第5讲角含半角模型(解析版)

中考数学几何模型5：角含半角模型TH 名师点睛拨开云雾开门见山角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。

类型一：等腰直角三角形角含半角模型

（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E在BC上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（1）作法1：将△ABD旋转90°作法2：分别翻折△ABD,△ACE

（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E在BC延长线上，且∠DAE=45°，则：BD2+CE2=DE2.

图示（2）

（3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理..

任意等腰三角形

类型二：正方形中角含半角模型

（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，过点A作AG⊥于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD.

图示（1）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（2）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，则：EF=DF-BE.

图示（2）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转90°

（3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠

C=180°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=1

2

∠BAD，连接EF，则：EF=BE+DF.

图示（3）作法：将△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的大小

典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF 的长为4．

【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；

∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，

在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，

∵CE＝5，CB＝4，∴BE＝3，∴AE＝1，

设AF＝x，则DF＝4﹣x，GF＝1+（4﹣x）＝5﹣x，∴EF＝＝，

∴（5﹣x）2＝1+x2，∴x＝，即AF＝，∴DF＝4﹣＝，

∴CF＝＝＝4，

故答案为：4．

变式练习>>>

1．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°．若CD＝4，则△ABE的面积为（）

A．B．C．D．

【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延长线于F，在CF的延长线上取一点G，使得FG＝DE．∵AD∥BC，

∴∠BCD+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝∠BCD＝∠AFC＝90°，

∴四边形ADCF是矩形，

∵∠CAD＝45°，

∴AD＝CD，

∴四边形ADCF是正方形，

∴AF＝AD，∠AFG＝∠ADF＝90°，

∴△AFG≌△ADE，

∴AG＝AE，∠F AG＝∠DAE，

∴∠F AG+∠F AB＝∠EAD+∠F AB＝45°＝∠BAE，

∴△BAE≌△BAG，

∴BE＝BG＝BF+GF＝BF+DE，

设BC＝a，则AB＝4+a，BF＝4﹣a，

在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2＝（4+a）2，解得a＝1，

∴BC＝1，BF＝3，设BE＝b，则DE＝b﹣3，CE＝4﹣（b﹣3）＝7﹣b．

在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2＝b2，解得b＝，

∴BG＝BE＝，

∴S△ABE＝S△ABG＝××4＝．

例题2. 在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB′E′，AB′与BD交于M，AE′的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD 交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

【解答】解：（1）∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠ABD＝∠ADB＝45°，

∵AE⊥BD，

∴∠ABE＝∠BAE＝45°，

（2）①依题意补全图形，如图1所示，

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2＝MN2，

将△AND绕点D顺时针旋转90°，得到△AFB，

∴∠ADB＝∠FBA，∠BAF＝∠DAN，DN＝BF，AF＝AN，

∵在正方形ABCD中，AE⊥BD，

∴∠ADB＝∠ABD＝45°，

∴∠FBM＝∠FBA+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，

在Rt△BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2＝FM2，

∵旋转△ANE得到AB1E1，

∴∠E1AB1＝45°，

∴∠BAB1+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，

∵∠BAF＝DAN，

∴∠BAB1+∠BAF＝45°，

∴∠F AM＝45°，

∴∠F AM＝∠E1AB1，

∵AM＝AM，AF＝AN，

∴△AFM≌△ANM，

∴FM＝MN，

∵FB2+BM2＝FM2，

∴DN2+BM2＝MN2，

变式练习>>>

2. （1）【探索发现】

如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．（2）【类比延伸】

如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD 上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．

（3）【拓展应用】

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD，DN＝5（﹣1），请直接写出MN的长．

【解答】解：（1）如图1中，

∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，

∵DN＝BG，GM＝BG+BM，

∴MN＝BM+DN，

∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，

∴BM+CM+CN+DN＝6，

∴BC+CD＝6，

∴BC＝CD＝3，

故答案为3．