小学数学《图形的分割与拼接》练习题(含答案)

小学数学《图形的分割与拼接》练习题（含答案）
把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．
反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．
将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．
我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．
如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．
图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．
如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．
如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．
（一）图形的分割
【例1】（★★★）下图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．
分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有3×4=12（个）小格，所以分成的两块每块有12÷2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符号.当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置是另一种情况，具体如右上图所示.
[拓展] 下图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．
分析：因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4×4=16（个）小格，所以分成的两块每块有16÷2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进.（建议教师同时呈现六幅空的4×4格图，不同的变化在不同的图上同时呈现）如下图：
【例2】（★★★★）一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分?
分析：由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如右上图所示.
[总结]本题若死守三角形面积等于底×高的一半，则无以下手，引导学生转换一下思考角度，取原三角形各边中点，将原三角形分成面积相等的四部分，问题即可解决．
[拓展] 请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪?
分析：图中“奥数”与“读本”中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6×4的，所以分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相同的两部分，如右上图所示.
【例3】（★★★）图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗?
分析：这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如右上图.
[拓展]如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形？
分析：要求把原来三个正方形分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份，可以考虑把每一个正方形的面积分成四份，再把三个正方形中的每一个小正方形合成要求的图形，如右上图.
[巩固]如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．
分析：要把图形分成两个相同的部分，首先要保证分得的两部分面积相同，其次要保证分得的两部分形状相同，从面积入手进行分割会使问题更容易解决．第一个图形一共有6个小正方形，2个三角形，要分割成两块完全相同的部分，每一部分都要有3个正方形、1个三角形，这样很容易就可以解决这个问题了；同样，对第二个图形，一共有7个正方形，2个三角形，因为正方形的个数是奇数，所以，肯定有一个正方形被分成相同的两块，对于这个图形，我们很容易看出有一个正方形的位置很特殊，在最中间，所以考虑将它分成两部分，由对称的原则，从对角线分开；第三个图形更复杂一些，一共有6个正方形，6个三角形，分成的两块每一块都要有3个正方形、3个三角形，因为最上面的两个三角形组合成了一个大的三角形，所以右下方的两个三角形不能分开，再根据对称的原则，就容易解决这个问题了，具体分法见右上图．
【例4】（★★★）下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．
分析：直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD边长正好为3，所以AD边分成两段，找到AD的三等分点E，现在，CD=AE,DE=AB,EF=EF，所以还要找到BC的中点F，连接EF，就把梯形ABCD分成完全相同的两部分.如右上图.
（二）图形的拼合
【例5】（★★★）用两块大小一样的等腰直角三角形能拼成几种常见的图形？
分析：建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，见下图：
[拓展] 用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?
分析：这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动。

一共可以拼成如下图的几种形状：
【例6】（★★★）用下面左边的3个图形，拼成右边的大正方形．
分析：首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4×4的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：
[拓展]用“四连块”拼成一个正方形，按编号画入右边图中．
分析：首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成4×4的正方形，目标倒推，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼成了，注意标号的位置，具体如下图所示：
【例7】（★★★）有6个完全相同的，你能将它们拼成下面的形状吗？
分析：利用染色法以及图形的对称性，对称轴两侧都有三个小图形，按照下面的顺序标号即可完成.
（三）图形的剪拼
【例8】（★★★）试将一个正方形分成相同的四块，然后用这四块分别拼成三角形、平行四边形和梯形．
分析：要用分成的四块组成三角形，那么剪成得图形一定是三角形，这样平均分成四等分，当然这种分法有好几种．组成图形的时候我们可以换位思考，看如何将三角形、平行四边形、梯形分成大小相等的三角形．如图所示：
[拓展] 将图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形．
图1 图2 图3
分析：经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍．现在来考虑形状．由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图2，再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可．下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法．如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3；显然，要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3，具体分法见图3，用同样的方法，可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如右上图．
【例9】（★★★）试将一个4×9的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形．
分析：已知长方形格数9×4=36（个），所以正方形的边长应为6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右上图.
[拓展]将下图分成两块，然后拼成一个正方形．
分析：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应该是4.因为图形是缺角长方形，长为6，宽为3，应将宽加1，长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移使长为4）。

如右上图所示.
【例10】（★★★★）试将任意一个矩形分成三块，然后拼成一个三角形．
分析：我们应该首先考虑三角形与矩形的图形差异，三角形有三个角、三条边，所以需要把长方形的两个角变为一个角，可以讲长方形的两个角剪掉，拼在两边，
（方法一）如左上图.
（方法二）如右上图.
[前铺] 试将任意一个矩形分成两块，然后拼成一个三角形.
分析：（方法一）考虑到矩形沿对角线可以分成两个相同的三角形，两个完全相同的三角形即可拼成一个大的三角形，如左上图所示.
（方法二）连接矩形一个角与一边中点的连线，将分割出的三角形沿中点处旋转180°即可，如右上
[巩固]试将任意一个三角形分成三块，然后拼成一个长方形．
分析：（方法一）三角形与长方形的不同在于：角、边的个数不同，把三角形变为四边形，需要加一个角，加一条边，而且长方形四个角都是直角，自然能想到在三角形中做两条垂线，并且过三角形两条边的中点，即可拼出一个长方形,如左上图所示.
（方法二）因为由平行四边形转化为长方形很简单，所以只需要把三角形先分割、拼凑成平行四边形，作三角形的中位线，旋转180°即可转化为平行四边形，然后将平行四边形拼成长方形，如右上图所示.
【例11】（★★★★）小龙的妈妈在街上卖边角布料的地摊上，买回了一块形状是等腰直角三角形的绸布，想用它来做长方形的窗帘，为了不把布剪的太碎，裁剪的块数就要尽可能的少，请问小龙的妈妈应该怎样剪拼呢？
分析：要使裁剪的块数少，就要充分利用等腰直角三角形的特点，还要尽可能多的让长方形的边与三角形的边重合，假设拼好的长方形以BC为长，现在要把△ADE补到△CGE的位置上，这就要求这两个三角形完全一样，显然，只要取D、E分别为AB、AC的中点即可。

所以首先连接AB的中点D和AC的中点E，将△ADE沿DE剪开，再按顺时针方向旋转180°即可.如右上图所示.
（四）计算型图形拼割：
【例12】（★★★）正三角形ABC的面积是1平方米，将三条边分别向两端各延长一倍，连结六个端点得到一个六边形（如右图），求六边形的面积.
分析：采用分割法，过A、B、C分别作平行线，得到右上图，其中所有小三角形的面积都相同，所以六边形面积等于13平方米.
[前铺] 正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方形（如右图），求大正方形的面积.
分析：四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有9个小正方形组成，所以，大正方形的面积是：1×9=9（平方米）
[拓展]正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如下图的图形，求这个图形的面积
分析：采用分割法，连接正六边形的对角线，会发现，所有的三角形面积都相同，一共有12个小三角形，原来正六边形的面积是1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1×2=2（平方米）
1.（例1）把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗?
分析：先把图形分成20×40相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图.
2.（例2）将下图分割成大小、形状相同的三块，使分割成大小、形状相同的三块．
分析：图中一共有18个小方格，要求分割成大小、形状相同的三块，每一块有：18÷3=6（块），而且分割成大小、形状相同的三块，可以看出图形的中心点是O，而且上面的部分是对称的，但是只有5块，需要对称的再加上一块，再由图形的特点，可以判断应分为右上图的三部分.
3.（例5）用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、?若能，画出示意图．
分析：能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形．建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，具体拼法如右上图所示．
4.（例8）把两个小正方形剪开以后拼成一个大正方形．
分析：因为大正方形的面积等与两个小正方形的面积和，所以大正方形的边长不能等于两个小正方形的边长和，而是等于小正方形的对角线的长，所以要沿着两个小正方形的对角线剪开再进行拼接，如右上图.
5.（例12）长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形.
分析已知长方形面积9×4=36（平方厘米），所以正方形的边长应为6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如右上图.。