2.3 相交线中的角汇总

2.3 相交线中的角

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课标要求

1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义。

2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角.

本节重点是同位角、内错角、同旁内角的识别.

难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.

教材详解

1.三线八角

两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，一般称为“三线八角”。如图2.3-1，两条直线被第三条直线所截，除构成了四对对顶角和八对邻补角外，还构成了∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8这四对同位角，∠2与∠8、∠3与∠5这两对内错角，∠2与∠5、∠3与∠8这两对同旁内角。

2. 同位角、内错角、同旁内角

同位角、内错角、同旁内角，指的是两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系，如图2.3-1，

∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的同一方，在直线EF 的同侧。具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 ∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的两侧。具有这种位置关系的一对角叫做内错角。

∠3和∠6，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的同一

旁。具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

图2.3-1

3. 同位角、内错角、同旁内角的辨别

同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件：

（1）都是两条直线被第三条直线所截而成；

（2）无公共顶点。

因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。“一边共线”是这三类角的基本特征。识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。弄清截线与被截线。最简单的方法是：

两个角公共边所在的直线是截线，共余两边所在直线是被截线。

如图2.3-1，直线EF 与直线AB 、CD 相交，则直线EF 为截线。可见，若在两个角的顶点附近观察，与两条直线都相交的直线，就是这两条直线的截线，它是相对于其他两条直线而言的。

(1) 同位角的基本特征：“同旁同侧”

即在两条直线（被截段）的同旁，第三条直线（截线）的同

侧，如图2.3-1中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠

8。这几对角的边所在的直线构成任意旋转的“F ”字形。

(2)内错角的基本特征：“内部两旁”

即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的两

侧，如图2.3-1中的∠3与∠5、∠4与∠6。两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形。

(3)同旁内角的基本特征：“内部同旁”

即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的同侧，如图2.3-1中的∠3与∠6，∠4与∠5。两角的边所在直线构成任意旋转的“”形即“U ”字形。

4.识别在变式图形或复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角

首先，要抓住“两条直线被第三条直线所截”这一本质特征

两个角共涉及三条直线（或射线、或线段），它们的一边分别在两条直线上，而另一边在同一条直线上，认准这两个角的“一边共线”这一关键性的条件。

如图2.3-2（1）、图2.3-2（2）中的∠1与∠2是同位角吗？

图2.3-2（1）中，∠1与∠2涉及EF 、MG 、ND 三条直线，且它们的一边都在直线EF 上，故∠1与∠2是同位角；图2.3-2（2）中，∠1涉及MG 、MB ，∠2涉及NH 、ND 共四条直线，因此∠1与∠2不是同位角。

图2.3-2 图2.3-3

第二要会排除背景干扰

(1)把相关的一对角的边用彩色笔或粗线条描出来，如图2.3-3中把∠1与∠2这两个角分别用粗线条描出来后，就能清晰地判断它们是不是同位角了。

(2)把有一边“共线”的两个角从复杂图形中分离出来。比如要找出图2.3-3中用数字所标注的同位角、内错角、同旁内角时，当我们把一边共线的两个角从图2.3-3中分离出来成为如图2.3-4的情形后，就不难断定∠1与∠5、∠3与∠6是内错角，∠4与∠5是同位角，∠2与∠5、∠5与∠6、∠2与∠6是同旁内角了。

图

2.3-4

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例题精析

例1已知：如图2.3-5，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END

图2.3-5

分析因为直线AB、CD被直线EF所截，从图2.3-5中可以看出，只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且∠EMB在直线AB的上方，而∠END也在直线CD的上方，所以∠END是∠EMB的同位角．

解选D．

说明同位角的判断要把握几个要点：①分析截线与被截直线；②作为同位角要把握两个相同，在截线同侧，在被截直线同方．

【变式】下图中，∠1和∠2是同位角的是（）

A．B．C．D．解A中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；B中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；C中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；D中∠1、∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角．故选D．例2 如图2.3-6，∠1与∠2是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．以上都不是

图2.3-6 图2.3-7 图2.3-8分析因为∠1与∠2在截线的两侧，在两条被截线之间，所以它们是一对内错角。

解选B.

【变式】如图2.3-7，∠ADE和∠CED是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．互为补角

解∠ADE和∠CED是DE截AB,AC所成的角，而且它们分居

DE的两旁，在AB,AC之间，所以∠ADE和∠CED是内错角。故选B．

例3 如图2.3-8，直线AB、CD、EF两两相交，则图中为同旁内角的角共有（）对．

A．3 B．4 C．5 D．6

分析根据同旁内角的定义，直线AB、CD被直线EF所截可以得到两对同旁内角，同理：直线AB、EF被直线CD所截，可以得到两对，直线CD、

EF被直线AB所截，可以得到两对．因此共6对同旁内角．

解选D．

说明三条直线两两相交时，可以看成其中两条直线被第三

条直线所截，每条直线做一次截线就有三种情况。

【变式】下图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（）

A．B．C．D．解根据同旁内角的定义可知，A、C、D正确，B不符合定义要求，故选B．

为什么错

1.没有抓住“三线”出错

例5 如图2.3-9，CM、ON被AO所截，那么（）

A．∠1和∠3是同位角B．∠2和∠4是同位角

C．∠ACD和∠AOB是内错角D．∠1和∠4是同旁内角

错解选A或D。

分析同位角、内错角与同旁内角都是三线八角中的角，都是

两条直线被第三条直线所截而成，所以如果两个角是同位角、内错

角或同旁内角，那么这两个角一定有“一边共线”（即是截线），

从而它们的边只能在三条直线上，错解没有抓住“三线”，两角的

边都在4条直线上，所以错误。

正解观察图形可知，∠2和∠4是直线CM，ON被AO所截

而成的同位角．故选B．

2.分类错误

例6 如图2.3-10，与∠1互为同旁内角的角共有（）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

错解选A或B。

分析根据AB和AC被BC所截得出∠2，根据BC和AC被AB所截得出∠CAB，根据DE和BC被AB所截得出∠EAB。但错解只看到第三类或后两类，而没有看出第一类，导致答案错误。

正解与∠1互为同旁内角的是：∠CAB、∠2、∠EAB、共3个，故选C．

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例7 如图2.3-10，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条

直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线

被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？

图2.3-9

C D

图2.3-10

图2.3-10

分析 本题的关键是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．

解 ∠1和∠2是直线EF 、

DC 被直线AB 所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB 、CD 被直线EF 所截形成的同位角．

说明 同位角，即位置相同，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内

错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，

比较它们的区别与联系．

【变式】如图2.3-11，找出图中∠DEA ，∠ADE 的同位角、内

错角和同旁内角．

解 图中∠DEA 的同位角为∠C 、内错角为∠BDE 、同旁内

角为∠A 或∠ADE ；∠ADE 的同位角为∠B 、内错角为∠CED 、同

旁内角为∠AED 或∠A ．

【智能分级演练】

知识达标

1. 图

2.3-12的四幅图中，∠

1和∠2是同位角的是（ ）

图2.3-12

A.(1)、(2)

B.(3)、(4)

C.(1)、(2)、(3)

D.(2)、(3)、(4)

2. 如图2.3-13，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是

( )

A ．同位角

B ．内错角

C ．对顶角

D ．同旁内角

图2.3-13 图2.3-14 图2.3-15

3. 如图2.3-14，直线DE 截AB ，AC ，其中内错角有（ ）对．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 如图2.3-15，CM 、ON 被AO 所截，那么（ ）

A ．∠1和∠3是同位角

B ．∠2和∠4是同位角

C ．∠AC

D 和∠AOB 是内错角 D ．∠1和∠4是同旁内角

5.如图2.3-16，与∠α构成同旁内角的角有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．5个

D ．4个

图2.3-11

图2.3-16 图2.3-17

6.如图2.3-17所示，同位角共有（）

A．6对B．8对C．10对D．12对

7. 下图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（）

A．B．C．D．

8. 下列图中∠1和∠2不是同位角的是（）

A．B．C．D．

9. 在图2.3-18中，∠1与∠2是同位角的有（）

图2.3-18

A．①②B．①③C．②③D．②④

10. 如图2.3-19，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F，则图中的内错角有（）

A．2对B．4对C．6对D．8对

图2.3-19 图2.3-20 图2.3-21

11. 如图2.3-20所示，同位角共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

12. 图2.3-21中所标出的角中，共有同位角（）

A．2对B．3对C．4对D．5对

能力挑战

13. 如图2.3-22所示，L是L1与L2的截线．找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3．下列何者为∠1、∠2、∠3正确的位置图（）

A. B. C. D.

14. 图2.3-23中，与∠1成同位角的个数是（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

15. 如图所示，按各组角的位置判断错误的是（）

A．∠2和∠A是同旁内角B．∠1和∠4是内错角

C．∠2和∠B是同旁内角D．∠3和∠B是同位角

图2.3-2 图2.3-23 图2.3-24

16.如图2.3-25，下列判断错误的是（）

A．∠1和∠5是同位角B．∠2和∠6是同位角

C．∠4和∠5是内错角D．∠3和∠2是对顶角

图2.3-25 图2.3-26 图2.3-27

17. 如图2.3-26，有下列四种说法：①∠1和∠3是同位角；②∠4和∠1是同位角；

③∠2和∠5是内错角；④∠2和∠3是同旁内角．其中正确的个数是（）

20. 如图2.3-29，将一块三角板镶嵌在两根木棒之间（木棒可看成是线段），则图中共有对同旁内角．

图2.3-28 图2.3-29 图2.3-30

21.如图2.3-30，标有角号的7个角中共有对内错角，对同位角，对

答案与提示

1.A 提示：(3)中的两个角的四条边在四条线上，(4) 中的两个角在两条被截线的外侧，都不是同位角。

2. B 提示：角在被截线的内部，又在截线的两侧，符合内错角的定义，故选B．

3. D 提示：直线DE截AB，AC，形成两对内错角；直线AB截AC，DE，形成一对内错角；直线AC截AB，DE，形成一对内错角．故共有4对内错角．

4. B 提示：观察图形可知，∠2和∠4是直线CM，ON被AO所截而成的同位角．

5. C 提示：如图2.3-31所示，∠α构成同旁内角的角有5个．

图2.3-31

6. C 提示：由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，增加射线GM、HN后，射线GM 与直线CD，射线HN与直线AB，射线GM与射线HN各增加2对，共增加6对，总共10对．

7. B 提示：根据同旁内角的定义可知，A、C、D正确，B不符合定义要求。

8. C 提示：A图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，B图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，C图中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角，D图中，∠1与∠2有一边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角．

9. C 提示：①图中，∠1与∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角，②图中，∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，③图中，

∠1与∠2有一条边在同一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角，④图中，∠1与∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角．

10. C 提示：根据内错角定义，先找出两直线被第三条直线所截：MN、BC被AB所截得∠MEB与∠ABC，被AC所截得∠NFC与∠C；AC、MN被AB所截得∠A与∠AEM，MN、AB被AC所截得∠A与∠AFN；AB、AC被MN所截得∠AEF与∠CFE，∠AFE与∠BEF．有6对．

11. B 提示：如图2.3-32，∠1与∠2，∠3与∠4分别是两对同位角．

图2.3-32

12. D 提示：根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对．

13. C 提示：根据同位角和同旁内角的定义可知，只有C是正确的．

14.B 提示：①以b为截线，∠1有1个同位角，②以L2为截线，∠1有2个同位角．因此共有3个∠1的同位角．

15. C 提示：在截线的同侧，并且在被截线之间的两个角是同旁内角，∠2和∠A符合同旁内角的定义，A正确；在截线的两侧，并且在被截线之间的两个角是内错角，∠1和∠4符合内错角的定义，B正确；在截线的同侧，并且在被截线的之间的两个角是同旁内角，∠2和∠B不符合同旁内角的定义，C错误；在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，∠3和∠B符合同位角的定义，D正确．

16. B 提示：∠1和∠5是同位角，A正确；∠2和∠6相等，但不是同位角；故B错误；∠4和∠5是内错角，C正确；∠3和∠2是对顶角．D正确．

17. B 提示：①∠1和∠3在截线的同侧，被截线的同旁，是同位角；②∠4和∠1在截线的两侧，被截线的内部，是内错角，不是同位角，所以错误；③∠2和∠5是对顶角，不是内错角，所以错误；④∠2和∠3是邻补角，不是同旁内角，所以错误；

18.D 提示：观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8=16对．

19.∠1，∠3，∠2，∠6，AB，CD，EF 提示：根据图形∠5与∠1是同位角，和∠3是内错角，和∠2是同旁内角．∠2和∠6是直线AB、CD被EF所截而形成的同位角．

20. 4 提示：BC为截线，有2对同旁内角为：∠DBC和∠ECB，∠ABC和∠ACB；AB为截线，有1对同旁内角为：∠ABC和∠BAC；AC为截线，有1对同旁内角为：∠ACB和∠BAC．

21.4,2,4提示：共有4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6；4对同旁内角：分别是∠1和∠5、∠3和∠4、∠3和∠2、∠4和∠2．

22. 4，48 提示：∵平面上4条直线两两相交且无三线共点，∴共有3×4=12条线段．又∵每条线段各有4组同位角，∴共有同位角12×4=48组．故每条直线交另外两条直线，都能组成4组同位角．这个图形中共有48组同位角．