高等土力学(李广信)2.6 土的剑桥模型教学内容
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卸载－弹性墙
弹性墙
图2－56 弹性墙
2. 能量方程
dEp'dvq'd （1）
变性能＝弹性变性能＋塑性变性能
dEdW edW p （2）
其中
dWepdveqde
（3）
dWppdvpqdp
（4）
塑性变性能的基本假设： 1）假设一切剪应变是不可恢复的，亦即：
d e 0 （5）
dV e 1dvee1edpp''
比体积：v1+e v=e
e
1
v－e/(1+e0)
图2－44 的几何意义
固结不排水试验的有效应力路径相似性
q
D3
U3
D2
U2
U1
D1
临界状态线
CSL: Critical State Line
p
C1
C2
C3
C-D：固结排水试验有效应力路径 图2－45 固结不排水试验
C-U：固结不排水试验有效应力路径
Leabharlann Baidu
的有效应力路径
临界状态线，物态面
图2－47 正常固结粘 土的物态边界面
三维空间的物态边 界面
（1）p,q,e三者一一对应 （2）有效应力路径的唯一性
图2－48正常固结粘土的物态边界面
图2－49 各向等 压的加载与卸载
v=N- lnp：初始加载 v=v- lnp：回弹曲线
2.6.2 超固结土及完全的物态边界面
（1）
5. “湿粘土”的应力应变关系表达式
q' p'
M Nvlnp'
（1） 微分此式
d v
dv 1 e
dv1 1eM ddpp'' （2） 代入下式
d E 1 ed p 'M 'd p p 'd v q 'd
d
1 eMp'
dq'
M
dp'
1 e
p'd Mdp'
Mp'M
（3） （4）
重超固结粘土： 0－pm －H－DH(UH) H-DH-RH: 排水试验－剪胀与 软化 H-UH: 不排水试验,负孔压， 强度超过临界状态线
pm
峰值强度（TS)与残余强度 （临界线上）
排水试验的应 力应变曲线
图2－51重超固结粘土的路径
完全的物态边界面： 0T：零应力线（无拉应力） TS：超固结土的强度线-Hvorslev面 CS：v=常数的Roscoe 面 包括了正常固结土、重超固结土的 可能的（极限）应力状态
dq' dp'
M2 2 2
0
（2）
对式（2)积分，带入边界条件，得到方程：
dq' M2 2
0
dp' 2
p
p
0
M2 M 2 2 （3）
p'
p 0 2
2M q' 2
p' 0 2
2
（3）
修正剑桥模型的屈服面方程
p'
p 0 2
2M q' 2
p' 0 2
2
（3）
屈服轨迹的形状：
(2)
椭圆（帽子）屈服面
NCL: normal consolidation line
CSL: critical state line
q=M p
v=N- lnp（NCL)
v=- lnp (CSL)
N
p＝exp(-v)/
图2－46
正常固结粘土的排水与不排水应力路径
物态边界面与临界状态线
v=- lnp
p＝exp((-v)/ ) q=Mp=M exp((-v)/ )
应力应变关系
dv 1 1eM ddpp''
（2）
d
1 eMp'
dq'
M
dp'
1 e
p'd Mdp'
Mp'M
（4）
2.6.4 修正的剑桥模型
1.屈服函数
塑性能能量方程： 假设：
dWppdV pqdp
dWpp dV p 2Mdp 2 （1）
代入流动规则： dp'dvpdq'dp0
2.6 土的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面 （state boundary surface)
2.6.2 超固结土及完全的物态边界面 2.6.3 弹性墙与剑桥模型的屈服函数 2.6.4 修正的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面
三轴应力状态：
偏应力： q= 平均主应力：p=(+2)/3
1.正常固结粘土 2.轻超固结粘土：OCR比较小，卸载范围不大 3.强超固结粘土：OCR很大, 卸载后的应力比先期
固结应力小很多
轻超固结粘土：
0－ pm －L－D(U)
SL－回弹曲线，L位于
pm
NCL与CSL之间
LD:排水试验－体缩
LU:不排水－体积不变， 正孔压
强度线唯一，剪缩
图2－50 轻超固结粘土的路径
M
（13）
图2－58 正交性示意图
上式表示了流动规则：
M时，dpv=0 0时， dvp/dp =M
流
动
屈服函数：
规
d
p v
d p
d 则q dp
与曲线正交
dVp dp
q' M
p'
M
(13)
dq' dp'
q' p'
M
0
（14）
dq' dp'
q' p'
M
0
（14）
积分：
q' ln p' ln c Mp'
dV p
dv
1 1e
p'
dp'
(11)
p'dv pM p' q' d
(12)=(11) +(10)
d d p
dVp dp
Mqp''
M
(13)
3. 屈服轨迹与屈服方程
弹性墙上塑性体应变pv为 常数，如果以pv为硬化参数
则AF(A´F´)为屈服轨迹
图2－57 屈服轨迹
dVp dp
Mqp''
（15）
边界条件：p=p0, q=0: v=v0
f
q'
M ln
p' 0
p'
p
(16): 屈服函数
弹性墙在q-p平面上的 投影AF －
子弹头屈服轨迹
弹性墙上－v0p及pv唯一
图2－59 子弹头屈服轨迹
4. 物态边界面的方程
屈服轨迹沿NCL移动，得到三维变量表示的物态 边界面方程：
q' p'
M Nvlnp'
M
图2－60 修正剑桥模型的椭圆帽子屈服面
2.应力应变关系
dv1 1eM 2 2d 2dp p''（4）
d1 e M 2 2 2M 2 2d 2dp p'' （5）
（6）
dW epdv e
dp' （7）
1e
2) 假定塑性变性能可表示为：
dW pM pdpM pd
（8）：这是一个重 要假设
dWppdV pqdp
（4）
d E d W e d W p 1 ed p ' M p d（（（987）））＝＋
p'dv1edpp'' Mp' q' d
（10）＝（1） ＋（9)
图2－52 完全的物态边界面
完全的物态边界面
包括超固结土的 完全的物态边界 面－(状态只能在 面内和面上）
Vi-Ti-Si-Ni
图2－53 完全的物态边界面
HS
超固结
CS
正常固结
图2－54 排水试验的应力体变曲线
图2－55 正常固结土与超固结土的应力路径
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹
1. 弹性墙 正常固结粘土与轻超固结粘土（wet clay) 各向等压固结: 加载：NCL
弹性墙
图2－56 弹性墙
2. 能量方程
dEp'dvq'd （1）
变性能＝弹性变性能＋塑性变性能
dEdW edW p （2）
其中
dWepdveqde
（3）
dWppdvpqdp
（4）
塑性变性能的基本假设： 1）假设一切剪应变是不可恢复的，亦即：
d e 0 （5）
dV e 1dvee1edpp''
比体积：v1+e v=e
e
1
v－e/(1+e0)
图2－44 的几何意义
固结不排水试验的有效应力路径相似性
q
D3
U3
D2
U2
U1
D1
临界状态线
CSL: Critical State Line
p
C1
C2
C3
C-D：固结排水试验有效应力路径 图2－45 固结不排水试验
C-U：固结不排水试验有效应力路径
Leabharlann Baidu
的有效应力路径
临界状态线，物态面
图2－47 正常固结粘 土的物态边界面
三维空间的物态边 界面
（1）p,q,e三者一一对应 （2）有效应力路径的唯一性
图2－48正常固结粘土的物态边界面
图2－49 各向等 压的加载与卸载
v=N- lnp：初始加载 v=v- lnp：回弹曲线
2.6.2 超固结土及完全的物态边界面
（1）
5. “湿粘土”的应力应变关系表达式
q' p'
M Nvlnp'
（1） 微分此式
d v
dv 1 e
dv1 1eM ddpp'' （2） 代入下式
d E 1 ed p 'M 'd p p 'd v q 'd
d
1 eMp'
dq'
M
dp'
1 e
p'd Mdp'
Mp'M
（3） （4）
重超固结粘土： 0－pm －H－DH(UH) H-DH-RH: 排水试验－剪胀与 软化 H-UH: 不排水试验,负孔压， 强度超过临界状态线
pm
峰值强度（TS)与残余强度 （临界线上）
排水试验的应 力应变曲线
图2－51重超固结粘土的路径
完全的物态边界面： 0T：零应力线（无拉应力） TS：超固结土的强度线-Hvorslev面 CS：v=常数的Roscoe 面 包括了正常固结土、重超固结土的 可能的（极限）应力状态
dq' dp'
M2 2 2
0
（2）
对式（2)积分，带入边界条件，得到方程：
dq' M2 2
0
dp' 2
p
p
0
M2 M 2 2 （3）
p'
p 0 2
2M q' 2
p' 0 2
2
（3）
修正剑桥模型的屈服面方程
p'
p 0 2
2M q' 2
p' 0 2
2
（3）
屈服轨迹的形状：
(2)
椭圆（帽子）屈服面
NCL: normal consolidation line
CSL: critical state line
q=M p
v=N- lnp（NCL)
v=- lnp (CSL)
N
p＝exp(-v)/
图2－46
正常固结粘土的排水与不排水应力路径
物态边界面与临界状态线
v=- lnp
p＝exp((-v)/ ) q=Mp=M exp((-v)/ )
应力应变关系
dv 1 1eM ddpp''
（2）
d
1 eMp'
dq'
M
dp'
1 e
p'd Mdp'
Mp'M
（4）
2.6.4 修正的剑桥模型
1.屈服函数
塑性能能量方程： 假设：
dWppdV pqdp
dWpp dV p 2Mdp 2 （1）
代入流动规则： dp'dvpdq'dp0
2.6 土的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面 （state boundary surface)
2.6.2 超固结土及完全的物态边界面 2.6.3 弹性墙与剑桥模型的屈服函数 2.6.4 修正的剑桥模型
2.6.1 正常固结粘土的物态边界面
三轴应力状态：
偏应力： q= 平均主应力：p=(+2)/3
1.正常固结粘土 2.轻超固结粘土：OCR比较小，卸载范围不大 3.强超固结粘土：OCR很大, 卸载后的应力比先期
固结应力小很多
轻超固结粘土：
0－ pm －L－D(U)
SL－回弹曲线，L位于
pm
NCL与CSL之间
LD:排水试验－体缩
LU:不排水－体积不变， 正孔压
强度线唯一，剪缩
图2－50 轻超固结粘土的路径
M
（13）
图2－58 正交性示意图
上式表示了流动规则：
M时，dpv=0 0时， dvp/dp =M
流
动
屈服函数：
规
d
p v
d p
d 则q dp
与曲线正交
dVp dp
q' M
p'
M
(13)
dq' dp'
q' p'
M
0
（14）
dq' dp'
q' p'
M
0
（14）
积分：
q' ln p' ln c Mp'
dV p
dv
1 1e
p'
dp'
(11)
p'dv pM p' q' d
(12)=(11) +(10)
d d p
dVp dp
Mqp''
M
(13)
3. 屈服轨迹与屈服方程
弹性墙上塑性体应变pv为 常数，如果以pv为硬化参数
则AF(A´F´)为屈服轨迹
图2－57 屈服轨迹
dVp dp
Mqp''
（15）
边界条件：p=p0, q=0: v=v0
f
q'
M ln
p' 0
p'
p
(16): 屈服函数
弹性墙在q-p平面上的 投影AF －
子弹头屈服轨迹
弹性墙上－v0p及pv唯一
图2－59 子弹头屈服轨迹
4. 物态边界面的方程
屈服轨迹沿NCL移动，得到三维变量表示的物态 边界面方程：
q' p'
M Nvlnp'
M
图2－60 修正剑桥模型的椭圆帽子屈服面
2.应力应变关系
dv1 1eM 2 2d 2dp p''（4）
d1 e M 2 2 2M 2 2d 2dp p'' （5）
（6）
dW epdv e
dp' （7）
1e
2) 假定塑性变性能可表示为：
dW pM pdpM pd
（8）：这是一个重 要假设
dWppdV pqdp
（4）
d E d W e d W p 1 ed p ' M p d（（（987）））＝＋
p'dv1edpp'' Mp' q' d
（10）＝（1） ＋（9)
图2－52 完全的物态边界面
完全的物态边界面
包括超固结土的 完全的物态边界 面－(状态只能在 面内和面上）
Vi-Ti-Si-Ni
图2－53 完全的物态边界面
HS
超固结
CS
正常固结
图2－54 排水试验的应力体变曲线
图2－55 正常固结土与超固结土的应力路径
2.6.3 弹性墙与屈服轨迹
1. 弹性墙 正常固结粘土与轻超固结粘土（wet clay) 各向等压固结: 加载：NCL