2.3 相交线中的角汇总

2.3 相交线中的角

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课标要求

1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义。

2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角.

本节重点是同位角、内错角、同旁内角的识别.

难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.

教材详解

1.三线八角

两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，一般称为“三线八角”。如图2.3-1，两条直线被第三条直线所截，除构成了四对对顶角和八对邻补角外，还构成了∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8这四对同位角，∠2与∠8、∠3与∠5这两对内错角，∠2与∠5、∠3与∠8这两对同旁内角。

2. 同位角、内错角、同旁内角

同位角、内错角、同旁内角，指的是两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系，如图2.3-1，

∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的同一方，在直线EF 的同侧。具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 ∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的两侧。具有这种位置关系的一对角叫做内错角。

∠3和∠6，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的同一

旁。具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

图2.3-1

3. 同位角、内错角、同旁内角的辨别

同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件：

（1）都是两条直线被第三条直线所截而成；

（2）无公共顶点。

因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。“一边共线”是这三类角的基本特征。识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。弄清截线与被截线。最简单的方法是：

两个角公共边所在的直线是截线，共余两边所在直线是被截线。

如图2.3-1，直线EF 与直线AB 、CD 相交，则直线EF 为截线。可见，若在两个角的顶点附近观察，与两条直线都相交的直线，就是这两条直线的截线，它是相对于其他两条直线而言的。

(1) 同位角的基本特征：“同旁同侧”

即在两条直线（被截段）的同旁，第三条直线（截线）的同

侧，如图2.3-1中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠

8。这几对角的边所在的直线构成任意旋转的“F ”字形。

(2)内错角的基本特征：“内部两旁”

即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的两

侧，如图2.3-1中的∠3与∠5、∠4与∠6。两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形。

(3)同旁内角的基本特征：“内部同旁”

即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的同侧，如图2.3-1中的∠3与∠6，∠4与∠5。两角的边所在直线构成任意旋转的“”形即“U ”字形。

4.识别在变式图形或复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角

首先，要抓住“两条直线被第三条直线所截”这一本质特征

两个角共涉及三条直线（或射线、或线段），它们的一边分别在两条直线上，而另一边在同一条直线上，认准这两个角的“一边共线”这一关键性的条件。

如图2.3-2（1）、图2.3-2（2）中的∠1与∠2是同位角吗？

图2.3-2（1）中，∠1与∠2涉及EF 、MG 、ND 三条直线，且它们的一边都在直线EF 上，故∠1与∠2是同位角；图2.3-2（2）中，∠1涉及MG 、MB ，∠2涉及NH 、ND 共四条直线，因此∠1与∠2不是同位角。

图2.3-2 图2.3-3

第二要会排除背景干扰

(1)把相关的一对角的边用彩色笔或粗线条描出来，如图2.3-3中把∠1与∠2这两个角分别用粗线条描出来后，就能清晰地判断它们是不是同位角了。

(2)把有一边“共线”的两个角从复杂图形中分离出来。比如要找出图2.3-3中用数字所标注的同位角、内错角、同旁内角时，当我们把一边共线的两个角从图2.3-3中分离出来成为如图2.3-4的情形后，就不难断定∠1与∠5、∠3与∠6是内错角，∠4与∠5是同位角，∠2与∠5、∠5与∠6、∠2与∠6是同旁内角了。

图

2.3-4

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例题精析

例1已知：如图2.3-5，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END

图2.3-5

分析因为直线AB、CD被直线EF所截，从图2.3-5中可以看出，只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且∠EMB在直线AB的上方，而∠END也在直线CD的上方，所以∠END是∠EMB的同位角．

解选D．

说明同位角的判断要把握几个要点：①分析截线与被截直线；②作为同位角要把握两个相同，在截线同侧，在被截直线同方．

【变式】下图中，∠1和∠2是同位角的是（）

A．B．C．D．解A中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；B中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；C中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；D中∠1、∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角．故选D．例2 如图2.3-6，∠1与∠2是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．以上都不是

图2.3-6 图2.3-7 图2.3-8分析因为∠1与∠2在截线的两侧，在两条被截线之间，所以它们是一对内错角。

解选B.

【变式】如图2.3-7，∠ADE和∠CED是（）

A．同位角B．内错角C．同旁内角D．互为补角

解∠ADE和∠CED是DE截AB,AC所成的角，而且它们分居

DE的两旁，在AB,AC之间，所以∠ADE和∠CED是内错角。故选B．