优化设计的数学模型

点
的梯度为 X (1) = [3,2]T
(1)
∇f ( X
2 x1 − 4 2 )= x = 3 = 4 2 x2
1
x2 = 2
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
上述的泰勒展开式都只是取泰勒级数的前三项，即取到 二次项为止。这种泰勒展开式称为函数的平方近似表达式， 即用二次函数逼近所讨论的函数。
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
4 梯度应用举例与MATLAB实现
例2-1 求 的梯度。
2 2 f ( X ) = x1 + x在点 x1 + 4 2 −4
和点 (1) X
= [3,2]T
X ( 2) = [2,0]T
解：由梯度公式可得 :
∂f ∂x 2x1 − 4 2x 1= ∇f = ∂f 2 x2 ∂ x2
各阶主子式的值为
a11 = 4 > 0
a11 a12
a12 4 0 = = 40 > 0 a22 0 10
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 4 0 2 a23 = 0 10 2 = 24 > 0 a33 2 2 2
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
可见海色矩阵为正定，故驻点 将 点
用海色矩阵是否正定来判断所求的最优极小点
∂2 f 2 ∂x1 2 H (X ) = ∇ f = 2 ∂ f ∂x1∂x2
由于
∂2 f ∂x1∂x2 8 0 2 = 0 10 ∂ f 2 ∂ x2
a11 = 8 > 0
a11 a12 = 8 × 10 = 80 > 0 a12 a22
解：
40 − 10 x1 − 2.0 11 31 x1 − 2.0 1 f ( x1, x2 ) ≈ + ,−6 + [x1 − 2.0, x2 − 2.5] 10 4 x − 2.5 2 2 x2 − 2.5 2 − 2
− 2 4 0 0 0 + λ1 1 + λ2 − 1 = 0
由上式可以看出当 时 λ1 = λ2 = 0.5 成立，故满足K-T条件，即 X * = [2,0]T 点确为约束极值点。而且由于本例 题为凸规划, 所以点 也为全 局极值点。 X * = [2,0]T 例2-5 MATLAB实现，用M文件判别函数的 凸性：
—— —— —— —— —— —— ——
机械优化设计数学模型的一般形式： 机械优化设计数学模型的一般形式： 数学模型的一般形式 设 X =[x1,x2 ,…,xn]T ,x min. f(x) = f(x1, x2 ,…,xn ) ,x X∈Rn 不等式约束） （不等式约束） 1,2,…,m s.t. gu(x) ≤ 0 u = 1,2, ,m 等式约束） 1,2,…, hv(x) = 0 v = 1,2, , p< n （等式约束
g 2 ( X ) = − x2 ≤ 0
用K-T条件判断
g3 ( X ) = x1 ≤ 0 是否为极小点。 X * = [2,0]T
点起作用的约束有 X* 和 ;g
1( X )
解：1. 由图可知, 在
g2 ( X )
2. 求目标函数和约束函数在
点的梯度为 X*
*
2( x1 − 3) − 2 ∇f ( X ) = = 0 2 x1
根据例子中的数学模型： 根据例子中的数学模型： 设： X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0
2. 拉格朗日乘子法举例 例2-4 求 、 ，使目标函数 x x
1
2
2 2 f (极小，且满足约束条件 X ) = 4 x1 + 5 x2
h( X ) = 2 x1 + 3 x2 − 6 = 0
解：把这个等式约束优化问题转化为拉格朗日函数
2 2 L( x1 , x2 , λ ) = f ( x1 , x2 ) + λh( x1 , x2 ) = 4 x1 + 5 x2 + λ (2 x1 + 3x2 − 6)
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
3. 函数凸性判别举例及 函数凸性判别举例及MATLAB实现 实现 例2-4 判别函数 是否为凸函数.
2 2 f ( X ) = 60 − 10 x1 − 4 x2 + x1 + x2 − x1 x2
解：利用海色矩阵来判别，即
∂2 f 2 ∂x1 ∇2 f = 2 ∂ f ∂x1∂x2
例2-5 K-T应用举例
⑸ 若 k = 1 ，则转到步骤(6)，否则转到步骤(7)； ⑺令
( 2) ，
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
4) 4) ) ⑹ 令 h = − h，x ( 2) ← x (， f ( x(2) ) ← f ( x(，转到步骤(2)；
x
(3)
←x
) x ( 2) ← x (1，
*
2 x1 4 ∇g1 ( X ) = = 1 1
0 ∇g 2 ( X ) = − 1
*
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
3. 代入式(##) , 检验K-T条件
∇f ( X * ) + λ1∇g1 ( X * ) + λ2∇g 2 ( X * ) = 0
2 2 ≈ 32 − 72 / 2 x1 + 4 x2 + 20 x1 + 2 x2 − 10 x1 x2
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
4. 无约束极值极值举例及 无约束极值极值举例及MATLAB实现 实现 例2-3 求函数 的极值点和极值。 解：先求函数的一阶偏导并令其等于零，求出驻点，即
因为
∂2 f ∂x1∂x2 2 − 1 2 = − 1 2 ∂ f 2 ∂x 2
a11 a12 a12 = 2 × 2 − (−1)(−1) = 3 > 0 a22
a11 = 2 > 0
故海色矩阵是正定，所以，
为严格凸函数。 f (X )
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
极小点应该满足极值必要条件为
∂L = 8 x1 + 2λ = 0 ∂x1
∂L = 10 x2 + 3λ = 0 ∂x 2
∂L = 2 x1 + 3 x2 − 6 = 0 ∂λ
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
求解上列联立方程组得
30 15 ， x = 9 ， λ= x1 = 2 7 7 14
优化设计的数学模型
举例： 举例：圆形等截面悬臂轴的优化设计的数学模型
已知： P=1000N， M=100N·m 轴长不得小于8cm 8cm； 已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100N m；轴长不得小于8cm； 80MPa， 材料的许用弯曲应力 [σw]=120MPa，许用扭剪应力 [τ]= 80MPa， ]=120MPa， 0.01cm；密度[ρ] /m， 许用挠度 [f] = 0.01cm；密度[ρ] = 7.8t /m，弹性模量 E=2× MPa。 E=2×105MPa。 要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。 要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。 分析：设计目标是轴的质量最轻 分析：设计目标是轴的质量最轻 设计限制条件有 条件有5 设计限制条件有5个： 弯曲强度：σmax≤ [σw] 弯曲强度： 扭转强度： 扭转强度：τ≤ [τ] 刚度： 刚度： f ≤ [f] 结构尺寸： 结构尺寸：l ≥ 8 d ≥ 0 设计参数中的未定变量： 设计参数中的未定变量：d、l 参数中的未定变量 Q =1 /4 πd2 lρ →min. ；
泰勒展开式应用举例与MATLAB MATLAB实现 2． 泰勒展开式应用举例与MATLAB实现 例2-2 将函数 在点
2 2 4 2 f ( X ) = 4 + 4.5 x1 − 4 x2 + x1 + 2 x2 − 2 x1x2 + x1 − 2 x1 x2
X
(k )
= [2.0,2.5]
展开泰勒二次近似式。 T
优化设计的数学模型
举例（ 举例（续）
具体化： 具体化：目标函数 约束函数
Q = σmax τ = f = l ≥ d ≥
1 /4 πd2 lρ →min. = Pl / ( 0.1d3 )≤[σw] M / ( 0.2d3 )≤ [τ] Pl3 / ( 3EJ )≤ [f] 8 0
代入数据整理得数学模型： 代入数据整理得数学模型： 设：X =[x1,x2 ]T = [d ,l ]T min. f(x)= x12x2 X∈R2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 ≤0 g2(x)= 6.25 - x13 ≤0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 ≤0 g4(x)= 8 - x2 ≤ 0 g5(x)= - x1 ≤0
联立解上列三个方程，得 ， x1 = 1 x。这就求 3 ， 2 =1 x 出了驻点 。再利用海色矩阵的性质来判别该点 X * = (1,1,−2) 是否为极值点，先求函数的二阶偏导数，于是，海色矩阵为
= −2
4 0 2 H ( X * ) = ∇ 2 f ( X * ) = 0 10 2 2 2 2
，
∇2 f
为正定
所以，
* x1 =
15 14
* x2
9 = 7
是极小点。
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
4. K-T条件举例及 条件举例及MATLAB实现 条件举例及 实现 例2-5 已知二维约束问题
2 min f ( X ) = ( x1 − 3) 2 + x2
受约束于
2 g1 ( X ) = x1 + x2 − 4 ≤ 0
2 2 2 f ( X ) = 2 x1 + 5 x2 + x3 + 2 x2 x3 + 2 x3 x1 − 6 x2 + 3
∂f = 4 x1 + 2 x3 = 0 ∂x1
∂f = 10 x1 + 2 x3 − 6 = 0 ∂x2
∂f = 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 0 ∂x3
第2章 优化设计中的数学基础与MATLAB实现
§2.1
优化设计的数学模型
设计变量 属于2维欧氏空间 属于2 目标函数 性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（性能约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束） 约束函数（几何约束）
优化设计的数学模型
解：在MATLAB命令窗口输入主函数
syms t f=t^4-t^2-2*t+5; [x1,x2]=minJT(f,0,0.1)
第3章 一维搜索方法与MATLAB实现
( 4) x (1) ← x，停止计算，极小点
包含于区间 x (1) , x (3) 或
[
] [x
(3)
, x (1) 。
]
3. 进退法确定搜索区间举例与 进退法确定搜索区间举例与MATLAB实现 实现
5 例3-1 利用进退法求函数 f (t ) = t 4 − t 2 − 2t +的极值区间，取 初始点为 0 ，步长为 0.1 。
* X 是极小点。 2) = (1,1,−
x1 =， 1
* 。
， x2 = 1
代入原函数，得函数的极小 x = −2
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f (X ) = 0
例2-3 MATLAB 2-3 MATLAB实现，用M文件求函数的极值点： M
%例2-3 求函数的极值 syms x1 x2 x3 %定义函数f中的符号变量 f=2*x1^2+5*x2^2+x3^2+2*x2*x3+2*x1*x3-6*x2+3; %函数f的表达式 disp( '函数f的表达式：' ) pretty(simplify(f)); %按数学形式显示函数f latex(f); %符号表达式按LaTeX格式输 出 %计算函数的1阶偏导数