∠EAB +∠BAF =∠DAG +∠BAF =45°,∵∠BAD =90°,∴∠FAG =∠FAE =45°,∵AE =AG ,AF =AF ,∴△AFE ≌△AFG (SAS ),∴EF =FG ,设BE =x ,则EC =EB +BC =x +7,EF =FG =18-x ,在Rt △ECF 中,∵EF 2=EC 2+CF 2,∴52+(7+x )2=(18-x )2,∴x =5,∴BE =5;(3)解:在DF 上截取DM =BE ,课后专项训练:1.(2022·重庆市育才中学二模)回答问题(1)【初步探索】如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_______________;(2)【灵活运用】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;(3)【拓展延伸】知在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,若点E在CB的延长线上,点F在CD的延长线上,如图3所示,仍然满足EF=BE+FD,请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系.(2)仍成立,理由:如图2,延长FD 到点G ,使DG =BE ,连接AG ,∵∠B +∠ADF =180°,∠ADG +∠ADF =180°,∴∠B =∠ADG ,又∵AB =AD ,∴△ABE ≌△ADG (SAS ),∴∠BAE =∠DAG ,AE =AG ,∵EF =BE +FD =DG +FD =GF ,AF =AF ,∴△AEF ≌△AGF (SSS ),∴∠EAF =∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF ;1∠DAB .证明:如图3,在DC 延长线上取一点G ,使得2.(2022·江西九江·一模)如图(1),在四边形ABCD 中,180B D Ð+Ð=°,AB AD =,以点A 为顶点作EAF Ð,且12EAF BAD Ð=Ð,连接EF .(1)观察猜想 如图(2),当90BAD B D Ð=Ð=Ð=°时,①四边形ABCD 是______(填特殊四边形的名称);②BE ,DF ,EF 之间的数量关系为______.(2)类比探究 如图(1),线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.(3)解决问题 如图(3),在ABC V 中,90BAC Ð=°,4AB AC ==,点D ,E 均在边BC 上,且45DAE Ð=°,若BD =,求DE 的长.(2)如下图,延长CD 至点H ,使得DH=BE ,∵B ADF Ð+а,∴B ADH Ð=Ð,同(1)②的证明方法得ABE ADH ≌△△,同理证AEF ≌△△,从而得BE FD EF +=.(3)如图过点C 作CM BC ⊥,且CM BD =,3.(2022·山东聊城·九年级期末)(1)如图1,点E ,F 分别在正方形ABCD 的边BC ,CD 上,45EAF Ð=°,连接EF ,求证:EF BE DF =+,试说明理由.(2)类比引申:如图2,四边形ABCD 中,AB AD =,90BAD Ð=°,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF =45°,若B Ð、D Ð都不是直角,则当B Ð与D Ð满足等量关系______时,仍有EF BE DF =+,试说明理由.(3)联想拓展:如图3,在△ABC 中,90BAC Ð=°,AB AC =,点D ,E 均在边BC 上,且∠DAE =45,若1BD =,2EC =,求DE 的长.【详解】()1证明:如图1中,AB AD=Q,\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,AB与AD重合.∠ADC=∠B=90°∠FDG=180°,点F、D、G三点共线,则DAG BAEÐÐ=,AE AG=,∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF即∠EAF=∠FAG,在△EAF和△GAF中,AF AFEAF GAFAE AG=ìïÐ=Ðíï=î,∴△AFG≌△()AFE SAS,∴EF=FG=BE+DF;()2当180B DÐ+Ð=°,仍有EF BE DF=+.理由:AB AD=Q,\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,如图2,BAE DAG\Ð=Ð,∠B=∠ADG90BADÐ=°Q,45EAFÐ=°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠FAG=45°∴∠EAF=∠FAG,180ADC BÐ+Ð=°Q,∴∠ADC+∠ADG=180°∴∠FDG=180°,点F、D、G共线.在△AFE和△AFG中,AE AGFAE FAGAF AF=ìïÐ=Ðíï=î∴△AFE≌△AFG(SAS).EF FG\=,即:EF BE DF=+.故答案为:180B DÐ+Ð=°.()3将△ACE绕点A旋转到△ABF的位置,连接DF,则∠FAB=∠CAE90BACÐ=°Q,45DAEÐ=°,∴∠BAD+∠CAE=45°.又∵∠FAB=∠CAE,∴∠FAB+∠BAD=45°,∴∠FAD=∠DAE=45°.4.(2022·黑龙江九年级阶段练习)已知:正方形ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N .当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时,(如图1),易证BM +DN =MN .(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图2),线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明;(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.【答案】(1)BM DN MN +=,理由见解析;(2)DN BM MN -=,理由见解析【分析】(1)把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°,得到ABE D ,然后证明得到AEM ANM D D ≌,从而证得ME MN =,可得结论;(2)首先证明ADQ ABM D D ≌,得DQ BM =,再证明AMN AQN D D ≌,得MN QN =,可得结论;(1)解:BM DN MN +=.理由如下:如图2,把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°,得到ABE D ,90ABE ADN \Ð=Ð=°,AE AN =,BE DN =,180ABE ABC \Ð+Ð=°,\点E ,点B ,点C 三点共线,90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°,又45NAM Ð=°Q ,在AEM D 与ANM D 中,AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î,AEM ANM \D D ≌(SAS ),ME MN \=,ME BE BM DN BM =+=+Q ,DN BM MN \+=;(2)解:DN BM MN -=.理由如下:在线段DN 上截取DQ BM =,在ADQ D 与ABM D 中,AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î,ADQ ABM \D D ≌(SAS ),DAQ BAM \Ð=Ð,QAN MAN \Ð=Ð.在AMN D 和AQN D 中,AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î,AMN AQN \D D ≌(SAS ),MN QN \=,DN BM MN \-=.【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题.5.(2022·重庆南川·九年级期中)如图,正方形ABCD 中,45MAN Ð=°,MAN Ð绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交BC 、DC (或它们的延长线)于点M 、N .(1)当MAN Ð绕点A 旋转到BM DN =时(如图1),证明:2MN BM =;(2)绕点A 旋转到BM DN ¹时(如图2),求证:MN BM DN =+;(3)当MAN Ð绕点A 旋转到如图3位置时,线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想并证明.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=,见解析【分析】(1)把ADN △绕点A 顺时针旋转90°,得到ABE △,证得B 、E 、M 三点共线,即可得到AEM △≌ANM V ,从而证得ME MN =;(2)证明方法与(1)类似;(3)在线段DN 上截取DQ BM =,判断出ADQ △≌ABM V,同(2)的方法,即可得出结论.(1)证明:如图1,∵把ADN △绕点A 顺时针旋转90°,得到ABE △,ABE \V ≌ADN △,AE ANM \=,ABE D Ð=Ð,Q 四边形ABCD 是正方形,90ABC D \Ð=Ð=°,90ABE ABC \Ð=Ð=°,\点E 、B 、M 三点共线.90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°,又45NAM Ð=°Q ,在AEM △与ANM V 中,AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î,AEM \△≌()ANM SAS V ,ME MN \=,ME BE BM DN BM =+=+Q ,DN BM MN \+=,BM DN =Q ,2MN BM \=.(2)证明:如图2,把ADN △绕点A 顺时针旋转90°,得到ABE △,ABE \V ≌ADN △,AE ANM \=,ABE D Ð=Ð,Q 四边形ABCD 是正方形,90ABC D \Ð=Ð=°,90ABE ABC \Ð=Ð=°,\点E 、B 、M三点共线.90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°,又45NAM Ð=°Q ,在AEM △与ANM V 中,AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î,AEM \△≌()ANM SAS V ,ME MN \=,ME BE BM DN BM =+=+Q ,DN BM MN \+=.(3)解:DN BM MN -= 理由如下:如图3,在线段DN 上截取DQ BM =,连接AQ ,在ADQ △与ABMV 中,AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î,ADQ \V ≌()ABM SAS V ,DAQ BAM \Ð=Ð,QAN MAN \Ð=Ð.在AMN V 和AQN △中,AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î,AMN\V ≌()AQN SAS V ,MN QN \=,DN BM MN \-=.【点睛】本题是四边形综合题,考查正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形是解题的关键.6.(2022·江西景德镇·九年级期中)(1)【特例探究】如图1,在四边形ABCD 中,AB AD =,90ABC ADC Ð=Ð=°,100BAD Ð=°,50EAF Ð=°,猜想并写出线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系,证明你的猜想;(2)【迁移推广】如图2,在四边形ABCD 中,AB AD =,180ABC ADC Ð+Ð=°,2BAD EAF ÐÐ=.请写出线段BE ,DF ,EF 之间的数量关系,并证明;(3)【拓展应用】如图3,在海上军事演习时,舰艇在指挥中心(O 处)北偏东20°的A 处.舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处,并且两舰艇在指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进,半小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ,D 处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°.请直接写出此时两舰艇之间的距离.【答案】(1)EF =BE +DF ,理由见解析;(2)EF =BE +DF ,理由见解析;(3)85海里【分析】(1)延长CD 至点G ,使DG =BE ,连接AG ,可证得△ABE ≌△ADG ,可得到AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,再由100BAD Ð=°,50EAF Ð=°,可证得△AEF ≌△AGF ,从而得到EF =FG ,即可求解;(2)延长CD 至点H ,使DH =BE ,连接AH ,可证得△ABE ≌△ADH ,可得到AE =AH ,∠BAE =∠DAH ,再由2BAD EAF ÐÐ=,可证得△AEF ≌△AHF ,从而得到EF =FH ,即可求解;(3)连接CD ,延长AC 、BD 交于点M ,根据题意可得∠AOB =2∠COD ,∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°,再由(2)【迁移推广】得:CD =AC +BD ,即可求解.【详解】解:(1)EF =BE +DF ,理由如下:如图,延长CD 至点G ,使DG =BE ,连接AG ,∵90ABC ADC Ð=Ð=°,∴∠ADG =∠ABC =90°,∵AB =AD ,∴△ABE ≌△ADG ,∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,∵100BAD Ð=°,50EAF Ð=°,∴∠BAE +∠DAF =50°,∴∠FAG =∠EAF =50°,∵AF =AF ,∴△AEF ≌△AGF ,∴EF =FG ,∵FG =DG +DF ,∴EF =DG +DF =BE +DF ;(2)EF =BE +DF ,理由如下:如图,延长CD 至点H ,使DH =BE ,连接AH ,∵180ABC ADC Ð+Ð=°,∠ADC +∠ADH =180°,∴∠ADH =∠ABC ,∵AB =AD ,∴△ABE ≌△ADH ,∴AE =AH ,∠BAE =∠DAH ,∵2BAD EAF ÐÐ=∴∠EAF =∠BAE +∠DAF =∠DAF +∠DAH ,∴∠EAF =∠HAF ,∵AF =AF ,∴△AEF ≌△AHF ,∴EF =FH ,∵FH =DH +DF ,∴EF =DH +DF =BE +DF ;(3)如图,连接CD ,延长AC 、BD 交于点M ,根据题意得: ∠AOB =20°+90°+40°=150°,∠OBD =60°+50°=110°,∠COD =75°,∠OAM =90°-20°=70°,OA =OB ,∴∠AOB =2∠COD ,∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°,∵OA=OB,∴由(2)【迁移推广】得:CD=AC+BD,∵AC=80×0.5=40,BD=90×0.5=45,∴CD=40+45=85海里.即此时两舰艇之间的距离85海里.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质,题目的综合性较强,难度较大,解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形,解答时,注意类比思想的应用.7.(2022·上海·九年级专题练习)小明遇到这样一个问题:如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E在边BC上,∠DAE=45°.若BD=3,CE=1,求DE的长.小明发现,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º,得到△ACF,联结EF(如图2),由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°,可证△FAE≌△DAE,得FE=DE.解△FCE,可求得FE(即DE)的长.(1)请回答:在图2中,∠FCE的度数是,DE的长为.参考小明思考问题的方法,解决问题:(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD.猜想线段BE,EF,FD之间的数量关系并说明理由.∴BE =DG ,AE =AG ,∵∠B +∠ADC =180°,∠∴∠ADG +∠ADC =180°∵∠EAF =12∠BAD ,∴∠8.(2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习)已知四边形ABCD 是正方形,一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合,将此三角板绕A 点旋转时,两边分别交直线BC ,CD 于M ,N .(1)如图1,当M ,N 分别在边BC ,CD 上时,求证:BM +DN =MN(2)如图2,当M ,N 分别在边BC ,CD 的延长线上时,请直接写出线段BM ,DN ,MN 之间的数量关系(3)如图3,直线AN 与BC 交于P 点,MN =10,CN =6,MC =8,求CP 的长.【答案】(1)见解析;(2)BM DN MN -=;(3)3【分析】(1)延长CB 到G 使BG DN =,连接AG ,先证明AGB AND @△△,由此得到AG AN =,GAB DAN Ð=Ð,再根据45MAN Ð=°,90BAD Ð=°,可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°,从而证明AMN AMG △≌△,然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=;(2)在BM 上取一点G ,使得BG DN =,连接AG ,先证明AGB AND @△△,由此得到AG AN =,GAB DAN Ð=Ð,由此可得90GAN BAD Ð=Ð=°,再根据45MAN Ð=°可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°,从而证明AMN AMG △≌△,然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=;(3)在DN 上取一点G ,使得DG BM =,连接AG ,先证明ABM ADG V V ≌,再证明AMN AGN △≌△,设DG BM x ==,根据DC BC =可求得2x =,由此可得6AB BC CD CN ====,最后再证明ABP NCP △≌△,由此即可求得答案.【详解】(1)证明:如图,延长CB 到G 使BG DN =,连接AG ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD =,90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°,在ABG V 与ADN △中,AB AD ABG ADN BG DN =ìïÐ=Ðíï=î, ()AGB AND SAS \△≌△,AG AN \=,GAB DAN Ð=Ð,45MAN Ð=°Q ,90BAD Ð=°,∴45DAN BAM BAD MAN Ð+Ð=Ð-Ð=°,45GAM GAB BAM DAN BAM \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°,GAM NAM \Ð=Ð,在AMN V 与AMG V 中,AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î, ()AMN AMG SAS \△≌△,MN GM \=,又∵BM GB GM +=,BG DN =,BM DN MN \+=;(2)BM DN MN -=,理由如下:如图,在BM 上取一点G ,使得BG DN =,连接AG ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD =,90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°,在ABG V 与ADN△中,AB AD ABG ADN GB DN =ìïÐ=Ðíï=î,()AGB AND SAS \△≌△,AG AN \=,GAB DAN Ð=Ð,∴GAB GAD DAN GAD Ð+Ð=Ð+Ð,∴90GAN BAD Ð=Ð=°,又45MAN Ð=°Q ,45GAM GAN MAN MAN \Ð=Ð-Ð=°=Ð,在AMN V 与AMG V 中,AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î,()AMN AMG SAS \△≌△,MN GM \=,又∵BM BG GM -=,BG DN =,∴BM DN MN -=,故答案为:BM DN MN -=;(3)如图,在DN 上取一点G ,使得DG BM =,连接AG ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD BC CD ===,90ABM ADG BAD Ð=Ð=Ð=°,//AB CD ,9.(2022·浙江·九年级阶段练习)如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合,将此三角板绕点A 旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC ,DC 于点E ,F ,连接EF .(1)猜想BE 、EF 、DF 三条线段之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)在图1中,过点A 作AM ⊥EF 于点M ,请直接写出AM 和AB 的数量关系;(3)如图2,将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ,E ,F 分别是BC ,CD 边上的点,∠EAF =12∠BAD ,连接EF ,过点A 作AM ⊥EF 于点M ,试猜想AM 与AB 之间的数量关系.并证明你的猜想.【答案】(1)EF =BE +DF .证明见解析;(2)AM =AB ;(3)AM =AB .证明见解析10.(2022·北京四中九年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点P在线段AB上,作射线CP(0°<∠ACP<45°),射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线CQ,过点A作AD⊥CP于点D,交CQ 于点E,连接BE.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段AD,DE,BE之间的数量关系,并证明.【答案】(1)作图见解析.(2)结论:AD+BE=DE.证明见解析.【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)结论:AD+BE=DE.延长DA至F,使DF=DE,连接CF.利用全等三角形的性质解决问题即可.(1)解:如图所示:(2)结论:AD+BE=DE.理由:延长DA至F,使DF=DE,连接CF.∵AD⊥CP,DF=DE,∴CE=CF,∴∠DCF =∠DCE =45°,∵∠ACB =90°,∴∠ACD +∠ECB =45°,∵∠DCA +∠ACF =∠DCF =45°,∴∠FCA =∠ECB ,在△ACF 和△BCE 中,CA CB ACF BCE CF CE =ìïÐ=Ðíï=î,∴△ACF ≌△BCE (SAS ),∴AF =BE ,∴AD +BE =DE .【点睛】本题考查作图-旋转变换,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.。
【优】全等三角形之半角模型(解析版)
全等三角形之半角模型【模型讲解】模型、半角全等模型【解题技巧】过等腰三角形顶点两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
常见的图形为正方形,正三角形,等腰直角三角形等,解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转(或者补短)到一边合并成新的三角形,从而进行等量代换,然后证明与半角形成的三角形全等,再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型(题中出现角度之间的半角关系)利用旋转(或者补短)——证全等——得到相关结论.【巩固训练】1.(1)如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,180B D ∠+∠=︒,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且12EAF BAD ∠=∠.求证:EF BE FD =+;(2)如图,在四边形ABCD 中,AB AD =,180B ADC ∠+∠=︒,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且12EAF BAD ∠=∠.(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.【答案】(1)见证明;(2)结论EF =BE +FD 不成立,应当是EF =BE ﹣FD ,证明见详解.【分析】(1)延长CB 至M ,使BM =DF ,连接AM .先证明△ABM ≌△ADF ,得到AF =AM ,∠2=∠3,再证明△AME ≌△AFE ,得到EF =ME ,进行线段代换,问题得证;(2)在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .先证明△ABG ≌△ADF ,得到AG =AF ,再证明△AEG ≌△AEF ,得到EG =EF ,进行线段代换即可证明EF =BE ﹣FD .【详解】解:(1)证明:如图,延长CB 至M ,使BM =DF ,连接AM .∵∠ABC +∠D =180°,∠1+∠ABC =180°,∴∠1=∠D ,在△ABM 与△ADF 中,1AB AD D BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABM ≌△ADF (SAS ).∴AF =AM ,∠2=∠3.∵∠EAF 12=∠BAD ,∴∠2+∠412=∠BAD =∠EAF .∴∠3+∠4=∠EAF ,即∠MAE =∠EAF .在△AME 与△AFE 中,AM AF MAE EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AME ≌△AFE (SAS ).∴EF =ME ,即EF =BE +BM ,∴EF =BE +DF;(2)结论EF =BE +FD 不成立,应当是EF =BE ﹣FD .证明:如图,在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°,∴∠B =∠ADF .∵在△ABG与△ADF中,AB ADABG ADFBG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF12=∠BAD,∴∠GAE=∠EAF.在△AGE与△AFE中,AG AFGAE EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF,∵EG=BE﹣BG,∴EF=BE﹣FD.【点睛】本题属于三角形综合题,考查了三角形全等的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线,构造全等三角形解决问题,解题时注意一些题目虽然图形发生变化,但是证明思路和方法是类似的,属于中考压轴题.2.已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E,F.(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),求证:△ABE≌△CBF.(2)当∠MBN 绕点B旋转到AE≠CF时,如图2,猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.(3)当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下,猜想线段AE,CF,EF有怎样的数量关系,并证明你的猜想.【答案】(1)见解析;(2)AE+CF=EF,证明见解析;(3)AE﹣CF=EF,证明见解析【分析】(1)利用SAS 定理证明△ABE ≌△CBF ;(2)延长DC 至点K ,使CK =AE ,连接BK ,分别证明△BAE ≌△BCK 、△KBF ≌△EBF ,根据全等三角形的性质、结合图形证明结论;(3)延长DC 至G ,使CG =AE ,仿照(2)的证明方法解答.【详解】(1)证明:在△ABE 和△CBF 中,=90?AB BC BAE BCF AE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠,∴△ABE ≌△CBF (SAS );(2)解:AE +CF =EF ,理由如下:延长DC 至点K ,使CK =AE ,连接BK ,在△BAE 与△BCK 中,=BA BC BAE BCK AE CK =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠,∴△BAE ≌△BCK (SAS ),∴BE =BK ,∠ABE=∠KBC ,∵∠FBE =60°,∠ABC =120°,∴∠FBC +∠ABE =60°,∴∠FBC +∠KBC =60°,∴∠KBF =∠FBE =60°,在△KBF 与△EBF 中,BK BE KBF EBF BF BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠,∴△KBF ≌△EBF (SAS ),∴KF =EF ,∴AE +CF =KC +CF =KF =EF ;(3)解:AE ﹣CF =EF ,理由如下:延长DC 至G ,使CG =AE ,由(2)可知,△BAE ≌△BCG (SAS ),∴BE =BG ,∠ABE =∠GBC ,∠GBF =∠GBC ﹣∠FBC =∠ABE ﹣∠FBC =120°+∠FBC ﹣60°﹣∠FBC =60°,∴∠GBF =∠EBF ,∵BG =BE ,∠GBF =∠EBF ,BF =BF ,∴△GBF ≌△EBF ,∴EF =GF ,∴AE ﹣CF =CG ﹣CF =GF =EF.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质,正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.3.(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置,然后再证明△AFE≌△AFG,从而得出结论:________________.(2)探索延伸:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且12EAF∠=∠BAD.上述结论是否仍然成立?请说明理由.(3)方法应用:如图3,E、F分别是正方形ABCD边BC、CD上的动点,连接AE、AF,并且始终保持∠EAF=45°,连接EF并延长与AD的延长线交于点G,说明AG=EG.(正方形四边相等,四个角均为90°)【答案】(1)EF=BE+FD,理由见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【分析】(1)将△ABE逆时针旋转得到△ADG,使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGD,可得EF=FG即可;(2)如图2,将△ADF顺时针旋转得到△ABG,使得AD与AB重合,即△ADF≌△ABG;然后再证△EAG≌△EAF,可得GE=EF,再根据线段的和差即可解答;(3)将△ABE逆时针旋转得到△ADH,使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH,然后再证△EAF≌△HAF可得∠H=∠AEF,再根据直角三角形的性质得到∠EAG=∠H,即,∠EAG=∠AEF,最后根据等腰三角形的性质解答即可.【详解】解:(1)EF=BE+FD,理由如下:如图1,将△ABE逆时针旋转得到△ADG,使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADG(SAS)∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.∵∠EAF=60°,∠BAD=120°∵∠EAF=12∠BAD∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠GAF 在△AEF和△GAF中AE=AG,∠EAF=∠GAF,AF=AF∴△EAG≌△EAF(SAS)∴EF=FG∴FG=DG+DF=BE+DF∴EF=BE+DF;故答案为EF=BE+DF;(2)证明:如图2,将△ADF顺时针旋转得到△ABG,使得AD与AB重合∴△ADF≌△ABG∴∠FAG=∠BAD,AF=AG,DF=GB∵∠EAF=12BAD∴∠EAF=∠EAG.在△EAG和△EAF中∵AG=AF,∠EAF=∠EAG,AE=AE∴△EAG≌△EAF(SAS)∴GE=EF,∵GE=GB+BE=DF+BE∴EF=BE+FD;(3)如图3,将△ABE逆时针旋转得到△ADH,使得AD与AB重合,即△ABE≌△ADH∴AE=AH,∠BAE=∠DAH.∵∠EAF=45°,∠BAD=90°∵∠EAF=12∠BAD∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF=60°∴∠EAF=∠HAF在△AEF和△HAF中AE=AH,∠EAF=∠HAF,AF=AF∴△EAF≌△HAF(SAS)∴∠H=∠AEF∵∠EAF=90°,∠HAD=90°∴∠HAD+∠EAG=∠HAD+∠H∴∠EAG=∠H∵∠H=∠AEF∴∠EAG=∠AEF∴AG=EG.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及旋转的性质,通过旋转作出全等三角形是解答本题的关键.4.在图1、图2,图3中.点E 、F 分别是四边形ABCD 边BC CD 、上的点;下面请你根据相应的条件解决问题.特例探索:(1)在图1中,四边形ABCD 为正方形(正方形四边相等,四个内角均为直角),45EAF ∠=︒,延长CD 至G ,使,2,3DG BE BE DF ===.则EF =__________.在图2中,90B D ∠=∠=︒,AB AD =,60BAD ∠=︒,30EAF∠=︒,1BE =, 1.5FD =;则EF =__________.归纳证明:(2)在图3中,180B D ∠+∠=︒,AB AD =.且12EAF BAD ∠=∠,请你观察(1)中的结果,猜想图3中线段,,BE EF FD 之间的数量关系,用等式表示出来,并利用图3证明你发现的关系式.【答案】(1)5,2.5;(2)EF=BE+FD ;(3)1650m .【分析】(1)先证明出△ABE ≅△ADG ,再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG ,利用△AEF ≅△AGF 即可得出结果;延长CD 到G ,使BE=DG ,连接AG ,同理证明即可;(2)延长FD 到G ,使BE=DG ,利用条件证明△ABE ≅△ADG ,再根据∠DAF+∠BAE=45°得出∠EAF=∠FAG ,利用△AEF ≅△AGF 即可得出结论;(3)依照结论(2),延长DB 到E ,使BE=AC ,连接OE ,通过求证△OAC ≅△OBE 和△OCD ≅△OED 得出CD=DE=BD+BE=BD+AC ,代入数据求值即可.【详解】(1)∵BE=DG=2,∠B=∠ADG=90°,AB=AD ;∴△ABE ≅△ADG (SAS ),∴AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,又∵∠DAF+∠BAE=45°,∴∠DAF+∠DAG=45°,∴∠EAF=∠FAG ,∴△AEF ≅△AGF (SAS ),∴EF=GD+DF=3+2=5;延长CD 到G ,使BE=DG ,连接AG ,同理可证:△ABE ≅△ADG ,△AEF ≅△AGF ,∴EF=GD+DF=2.5;(2)延长FD 到G ,使BE=DG ,∵BE=DG ,∠B=∠ADG ,AB=AD ;∴△ABE ≅△ADG (SAS ),∴AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,又∵∠DAF+∠BAE=45°,∴∠DAF+∠DAG=45°,∴∠EAF=∠FAG ,∴△AEF ≅△AGF (SAS ),∴EF=GD+DF=DF+BE ;【点睛】此题属于推理探究类综合题考查全等三角形的性质及判定,有一定难度,主要总结该类题的规律解题即可.5.如图1,在正方形ABCD 中,,E F 分别是, BC CD 上的点,且45EAP ∠=︒,则有结论EF BE FD =+成立;()1如图2,在四边形ABCD 中,,90, AB AD B D E F =∠=∠=︒、分别是, BC CD 上的点,且EAF ∠是BAD ∠的一半,那么结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由.()2若将()1中的条件改为:如图3,在四边形ABCD 中,,180AB AD B ADC =∠+∠=︒,延长BC 到点E ,延长CD 到点F ,使得EAF ∠仍然是BAD ∠的一半,则结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明【答案】(1)详见解析;(2)结论不成立,应为,EF BE DF =-证明详见解析【分析】(1)如图(见解析),先根据三角形全等的判定定理与性质得出, BAG DAF AG AF ∠=∠=,再根据角的和差EAG EAF ∠=∠,然后根据三角形全等的判定定理与性质、线段的和差即可得;(2)先根据角的和差、邻补角的定义得出B ADF ∠=∠,再根据三角形全等的判定定理与性质得出, BAG DAF AG AF ∠=∠=,然后根据角的和差倍分得出EAG EAF ∠=∠,最后根据三角形全等的判定定理与性质、线段的和差即可得.【详解】(1)EF BE FD =+仍成立,证明如下:延长CB 到G ,使BG FD =,连接AG 90ABG D ∠=∠=︒ ,AB AD =()ABG ADF SAS ∴≅ , BAG DAF AG AF∴∠=∠=12EAF BAD ∠=∠ ,即1()2EAF DAF BAE EAF ∠=∠+∠+∠DAF BAE EAF ∠∠∠∴+=BAG BAE EAF ∴∠+∠=∠,即EAG EAF∠=∠()AEF AEG SAS ∴≅ EF EG BE BG EB FD ∴==+=+;(2)结论不成立,应为EF EB FD =-,证明如下:在BE 上截取BG ,使BG FD =,连接AG180B ADC =︒∠+∠ ,180ADF ADC ∠∠=+︒B ADF∴∠=∠AB AD = ()ABG ADF SAS ∴≅ , BAG DAF AG AF∴∠=∠=12EAF BAD ∠=∠ ,即1()2EAF DAE EAG BAG ∠=∠+∠+∠11()()22EAF DAE EAG DAF EAF EAG ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠EAG EAF ∴∠=∠AE AE = ()AEG AEF SAS ∴≅ EG EF∴=EG EB BG EB FD =-=- EF EB FD ∴=-.【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角的和差倍分等知识点,通过作辅助线,构造全等三角形是解题关键.6.(1)问题背景:如图1,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD=120°,∠B =∠ADC=90°,E ,F 分别是BC,CD 上的点,且∠EAF =60°,探究图中线段BE ,EF ,FD 之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ,使DG=BE ,连结AG ,先证明ΔABE ≅ΔADG ,再证明ΔAEF ≌ΔAGF ,可得出结论,他的结论应是.(2)探索延伸:如图2,在四边形ABCD 中,AB=AD ,∠B+∠D=180°,E ,F 分别是BC ,CD 上的点,∠EAF=12∠BAD,上述结论是否依然成立?并说明理由.【答案】(1)EF=BE+DF ;(2)成立,见解析【分析】(1)延长FD 到点G .使DG=BE .连结AG ,即可证明△ABE ≌△ADG ,可得AE=AG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得EF=FG ,即可解题;(2)延长FD 到点G .使DG=BE .连结AG ,即可证明△ABE ≌△ADG ,可得AE=AG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得EF=FG ,即可解题;【详解】解:(1)EF=BE+DF ,证明如下:在△ABE 和△ADG 中,DG BE B ADGAB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ADG SAS ∴∆∆≌,AE AG BAE DAG ∴=∠=∠12EAF BAD ∠=∠ GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠EAF GAF ∴∠=∠在△AEF 和△AGF 中,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AEF AGF SAS ∴∆∆≌EF FG ∴=FG DG DF BE DF =+=+ EF BE DF ∴=+故答案为EF=BE+DF .(2)结论EF=BE+DF 仍然成立;理由:延长FD 到点G .使DG=BE .连结AG,如图②,在△ABE 和△ADG 中DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ADG (SAS ),∴AE=AG ,∠BAE=∠DAG ,∵∠EAF=12∠BAD ,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF ,∴∠EAF=∠GAF ,在△AEF 和△AGF 中,AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AGF (SAS ),∴EF=FG ,∵FG=DG+DF=BE+DF ,∴EF=BE+DF ;【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质及“半角模型”,熟练掌握全等三角形的判定和性质及“半角模型”构造全等的方法是解题的关键.。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指:共顶点的两个一大一小的角,其中小角是大角的一半。
如下图中:若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半,我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形,实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件:在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45°,BD为对角线,交AE于M点,交AF于N点。
结论①:图1、2中,EF=BE+FD;证明:如图3中,将AF绕点A顺时针旋转90°,F点落在F’处,连接BF’,∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF,且AE=AE,AF=AF’,∴△FAE≌△F’AE(SAS),∴EF=EF’,又∠D=∠ABF’=90°,∠ABE=90°,∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°,∴F’、B、E三点共线,∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②:图2中MN²=BM²+DN²;证明:如图4中,将AN绕点A顺时针旋转90°,N点落在N’处,连接AN’、BN’、MN’,∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN,且AM=AM,AN=AN’,∴△MAN’≌△MAN(SAS),∴MN=MN’,又∠ADN=45°=∠ABN ’,∠ABD=45°,∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°,∴在Rt △MBN ’中,MN ’²=BM ²+BN ’²,即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③:图1、2中EA 平分∠BEF ,FA 平分∠DFE 。
2021年于新华中考数学16讲第5讲 基本几何模型
第5讲 基本几何模型一、对角互补模型(构造全等) 1.双90°型(1)条件①∠AOB =∠DCE =90°;②OC 平分∠AOB .结论:① ;② ;③ .DBCO E【答案】①CD =CE ;②OD +OE;③S 四边形DOEC =S △ODC +S △OEC =12OC 2. (2)当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时, 条件:①∠AOB =∠DCE =90°;②OC 平分∠AOB .结论:① ;② ;③ .O EDBC【答案】①CD =CE ;②OE -OD;③S △OEC -S △ODC =12OC 2. 【注意】(1)条件①②和结论中的①,任意替换其一都成为一个新的真命题; (2)既可以过点C 作“双垂”,即CM ⊥OA 于点M , CN ⊥OE 于点N (利用角平分线构造双垂筝型),又可过点C 作CG ⊥OC 交OE 的延长线于点G (围绕点C 构造旋转全等形). 例题讲解 如图,正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10,点O 是正方形ABCD 的中心,正方形OMNP 绕点O 旋转.证明:无论正方形OMNP 旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值. O P MN B CDA【答案】连接OB ,OC ,可构造两个三角形全等,进一步得到S 重合=14S 正方形ABCD =25.2.60°,120°型(1)条件:①∠AOB =2∠DCE =120°;②OC 平分∠AOB .结论:① ;② ;③ .OE DCBA答案:①CD =C E ;②OD +OE =OC ;③ S 四边形DOEC =S △ODC + S △OEC =2 (2)当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时. 条件:①∠AOB =2∠DCE =120°;②OC 平分∠AOB . 结论:① ;② ;③ .OE DCBA答案:①CD =C E ;②OE - OD +=OC ;③ S 四边形DOEC = S △OEC -S △ODC +=2. 【注意】(1)条件①②和结论中的①,任意替换其一都能成为一个新命题;(2)既可以过点C 作“双垂”,即CM ⊥OA 于点M ,CN ⊥OE 于点N (利用角平分线构造双垂筝型),又可以OC 为边,构造等边△OCG ,或将线段CO 绕点C 逆时针旋转60°(围绕点C 构造旋转全等形). 例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD (如下图).有一个含60°角的三角尺,使三角尺的60°角的顶点与点A 重合,两边分别与AB ,AC 重合.(1)将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转,当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ,CD 相交于点E ,F 时(如图1),通过观察或测量AE ,AF 的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;(2)在旋转过程中四边形AECF 的周长是否发生变化?如果没有变化,请说明理由;如果有变化,请求出周长的最小值;(3)若将(1)中三角尺的60°角的顶点P 在AC 上移动且与点A 、C 都不重合,三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时(如图2),那么PE 、PF 之间又有什么数量关系?并证明你的结论.答案:(1)AE =AF ,可证△ABE ≌△ACF (ASA )(2)四边形AECF 的周长=2AE +CE +CF =2AE +BC =2AE +4.当AE ⊥BC 时,AE 有最小值,故四边形AECF 的周长的最小值为4;(在旋转过程中四边形AECF 的面积不发生变化) (3)PE =PF (过点P 利用角平分线构造双垂筝型全等).二、角含半角模型(必旋转)1、条件:①正方形ABCD ;②∠EAF =45°.结论:① ;② .图①E D CF答案:结论:DF +BE =EF 或DF -DE =EF . 如题图①,将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°到△ABG 的位置,此时C ,B ,G 共线; 如题图②,将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°到△ADG 的位置,此时D ,G ,C 共线; 【注意】(1)但凡旋转,必然有边对应相等,只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可: (2) 旋转后.往往涉及三点共线问题(须简单证明之);(3) 旋转后,一般需要再证一对共旋转点的三角形全 等 (SAS ).例题讲解如图,在平面直角坐标中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上,O 为坐标原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转,旋转角为θ,当A点第一次落在直线y =x 上时停止旋转,旋转过程中,AB 边交直线y =x 于点M ,BC 边交x 轴于点N . (1)当A 点第一次落在直线y =x 上时,求点A ,B 两点坐标(直接写出结果);(2)设△MBN 的周长为p ,在旋转正方形OABC 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论.答案:(1)(2)p值不会发生变化,将△OAM绕点O顺时针旋转90°到△OCG的位置,此时B,C,G三点共线,得MN==BM+CN,∴△MBN的周长p=MN+BM+BN=AM+CN+BM+NB=2AB=4.变式1:如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长C答案:将△BDM绕点D顺时针旋转120°到△CDE的位置,此时A,C,E三点共线,得MN=BM+CN,∴△AMN 的周长为:AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=2AB=6.变式2ACF答案:EF=DE+BF.将△ADE绕点A旋转到△CDE的位置,此时C,B,G共线(或延长CB至点G,使BG=DE),再证△AFG≌△AFE (SAS),可得EF=FG=BG+BF=DE+BF.2.条件:①等腰Rt△ABC中;②∠DAE=45°.结论:.图①BC图②答案:222BD CE DF +=.图①FBC图②如图①②,将△ACE 绕点A 按顺时针旋转90°到△AB F 的位置,此时FB ⊥BC ,连接DF ,可证△ADF ≌△ADE (SAS ),于是DF =DE .在Rt △FBD 中,由勾股定理可知222FB BD DF +=,进一步得到222BD CE DF +=变式1:已知在△ABC 中,∠BAC =45°,AD ⊥BC 于点D ,若BD =6,CD =4,求△ABC 的面积.DC答案:法1:过点B 作BF ⊥AC 于点F ,如图①所示,∴△AFE ≌△BFC (ASA ),∴AE =BC =10. 又由△BDE ∽△BFC (ASA),∴BD AD DE CD =,∴6104DEDE +=,∴DE =2,则AD =12,∴S △ABC =60. 变式1图①C变式1图②ED CB法2:以D 为圆心,DA 长为半径画弧,交直线BC 于E ,F 两点(以AD 为高,构造等腰△AEF ),如图②所示,利用“角含半角模型”知道222BE CF BC +=,有222(BE 2)10BE ++=,∴BE =6,AD =DE =12,∴S △ABC =60.变式2:如图,等边△ABC 中,点P ,Q 在BC 边上,且∠P AQ =30°.若BP =2,QC =3,求AB 的长.答案:将△ABP 绕点A 按顺时针旋转60°至△ACD 的位置,过点D 作DE ⊥BC 于点E .在Rt △DEC 中,DC在Rt △又可证△AQP ≌△AQD (SAS ), 得PQ=DQ ∴BC =AB =5三、一线三等角模型如图①,∠ABC =∠ACE =∠CDE =90°; 如图②,∠ABC =∠ACE =∠CDE =60°; 如图③,∠ABC =∠ACE =∠CDE =45°.图①C E图②BEC图③ABDC例题讲解1.△ABC 和△DEF 均为正三角形,E 是BC 边的中点.(1)如图①,DE 交AB 于点M ,EF 交AC 于点N ,求证:△BEM ∽△CNE ;(2)如图②,将△DEF 绕点E 旋转,使得DE 交BA 的延长线于点M ,EF 交AC 于点N ,则第(1)题的结论是否依旧成立?图1E BF图2E FB【答案】答案略(可再追问证明△CEN ∽△EMN ).2.如图,将等边△ABC 折叠,使得点C 落在AB 边上的点D 处,折痕为EF ,点E ,F 分别在AC 和BC 边上.若AC =8,AD =2,则CF :CE 的值为________.第2题图C A BD【答案】7:5简答:由翻折知CE DECF DF=,再由“一线三等角模型”可知△ADE ∽△BFD ,根据“相似三角形的周长之比等于相似比”得ADE DEBFD DF=△△,而△ADE 的周长=AC +AD =10,△BFD 的周长=BC +BD =14,∴57CE DE CF DF ==.变式1:如图,在等边△ABC 中,D 是BC 边上一点,且BD :DC =1:3,把△ABC 折叠,使点A 落在BC 边上的点D 处,那么AM :AN 的值为________.变式1图A CB D【答案】5:7变式2:如图,在平面直角坐标系中,O (0,0),A (6,,B (12,0).将△OAB 沿直线CD 折叠,使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处.若OE =245,则CE :DE 的值是________.变式2图【答案】提示:先证△OAB 为等边三角形,后面方法同例2. 四、K 字模型探究在学习几何知识时,我们可以通过分离和构造基本图形,将几何“模块”化.例如在相似三角形中,K 字型是非常重要的基本图形,可以建立如下的“模块”(如图①):图1A DCB(1)已知∠A =∠D =∠BCE =90°,则△ABC ∽△DCE ;请就图①证明上述“模块”的合理性; 【答案】略(2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题: (i )如图②,已知点A (-2,1),点B 在直线y =-2x +3上运动,若∠AOB =90°,求此时点B 的坐标;图2A【答案】(i )过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,过点B 作BE ⊥x 轴于点E ,可证△ODA ∽△BEO , ∴AD OEOD BE=. 点B 在直线y =-2x +3上,可设B (m ,-2m +3), ∴1=223m m -+,∴34m =.故3342B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.(ii )如图③,过点A (-2,1)分别作与x 轴,y 轴平行的线,交直线y =-2x +3于点C ,D ,求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标.图3【答案】(ii )过点E 作EG ∥y 轴,过点D 作DF ⊥FG 于点F ,延长AC 交FE 于点G (构造“K 字模型”),有△EGC ∽△DFE ,易得D (-2,7),C (1,1).又由对称可知DE =DA =6,EC =CA =3,△EGC 与△DFE 的相似比为1∶2,设CG =x ,则EF =2x ,EG =6-2x ,∴DF =12-4x ,故12-4x =3+x ,有x =95.故E (145,175).归纳若知道直角三角形的两直角边的长度(比值),可通过两个锐角顶点作过直角顶点直线的垂线段构造K 字型全等或相似. 结论应用1.如图,在Rt △AOB 中,O 为坐标原点,∠AOB =90°,OA :OB =1:2,如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动,那么点B 在函数________(填函数解析式)的图象上运动.【答案】4y x=-提示:分别过点A ,B 作y 轴的垂线于点C ,D ,由“K 字模型”知△OCA ∽△BDO ,且知相似比为1:2.设A (m ,1m ),AC =m ,OC =1m ,则OD =2m ,BD =2m ,∴B (2m,-2m ),故点B 在4y x =-上.B变式1:如图,在Rt △AOB 中,O 为坐标原点,∠AOB =90°,∠B =30°,如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动,那么点B 在函数________(填函数解析式)的图象上运动.变式1图【答案】3y x =-提示:构造“K 字型”,其中OA OB =.变式2:已知A 是反比例函数3y x=的图象在第一象限上的一动点,连接AO 并延长交另一分支于点B ,以AB 为边作等边△ABC ,点C 在第四象限.已知点C 的位置始终在一函数图象上运动,则这个函数解析式为________.变式2图【答案】9y x=-提示:由反比例函数图象的中心对称性可知,OA =OB ,故连接OC ,后续步骤同变式1. 变式3:已知△ABC 为等边三角形,点A 与点D 的坐标分别是A (4,0),D (10,0). (1)如图①,当点C 与点O 重合时,求直线BD 的解析式;图①【答案】(1)42y x =-(2)如图②,点C 从点O 沿y 轴向下移动,当以点B 为圆心,AB 为半径的⊙B 与y 轴相切(切点为C )时,求点B 的坐标;图②【答案】B (8,-)(3)如图③,点C 从点O 沿y 轴向下移动,当点C 的坐标为C (0,-)时,求∠ODB 的正切值.图③【答案】法1:在x 轴上找点E ,F 使∠OEC =∠AFB=60°(构造“一线三等角),如图①所示,显然有△AEC ≌△BF A (AAS ).在Rt △OEC 中,OC =OEC =60°,则OE =2,∴AE =6.于是由全等得BF =AE =6.过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,在Rt △FGB 中,∠GFB =60°,BF =6,∴FG =3,BG=DG =5,故tan ∠ODB图③【答案】法2:过点B 作BE ⊥AC 于点E ,过点E作直线FG ⊥x 轴于点F ,过点B 作BG ⊥FG 于点G ,如图②所示(构造“K 字模型”),有△AFE ∽△EGB,且AE BE =.由“三线合一”知E 为AC 的中点,则EF 为△AOC 的中位线,∴AF =2,EF EG=BG =3,则B (5,-,易求tan ∠ODB图③归纳只要知道等边三角形两个点的坐标,经过定边的中点构造.“K 字型”.变式4:如图,在等腰Rt △OAB 中,∠OAB =90°,顶点O 为坐标原点,顶点A ,B 在某反比例函数的图象上,点A 的横坐标为2,则OAB S =△________.变式4图【答案】5A 作MN ∥y 轴交x 轴于点N ,过点B 作BM ⊥MN 于点M (构造“K 字模型”),有△BMA ≌△ANO (AAS ).设A (2,m )(m >0),则可得B (2-m ,2+m ).根据“双曲线上的点横、纵坐标的积相等”,得(2-m )(2+m )=2m ,解得m 1,∴()22114522ABC S OA m ==+=-△变式4图2.如图,直线123l l l ∥∥,且1l 与2l 的距离为1,2l 与3l 的距离为3.把一块含有45°的直角三角板按图所示放置,顶点A ,B,C 恰好分别落在三条直线上,AC 与直线2l 交于点D ,则线段BD =________.【答案】2543.如图,点P 是正方形ABCD 的BC 边上的动点,以AP 为斜边在正方形内部作一等腰 Rt △APQ ,∠AQP=90°;AQ=PQ. (1)求∠ADQ 的度数;(2)若正方形边长为4,BP=1,求DQ 的长.P答案:法1:(1)过点Q 作EF//AB 分别交AD ,BC 于点E ,F ,如图所示(构造“K 字模型”),显然△AEQ ≌△QFP (AAS ),∴AE=QF.又AD=EF ,则AD-AE=EF-QF ,即ED=EQ ,∴∠ADQ=45°. (2)设DE=EQ=FP=m,又BP=1, 则CF=3-m=DE=m ,∴32m =,则2. 法2:(1)连接AC ,如图②所示,AQ AD AP AC ==, 则△AQD△APC ,∠ADQ=∠ACB=45°.(2)由△AQD△APC 可得DQ PC =PC=3,则DQ=2. 图①FEBP 图②AP变式:如图,以ABCD 的CD 边为斜边向内作等腰Rt △CDE ,使AD=DE=CE ,∠DEC=90°,且点E 在平行四边形内部.连接AE ,BE ,则∠AEB 的度数是____________.B答案:135°提示:过点E作FG⊥AD交AD,BC于点G,F,利用“等腰三角形腰上的高与底的夹角等于顶角的一半”,得∠1=12∠3,∠2=12∠4.而∠3+∠4=180°-2×45°=90°,∴∠1+∠2=45°,故∠AEB=135°.4.如图,在平面直角坐标系中,直线34y x b=-+分别与x轴,y轴交于点A,B,且点A的坐标为(8,0),四边形ABCD是正方形.备用图(1)填空:b=_________;(2)求点D的坐标;(3)M是线段AB上的一个动点(点A,B除外),试探索在x轴上方是否存在另一个点N,使得以0,B,M,N 为顶点的四边形是菱形.若不存在,请说明理由;若存在,请求出点N的坐标.答案:(1)6. (2)D(14,8). (3)存在,点N的坐标为144192(,)2525或(-4,3).变式:如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,B在双曲线kyx=(x>0)上,BC与x转交于点D.若点A的坐标为(2,4),求点D的坐标.答案:过点A作EF//x轴交y轴于点E,过点B作BF//y轴交EF于点F(构造“K字模型”),显然有△AEO △BFA ,设B (m ,8m ),则AF=m-2,BF=4-8m, ∴AE BF OE AF =,即m-2=8-16m, ∴m=8,则点B (8,1), 又BC//OA ,则BC OA k k ==2, ∴BC l :y=2x-15,与x 轴的交点D (152,0). 五、双子型 1.全等双子型(1)如图,△ABC 和△CED 均为等边三角形,C 为公共点,那么,在下图中,我们能得到哪些结论呢?BB常见结论:三角形全等:___________;线段相等:______________;角的结论:__________________. (2)稍微变一下形,如下图,△ABC 和△CED 均为等腰直角三角形,C 为公共点.B B常见结论:三角形全等:___________;线段相等:______________;角的结论:__________________. (3)再稍微变一下形,我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形,你还能找出结论吗?EFEF常见结论:三角形全等:___________;线段相等:______________;角的结论:__________________.(4)我们拓展到一般情况,如下图,△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,C 为公共点,且满足∠BAC=∠DAE.BD常见结论:三角形全等:___________;线段相等:______________;角的结论:__________________. 答案:(1)结论:△BCE ≌△ACD (SAS );BE=AD ;∠AFB=60°(可补充FC 平分∠BFD ); (2)结论:△BCE ≌△ACD (SAS );BE=AD ;∠AFB=90°(可补充FC 平分∠BFD ); (3)结论:△BCG ≌△DCE (SAS );BE=DG ;∠BHE=90°(可补充HC 平分∠BHE ); (4)结论:△BAD ≌△CAE (SAS );BD=CE ;∠BFC=∠BAC (可补充FA 平分∠BFE ). 2.相似双子型上面的结论都是全等,既然全等是特殊的相似,那相似肯定也是有的!如图,△ABC 和△CED 均为直角三角形,C 为公共点,且满足∠BAC=∠CDE.BB仿照上面的结论,有:三角形相似:______;相似比为_______;线段关系:_______;角的结论:____________. (若命题人将上面的图形补成矩形,可要慧眼识珠哦!) 答案:结论:△BCE△ACD ;BC AC (或tanA );BE BCAD AC;∠AFB=90°归纳 在双子型的公共点除必存在旋转类的全等或相似外,同时极易出现“八字形”.练一练1.已知:如图①,在△AOB 和△COD 中,OA = OB ,OC =OD ,∠AOB=∠COD = 50°. (1)求证:①AC = BD ;②∠APB=50°;(2)如图②,在△AOB 和△COD 中,OA=OB ,OC=OD ,∠AOB=∠COD=a ,则AC 与BD 间的数量关系为_________,∠APB 的大小为___________.图①DAQ图②AB答案:(1)略. (2)AC=BD ,∠APB=a.2.(1)只需证△BAM ≌△CAN .(2)仍然成立(还可发现∠MAC =∠CNM ) 【构造双子型】1.6提示:以C 为顶点,CD 为边向右下方作等边△CDE ﹙构造“双子型”﹚,连接AE,有△BCD ≌△ACE﹙SAS ﹚,AE =BD=7.5,在Rt △ADE 中,AD =4.5,AE =7.5,由勾股定理得DE =6,即CD =6.2.13提示:以A 为顶点,AB 为腰向左上方作等腰Rt △ABE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE ,有△ABD ≌△AEC ﹙SAS ﹚在Rt △EBC 中,EB =5,BC =12, 由勾股定理得CE =13,即BD =CE =13.变式1:10提示:以A 为顶点,AB 为腰作等腰△AEB ,且使∠EAB =120°﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△EAC﹙SAS ﹚,在Rt △EBC 中,EB =6,BC =8,由勾股定理得CE =10,即BD =10.ED C B AE D AB CEDBCA变式2:2提示:以P 为顶点,PB 为边长向右下方作等边△PBE ,连接CE ,有△BP A ≌△BEC ﹙SAS ﹚,∠BEC =∠A PB=150°,又∠BEP =∠BPE =60°,在Rt △PEC 中,PE =1,∠EPC=60°,得CP =2.提示:以A 为顶点,AD 为腰作等腰Rt △ADE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△CAE ﹙SAS ﹚在Rt △EDC 中,EDCD =2,由勾股定理得CE故BD4.4≤AC ≤6 提示:以B 为顶点,OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ﹙构造“双子型”﹚,连接CP ,OM,有△BOM ≌△BPC ﹙SAS ﹚,PC =OM =1,则点C 在以P 为圆心,1为半径的圆上,这样就转1C ,2C 两化为“圆外一点到圆上的最值问题”,作射线AP ,交⊙P 于点,A 1C =4,A 2C =6.故4≤AC ≤6.﹙本题亦可以理解为“捆绑旋转”﹚变式1OD ≤3:以O 为顶点,OC 为边向上方作等腰Rt △OEC ︰,则﹙构造“双子型”﹚,连接DE ,OP ,有△OPC ∽△EDC ,且相似比为1DE =则点D 在以E 为圆心,作射线⊙E 于点1D ,2D ,O 1DO 2D=3故OD ≤3﹢变式2:2≤OD ≤4 提示:以OC 为边向上方作等边△OCE ,连接DE,OP.EBAD25.3 提示以O 为顶点,OC 为边向下方作等边△OCE ﹙构造“双子型”﹚,连接EP ,显然有△PCE ≌△DCO ﹙SAS ﹚,故OD =EP ,这样OD 的最值转化到EP 的最值,E 为定点,点P 在⊙O 上,根据“圆内一点到圆上各点最值问题”可以得解,作直线OE 交⊙O 于1P ,2P 两点,则E 1P 为最大值,E 1P =3,E 2P 为最小值, E 2P =1,故OD 的最大值为3,﹙本题还可以问最小值,甚至问OD 的取值范围﹚6.2 提示:以OA 为边向上方等边△OAD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD,显然有△ADB ≌△AOC ﹙SAS ﹚,则OC =BD ,D 为定点,动点B 在y 轴上,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DE ⊥y 轴时﹙即E,B 重合时﹚,DB 最短,此时DB =2,故OC 的最小值为2.7.提示:以OA 为腰向上作等腰Rt △AOD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD ,显然有△AOC ∽△ADB ,∴OC BD =OA AD,则OCD 为定点,动点B 在直线y =2上运动,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DB ⊥直线y =2时,DB 有最小值2.故OC 的最小值为8.﹙2-以AB 为腰向上作等腰Rt △DAB ,如图①所示﹙构造“双子型”﹚,连接DM ,有△MDB ∽△P AB ,∴2DM DB APAB,则DM则M 在以D为圆心, ,∴maxAM =3minAM 但求点P 的坐标,会比较烦琐,我们看下面的处理方法.以AB 为底向下作等腰Rt △ABN ,连接NP ,如图②所示,有△MAB ∽△PNB ,∴AM .N 为定点,P 在以A 为圆心,2为半径的圆上,当N,A,P 三点共线时,NP 最大,在Rt △ADP 中,AP =2,∠P AD =45°,∴AD=DP 故点P 坐标为﹙2-DM'O AMPB DNBPMAO六、十字架型【正方形内十字架型】1.△BAF≌△ADE﹙SAS﹚;AE=BF2.在正方形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、CD、AD、BC边上的点. 若EF⊥GH,上述结论是否仍然成立?解:仍然成立提示:过点G作GN⊥BC于点N,过点F作FM⊥AB于点M,再证△GNH≌△FME即可.思路正方形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用全等推导出十字架“相等”.3.如图,将边长为4的正方形纸片ABCD折叠,使得点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F在AD边上,求折痕FG的长.解:连结AE. FG为折痕,AE为对称点的连线,则AE⊥FG. 又四边形ABCD为正方形,根据“正方形内十字架型”可得FG=AE=52.【矩形内十字架型】1.如图,在矩形ABCD中,AB=m,AD=n,在AD边上有一点E. 若CE⊥BD,则CE和BD之间有什么数量关系?解:可证△CDE ∽△BCD ,∴nmBC CD BD CE ==,即CE ,BD 之比等于矩形邻边之比.2. 如图所示为一般情况,在矩形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AD ,BC ,AB ,CD 边上的点,当EF ⊥GH ,上诉结论是否仍然成立?解:仍然成立,BCCDGH EF =.思路 矩形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用相似推导出十字架之比和邻边“成比例”. 3. (秒算)如图,把边长为AB=6,BC=8的矩形ABCD 对折,使点A 和点C 重合,求折痕EF 的长.解:连结AC ,BC CD AC EF =,∴8610=EF ,故EF=215.探究证明某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究,提出下列问题,请你给出证明.如图,在矩形ABCD 中,EF ⊥GH ,EF 分别角AB ,CD 于点E ,F ,GH 分别交AD ,BC 于点G ,H. 求证:ABADGH EF =.结论应用如图,在满足上题的条件下,又AM ⊥BN ,点M 、N 分别在BC ,CD 边上,若1511=GH EF ,则=AMBN.答案:1511联系拓展如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM ⊥DN ,点M ,N 分别在BC ,AB 边上,求AMDN 的值.解:可证△ADC≌△ABC ,∴∠ADC=∠ABC=90°. 过点D 作EF ∥AB ,过点A 作AF ⊥EF 于点F ,延长BC 交EF 于点E ,如图(构造“K 字模型”),又有△DEC ∽△AFD ,且相似比为1:2.设CE=x ,则DF=x 2,∴DE=x 210-,∴AF=x 420-=BE=x +5,∴3=x ,则BE=8. 根据“矩形内十字架型”可得54==AB BE AM DN .【直角三角形内十字架型】直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形,所以矩形内的结论可沿用至直角三角形内. 1.如图,在Rt 三角形ABC 中,∠ABC =90°,BA =BC ,D 是BC 边上的中点。
角含半角模型(完整版)
第九章 半角模型模型1 已知如图: ② ∠2=12∠AOB ;②OA=OB 。
连接F ′B ,将△FOB 绕点O 旋转 至△FOA 的位置,连接F ′E 、FE , 可得△OEF ′≌△OEF 。
模型分析(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°。
【模型图解】模型必备条件:AD=DC,对角互补,角含半角; 结论:短边之和=长边1.M点在线段AB上原图旋转全等结论:AM+NC=MN2.M点在线段AB延长线上,N在BC延长线上原图旋转全等结论:AM-CN=MN注意:旋转对象=△ADM(同M的位置无关)旋转终止条件=两个相等的边重合特例_1 直角三角形角含半角——点在AB上原图结论:旋转全等特例_1 直角三角形角含半角——点在AB延长线上原图旋转全等特例_2 正方形角含半角——点在AB上原图旋转全等特例_2 正方形角含半角——点在AB延长线上原图旋转全等AFEBCD模型实例 【模型分析】例1. 如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD,E 、F 分别是BC 、CD 延长 线上的点,且∠EAF=12∠BAD 。
求证:EF=BE-FD 。
图2AMBDCN 1图BACDMN 例2.在等边△ABC 的两边AB 、AC 上分别有两点M 、N ,D 为△ABC 外一点, 且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC 。
探究:当M 、N 分别在线段AB 、AC上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系。
(1)如图①,当DM=DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ; (2)如图②,当DM ≠DN 时,猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想 并加以证明。
A MCNOB A BMOCN图32图图1ACBOMN例3.已知,在等边△ABC中,点O是边AC、BC 的垂直平分线的交点,M、N 分别在直线AC、BC上,且∠MON=60°。
第五章 半角模型
第五章半角模型模型半角模型如图①(1)∠2=21∠AOB (2)OA=OB如图②,连接FB,将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置,连接FE、FE,可得△OEF≌△OEF模型分析如图②△OBF≌△OAF,∴∠3=∠4,OF=OF∵∠2=∠AOB,∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE 是公共边,∴△OEF≌△OEF(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;(3)常见的半角模型是90含45°、120°含60°模型实例例1:如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD+∠BCD=180°,点E,F 分别是边BC、CD 上的点,且∠EAF=21∠BAD,求证:EF=BE+DF(一)、半角结构之90°与45°例2、如图,在正方形ABCD中,M,N分别在BC,CD上,∠MAN=45°,(1)求证:MN=BM+DN(2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB经典练习1.如图,在正方形ABCD中,E,F分别在BC,CD上,∠EAF=45°,BE=2cm,DF=3cm,求正方形的边长2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E是边上两点且∠DAE=45°,求证:BD2+CE2=DE23.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边CD、BC的延长线上,且∠FAE=45°,试探究EF、BE、DF之间的数量关系,并证明.4.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC、CD上的动点(不与B,C,D重合),且∠EAF=45°,对角线BD分别和AE、AF交于点M、N连接NE,求证:△ANE是等腰直角三角形(二)、半角结构之120°与60°例2.在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC。
半角模型(解析版)--全等三角形的七大模型全攻略
半角模型基本模型:例题精讲1(120°与60°)问题情境在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC= 120°,BD=DC.特例探究如图1,当DM=DN时,(1)∠MDB= 度;(2)MN与BM,NC之间的数量关系为 ;归纳证明(3)如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明.拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为 .【答案】(1)30;(2)MN=BM+NC;(3)MN=BM+NC,证明见解析;(4)2 3【详解】特例探究:解:(1)∵DM=DN,∠MDN=60°,∴△MDN是等边三角形,∴MN=DM=DN,∵∠BDC=120°,BD=DC,∴∠DBC=∠DCB=30°,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBM=∠DCN=90°,∵BD=CD,DM=DN,∴Rt△DBM≌Rt△DCN(HL),∴∠MDB=∠NDC=30°,故答案为:30;(2)由(1)得:DM=2BM,DM=MN,Rt△DBM≌Rt△DCN(HL),∴BM=CN,∴DM=MN=2BM=BM+NC,即MN=BM+NC;归纳证明(3)解:猜想:MN=BM+NC,证明如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠MBD=∠NCD=90°.∴∠MBD=∠ECD=90°,又∵BD=CD,BM=CE,∴△DBM≌△DCE(SAS),∴DM=DE,∠MDB=∠EDC,∵∠MDN=60°,∠BDC=120°,∴∠MDB+∠NDC=60°,∴∠EDN=∠NDC+∠EDC=∠MDB+∠NDC=60°,∴∠EDN=∠MDN,又∵DN =DN ,∴△MDN ≌△EDN (SAS ),∴MN =EN =EC +NC =BM +NC ;拓展应用(4)解:由(1)(2)得:MN =BM +NC ,∴△AMN 的周长=AM +MN +AN =AM +BM +NC +AN =AB +AC =2AB ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC =AC ,∴△ABC 的周长=3AB ,∴△AMN 的周长与△ABC 的周长的比为2AB 3AB=23,故答案为:23.2(60°与30°)问题情境:已知,在等边△ABC 中,∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ,点M 、N 分别在直线AC ,AB 上,且∠MON =60°,猜想CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系.方法感悟:小芳的思考过程是在CM 上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB 取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M 、N 分别在边AC ,AB 上时,探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M 在边AC 上,点N 在BA 的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM 、MN 、AN 三者之间的数量关系,并证明.【答案】(1)CM =AN +MN ,详见解析;(2)CM =MN -AN ,详见解析【详解】解:(1)CM =AN +MN ,理由如下:在AC 上截取CD =AN ,连接OD ,∵△ABC 为等边三角形,∠BAC 与∠ACB 的角平分线交于点O ,∴∠OAC =∠OCA =30°,∴OA =OC ,在△CDO 和△ANO 中,OC =OA∠OCD =∠OAN CD =AN,∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ,∠COD =∠AON ,∵∠MON =60°,∴∠COD +∠AOM =60°,∵∠AOC =120°,∴∠DOM =60°,在△DMO 和△NMO 中,OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM,∴△DMO ≌△NMO ,∴DM =MN ,∴CM =CD +DM =AN +MN ;(2)补全图形如图2所示:CM =MN -AN ,理由如下:在AC 延长线上截取CD =AN ,连接OD ,在△CDO 和△ANO 中,CD =AN∠OCD =∠OAN =150°OC =OA,∴△CDO ≌△ANO (SAS )∴OD =ON ,∠COD =∠AON ,∴∠DOM =∠NOM ,在△DMO 和△NMO 中,OD =ON∠DOM =∠NOM OM =OM,∴△DMO ≌△NMO (SAS ),∴MN =DM ,∴CM =DM -CD =MN -AN .3(90°与45°)如图①,四边形ABCD 为正方形,点E ,F 分别在AB 与BC 上,且∠EDF =45°,易证:AE +CF =EF (不用证明).(1)如图②,在四边形ABCD 中,∠ADC =120°,DA =DC ,∠DAB =∠BCD =90°,点E ,F 分别在AB 与BC 上,且∠EDF =60°.猜想AE ,CF 与EF 之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图③,在四边形ABCD 中,∠ADC =2α,DA =DC ,∠DAB 与∠BCD 互补,点E ,F 分别在AB 与BC 上,且∠EDF =α,请直接写出AE ,CF 与EF 之间的数量关系,不用证明.【答案】(1)AE +CF =EF ,证明见解析;(2)AE +CF =EF ,理由见解析.【详解】(1)图2猜想:AE +CF =EF,证明:在BC的延长线上截取CA'=AE,连接A'D,∵∠DAB=∠BCD=90°,∴∠DAB=∠DCA'=90°,又∵AD=CD,AE=A'C,∴△DAE≌△DCA'(SAS),∴ED=A'D,∠ADE=∠A'DC,∵∠ADC=120°,∴∠EDA'=120°,∵∠EDF=60°,∴∠EDF=∠A'DF=60°,又DF=DF,∴△EDF≌△A'DF(SAS),则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE;(2)如图3,AE+CF=EF,证明:在BC的延长线上截取CA'=AE,连接A'D,∵∠DAB与∠BCD互补,∠BCD+∠DCA'=180°∴∠DAB=∠DCA',又∵AD=CD,AE=A'C,∴△DAE≌△DCA'(SAS),∴ED=A'D,∠ADE=∠A'DC,∵∠ADC=2α,∴∠EDA'=2α,∵∠EDF=α,∴∠EDF=∠A'DF=α又DF=DF,∴△EDF≌△A'DF(SAS),则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE.【变式训练】1已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E、F.(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系?请将三条线段分别填入后面横线中:+=.(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时,上述(1)中结论是否成立?请说明理由.(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时,上述(1)中结论是否成立?若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.【答案】(1)AE ;CF ;EF ;(2)成立,见解析;(3)不成立,新的关系为AE =EF +CF .【详解】解:(1)如图1,AE +CF =EF ,理由如下:∵AB ⊥AD ,BC ⊥CD ,∴∠A =∠C =90°,∵AB =BC ,AE =CF ,∴△ABE ≌△CBF (SAS ),∴∠ABE =∠CBF ,BE =BF ,∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∴∠ABE =∠CBF =30°,∴AE =12BE ,CF =12BF ,∵∠MBN =60°,BE =BF ,∴△BEF 是等边三角形,∴AE +CF =12BE +12BF =BE =EF ,故答案为:AE +CF =EF ;(2)如图2,(1)中结论成立;理由如下:延长FC 到H ,使CH =AE ,连接BH ,∵AB ⊥AD ,BC ⊥CD ,∴∠A =∠BCH =90°,∴△BCH ≌△BAE (SAS ),∴BH =BE ,∠CBH =∠ABE ,∵∠ABC =120°,∠MBN =60°,∴∠ABE +∠CBF =120°-60°=60°,∴∠HBC +∠CBF =60°,∴∠HBF =∠MBN =60°,∴∠HBF =∠EBF ,∴△HBF ≌△EBF (SAS ),∴HF =EF ,∵HF =HC +CF =AE +CF ,∴EF =AE +CF ;(3)如图3,(1)中的结论不成立,关系为AE =EF +CF ,理由如下:在AE 上截取AQ =CF ,连接BQ ,∵AB⊥AD,BC⊥CD,∴∠A=∠BCF=90°,∵AB=BC,∴△BCF≌△BAQ(SAS),∴BF=BQ,∠CBF=∠ABQ,∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE,∴∠CBE+∠ABQ=60°,∵∠ABC=120°,∴∠QBE=120°-60°=60°=∠MBN,∴∠FBE=∠QBE,∴△FBE≌△QBE(SAS),∴EF=QE,∵AE=QE+AQ=EF+CF,∴AE=EF+CF.2如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,点E、F分别在AD、AB上,且∠FCE= 1∠BCD.2(1)求证:BF=EF-ED;(2)连结AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度数.【答案】(1)见解析;(2)20°【详解】(1)旋转△BCF使BC与CD重合,∵AD∥BC,AB=DC,即梯形ABCD为等腰梯形,∴∠A=∠ADC,∠A+∠ABC=180°,∴∠ADC+∠ABC=180°,由旋转可知:∠ABC=∠CDF′,∴∠ADC+∠CDF′=180°,即∠ADF′为平角,∴A,D,F′共线,∠BCD∵∠FCE=12∠BCD,∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=12∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,∴△FCE≌△F′CE,∴EF′=EF=DF′+ED,∴BF=EF-ED;(2)∵AB =BC ,∠B =80°,∴∠ACB =50°,由(1)得∠FEC =∠DEC =70°,又∵AD ⎳BC ,∴∠ECB =70°,而∠B =∠BCD =80°,∴∠DCE =10°,∴∠BCF =30°,∴∠ACF =∠BCA -∠BCF =20°.3问题背景:“半角模型”问题.如图1,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =120°,∠B =∠ADC =90°,点E ,F 分别是BC ,CD 上的点,且∠EAF =60°,连接EF ,探究线段BE ,EF ,DF 之间的数量关系.(1)探究发现:小明同学的方法是延长FD 到点G .使DG =BE .连结AG ,先证明△ABE ≌△ADG ,再证明△AEF ≌△AGF ,从而得出结论:;(2)拓展延伸:如图2,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC ,CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD ,请问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由.(3)尝试应用:如图3,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠ADC =180°,E 、F 分别是边BC ,CD 延长线上的点,且∠EAF =12∠BAD ,请探究线段BE ,EF ,DF 具有怎样的数量关系,并证明.【答案】(1)EF =BE +FD(2)成立,理由见解析(3)EF =BE -FD ,证明见解析【详解】(1)解:EF =BE +FD .延长FD 到点G .使DG =BE .连接AG ,∵∠ABE =∠ADG =∠ADC =90°,AB =AD ,∴△ABE ≌△ADG SAS .∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG .∴∠BAE +∠DAF =∠DAG +∠DAF =∠EAF =60°.∴∠GAF =∠EAF =60°.又∵AF =AF ,∴△AGF ≌△AEF SAS .∴FG =EF .∵FG =DF +DG .∴EF =BE +FD .故答案为:EF=BE+FD;(2)解:(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.证明:如图②中,延长CB至M,使BM=DF,连接AM.∵∠ABC+∠D=180°,∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠D,在△ABM与△ADF中,AB=AD ∠1=∠D BM=DF,∴△ABM≌△ADF SAS.∴AF=AM,∠2=∠3.∵∠EAF=12∠BAD,∴∠2+∠4=12∠BAD=∠EAF.∴∠3+∠4=∠EAF,即∠MAE=∠EAF.在△AME与△AFE中,AM=AF∠MAE=∠EAF AE=AE,∴△AME≌△AFE SAS.∴EF=ME,即EF=BE+BM,∴EF=BE+DF;(3)解:结论:EF=BE-FD.证明:如图③中,在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADF.在△ABG与△ADF中,AB=AD∠ABG=∠ADF BG=DF,∴△ABG≌△ADF SAS.∴∠BAG=∠DAF,AG=AF.∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD.∴∠GAE=∠EAF.∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF SAS,∴EG=EF,∵EG=BE-BG,∴EF=BE-FD.4综合与实践(1)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,则MN,AM,CN的数量关系为.(2)如图2,在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,AB =BC ,∠A +∠C =180°,点M 、N 分别在AD 、CD 上,若∠MBN =12∠ABC ,试探索线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.(3)如图3,在四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC +∠ADC =180°,点M 、N 分别在DA 、CD 的延长线上,若∠MBN =12∠ABC ,试探究线段MN 、AM 、CN 的数量关系为.【答案】(1)MN =AM +CN ;(2)MN =AM +CN ,理由见解析;(3)MN =CN -AM ,理由见解析【详解】解:(1)如图,把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合,则AM =CM ',BM =BM ',∠A =∠BCM ',∠ABM =∠M 'BC ,在正方形ABCD 中,∠A =∠BCD =∠ABC =90°,AB =BC ,∴∠BCM '+∠BCD =180°,∴点M '、C 、N 三点共线,∵∠MBN =45°,∴∠ABM +∠CBN =45°,∴∠M 'BN =∠M 'BC +∠CBN =∠ABM +∠CBN =45°,即∠M 'BN =∠MBN ,∵BN =BN ,∴△NBM ≌△NBM ',∴MN =M 'N ,∵M 'N =M 'C +CN ,∴MN =M 'C +CN =AM +CN ;(2)MN =AM +CN ;理由如下:如图,把△ABM 绕点B 顺时针旋转使AB 边与BC 边重合,则AM =CM ',BM =BM ',∠A =∠BCM ',∠ABM =∠M 'BC ,∵∠A +∠C =180°,∴∠BCM '+∠BCD =180°,∴点M '、C 、N 三点共线,∵∠MBN =12∠ABC ,∴∠ABM +∠CBN =12∠ABC =∠MBN ,∴∠CBN +∠M 'BC =∠MBN ,即∠M 'BN =∠MBN ,∵BN =BN ,∴△NBM ≌△NBM ',∴MN =M 'N ,∵M 'N =M 'C +CN ,∴MN =M 'C +CN =AM +CN ;(3)MN =CN -AM ,理由如下:如图,在NC 上截取C M '=AM ,连接B M ',∵在四边形ABCD 中,∠ABC +∠ADC =180°,∴∠C +∠BAD =180°,∵∠BAM +∠BAD =180°,∴∠BAM =∠C ,∵AB =BC ,∴△ABM ≌△CB M ',∴AM =C M ',BM =B M ',∠ABM =∠CB M ',∴∠MA M '=∠ABC ,∵∠MBN =12∠ABC ,∴∠MBN =12∠MA M '=∠M 'BN ,∵BN =BN ,∴△NBM ≌△NBM ',∴MN =M 'N ,∵M 'N =CN -C M ',∴MN =CN -AM .故答案是:MN =CN -AM .课后训练5如图,在四边形ABCD中,∠B =∠D =90°,E ,F 分别是BC ,CD 上的点,连接AE ,AF ,EF .(1)如图①,AB =AD ,∠BAD =120°,∠EAF =60°.求证:EF =BE +DF ;(2)如图②,∠BAD =120°,当△AEF 周长最小时,求∠AEF +∠AFE 的度数;(3)如图③,若四边形ABCD 为正方形,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,且∠EAF =45°,若BE =3,DF =2,请求出线段EF 的长度.【答案】(1)见解析;(2)∠AEF +∠AFE =120°;(3)EF =5.【详解】(1)证明:如解图①,延长FD 到点G ,使DG =BE ,连接AG ,在△ABE 和△ADG 中,AB =AD ,∠ABE =∠ADG ,BE =DG ,∴△ABE ≌△ADG SAS.∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG ,∵∠BAD =120°,∠EAF =60°,∴∠BAE +∠FAD =∠DAG +∠FAD =60°.∴∠EAF =∠FAG =60°,AF =AF ,∴△EAF ≌△GAF SAS .∴EF =FG =DG +DF ,∴EF =BE +DF ;(2)解:如解图,分别作点A 关于BC 和CD 的对称点A ,A ,连接A A ,交BC 于点E ,交CD 于点F .由对称的性质可得A E =AE ,A F =AF ,∴此时△AEF 的周长为AE +EF +AF =A E +EF +A F =A A .∴当点A 、E 、F 、A 在同一条直线上时,A A 即为△AEF 周长的最小值.∵∠DAB =120°,∴∠AA E +∠A =180°-120°=60°.∵∠EA A =∠EAA ,∠FAD =∠A ,∠EA A +∠EAA =∠AEF ,∠FAD +∠A =∠AFE ,∴∠AEF +∠AFE =∠EA A +∠EAA +∠FAD +∠A =2∠AA E +∠A =2×60°=120°;(3)解:如解图,旋转△ABE 至△ADP 的位置,∴∠PAE =∠DAE +∠PAD =∠DAE +∠EAB =90°,AP =AE ,∠PAF =∠PAE -∠EAF =90°-45°=45°=∠EAF .在△PAF 和△EAF 中,AP =AE ,∠PAF =∠EAF ,AF =AF ,∴△PAF ≌△EAF SAS .∴EF =FP .∴EF =PF =PD +DF =BE +DF =3+2=5.6(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD =100°,∠B =∠ADC =90°.E ,F 分别是BC ,CD 上的点.且∠EAF =50°.探究图中线段EF ,BE ,FD 之间的数量关系.小明同学探究的方法是:延长FD 到点G ,使DG =BE ,连接AG ,先证明△ABE ≌△ADG ,再证明△AEF ≌△AGF ,可得出结论,他的结论是(直接写结论,不需证明);(2)如图2,若在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E ,F 分别是BC ,CD 上的点,且2∠EAF =∠BAD ,上述结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;(3)如图3,四边形ABCD 是边长为7的正方形,∠EBF =45°,直接写出△DEF 的周长.【答案】(1)EF =BE +DF ;(2)成立,理由详见解析;(3)14.【详解】证明:(1)延长FD 到点G .使DG =BE .连结AG ,BE=DG∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=100°,∠EAF=50°,∴∠BAE+∠FAD=∠DAG+∠FAD=50°,∴∠EAF=∠FAG=50°,在△EAF和△GAF中,∵AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS),∴EF=FG=DF+DG,∴EF=BE+DF,故答案为:EF=BE+DF;(2)结论仍然成立,理由如下:如图2,延长EB到G,使BG=DF,连接AG,∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°,∴∠ABG=∠D,∵在△ABG与△ADF中,AB=AD∠ABG=∠D BG=DF,∴△ABG≌△ADF(SAS),∴AG=AF,∠BAG=∠DAF,∵2∠EAF=∠BAD,∴∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE=12∠BAD=∠EAF,∴∠GAE=∠EAF,又AE=AE,∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EG=EF.∵EG=BE+BG.∴EF=BE+FD;(3)如图,延长EA到H,使AH=CF,连接BH,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=7=AD=CD,∠BAD=∠BCD=90°,∴∠BAH=∠BCF=90°,又∵AH=CF,AB=BC,∴△ABH≌△CBF(SAS),∴BH=BF,∠ABH=∠CBF,∵∠EBF=45°,∴∠CBF+∠ABE=45°=∠HBA+∠ABE=∠EBF,又∵BH=BF,BE=BE,∴△EBH≌△EBF(SAS),∴EF=EH,∴EF=EH=AE+CF,∴△DEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+AE+CF=AD+CD=14.7已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图1),易证BM+DN=MN.(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.(2)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.【答案】(1)BM+DN=MN,证明见解析(2)DN-BM=MN【详解】(1)BM+DN=MN成立.证明:如图,把△ADN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE,则可证得E、B、M三点共线.∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°,又∵∠NAM=45°,∴在△AEM与△ANM中,AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM∴△AEM≌△ANM(SAS),∴ME=MN,∵ME=BE+BM=DN+BM,∴DN+BM=MN;(2)DN-BM=MN.在线段DN上截取DQ=BM,如图,在△ADQ与△ABM中,∵AD=AB∠ADQ=∠ABM DQ=BM,∴△ADQ≌△ABM(SAS),∴∠QAN =∠MAN .在△AMN 和△AQN 中,AQ =AM∠QAN =∠MANAN =AN∴△AMN ≌△AQN (SAS ),∴MN =QN ,∴DN -BM =MN .8(1)如图1,在四边形ABCD 中,AB =AD,∠B =∠D =90°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD .求证:EF =BE +FD ;(2)如图2在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立?不用证明.(3)如图3在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠ADC =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.【答案】(1)证明见解析;(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立;(3)结论EF =BE +FD 不成立,应当是EF =BE -FD .【详解】解:(1)延长EB 到G ,使BG =DF ,连接AG .∵∠ABG =∠ABC =∠D =90°,AB =AD ,∴△ABG ≌△ADF .∴AG =AF ,∠1=∠2.∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD .∴∠GAE =∠EAF .又∵AE =AE ,∴△AEG ≌△AEF .∴EG =EF .∵EG =BE +BG .∴EF =BE +FD(2)(1)中的结论EF =BE +FD 仍然成立.理由如下:如图2,延长CB 至M ,使BM =DF ,连接AM ,∵∠ABC +∠D =180°,∠ABC +∠1=180°,∴∠1=∠D ,在△ABM 和△ADF 中,AB =AD∠1=∠DBM =DF∴△ABM ≌△ADF (SAS ),∴AM =AF ,∠3=∠2,∵∠EAF =12∠BAD ∴∠3+∠4=∠EAF ,∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ,在△MAE 和△FAE 中,AM =AF∠MAE =∠FAEAE =AE∴△MAE ≌△FAE (SAS ),∴EF =EM ,∵EM =BM +BE =BE +DF ,∴EF =BE +FD ;(3)结论EF =BE +FD 不成立,应当是EF =BE -FD .证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°,∴∠B =∠ADF .∵AB =AD ,∴△ABG ≌△ADF .∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF .∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD .∴∠GAE =∠EAF .∵AE =AE ,∴△AEG ≌△AEF .∴EG =EF∵EG =BE -BG∴EF =BE -FD .9如图,CA =CB ,CA ⊥CB ,∠ECF =45°,CD =CF ,∠ACD =∠BCF .(1)求∠ACE +∠BCF 的度数;(2)以E 为圆心,以AE 长为半径作弧;以F 为圆心,以BF 长为半径作弧,两弧交于点G ,试探索△EFG 的形状?是锐角三形,直角三角形还是钝角三角形?请说明理由.【答案】(1)45°;(2)见详解【详解】解:(1)∵CA ⊥CB ,∴∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ECF+∠BCF=90°,∵∠ECF=45°,∴∠ACE+∠BCF=90°-∠ECF=45°;(2)△EFG是直角三角形,理由如下:如图,连接DE,由(1)知,∠ACE+∠BCF=45°,∵∠ACD=∠BCF,∴∠ACE+∠ACD=45°,即∠DCE=45°,∵∠ECF=45°,∴∠ECF=∠ECD,在△ECF和△ECD中,CF=CD∠ECF=∠ECD CE=CE,∴△ECF≌△ECD(SAS),∴DE=EF,在△CAD和△CBF中,CD=CF∠ACD=∠BCF CA=CB,∴△CAD≌△CBF(SAS),∴AD=BF,∠CAD=∠B,∵FG=BF,∴FG=AD,∵∠ACB=90°,CA=CB,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠CAB=∠B=45°,∴∠DAE=∠CAB+∠B=90°,在△EFG和△EDA中,EG=EA FG=AD EF=ED,∴△EFG≌△EDA(SSS),∴∠EGF=∠EAD=90°,∴△EFG是直角三角形.。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)
几何图形之半角模型主题半角模型教学内容教学目标1。
掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2。
掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3。
正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5。
通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点.知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结).正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.说明:定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。
小结:(1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图(2)正方形的性质:①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.典型例题精讲例1.如图,折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,使2AD =,求AG .【解析】:作GM ⊥BD,垂足为M . 由题意可知∠ADG=GDM , 则△ADG ≌△MDG . ∴DM=DA=2. AC=GM 又易知:GM=BM .而BM=BD-DM=22—2=2(2-1), ∴AG=BM=2(2-1).例2 .如图,P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==,并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积?【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E .设PF x =,则10EF x =+,1(10)2BF x =+.由222PB PF BF =+. 可得:222110(10)4x x =++. 故6x =.216256ABCD S ==.例3。
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型-半角模型(解析版)全等模型-半角模型(解析版)全等模型是高中数学中的重要概念之一,它在几何图形的研究和证明中占据着重要地位。
而半角模型则是全等模型的一种特殊形式,在解题过程中起到简化问题的作用。
本文将深入探讨全等模型和半角模型,分析其定义、性质以及解题方法。
一、全等模型的定义与性质全等模型是指两个几何图形的各个对应部分完全相等。
当两个几何图形的所有对应角相等,对应边相等时,我们可以称这两个图形是全等的。
全等模型不仅包括了普通的三角形全等模型,还包括了平行四边形、直角三角形等特殊图形的全等模型。
全等模型的性质有以下几点:1. 全等模型的对应边和对应角相等。
2. 全等模型的对应线段相等。
3. 全等模型的对应角度相等。
二、半角模型的定义与性质半角模型是指含有一个角的两个图形,其中一个角为已知角,另一个角为未知角。
半角模型常见于求解未知角度的问题,特别是在解三角形问题时经常使用。
半角模型的性质有以下特点:1. 已知角和未知角的对应边是相等的。
2. 已知角和未知角的对应边可以通过等式关系来求解。
3. 半角模型可以通过运用角平分线的性质来简化问题。
三、全等模型与半角模型的关系全等模型包含了半角模型,因为当一个图形是全等模型时,我们可以通过已知角和对应边的关系来推导出未知角的值。
而半角模型是全等模型的一种特殊情况,它将求解未知角度的问题简化为已知角和对应边之间的关系。
在解题过程中,我们可以将全等模型转化为半角模型,通过已知条件等式的关系求解未知角度。
这种转化能够帮助我们更好地理解和解决几何问题,并且降低解题的难度。
四、利用半角模型解题的具体方法利用半角模型解题的具体方法如下:1. 根据已知条件画出给定图形,并标出已知角度和对应边。
2. 将问题转化为半角模型,确定未知角度。
3. 利用已知角度和对应边之间的关系,建立方程或等式。
4. 解方程或等式,求解未知角度的值。
5. 检验解的合理性,并进行必要的推理和证明。
第5讲角含半角模型解析版
中考数学几何模型5 :角含半角模型TH名师点睛角含半角模型,顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含:等腰直角三角形角含半角 模型;正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。
类型一:等腰直角三角形角含半角模型(1) 如图,在厶ABC 中,AB=AC ,/ BAC=90 ° ,点 D , E 在 BC 上, 且/ DAE=45 ° ,贝U: BD 2+CE 2=DE 2(3)如图,将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时,亦可以进行两种方法的操作处理图示(1)作法1:将厶ABD 旋转90° 作法2:分别翻折厶ABD, △ ACE(2)如图,在△ ABC 中,AB=AC ,/ BAC=90 ,点D 在BC 上,点E 在BC 延长线上,且/ DAE=45贝y : BD 2+CE 2=DE 2. 图示(2)旋转扶 翱折旅拨开云雾开门见山类型二:正方形中角含半角模型(1) 如图,在正方形 ABCD 中,点E, F 分别在边BC , CD 上,/ EAF=45 °,连接EF ,过点A 作AG 丄 于 EF 于点 G,则:EF=BE+DF , AG=AD.图示(2) 作法:将厶ABE 绕点A 逆时针旋转90°(3)如图,将正方形变成一组邻边相等,对角互补的四边形,在四方形ABCD 中,AB=AD ,/ BAD+ /1C=180。
,点 E, F 分别在边 BC, CD 上,/ EAF= / BAD ,连接 EF ,则:EF=BE+DF.2(2) 如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在边 CB , DC 的延长线上,/ EAF=45,连接 EF,则:EF=DF-BE.图示(3)作法:将厶ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的大小典题探究 ----------------------------------------------------------------例题1.如图,正方形 ABCD 的边长为4,点E, F 分别在AB, AD 上,若CE = 5,且/ ECF = 45°,贝U CF【解答】解:如图,延长 FD 到G,使DG = BE;连接CG 、EF ;CCB=CD•••四边形 ABCD 为正方形,在△ BCE 与厶 DCG 中,{/,「•△ BCE ◎△ DCG ( SAS),I BE =DG••• CG = CE,/ DCG = Z BCE ,.・./ GCF = 45°,GC=ICZGCF=ZECF ,^^ GCF ◎△ ECF ( SAS ), • GF = EF , CF=CF•/ CE= 5, CB = 4,「. BE= 3, • AE = 1,设 AF = x,贝V DF = 4 - x, GF = 1+ (4 - x)= 5 - x,「. EF =寸扎g? +/=〈]+J , •••( 5- x) 2= 1+x 2,「. x=―,即 AF =—,••• DF = 4-—丄,__________ 555 5• CF = J :千】=4 I( _: =4_<l ,故答案为:4. i.变式练习>>> AB = BC+AD , / DAC = 45°, E 为 CD 上一点,且/ )•/ AD // BC,[启迪思维探究重点1.如图四边形BAE = 45 ° ABCD 中,AD // BC ,/ BCD = 90°.若CD = 4,则厶ABE 的面积为(B .晋【解答】解法一:作 AF 丄CB 交CB 的延长线于C.5048 F ,在CF 的延长线上取一点 G ,使得FG = DE .•••/ BCD+ / ADC = 180°,•••/ ADC = / BCD =/ AFC = 90°,•四边形ADCF是矩形,•// CAD = 45••• AD = CD,•••四边形ADCF是正方形,•AF = AD,/ AFG =Z ADF = 90°,•△ AFG ◎△ ADE,•AG = AE,/ FAG=Z DAE ,•••/ FAG+ / FAB = / EAD + / FAB= 45 ° =/ BAE, •△ BAE◎△ BAG ,BE= BG= BF+GF = BF+DE ,设 BC = a,则 AB= 4+a, BF = 4 - a,在 Rt△ ABF 中,42+ (4- a) 2=( 4+a) 2,解得 a = 1, BC= 1, BF = 3,设 BE= b,贝U DE = b - 3, CE= 4 -在Rt△ BCE 中,12+ (7 - b) 2(b-3)= 7- b.=b2,解得 b= —BG = BE = 251x25x 4= 50~77例题2.在正方形 ABCD中,连接BD .(1)如图1 , AE丄BD于E.直接写出/ BAE的度数.(2)如图1,在(1 )的条件下,AB'与BD交于M , AE '的延长线与 BD交于N .①依题意补全图1;②用等式表示线段 BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.(3)如图2, E、F是边BC、CD上的点,△ CEF周长是正方形交于M、N,写出判断线段 BM、DN、MN之间数量关系的思路. ABCD周长的一半, AE、AF分另U与 BD (不必写出完整推理过程)【解答】解:(1)v BD是正方形ABCD的对角线,•••/ ABD = / ADB = 45°,•/ AE丄 BD,ABE = / BAE = 45°,(2)①依题意补全图形,如图 1所示,②BM、DN和MN之间的数量关系是 BM2+MD2= MN2, 将厶AND 绕点D顺时针旋转 90°,得到△ AFB,ADB = / FBA , / BAF = / DAN , DN = BF , AF = AN , •••在正方形 ABCD中,AE丄BD ,ADB = / ABD = 45°,FBM =/ FBA+ / ABD = / ADB+ /ABD = 90°,在Rt△ BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2= FM2, •••旋转△ ANE 得到 AB1E1,• S A ABE = S A ABG =⑶如團2,A 顺时针濮转得到心EG ,:、D2GE 、•「正方形肋CD 的周长肓4AD△CEF 周长为 EF-ECY 。
人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析汇报)
(1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图 (2)正方形的性质: ①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。
典型例题精讲例1.如图,折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,使2AD =,求AG .【解析】:作GM ⊥BD ,垂足为M . 由题意可知∠ADG=GDM , 则△ADG ≌△MDG . ∴DM=DA=2. AC=GM 又易知:GM=BM .而BM=BD-DM=22-2=2(2-1), ∴AG=BM=2(2-1).例2 .如图,P 为正方形ABCD 内一点,10PA PB ==,并且P 点到CD 边的距离也等于10,求正方形ABCD 的面积?【解析】:过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E .设PF x =,则10EF x =+,1(10)2BF x =+. 由222PB PF BF =+. 可得:222110(10)4x x =++. 故6x =.216256ABCD S ==.例3. 如图,E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点,AM EF ⊥,•垂足为M ,AM AB =,则有EF BE DF =+,为什么?【解析】:要说明EF=BE+DF ,只需说明BE=EM ,DF=FM 即可,而连结AE 、AF .只要能说明△ABE ≌△AME ,△ADF ≌△AMF 即可. 理由:连结AE 、AF .由AB=AM ,AB ⊥BC ,AM ⊥EF ,AE 公用, ∴△ABE ≌△AME . ∴BE=ME .同理可得,△ADF ≌△AMF . ∴DF=MF .∴EF=ME+MF=BE+DF .例4.如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF ︒∠=,试说明EF BE DF =+。
【解析】:将△ADF 旋转到△ABC ,则△ADF ≌△ABG∴AF=AG ,∠ADF=∠BAG ,DF=BG ∵∠EAF=45°且四边形是正方形, ∴∠ADF ﹢∠BAE=45° ∴∠GAB ﹢∠BAE=45° 即∠GAE=45°∴△AEF ≌△AEG (SAS ) ∴EF=EG=EB ﹢BG=EB ﹢DF例5. 如图,在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点,使45EAF ∠=o ,AG EF ⊥于G . 求证:AG AB =【解析】:欲证 AG=AB ,就图形直观来看,应证Rt △ABE 与Rt △AGE 全等,但条件不够. ∠EAF=45°怎么用呢?显然∠1+∠2=45°,若把它们拼在一起,问题就解决了.【证明】:把 △A FD 绕A 点旋转90°至△AHB.∵∠EAF=45°,∴∠1+∠2=45°. ∵∠2=∠3,∴∠1+∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ,AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.例6.(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,90AOF︒∠=.求证:BE CF=.(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,90FOH︒∠=,4EF=.求GH的长.1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,90FOH︒∠=,4EF=.直接写出下列两题的答案:①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).图3 图4图2【解析】(1) 证明:如图1,∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°, ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF =90°,∴ ∠FBC +∠AEB =90°,∴ ∠EAB =∠FBC , ∴ △ABE ≌△BCF , ∴ BE =CF . (2) 解:如图2,过点A 作AM //GH 交BC 于M ,过点B 作BN //EF 交CD 于N ,AM 与BN 交于点O /, 则四边形AMHG 和四边形BNFE 均为平行四边形,∴ EF=BN ,GH=AM ,∵ ∠FOH =90°, AM //GH ,EF//BN , ∴ ∠NO /A =90°, 故由(1)得, △ABM ≌△BCN , ∴ AM =BN , ∴ GH =EF =4. (3) ① 8.② 4n .巩固训练【双基训练】1. 如图6,点A 在线段BG 上,四边形ABCD 与DEFG 都是正方形,•其边长分别为3cm 和5cm ,则CDE 的面积为________2cm .图2O ′NM(6) (7)2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,•那么正方形⑤的面积为________.3.如图9,已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米,E 、F 分别为边AB 、BC 上的点.AF 、CE 相交于G ,并且ABF ∆的面积为14平方厘米,BCE ∆的面积为5平方厘米,•那么四边形BEGF 的面积是________.4. 如图,A 、B 、C 三点在同一条直线上,2AB BC =。
2023年中考数学重难点复习:角含半角模型(附答案解析)
=270°-(180°-∠DNC)
=135°.
(3) ,证明如下:
如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE,连结EM.
易得AE=AN.∠MAE=∠MAN=45°,∠EBM=90°,
所以△A ME≌△AMN.(SAS).
则ME=MN.
在Rt△BME中,
所以 .
DH= AD=40m,AH= AD=40 m.
而DF=40( -1)m.
所以∠EAF=∠GAF=45°.
可得△EAF≌△GAF(SAS).
所以EF=GF=80m+40( -l)m≈109. 2m.
例2如图,正方形ABCD的边长为a,BM、DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°.连结MC、NC、MN.
所以△AEF∽△AIF(SAS),
所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.
(2)因为△AEF∽△AIF,AG⊥EF,AD⊥IF,
所以AG=AD.
(3)由∠HAF=∠HDF=45°可得A,D,F,H四点共圆,
从而∠AHF=-∠ADF=90°,
即FH⊥AE.
【拓展】①如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,∠EAF=45°,连结EF,则EF=DF-BE.
可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图:
②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,且∠DAE= ∠BAC,则以BD,DE,EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°-∠BAC.
可以通过旋转、翻折的方法将BD,DE,EC转移到一个三角形中,如图:
2. 正方形角含半角
(2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.
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中考数学几何模型5:角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型,顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含:等腰直角三角形角含半角模型;正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
类型一:等腰直角三角形角含半角模型(1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上,且∠DAE=45°,则:BD2+CE2=DE2.图示(1)作法1:将△ABD旋转90°作法2:分别翻折△ABD,△ACE(2)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC上,点E在BC延长线上,且∠DAE=45°,则:BD2+CE2=DE2.图示(2)(3)如图,将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时,亦可以进行两种方法的操作处理..任意等腰三角形类型二:正方形中角含半角模型(1)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,连接EF,过点A作AG⊥于EF于点G,则:EF=BE+DF,AG=AD.图示(1)作法:将△ABE绕点A逆时针旋转90°(2)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CB,DC的延长线上,∠EAF=45°,连接EF,则:EF=DF-BE.图示(2)作法:将△ABE绕点A逆时针旋转90°(3)如图,将正方形变成一组邻边相等,对角互补的四边形,在四方形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠C=180°,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=12∠BAD,连接EF,则:EF=BE+DF.图示(3)作法:将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在AB,AD上,若CE=5,且∠ECF=45°,则CF 的长为4.【解答】解:如图,延长FD到G,使DG=BE;连接CG、EF;∵四边形ABCD为正方形,在△BCE与△DCG中,,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴CG=CE,∠DCG=∠BCE,∴∠GCF=45°,在△GCF与△ECF中,,∴△GCF≌△ECF(SAS),∴GF=EF,∵CE=5,CB=4,∴BE=3,∴AE=1,设AF=x,则DF=4﹣x,GF=1+(4﹣x)=5﹣x,∴EF==,∴(5﹣x)2=1+x2,∴x=,即AF=,∴DF=4﹣=,∴CF===4,故答案为:4.变式练习>>>1.如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为()A.B.C.D.【解答】解法一:作AF⊥CB交CB的延长线于F,在CF的延长线上取一点G,使得FG=DE.∵AD∥BC,∴∠BCD+∠ADC=180°,∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°,∴四边形ADCF是矩形,∵∠CAD=45°,∴AD=CD,∴四边形ADCF是正方形,∴AF=AD,∠AFG=∠ADF=90°,∴△AFG≌△ADE,∴AG=AE,∠F AG=∠DAE,∴∠F AG+∠F AB=∠EAD+∠F AB=45°=∠BAE,∴△BAE≌△BAG,∴BE=BG=BF+GF=BF+DE,设BC=a,则AB=4+a,BF=4﹣a,在Rt△ABF中,42+(4﹣a)2=(4+a)2,解得a=1,∴BC=1,BF=3,设BE=b,则DE=b﹣3,CE=4﹣(b﹣3)=7﹣b.在Rt△BCE中,12+(7﹣b)2=b2,解得b=,∴BG=BE=,∴S△ABE=S△ABG=××4=.例题2. 在正方形ABCD中,连接BD.(1)如图1,AE⊥BD于E.直接写出∠BAE的度数.(2)如图1,在(1)的条件下,将△AEB以A旋转中心,沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′,AB′与BD交于M,AE′的延长线与BD交于N.①依题意补全图1;②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系,并证明.(3)如图2,E、F是边BC、CD上的点,△CEF周长是正方形ABCD周长的一半,AE、AF分别与BD 交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)【解答】解:(1)∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠ABD=∠ADB=45°,∵AE⊥BD,∴∠ABE=∠BAE=45°,(2)①依题意补全图形,如图1所示,②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,将△AND绕点D顺时针旋转90°,得到△AFB,∴∠ADB=∠FBA,∠BAF=∠DAN,DN=BF,AF=AN,∵在正方形ABCD中,AE⊥BD,∴∠ADB=∠ABD=45°,∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°,在Rt△BFM中,根据勾股定理得,FB2+BM2=FM2,∵旋转△ANE得到AB1E1,∴∠E1AB1=45°,∴∠BAB1+∠DAN=90°﹣45°=45°,∵∠BAF=DAN,∴∠BAB1+∠BAF=45°,∴∠F AM=45°,∴∠F AM=∠E1AB1,∵AM=AM,AF=AN,∴△AFM≌△ANM,∴FM=MN,∵FB2+BM2=FM2,∴DN2+BM2=MN2,变式练习>>>2. (1)【探索发现】如图1,正方形ABCD中,点M、N分别是边BC、CD上的点,∠MAN=45°,若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置,可得△MAN≌△MAG,若△MCN的周长为6,则正方形ABCD的边长为3.(2)【类比延伸】如图(2),四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B+∠D=180°,点M、N分别在边BC、CD 上的点,∠MAN=60°,请判断线段BM,DN,MN之间的数量关系,并说明理由.(3)【拓展应用】如图3,四边形ABCD中,AB=AD=10,∠ADC=120°,点M,N分别在边BC,CD上,连接AM,MN,△ABM是等边三角形,AM⊥AD,DN=5(﹣1),请直接写出MN的长.【解答】解:(1)如图1中,∵△MAN≌△MAG,∴MN=GM,∵DN=BG,GM=BG+BM,∴MN=BM+DN,∵△CMN的周长为:MN+CM+CN=6,∴BM+CM+CN+DN=6,∴BC+CD=6,∴BC=CD=3,故答案为3.(2)如图2中,结论:MN=NM+DN.延长CB至E,使BE=DN,连接AE,∵∠ABC+∠D=180°,∠ABC+∠ABE=180°,∴∠D=∠ABE,在△ABE和△ADN中,,∴△ABE≌△ADN,∴AN=AE,∠DAN=∠BAE,∵∠BAD=2∠MAN,∴∠DAN+∠BAM=∠MAN,∴∠MAN=∠EAM,在△MAN和△MAE中,,∴△MAN≌△MAE,∴MN=EM=BE+BM=BM+DN,即MN=BM+DN;(3)解:如图3,把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AN.作NH⊥AD于H,在AH上取一点K,使得∠NKH=30°在Rt△DHN中,∵∠NDH=60°DN=5(﹣1),∴DH=DN=,HN=DH=,在Rt△KNH中,KN=2HN=15﹣5,HK=HN=,∴AK=AH﹣HK=15﹣5,∴AK=KN,∴∠KAN=∠KNA,∵∠NKH=∠KAN+∠KNA,∴∠NAK=15°,∴∠MAN=75°=∠BAD,由(2)得,MN=BM+DN=10+5(﹣1)=5+5.例题3. 如图,在四边形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C=90°,∠B=135°,K,N分别是AB,BC上的点,若△BKN的周长为AB的2倍,求∠KDN的度数.变式练习>>>3. 如图,正方形被两条与边平行的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF与GH的交点,若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE面积的2倍,试确定∠HAF的大小并证明你的结论.例题4. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠MAN=∠BAD.(1)如图1,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明;(2)如图2,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?并证明你的结论;(3)如图3,将∠MAN绕着A点旋转,它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N,试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不用证明.【解答】解:(1)证明:延长MB到G,使BG=DN,连接AG.∵∠ABG=∠ABC=∠ADC=90°,AB=AD,∴△ABG≌△ADN.∴AG=AN,BG=DN,∠1=∠4.∴∠1+∠2=∠4+∠2=∠MAN=∠BAD.∴∠GAM=∠MAN.又AM=AM,∴△AMG≌△AMN.∴MG=MN.∵MG=BM+BG.∴MN=BM+DN.(2)MN=BM﹣DN.证明:在BM上截取BG,使BG=DN,连接AG.∵∠ABC=∠ADC=90°,AD=AB,∴△ADN≌△ABG,∴AN=AG,∠NAD=∠GAB,∴∠MAN=∠NAD+∠BAM=∠DAB,∴∠MAG=∠BAD,∴∠MAN=∠MAG,∴△MAN≌△MAG,∴MN=MG,∴MN=BM﹣DN.(3)MN=DN﹣BM.达标检测领悟提升强化落实1. 请阅读下列材料:问题:正方形ABCD中,M,N分别是直线CB、DC上的动点,∠MAN=45°,当∠MAN交边CB、DC 于点M、N(如图①)时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?小聪同学的思路是:延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)直接写出上面问题中,线段BM,DN和MN之间的数量关系;(2)当∠MAN分别交边CB,DC的延长线于点M/N时(如图②),线段BM,DN和MN之间的又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明;(3)在图①中,若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用(1)中的结论,试求MN的长.【解答】解:(1)BM+DN=MN;(2)DN﹣BM=MN.理由如下:如图,在DC上截取DF=BM,连接AF.∵AB=AD,∠ABM=∠ADF=90°,∴△ABM≌△ADF(SAS)∴AM=AF,∠MAB=∠F AD.∴∠MAB+∠BAF=∠F AD+∠BAF=90°,即∠MAF=∠BAD=90°.又∠MAN=45°,∴∠NAF=∠MAN=45°.∵AN=AN,∴△MAN≌△F AN.∴MN=FN,即MN=DN﹣DF=DN﹣BM;(3)∵正方形的边长为16,DN=4,∴CN=12.根据(1)可知,BM+DN=MN,设MN=x,则BM=x﹣4,∴CM=16﹣(x﹣4)=20﹣x.在Rt△CMN中,∵MN2=CM2+CN2,∴x2=(20﹣x)2+122.解得x=13.6.∴MN=13.6cm.2. (1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.(1)小王同学探究此问题的方法是:延长EB到点G,使BG=DF,连结AG,先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEG≌△AEF,可得出结论,他的结论应是EF=BE+FD.(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.【解答】解:(1)由△ABG≌△ADF,△AEG≌△AEF可知,BG=DF,EF=EG=BG+EF=DF+EF,故答案为EF=BE+FD.(2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.理由:延长EB到点G,使BG=DF,连结AG.∵∠ABD+∠D=180°,∠ABD+∠ABG=180°,∴∠ABG=∠D,∴AB=AD,BG=DF,∴△ABG≌△ADF,∴∠BAG=∠DAF,AG=AF,∵∠EAF=∠BAD,∴∠BAE+∠DAF=∠BAD=∠BAE+∠BAG,∴∠EAG=∠EAF,∵AE=AE,AG=AF,∴△EAG≌△EAF,∴EG=EF,∵EG=BG+BE=DF+BE,∴EF=BE+DF.3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到这样一道题:“已知正方形ABCD,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,若EG⊥FH,则EG=FH.”为了解决这个问题,经过思考,大家给出了以下两个方案:方案一:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;方案二:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交CD于点N.…(1)对小曼遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明(如图(1)).(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”,并设AB=2,BC=3(如图(2)),是探究EG、FH之间有怎样的数量关系,并证明你的结论.(3)如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为(如图(3)),试求EG的长度.【解答】解:(1)证明:过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N,∴AM=HF,AN=BC,在正方形ABCD中,AB=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°∵EG⊥FH,∴∠NAM=90°,∴∠BAM=∠DAN,在△ABM和△ADN中,∠BAM=∠DAN,AB=AD,∠ABM=∠ADN∴△ABM≌△ADN∴AM=AN,即EG=FH(2)结论:EG:FH=3:2证明:过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EC交CD的延长线于点N,∴AM=HF,AN=EC,在长方形ABCD中,BC=AD,∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°,∵EG⊥FH,∴∠NAM=90°,∴∠BAM=∠DAN.∴△ABM∽△ADN.,∵AB=2,BC=AD=3,∴.(3)解:过点A作AM∥HF交BC于点M,过点A作AN∥EG交CD于点N,∵.∴在Rt△ABM中,BM=.将△AND绕点A顺时针旋转90°到△APB.∵EG与FH的夹角为45°,∴∠MAN=45°,∴∠DAN+∠MAB=45°,即∠P AM=∠MAN=45°,从而△APM≌△ANM,∴PM=NM.设DN=x,则NC=1﹣x,MN=PM=.在Rt△CMN中,解得.∴.4. 已知:如图,正方形ABCD的边长为a,BM,DN分别平分正方形的两个外角,且满足∠MAN=45°,连接MC,NC,MN.(1)填空:与△ABM相似的三角形是_________,BM•DN=_________;(用含a的代数式表示)(2)求∠MCN的度数;(3)猜想线段BM,DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.。