2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测(五十一)双曲线 理(普通高中)

2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十一）双曲线 理（普

通高中）

A 级——基础小题练熟练快

1．(2017·全国卷Ⅱ)若a ＞1，则双曲线x 2a

2－y 2

＝1的离心率的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2)

C ．(1，2)

D ．(1,2)

解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1

a .

即e 2

＝a 2＋1a 2＝1＋1a

2.

∵a ＞1，∴0＜1

a

2＜1，

∴1＜1＋1

a

2＜2，∴1＜e ＜ 2.

2．若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±1

2

x

D ．y ＝±

22

x 解析：选B 在双曲线中离心率e ＝c a

＝ 1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a

2＝3，可得b a

＝2，故双曲线的渐

近线方程是y ＝±2x .

3．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )

A ．2 B. 3 C. 2

D.32

解析：选C 由渐近线互相垂直可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ·b a

＝－1，即a 2＝b 2，即c 2＝2a 2

，即c ＝2a ，

所以e ＝ 2.

4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2

9＝1的( )

A ．离心率相等

B ．虚半轴长相等

C ．实半轴长相等

D ．焦距相等

解析：选D 由0

5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2

－y 2

3

＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与

x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( )

A.13

B.1

2

C.23

D.32

解析：选D 由题可知，双曲线的右焦点为F (2,0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 2

3＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2,3)，因为点A (1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，

所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝3

2

.

6．(2017·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线

的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )

A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1

C.x 2

3

－y 2

＝1 D ．x 2

－y 2

3

＝1

解析：选D 由△OAF 是边长为2的等边三角形可知，c ＝2，b a

＝tan 60°＝ 3.又c 2

＝a 2

＋b 2

，联立可得a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2

－y 2

3

＝1.

7．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其

虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．

解析：不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，

则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝c

a

＝ 5. 答案： 5

8．过双曲线x 2

－y 2

3

＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，

B 两点，则|AB |＝________.

解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2

－y 2

3

＝0，将x ＝2代入x 2

－y 2

3

＝0，得y 2

＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3.

答案：4 3

9.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________________．

解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．

由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪

⎧

4＝a 2

＋b 2

，4a 2－9

b

2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＝1，

b 2

＝3，

∴双曲线的标准方程为x 2

－y 2

3＝1. 答案：x 2

－y 2

3

＝1

10．双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B

为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.

解析：不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所

示．

∵四边形OABC 为正方形，|OA |＝2， ∴c ＝|OB |＝22，∠AOB ＝π

4.

∵直线OA 是渐近线，方程为y ＝b a

x ， ∴b a

＝tan ∠AOB ＝1，即a ＝b . 又∵a 2

＋b 2

＝c 2

＝8，∴a ＝2. 答案：2

B 级——中档题目练通抓牢

1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5

2

x ，