2.3 相交线中的角汇总
探索相交线认识相交线的性质和特点
探索相交线认识相交线的性质和特点探索相交线：认识相交线的性质和特点相交线是几何学中的重要概念，它们具有丰富的性质和特点，对于我们理解几何关系和应用数学知识都非常重要。
本文将通过探索相交线的性质和特点，帮助读者更好地理解这一概念。
1. 什么是相交线相交线是指在平面上相互交叉的两条直线。
当两条直线交叉于一点时，我们称其为交点。
对于任意两条不平行的直线，它们都会相交于一点。
2. 相交线的性质相交线具有以下性质：2.1 相交线的交点唯一性对于两条相交线，它们的交点是唯一的。
这意味着两条不同的相交线在平面上只有一个交点。
2.2 相交线的夹角两条相交线之间形成的夹角有多种类型，包括锐角、直角、钝角和补角。
对于夹角的度量，我们可以通过角度单位（如度或弧度）来计量。
2.3 相交线的相对位置当两条直线相交时，会有不同的相对位置。
如果夹角小于90°，则我们称这两条直线为锐角相交；如果夹角等于90°，则称为直角相交；如果夹角大于90°，则称为钝角相交。
3. 相交线的特点除了上述性质外，相交线还有一些特点值得我们关注：3.1 垂直相交线当两条直线相交且形成的夹角为90°时，我们称其为垂直相交线。
垂直相交线具有多个应用，比如垂直平分线能够将线段等分为两部分，垂直角的性质在解决几何问题中也非常重要。
3.2 平行相交线当两条直线相交且形成的夹角为零度时，我们称其为平行相交线。
平行相交线具有一些重要的性质，如平行四边形的特征、同位角和内错角等概念。
平行相交线的研究在几何学和应用数学中具有广泛的应用。
3.3 交错相交线当两组相交直线形成的交点依次排列时，我们称其为交错相交线。
交错相交线在几何图形和模型设计中扮演了重要的角色，这是因为它们能够创造出复杂而美观的图案和结构。
4. 相交线的应用相交线的性质和特点在几何学的研究和应用中发挥着重要作用。
它们可以用于解决平行线和垂直线的相关问题，推导出其他几何图形的性质，甚至应用于工程设计、建筑规划和计算机图形学等领域。
平行线和相交线解决角度关系问题
平行线和相交线解决角度关系问题平行线和相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着密切的角度关系。
通过研究这种关系，我们可以解决许多有关角度的几何问题。
本文将详细介绍平行线和相交线之间的角度关系，并通过实例说明如何应用这些关系来解决角度问题。
1. 共线角与内错角当两条平行线被一条直线相交时，所形成的各个角度关系是解决角度问题的基础。
首先，我们来看一下两条平行线被一条直线相交时所形成的共线角和内错角。
共线角：共线角即位于同一直线上的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们得知在两条平行线被一条直线相交的情况下，所形成的共线角是相等的。
内错角：内错角即位于两条平行线之间、相交线上的两个相邻角度。
同样根据平行线与相交线的性质，我们知道内错角是相等的。
2. 同位角与对顶角继续探讨角度关系，我们将介绍同位角和对顶角的概念，它们同样可以帮助我们解决角度问题。
同位角：同位角是指位于两条平行线之间、相交线同一侧的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们知道同位角是相等的。
对顶角：对顶角是指由两条平行线被一条直线相交所形成的内错角的对称角。
根据平行线与相交线的性质，我们得出对顶角是相等的。
3. 利用角度关系解决问题通过理解平行线和相交线之间的角度关系，我们能够解决很多有关角度的几何问题。
以下是一些实例：例1：已知在平行线AB和CD之间，EF是一条相交线。
若∠ADE= 60°，求∠BEF的度数。
根据同位角的性质，我们可以得知∠ADE = ∠BEF。
因此，∠BEF的度数也为60°。
例2：已知平行线AB和CD被一条相交线EF相交，∠AED = 110°，求∠BCF。
根据内错角的性质，我们知道∠AED = ∠BCF。
所以，∠BCF的度数也为110°。
例3：已知两条平行线AB和CD之间的一条相交线EF，求证∠AEB = ∠CFD。
根据对顶角的性质，我们可以得知∠AEB = ∠CFD。
相交线知识点总结
相交线知识点总结如下：
邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。
对顶角：两个角有一个共同的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做对顶角。
对顶角相等。
垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
垂线的性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
点到直线的距离：垂线段的长度叫做点到直线的距离。
同位角、内错角、同旁内角：
两直线被第三条直线所截，在截线同旁，被截线相同的一侧的两个角叫做同位角。
两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
两直线被第三条直线所截，在截线的一侧，且夹在两条被截线之间的两个角，叫做同旁内角。
平行公理及推论：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
以上是相交线的主要知识点，涵盖了邻补角、对顶角、垂线、垂线的性质、点到直线的距离、同位角、内错角、同旁内角以及平行公理及推论等内容。
2021年中考数学专题复习-相交线与平行线(学案)
中考数学一轮专题复习学案17 相交线与平行线知识点1：点、线、面、角知识点梳理1．点动成线、线动成面、面动成体．2．角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．3．度分秒的换算：1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°．1°= 60 '，1'=60 ″．4．量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于90° ，就说这两个角互为余角．同角或等角的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于180° ，就说这两个角互为补角．同角或等角的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．典型例题【例1】（2020•重庆B卷2/26）围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平的是（）A．长方体B．圆柱体C．球体D．圆锥体【考点】认识立体图形【分析】根据平面与曲面的概念判断即可．【解答】解：A、六个面都是平面，故本选项正确；B、侧面不是平面，故本选项错误；C、球面不是平面，故本选项错误；D、侧面不是平面，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查的是立体图形的认识，掌握平面与曲面的概念是解题的关键．【例2】（2020•陕西2/25）若∠A=23°，则∠A余角的大小是（）A．57°B．67°C．77°D．157°【考点】余角和补角【分析】根据∠A的余角是90°-∠A，代入求出即可．【解答】解：∵∠A =23°，∴∠A的余角是90°-23°=67°．故选：B．【点评】本题考查了互余的应用，注意：如果∠A和∠B互为余角，那么∠A=90°-∠B．知识点2：直线、射线和线段1．直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．4．线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB=AC-BC；BC=AC-AB．5．线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB=12AB．知识点梳理6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．典型例题【例3】（2019·保定高阳县模拟）“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是（）A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．直线可以向两边延长D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离【答案】B．【解答】“植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理是“两点确定一条直线”．故答案为B．知识点3：相交线知识点梳理1. 相交线中的角:（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角．（2）邻补角互补，对顶角相等．（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．如下图，若l ⊥AB ，OA=OB ，则AP=BP ．逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，1=2,PE PF PE OA PF OB ∠∠⎫⇒=⎬⊥⊥⎭逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，,1=2PE OA PF OB PE PF ⊥⊥⎫⇒∠∠⎬=⎭【例4】（2020•河北1/26）如图，在平面内作已知直线m 的垂线，可作垂线的条数有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条【考点】垂线【分析】根据垂直、垂线的定义，可直接得结论．【解答】解：在同一平面内，与已知直线垂直的直线有无数条， 所以作已知直线m 的垂线，可作无数条． 故选：D ．【点评】本题考查了垂直和垂线的定义．掌握垂线的定义是解决本题的关键．【例5】（2020•青海5/28）如图，△ABC 中，AB =AC =14 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于典型例题点D，且△DBC的周长是24 cm，则BC= cm．【考点】线段垂直平分线的性质【分析】由边AB的垂直平分线与AC交于点D，故AD=BD，于是将△DBC的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【解答】解：∵C△DBC=24 cm，∴BD+DC+BC=24 cm①，又∵MN垂直平分AB，∴AD=BD②，将②代入①得：AD+DC+BC=24 cm，即AC+BC=24 cm，又∵AC=14 cm，∴BC=24-14=10cm．故填10．【点评】本题考查了垂直平分线的性质；此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．【例6】（2020•新疆兵团13/23）如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a-3），则a的值为．【考点】坐标与图形性质【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x 轴和y轴的距离相等，结合点P在第一象限，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA=OB，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P在第一象限，点P的坐标为（a，2a-3），∴a=2a-3，∴a=3．故答案为：3．【点评】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．知识点4：平行线1. 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2. 平行线公理及其推论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．3. 平行线的判定：平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．知识点梳理4. 平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．5. 两平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处相等．【例7】（2019·河北省7/26）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB【考点】平行线的判定．【分析】根据图形可知※代表CD，即可判断D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC，即可判断A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断C；根据图形已经内错角定义可知@代表内错角．【解答】证明：延长BE交CD于点F，则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单．典型例题【例8】（2020•海南6/22）如图，已知AB∥CD，直线AC和BD相交于点E，若∠ABE=70°，∠ACD=40°，则∠AEB等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】平行线的性质【分析】利用平行线的性质，得到∠BAE与∠C的关系，再利用三角形的内角和，求出∠AEB．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠C=40°．∵∠AEB +∠EAB +∠EBA =180°，∴∠AEB=70°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，题目难度较小，利用平行线的性质把要求的角和已知角放在同一个三角形中，是解决本题的关键．知识点5：命题、定理、证明知识点梳理1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．3．互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题．4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理，一个定理和它的逆定理是互逆定理．7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．【例9】（2019·安徽省12/23）命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为．【考点】命题与定理．【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键．【例10】（2019·泰州）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是________（填“真命题”或“假命题”）．【答案】真命题．【解答】一个三角形如果是锐角三角形，则三个角都是锐角，如果是直角或钝角三角形，则有两个角是锐角，∴三角形的三个内角中至少有两个锐角是真命题．1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．典型例题巩固训练C ．D ．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（ ）A ．B ．C ．D ．4.如图所示，用量角器度量∠AOB ，可以读出∠AOB 的度数为（ ）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A．B．C．D．6.（2020•通辽13/26）如图，点O在直线AB上，581728∠的度数AOC∠=︒'''．则BOC是．7.若∠A=34°，则∠A的补角为（）A．56°B．146° C．156° D．166°8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB>，45C∠=︒．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P，使45PBC∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=度．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD ．若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C ＝30°，则△ACD 的面积为 ．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长 15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．5216.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= ︒．19.（2019·河南省3/23）如图，AB ∥CD ，∠B ＝75°，∠E ＝27°，则∠D 的度数为（ ）A ．45°B ．48°C ．50°D ．58°20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//AB CD ，70C ∠=︒，40A ∠=︒，则F ∠的度数为( )A．30︒B．35︒C．40︒D．45︒21.（2018·赤峰8/26）已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°24．（2019·南京）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵________，∴a∥b．25．（2019·黄冈）如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A，点C．AD 平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为________．巩固训练解析1.（2020•江西5/23）如图所示，正方体的展开图为()A．B．C．D．【考点】几何体的展开图【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．【解答】解：根据“相间、Z端是对面”可得选项B不符合题意；再根据“上面 ”符号开口，可以判断选项A符合题意；选项C、D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．2.（2019•鄂尔多斯2/24）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：三角形图案的顶点应与圆形的图案相对，而选项A与此不符，所以错误；三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符，三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．故选：B．3.（2018·北京市1/28）下列几何体中，是圆柱的为（）A．B．C．D．【考点】认识立体图形．【分析】根据立体图形的定义及其命名规则逐一判断即可．【解答】解：A、此几何体是圆柱体；B、此几何体是圆锥体；C、此几何体是正方体；D、此几何体是四棱锥；故选：A．【点评】本题主要考查立体图形，解题的关键是认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．4.如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（）A ． 45°B ． 55°C ． 125°D ． 135°【答案】B【考点】用量角器度量角．【解答】由生活知识可知这个角小于90度，排除C 、D ，又OB 边在50与60之间，所以，度数应为55°．5.（2020•通辽4/26）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使α∠和β∠互余的摆放方式是( )A ．B ．C ．D ．【考点】余角和补角 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．【解答】解：A ．α∠与β∠互余，故本选项正确；B ．αβ∠=∠，故本选项错误；C ．αβ∠=∠，故本选项错误；D ．α∠与β∠互补，故本选项错误，故选：A ．【点评】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．6.（2020•通辽13/26）如图，点O 在直线AB 上，581728AOC ∠=︒'''．则BOC ∠的度数是 1214232︒''' ．【考点】度分秒的换算；角的概念【分析】依据邻补角的定义，即可得到BOC ∠的度数．【解答】解：点O 在直线AB 上，且581728AOC ∠=︒'''，1801805817281214232BOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒'''=︒'''，故答案为：1214232︒'''．【点评】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180︒．7.若∠A =34°，则∠A 的补角为（ ）A ．56°B ．146°C ．156°D ． 166°【考点】根据互补的两角之和为180°，可得出答案．【分析】余角和补角．【解答】解：∵∠A =34°，∴∠A 的补角=180°﹣34°=146°．故选B ．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补的两角之和为180°．8.（2020•吉林11/26）如图，某单位要在河岸l 上建一个水泵房引水到C 处．他们的做法是：过点C 作CD l ⊥于点D ，将水泵房建在了D 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 垂线段最短 ．【考点】垂线段最短【分析】根据垂线段的性质解答即可．【解答】解：过点C作CD l⊥于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点评】本题考查了垂线段的定义和性质．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决实际问题．9.如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（）A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【考点】方向角．【分析】根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．【解答】解：如下图：若射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∠1=60°，OB是北偏西60°，故选：B．【点评】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．10.（2020•海南15/22）如图，在△ABC中，9BC=，4AC=，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则△ACD的周长为13．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-基本作图【分析】根据作图过程可得，MN是AB的垂直平分线，所以得AD BD=，进而可得△ACD 的周长．【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD BD=，∴△ACD的周长9413=++=++=+=+=．AD DC AC BD DC AC BC AC故答案为：13．【点评】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．11.（2020•陕西17/25）如图，已知△ABC，AC AB∠=︒．请用尺规作图法，在ACC>，45边上求作一点P，使45∠=︒．（保留作图痕迹，不写作法，答案不唯一）PBC【考点】作图-基本作图【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使45PBC∠=︒即可，或作BC的垂直平分线交AC于点P【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．12.（2020•宁夏14/26）如图，在△ABC中，84C∠=︒，分别以点A、B为圆心，以大于12 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则A∠=32度．【考点】线段垂直平分线的性质；作图-复杂作图【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，根据它们的性质可得A ABD CBD∠=∠=∠，再根据三角形内角和定理即可得解．【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是ABC∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC∠=∠=∠，A ABD∴∠=∠，A ABD CBD∴∠=∠=∠，180A ABC C∠+∠+∠=︒，且84C∠=︒，2180A ABD C∴∠+∠=︒-∠，即318084A∠=︒-︒，32A∴∠=︒．故答案为：32．【点评】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．13.（2018·通辽16/26）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为【考点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABD即可解决问题；【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝60°，∵AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝DC，∴S△ADC＝S△ABD×62＝故答案为【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.（2020•河北6/26）如图1，已知ABC∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC∠内部交于点P；第三步：画射线BP．射线BP即为所求．下列正确的是( )A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ，12b DE <的长 【考点】作图-基本作图【分析】根据角平分线的画法判断即可．【解答】解：以B 为圆心画弧时，半径a 必须大于0，分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧时，b 必须大于12DE ，否则没有交点， 故选：B ．【点评】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．15.（2019•包头7/26）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点D ，E ，再分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点G ，若BG ＝1，AC ＝4，则△ACG 的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解答】解：由作法得AG 平分∠BAC ，∴G 点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以△ACG 的面积＝12×4×1＝2． 故选：C ．16.（2020•兴安盟•呼伦贝尔6/26）如图，直线AB ∥CD ，AE CE ⊥于点E ，若120EAB ∠=︒，则ECD ∠的度数是( )A ．120︒B ．100︒C ．150︒D ．160︒【考点】垂线；平行线的性质【分析】延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，根据平行线的性质，求出AFC ∠的度数，再利用外角的性质求出ECF ∠，从而求出ECD ∠．【解答】解：延长AE ，与DC 的延长线交于点F ，//AB CD ，180A AFC ∴∠+∠=︒，120EAB ∠=︒，60AFC ∴∠=︒，AE CE ⊥，90AEC ∴∠=︒，而AEC AFC ECF ∠=∠+∠，30ECF AEC F ∴∠=∠-∠=︒，18030150ECD ∴∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点评】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和平行线的性质是解题的关键．17.（2020•河南4/23）如图，12//l l ，34//l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【考点】平行线的性质【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：12//l l ，170∠=︒，3170∴∠=∠=︒，34//l l ， 2180318070110∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．18.（2020•新疆兵团10/23）如图，若AB ∥CD ，110A ∠=︒，则1∠= 70 ︒．【考点】平行线的性质【分析】由//AB CD ，利用“两直线平行，同位角相等”可得出2∠的度数，再结合1∠，2∠互补，即可求出1∠的度数．【解答】解：//AB CD ，2110A ∴∠=∠=︒．又12180∠+∠=︒，∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．1180218011070故答案为：70．【点评】本题考查了平行线的性质以及邻补角，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．19.（2019·河南省3/23）如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠1，∵∠1＝∠D+∠E，∴∠D＝∠B﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．20.（2018·兴安盟呼伦贝尔5/26）如图，//∠的度数∠=︒，则FAAB CD，70∠=︒，40C为()A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出BEF ∠的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：//AB CD ，70C ∠=︒， 70BEF C ∴∠=∠=︒．40A ∠=︒，704030F ∴∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．21.（2018·赤峰8/26）已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠EGB ＝25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H 重合），则∠PHG 等于（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【考点】平行线的性质．【分析】依据AB ∥CD ，可得∠EHD ＝∠EGB ＝25°，再根据∠PHD ＝60°，即可得到∠PHG ＝60°﹣25°＝35°．【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠EHD ＝∠EGB ＝25°，又∵∠PHD ＝60°，∴∠PHG ＝60°﹣25°＝35°，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．22.（2018·通辽12/26）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是75°30′（或75.5°）．【考点】度分秒的换算；平行线的性质．【分析】首先证明∠EDO＝∠AOB＝37°45′，根据∠DEB＝∠AOB+∠EDO计算即可解决问题；【解答】解：∵CD∥OB，∴∠ADC＝∠AOB，∵∠EDO＝∠CDA，∴∠EDO＝∠AOB＝37°45′，∴∠DEB＝∠AOB+∠EDO＝2×37°45′＝75°30′（或75.5°），故答案为75°30′（或75.5°）．【点评】本题考查平行线的性质、度分秒的换算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（2018·聊城）如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是()A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】C．【解析】如下图，延长DE交BC于点G，∵∠BGD是△DCG的外角，∴∠BGD＝∠BCD ＋∠CDE＝95°＋25°＝120°，∵AB∥EF，∴∠DEF＝∠DGB＝120°．。
七年级数学下册记忆口诀汇总
七年级数学下册记忆口诀汇总本文档是对七年级数学下册的主要知识点进行记忆口诀的汇总和总结。
口诀是通过简洁有力的语言表达来帮助记忆和理解数学知识的有效方法。
以下是各个章节的口诀汇总：第一章：直线与角- 角对角，形相等；- 内错外求，180度；- 同位角相等，两组对应；- 副的对应，形状一致。
第二章：相交线与平行线- 直线交叉，四个角；- 内错外求，和为180；- 同旁内错，状同相等；- 平行线上面，对应角相等。
第三章：三角形- 三角形内角和，是180来谱；- 对面相等，对边相等；- 底乘高除以二，是三角形的面积。
第四章：全等与相似- 对应相等，形状全等；- 有角共边，相似的说；- 不等则似，比例在这；- 划分成两边，就可找比例。
第五章：勾股定理- 勾定股定，定股边；- 画个直角，三条边；- 股边平质定，开方用；- 两边定股，三角形试；第六章：平面图形的认识- 正方形全等，特殊矩形；- 长方形不等，不光边长；- 钟表上九，九歌眠；- 特殊平行四边形，竖对角相等。
第七章：平面图形的性质- 矩形特殊，四个顶点；- 正方形全等，角90；- 我是正方形全等，优点特殊；- 圆形半径，定了它；第八章：平面直角坐标系- 首字母顺序，x、y、在前；- x轴正方向，朝右边；- y轴正方向，朝上面；- 坐标点，目标点。
以上是对七年级数学下册主要知识点记忆口诀的汇总。
通过口诀的帮助，相信同学们可以更轻松地记忆和理解数学知识，提高学习效果。
祝学习进步！。
结识相交线中的新朋友同位角、内错角、同旁内角
解： （ １ ） １与 ２是 同旁 内角 ， （ ２ ） １与 ／Ｂ Ａ Ｄ是
两侧 ， 在Ａ Ｄ与 Ｃ Ｅ的内部 ， 是直 线 Ａ Ｄ与 Ｃ Ｅ被直线 Ｄ Ｅ
同旁内角 ， （ ３ ） ／１ 与 ７是同位角 ， （ ４ ） Ｌ２与 Ｌ６是 内
骚 … ～一 一一 一一 一－
～
错角 ， （ ５ ） Ｌ３与 Ｌ４是内错 角 ， （ ６ ） Ｌ５与 Ｌ３既不是 同
；
。＋
。．
．＋
。．
．．
．＋
．．
．．
。．
＋
。．
。＋
。＋
。．
。＋
。＋
。＋
。＋
。．
。＋
．
◇ 数学大世界 ０ ． ．
． ． 。 ． 。 ． ． ． 。 ． 。 ． 。 ＋ 。 ． ．
结识 相交 线 中的新 朋友 同位 角、 内 错 角 、 同 旁 内 角
哥
√
静
…
．
查 ． 垂 垦 墨垒 主煞＿ 中 … 壁 墨
（ ３ ）／３和 ＬＡ Ｂ Ｃ是直线 —所截来自 的— ——、 —
—
被直
角；
被
Ｃ ． ２和 Ｃ是 内错 角
（ ４ ）ＬＡ Ｂ Ｃ和 ＬＡ Ｃ Ｄ 是直线— — 直线 所截得 的— — 角；
Ｄ ． ＬＢ Ａ Ｄ和 曰是同旁 内角 ２ ． 下 列 四个 图形 中 ， １与 ２是 同旁 内 角 的 是
别是什 么关 系． 解析
可 以略去与 问题 没有关 系的线 ， 分别可 以得
到下 列 各 图 ：
难解答 ： ①识别这三种角时 ， 首 先要 找出截线 ， 然后再找 被截直线 ， 并按照它们各 自的特征识 别； ②可借助 “ 象形
相交线知识点总结归纳
相交线知识点总结归纳一、基本概念1. 两条线的相交相交线是指当两条线在平面上交汇时的情况。
如果两条线相交于一个点，则称这两条线相交。
如果两条线永远不会相交，则称这两条线平行。
2. 交点两条线相交的点称为交点。
3. 直线直线是一条无限延伸的线段，在数学中用直线上任意两个点来确定直线。
4. 平行线平行线是指在同一平面上的两条直线，它们的方向完全相同，永远不会相交。
5. 垂直线垂直线是指两条直线在相交点的交角为90°的情况。
二、相交线的交角关系1. 同位角同位角是指两条直线被一条直线所切割时，同位于两条直线的同侧的两个内角或外角。
2. 内错角内错角是指两条直线被一条直线所切割时，相对的两个内角。
3. 互补角互补角是指两个角的和为90°的角。
4. 补角补角是指两个角的和为180°的角。
5. 相对角相对角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的两对内角或外角。
6. 交错角交错角是指两条平行线被一条截线所切割时，相对的交错的内角。
三、平行线与角的关系1. 同位角内错角对应角当两条平行线被一条截线相交时，同位角、内错角和对应角都相等。
2. 同位角性质同位角的性质是指同位角是交错角的对应角，并且同位角的和为180°。
3. 内错角性质内错角的性质是指内错角的和为180°。
4. 对应角的性质对应角的性质是指两条平行线被一条截线所切割时，对应角相等。
5. 交错角性质交错角的性质是指交错角相等。
四、平行线的判定方法1. 定理一如果两条直线被一条第三条直线所切，使得同位角相等，则这两条直线是平行线。
2. 定理二如果两条直线被一条第三条直线所切，使得内错角相等，则这两条直线是平行线。
3. 定理三如果两条直线被一条第三条直线所切，使得对应角相等，则这两条直线是平行线。
4. 定理四如果两条直线被一条第三条直线所切，使得交错角相等，则这两条直线是平行线。
五、应用题1. 平行线的应用平行线的知识在日常生活中有很多应用，比如在建筑工程中，为了保证建筑物的结构稳定，需要使用平行线的原理来设计和施工。
《相交线》课件
利用平行线性质作图
总结词
操作复杂，适用于特定情况
详细描述
利用平行线的性质，通过平移、旋转等方法进行作图。这种方法操作较为复杂，适用于 需要绘制特定形状的相交线。
05
相交线的定理与证明
对顶角相等定理
总结词
对顶角相等定理是相交线的基本定理之 一，它表明在两条相交的直线中，相对 的两个角是相等的。
VS
要点二
详细描述
在两条相交的直线中，除了对顶角外，还会形成一些相邻 的角。这些相邻的角被称为邻补角。根据邻补角互补定理 ，这些邻补角的和总是等于180度。这个定理对于证明其 他相交线定理和解决几何问题也非常重要。
同位角相等定理和内错角相等定理
总结词
同位角相等定理和内错角相等定理是相交线 定理中的重要组成部分，它们分别表明在两 条平行线和被截线相交的情况下，同位角和 内错角是相等的。
详细描述
交通信号灯利用相交线的原理，通过不同颜色的灯光来控制交通流量的方向和速度。红灯表示停止，绿灯表示通 行，黄灯则作为警告信号，提醒行人和车辆注意安全。交通信号灯的设置有效地减少了交通事故的发生，保障了 交通秩序。
剪刀的交线
总结词
剪刀的交线是相交线在机械制造中的实例，通过两片剪刀的 交线形成剪切力，实现材料的剪切。
详细描述
根据两条直线相交形成的角度，可以将相交线分为垂直相交和平行相交两种类型 。此外，根据两条直线的位置关系，还可以将相交线分为一般位置和特殊位置两 种类型。这些分类有助于我们更好地理解和应用相交线的性质和特点。
02
相交线的角度关系
对顶角
对顶角
证明
如果两条直线相交，相对的两个角就 是对顶角。
可以通过全等三角形的性质来证明对 顶角相等。
平行线和相交线的角度关系
平行线和相交线的角度关系平行线和相交线是初中数学中的基础知识点，它们之间的角度关系也是我们学习的重点之一。
在本篇文章中，我们将深入探讨平行线和相交线的角度关系，并从几何角度进行解释。
1. 定义和概念在开始详细解释平行线和相交线的角度关系之前，我们先来回顾一下它们的定义和概念。
1.1 平行线平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
形式化地说，如果两条直线上的任意一点与第三条直线所在的平面的交点数目都是相同的，则这两条直线是平行线。
1.2 相交线相交线是指在同一个平面内相交的两条直线。
相交线上的两个点称为交点。
2. 平行线和相交线的角度关系平行线和相交线之间有多种不同的角度关系，我们依次进行介绍。
2.1 同位角同位角是指两条平行线被相交线所切割形成的对应角。
对于同位角，我们有以下性质：- 同位角互补，即它们的和为180度；- 同位角相等，如果一对同位角中的一个角是直角，则另一个角也是直角；- 同位角对应相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的同位角相等。
2.2 内错角和外错角内错角和外错角是指两条平行线被一条横切线所切割形成的角。
内错角是两条平行线之间的两个相邻角，而外错角则是在两条平行线的同一侧的两个相邻角。
内错角和外错角有以下性质：- 内错角互补，即它们的和为180度；- 外错角互补，即它们的和为180度。
2.3 顶角和底角顶角和底角是指两条平行线被一条横切线所切割形成的角。
顶角是两条平行线之间的对应角，而底角则是两条平行线之间的非对应角。
顶角和底角有以下性质：- 顶角相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的顶角相等；- 底角相等，如果两条平行线被一条横切线所切割，对应于相同交点的底角相等；- 顶角和底角互补，即它们的和为180度。
3. 实际应用平行线和相交线的角度关系不仅仅是抽象的几何概念，它们在现实生活中也有广泛的应用。
3.1 建筑设计在建筑设计中，平行线和相交线的角度关系常常用于设计平面图和立体结构。
人教版七年级数学下册《相交线中求角》专项练习题-附含答案
人教版七年级数学下册《相交线中求角》专项练习题-附含答案【例题讲解】如图 直线AB CD 相交于点O OE 平分∠BOD OF 平分∠COE ．（1）若∠AOC ＝76° 求∠BOF 的度数；（2）若∠BOF ＝36° 求∠AOC 的度数；（3）请探究∠AOC 与∠BOF 的数量关系．）BOD ∠=又OE 平分180142DOE =︒-∠︒ OF 平分33EOF =∠-∠︒．）OE 平分∠COE ∠ BOE ∴∠BOE x ∠= 则2COA x ∠= EOF ∠180AOC COF +∠︒=︒ 解得：）由（1）知(180DOE ︒-∠【综合解答】1．如图 直线AB 、CD 相交于点O OE 把BOD ∠分成两部分(1)直接写出图中AOC ∠的对顶角为________ BOE ∠的邻补角为________；(2)若AOC 70∠=︒ 且BOE EOD ∠∠：=2：3 求AOE ∠的度数.2．如图 直线AB 、CD 、EF 相交于点O OG 平分∠COF ∠1=30° ∠2=45°．求∠3的度数．【答案】∠3=52.5°【详解】试题分析：先求出∠EOD的度数从而得出∠COF=105° 再根据OG平分∠COF 可得∠3的度数．试题解析：∠∠1=30° ∠2=45°∠∠EOD=180°﹣∠1﹣∠2=105°∠∠COF=∠EOD=105°又∠OG平分∠COF∠∠3=∠COF=52.5°．考点：对顶角、邻补角．3．如图直线AB、CD相交于点O∠DOE＝∠BOD OF平分∠AOE．(1)判断OF与OD的位置关系并说明理由；(2)若∠AOC：∠AOD＝1：5 求∠EOF的度数．4．如图 直线AB CD 相交于点O EO AB ⊥ 垂足为O ．（1）若35EOC ∠=︒ 求AOD ∠的度数；（2）若2BOC AOC ∠=∠ 求DOE ∠的度数．【答案】（1）125°；（2）150°【分析】(1)把COB ∠的度数计算出来 再根据对顶角的性质即可得到答案；(2)根据2BOC AOC ∠=∠ 设AOC x ∠= 2BOC x ∠=得到60BOD AOC ∠=∠=︒ 最后根据EO AB ⊥即可得到答案；【详解】解：（1）EO AB ⊥90EOB ∴∠=︒909035125COB EOC ∴∠=︒+∠=︒+︒=︒125AOD COB ∴∠=∠=︒；（2）2BOC AOC ∠=∠∴设AOC x ∠= 2BOC x ∠=又180BOC AOC ∠+∠=︒2180x x ∴+=︒60x ∴=︒60BOD AOC ∴∠=∠=︒又EO AB ⊥90EOB ∴∠=︒6090150DOE BOD EOB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质（对顶角相等）和邻补角的性质熟练掌握邻补角的性质和对顶角的性质是解题的关键．5．如图直线AB CD相交于O点OM平分∠AOB（1）若∠1＝∠2 求∠NOD的度数；（2）若∠BOC＝4∠1 求∠AOC与∠MOD的度数．【答案】（1）90°；（2）∠AOC＝60°；∠MOD＝150°.【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠1+∠AOC＝90° 再利用等量代换可得∠2+∠AOC＝90° 利用邻补角互补可得答案；（2）根据条件可得90°+∠1＝4∠1 进而可得求出∠1＝30° 从而可得∠AOC的度数再利用邻补角互补可得∠MOD的度数．【详解】（1）∠OM平分∠AOB∠∠1+∠AOC＝90°．∠∠1＝∠2 ∠∠2+∠AOC＝90° ∠∠NOD＝180°﹣90°＝90°；（2）∠∠BOC＝4∠1 ∠90°+∠1＝4∠1 ∠∠1＝30° ∠∠AOC＝90°﹣30°＝60° ∠MOD＝180°﹣30°＝150°．【点睛】本题考查了角平分线和邻补角关键是掌握邻补角互补．6．如图直线AB CD EF相交于点O.(1)写出∠COE的邻补角；(2)分别写出∠COE和∠BOE的对顶角；(3)如果∠BOD＝60° ∠BOF＝90° 求∠AOF和∠FOC的度数．【答案】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠FOC=150°．【分析】（1）根据邻补角的定义（两个角有一条公共边它们的另一条边互为反向延长线具有这种关系的两个角）可得∠COE的邻补角有∠COF和∠EOD两个角；（2）根据对顶角的定义（一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线且这两个角有公共顶点）可得∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）由∠BOF=90°可得：AB∠EF 所以∠AOF=90° 由∠AOC=∠BOD可得：∠AOC =60° 由∠FOC=∠AOF+∠AOC即可求出∠FOC的度数；【详解】（1）∠COE的邻补角为∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的对顶角分别为∠DOF和∠AOF；（3）∠∠BOF=90°∠AB∠EF∠∠AOF=90°又∠∠AOC=∠BOD=60°∠∠FOC=∠AOF+∠AOC=90°+60°=150°．7．如图直线AB、CD相交于点O OE平分∠BOD OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76° 求∠BOF的度数；(2)若∠BOF=36° 求∠AOC的度数；8．如图 直线AB 、CD 相交于点O OE 平分BOC ∠ 90COF ∠=．(1)若∠AOF =50° 求∠BOE 的度数；(2)若∠BOD :∠BOE =1:4 求∠AOF 的度数．【答案】（1）70BOE ∠=；（2）70AOF ∠=．【分析】（1）根据补角 余角的关系 可得∠COB 根据角平分线的定义 可得答案；（2）根据邻补角 可得关于x 的方程 根据解方程 可得∠AOC 再根据余角的定义 可得答案．【详解】(1)∠∠COF 与∠DOF 是邻补角∠∠COF =180°−∠DOF =90°．∠∠AOC 与∠AOF 互为余角∠∠AOC =90°−∠AOF =90°−50°=40°．∠∠AOC 与∠BOC 是邻补角∠∠COB =180°−∠AOC =180°−40°=140°．∠OE 平分∠BOC(2)∠BOD:∠BOE=1:4设∠BOD=∠AOC=x∠BOE=∠COE=4x．∠∠AOC与∠BOC是邻补角∠∠AOC+∠BOC=180°即x+4x+4x=180°解得x=20°．∠∠AOC与∠AOF互为余角∠∠AOF=90°−∠AOC=90°−20°=70°．【点睛】此题考查角平分线的定义对顶角、邻补角解题关键在于掌握其性质定义．9．如图∠1=∠2 ∠1+∠2=162° 求∠3与∠4的度数．【答案】∠3=54°∠4=72°【详解】试题分析：本题首先根据方程思想求出. ∠1、∠2的度数再根据对顶角、邻补角的关系求出∠3与∠4的度数．试题解析：由已知∠1=∠2 ∠1+∠2=162°解得：∠1=54° ∠2=108°．∠∠1与∠3是对顶角∠∠3=∠1=54°．∠∠2与∠4是邻补角∠∠4=180°﹣∠2=72°．考点：1二元一次方程组;2对顶角;3邻补角.10．如图直线AB CD相交于点O EO∠AB垂足为O．(1)若∠COE ＝35° 则∠AOD 的度数为_________°（直接写出结果）；(2)若∠AOD ＋∠COE ＝170° 求∠COE 的度数． 【答案】(1)125(2)40°【分析】（1）先根据两角互余求出∠AOC 的度数 再利用邻补角即可求出∠AOD 的度数；（2）设AOC x ∠= 则AOC BOD x ∠=∠= 再利用周角列出方程 解出x 的值之后再利用互余即可求出∠COE 的度数．（1）解：∠∠COE ＝35° EO ∠AB∠90AOE COE AOC ∠=∠+∠=︒∠903555AOC ∠=︒-︒=︒．又∠∠AOD 是∠AOC 的邻补角∠180125AOD AOC ∠=︒-∠=︒．（2）解：设AOC x ∠= 则AOC BOD x ∠=∠=∠360AOD COE AOC BOD BOE ∠∠+∠+∠+∠=︒＋即170902360x ︒+︒+=︒解得50x =︒．∠905040COE ∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了两角互余的关系和邻补角以及周角 解题的关键是熟练掌握互余、互补的概念和对顶角相等以及周角为360︒ 互余是指两角之和为90° 互补是指两角之和为180° 并且熟知两个角有一条公共边 它们的另一边互为反向延长线 具有这种关系的两个角 叫做邻补角． 11．如图 直线AB CD 相交于点O OE 把BOD ∠分成两部分．（1）直接写出图中AOD ∠的对顶角为______ DOE ∠的邻补角为______．（2）若=90AOC ∠︒ 且:2:3BOE EOD ∠∠=．求EOC ∠的度数．【答案】（1）BOC ∠ EOC ∠；（2）126゜【分析】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD 的度数 再根据∠BOE ：∠EOD =2：3求出∠BOE 和∠EOD 的度数 即可求出∠EOC 的度数．【详解】解：（1）AOD ∠的对顶角为BOC ∠ DOE ∠的邻补角为EOC ∠．（2）∠∠BOE ：∠EOD =2：3 设2BOE x ∠= 3EOD x ∠=则590BOD AOC x ∠=∠==解得：18x =．∠354DOE x ∠==．∠180126EOC DOE ∠=-∠=．【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的定义 解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.12．如图 直线AB 和CD 相交于点O OE 把∠AOC 分成两部分且∠AOE ：∠EOC ＝3：5 OF 平分∠BOE ．（1）若∠BOD ＝80° 求∠BOE ；（2）若∠BOF ＝∠AOC +14° 求∠EOF ．【答案】（1）150°；（2）78°13．如图 直线AB CD 相交于点O OE AB ⊥ 垂足为O ．（1）直接写出图中AOC ∠的对顶角为 BOD ∠的邻补角为 ；（2）若:1:2BOD COE ∠∠= 求AOD ∠的度数．【答案】（1）BOD ∠；BOC ∠ AOD ∠；（2）150°【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义寻找对顶角和邻补角即可；（2）设∠BOD=x 则∠COE=2x 再根据∠BOD 与∠COE 互余可求得x 的值 从而得出∠AOC 的大小 进而得出∠AOD 的大小．【详解】（1）∠AOC 的对顶角为：∠BOD∠BOD 的邻补角为：∠BOC ∠AOD（2）∠:1:2BOD COE ∠∠=设∠BOD=x 则∠COE=2x∠OE∠AB∠∠EOB=90°∠∠COE+∠BOD=90° 即x+2x=90°解得：x=30°∠∠BOD=∠COA=30°∠∠AOD=150°【点睛】本题考查角度的简单推导 解题关键是利用对顶角相等和补角为180°转化求解．14．如图 直线MD 、CN 相交于点O OA 是∠MOC 内的一条射线 OB 是∠NOD 内的一条射线 ∠MON ＝70°．(1)若∠BOD ＝12∠COD 求∠BON 的度数；(2)若∠AOD ＝2∠BOD ∠BOC ＝3∠AOC 求∠BON 的度数． 【答案】(1)75°(2)54°【分析】（1）先由对顶角相等求出∠COD ＝70° 再由已知条件求出∠BOD 的度数 根据邻补角的定义与角的和差进行求解即可；（2）设∠AOC ＝x ° 则∠BOC ＝3x ° 利用角的和差即可解得x 进而求解．（1）∠∠MON ＝70°∠∠COD ＝∠MON ＝70°15．如图直线AB、CD相交于点O OE∠AB 且∠DOE=5∠COE 求∠AOD的度数．【答案】120°【分析】由OE∠AB可得∠EOB=90° 设∠COE=x 则∠DOE=5x 而∠COE+∠EOD=180° 即x+5x=180° 得到x=30° 则∠BOC=30°+90°=120° 利用对顶角相等即可得到∠AOD的度数．【详解】解：∠OE∠AB∠∠EOB=90°设∠COE=x 则∠DOE=5x∠∠COE+∠EOD=180°∠x+5x=180°∠x=30°∠∠BOC=∠COE+∠BOE=30°+90°=120°∠∠AOD=∠BOC=120°．。
相交线中的角学案吴
相交线中的角学案年级：七年级学科：数学执笔：吴达辉审核：张秀梅内容：相交线中的角课型：新课时间：2011年月日【学习内容】相交线中的角【学习目标】1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念及特征；。
2、能从复杂图形中识别这三种角,并弄清它们是由哪两条直线被哪条直线所截而成。
【学习重点】同位角、内错角、同旁内角的识别。
【学习难点】在各种图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
【学习过程】一、无师自通：（一）、利用自学时间预习课本P138-139，将重点内容及未弄懂的知识在课本上做上记号；（二）、试一试：完成课后P139练习1、2二、探究活动（一）、小组合作将“无师自通”中大家的解答进行小组合作交流，各组进行归纳发言，同学们整理记录：（二）、师生合作·掌握重难点如图1，现在我们来研究一下，两条直线与同一条直线相交（也就是两条直线被第三条直线所截）所成的八个角中两个不同顶点的两个角之间的位置关系。
图11．让学生观察与都在直线l的同旁，并且在直线a的上方，在直线b 的上方，它们这组角的位置相同（即在截线的同旁，被截两直线的同方向），我们把这种位置相同的角称为“同位角”．提问：除了与是同位角外，还有没有其他的同位角？分别指出，的同位角是______，的同位角是_______，的同位角是________．反过来，再找出的同位角．归纳得出结论：两条直线被第三条直线所截，所构成的八个角中，从对应位置考虑，可分为四对同位角．2．再观察图1，发现八个角中夹在直线a与直线b之间的有四个角，分别是，其中与交错着，也就是在截线的两旁，我们把这样的角称为“内错角”（注意：在两条直线之间，并且在截线的两旁）．提问：除了与是内错角外，还有没有其他的内错角？如果有，请指出来．3．再次观察图中的与，它们在直线a、b之间，同时也在直线l的同旁，我们把这样的角称为“同旁内角”，同样，与也是同旁内角．【巩固练习】1、如图所示，∠1与∠2是______角，∠1与∠3是______角，∠2与∠3是______角。
初中几何所有知识点汇总(通用版)
相交线与平行线一、相交线1．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
2．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
3．垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4．垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
5．同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
二、平行线1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。
记做a∥b2.两条直线的位置关系：平行和相交。
3.平行线公理及其推论：（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.4.平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.5.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
6.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
7．证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
全等三角形判定和性质问题1．全等三角形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
相交线之间的角和关系
相交线之间的角和关系角是几何形状中常见的概念之一，它是由两个射线共享一个端点形成的，可以用来描述物体之间的相对位置和方向。
当两条线相交时，会形成多个角，它们之间存在一些特殊的关系。
本文将探讨相交线之间的角和关系。
一、对顶角和补角当两条线直接相交时，形成的相邻角被称为对顶角。
对顶角的特点是它们的度数相等。
例如，当两条线直接相交时，形成的四个角ABD、ABC、CBD和CBA都是对顶角，它们的度数相等。
补角是指两个角度加起来为180度的角。
在相交线中，如果一对对顶角的度数加起来等于180度，则称这两个对顶角是互补角。
例如，当角ABD和角CBD是一对对顶角时，它们的度数之和为180度，则它们是互补角。
二、同位角和内错角同位角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的角。
同位角的特点是它们的度数相等。
例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角AED和角BEF是同位角，它们的度数相等。
内错角是指两条平行线被一条横穿线相交形成的与同位角相对的角。
内错角的特点是它们的度数之和等于180度。
例如，当直线AB和直线CD是平行线，直线EF横穿这两条平行线时，形成的角DEC和角BEF 是内错角，它们的度数之和等于180度。
三、余角和邻补角余角是指一个角度与90度之差的角。
对于一个角度x，它的余角是90度减去x的度数。
例如，一个角的度数是60度，它的余角是90度减去60度，即30度。
邻补角是指两个角度加起来为90度的角。
在相交线中，如果一对相邻角的度数加起来等于90度，则称这两个相邻角是邻补角。
例如，当角ABD是一个角度x，邻补角是一个角度y，且x + y = 90度，则角ABD和角CBD是邻补角。
四、垂直角和全等角垂直角是指两条相交线的交角，并且交角的度数为90度。
当两条线相交且形成90度角时，称这两条线是垂直的。
垂直角的特点是它们的度数相等。
全等角是指两个角度的度数完全相等。
当两个角度的度数完全相等时，称这两个角度是全等角。
《同位角、内错角、同旁内角》相交线与平行线PPT精品课件
观察∠3和∠6：
87 5
6 43 12
探究新知 观察∠3和∠6：
各有一边在同一直线上.
87 5
6
6
3
43
12
探究新知 观察∠3和∠6：
反向.
87 5
6
6
3
43
12
探究新知 观察∠3和∠6：
另一边在截线的同旁, 方向相同.
87 5
6
6
3
43
12
探究新知
观察∠3和∠6：
一边都在截线上而且反向，
6
另一边在截线同旁的两个角.
3
同旁内角
在截线同旁,夹在两 被截直线内.
探究新知
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
1
1
2
2
12
12
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
探究新知
考 点 1 同旁内角的识别
下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的有（ A ）
1
1
1
21
2
2
2
A
B
C
D
巩固练习
如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与
解：∠A与∠8是直线AB，DE被直线AC 所截形成的内错角.
∠A与∠5是直线AB，DE被直线AC所截
形成的同旁内角.
∠A与∠6是直线AB，DE被直线AC所截
形成的同位角.
D 21
3 B
4
A
58 67 E C
课堂检测
拓广探索题
如图所示，指出图中各对角的位置关系：
(1)∠C和∠D是 同旁内 角；
(2)∠B和∠GEF是 同位
（1）∠1和∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位
相交线与平行线知识点总结及例题解析
相交线与平行线知识点总结、例题解析知识点1【相交线】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交1、相交线相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类，它们具有特殊的数量关系和位置关系。
1、邻补角（1）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，∠1与∠2有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则∠1与∠2互为邻补角（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°。
例如：若∠1与∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180°注意：①互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；②相交的两条直线会产生4对邻补角。
2、对顶角（1）对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，∠3与∠4有一个公共顶点O，并且∠3的两边OB、OC分别是∠4的两边OA、OD的反向延长线，则∠1与∠2互为对顶角．（2）对顶角的性质：对顶角相等．注意：两条相交的直线，会产生2对对顶角。
3、邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角对顶角只有一个，但邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．注意：如果多条直线相交于同一点，那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。
【例题1】如图所示,∠1的邻补角是( )A、∠BOCB、∠BOE和∠AOFC、∠AOFD、∠BOC和∠AOF【解析】】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断，∠1是直线AB、EF相交于点O形成的角,所以它的邻补角与直线CD无关,即它的邻补角是∠BOE和∠AOF，故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中,∠1与∠2是邻补角的是( )【答案】D【例题3】如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列说法中:①因为∠1与∠2是对顶角,所以∠1=∠2;②因为∠1与∠2是邻补角,所以∠1=∠2;③因为∠1与∠2不是对顶角,所以∠1≠∠2;④因为∠1与∠2不是邻补角,所以∠1+∠2≠180，其中正确的有________ (填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】①【例题5】如图1，直线AB、CD、EF都经过点O，图中有几对对顶角？几对邻补角？【解析】考察对顶角的概念。
《相交线与平行线同位角、内错角、同旁内角》
04
05
如果两条相交直线互相垂直， 则它们所成的四个角都是直
角。
平行线定义及性质
01
定义：在同一平面内， 两条永不相交的直线叫 做平行线。
02
性质：平行线具有以下 性质
03
平行线之间的距离是恒 定的，即两平行线间的 任意两点间的距离都相 等。
04
平行线被第三条直线所 截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
《相交线与平行线同位角、 内错角、同旁内角》
contents
目录
• 引言 • 相交线与平行线基本概念 • 同位角、内错角、同旁内角概念解析 • 图形中的特殊角度关系探讨 • 典型例题解析与思路拓展 • 练习题与答案解析
01 引言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目的和背景
探究相交线和平行线 的性质
掌握相关定理和性质， 为解决几何问题提供 工具
练习题
两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分 线____。
练习题
已知直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=70°，则∠2=____°。
THANKS
感谢观看
研究同旁内角的关系。当两条平行线被 一条横线所截时，同旁内角的和等于 180°，这也是一个重要的定理。
通过以上的学习和拓展，我们可以进一 步探索平行线和相交线的其他性质和应 用，例如平行线的判定、相交线的角平 分线等。同时，也可以将这些知识应用 到实际生活中，例如在建筑设计、工程 测量等领域中利用平行线和相交线的性 质进行绘图和计算。
04
内错角
两条直线被第三条直线所截，位于这 两条直线之间且分别在第三条直线的 两侧的两个内角称为内错角。
02 相交线与平行线 基本概念
相交线中的角
一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q（直线l 分别截直 线a、b于点P、Q 或都说两条直线a、b被直线l 所截） l b a 截线
• P
• Q
两条直线被第三条直线所截， 形成“三线八角”的图形.
如图，能得到八个角.
那么这些角中存在哪些关系呢？
如图中∠1与∠5的位置有什么关系呢？ 左侧 上 方 l 1 2 4 3 5 6 8 7 ∠1与∠5都处于直线l 的左侧 ∠1与∠5都处于直线a、b的上方 这样位置的一对角就是同位角 截线
b
上 方 a
像这样位于截线l 的同侧，两条直线a、b的同方的同位角 还有 ∠2与∠6 、 ∠3与∠7 、 ∠4与∠8 。
如图中∠3与∠5的位置有什么关系呢？
l 左 右 1 b 4 ∠3与∠5都处于直线l 的两侧 3 5 6 8 7 截线 ∠3与∠5都处于直线a、b的内部 这样位置的一对角就是内错角
1、能够根据所给图形判断哪些角是同位角、内错角、同旁内角； 2、培养学生的识图能力；
从不同的图形中找出位置关系的角 从不同的图形中找出位置关系的角
如图，直线a、b相交于点O，在这个图形中，有几 个角？指出相等的角与互补的角？
1
a
4O
•
2
3
b
∠1＝ ∠3， ∠2＝ ∠4；（对顶角相等） ∠1与 ∠2互补， ∠1与 ∠4互补， ∠2与 ∠3互补，∠3与 ∠4互补。
1．如图，直线a截直线b、c 所得的同位角有 4 对，他们
是 ∠1与∠3 、∠2与∠4、∠5与∠， 7、 ∠6与∠8 ， 。
内错角有 2对，他们是 ∠2与∠7 、∠3与∠6 同旁内角有 对，他们是
2
∠2与∠3 、∠6与∠7
2．如图，与∠1是同位角的角是 ∠4，与∠1是内错角的角
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3 相交线中的角【知识精华点击】课标要求1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义。
2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角.本节重点是同位角、内错角、同旁内角的识别.难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.教材详解1.三线八角两条直线被第三条直线所截，构成了八个角，一般称为“三线八角”。
如图2.3-1，两条直线被第三条直线所截，除构成了四对对顶角和八对邻补角外，还构成了∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8这四对同位角，∠2与∠8、∠3与∠5这两对内错角，∠2与∠5、∠3与∠8这两对同旁内角。
2. 同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角，指的是两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，没有公共顶点的两个角之间的特殊位置关系，如图2.3-1，∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的同一方，在直线EF 的同侧。
具有这种位置关系的一对角叫做同位角。
∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的两侧。
具有这种位置关系的一对角叫做内错角。
∠3和∠6，分别在直线AB 、CD 之间，在直线EF 的同一旁。
具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。
图2.3-13. 同位角、内错角、同旁内角的辨别同位角、内错角与同旁内角都反映角与角之间的位置关系，它们总是成对出现，且任意一对角必须同时满足两个条件：（1）都是两条直线被第三条直线所截而成；（2）无公共顶点。
因此，不管被截的两条直线是否平行，都存在同位角、内错角和同旁内角。
“一边共线”是这三类角的基本特征。
识别这三类角的关键是：首先要搞清组成某一对角的三条直线中哪些是“两条直线”（被截线），哪条是“第三条直线”（截线）。
弄清截线与被截线。
最简单的方法是：两个角公共边所在的直线是截线，共余两边所在直线是被截线。
如图2.3-1，直线EF 与直线AB 、CD 相交，则直线EF 为截线。
可见，若在两个角的顶点附近观察，与两条直线都相交的直线，就是这两条直线的截线，它是相对于其他两条直线而言的。
(1) 同位角的基本特征：“同旁同侧”即在两条直线（被截段）的同旁，第三条直线（截线）的同侧，如图2.3-1中的∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。
这几对角的边所在的直线构成任意旋转的“F ”字形。
(2)内错角的基本特征：“内部两旁”即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的两侧，如图2.3-1中的∠3与∠5、∠4与∠6。
两角的边所在直线构成任意旋转的“Z ”字形。
(3)同旁内角的基本特征：“内部同旁”即在两条直线（被截线）的内部，第三条直线（截线）的同侧，如图2.3-1中的∠3与∠6，∠4与∠5。
两角的边所在直线构成任意旋转的“”形即“U ”字形。
4.识别在变式图形或复杂图形中的同位角、内错角、同旁内角首先，要抓住“两条直线被第三条直线所截”这一本质特征两个角共涉及三条直线（或射线、或线段），它们的一边分别在两条直线上，而另一边在同一条直线上，认准这两个角的“一边共线”这一关键性的条件。
如图2.3-2（1）、图2.3-2（2）中的∠1与∠2是同位角吗？图2.3-2（1）中，∠1与∠2涉及EF 、MG 、ND 三条直线，且它们的一边都在直线EF 上，故∠1与∠2是同位角；图2.3-2（2）中，∠1涉及MG 、MB ，∠2涉及NH 、ND 共四条直线，因此∠1与∠2不是同位角。
图2.3-2 图2.3-3第二要会排除背景干扰(1)把相关的一对角的边用彩色笔或粗线条描出来，如图2.3-3中把∠1与∠2这两个角分别用粗线条描出来后，就能清晰地判断它们是不是同位角了。
(2)把有一边“共线”的两个角从复杂图形中分离出来。
比如要找出图2.3-3中用数字所标注的同位角、内错角、同旁内角时，当我们把一边共线的两个角从图2.3-3中分离出来成为如图2.3-4的情形后，就不难断定∠1与∠5、∠3与∠6是内错角，∠4与∠5是同位角，∠2与∠5、∠5与∠6、∠2与∠6是同旁内角了。
图2.3-4【名师优质讲堂】例题精析例1已知：如图2.3-5，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END图2.3-5分析因为直线AB、CD被直线EF所截，从图2.3-5中可以看出，只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且∠EMB在直线AB的上方，而∠END也在直线CD的上方，所以∠END是∠EMB的同位角．解选D．说明同位角的判断要把握几个要点：①分析截线与被截直线；②作为同位角要把握两个相同，在截线同侧，在被截直线同方．【变式】下图中，∠1和∠2是同位角的是（）A．B．C．D．解A中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；B中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；C中∠1、∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；D中∠1、∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角．故选D．例2 如图2.3-6，∠1与∠2是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．以上都不是图2.3-6 图2.3-7 图2.3-8分析因为∠1与∠2在截线的两侧，在两条被截线之间，所以它们是一对内错角。
解选B.【变式】如图2.3-7，∠ADE和∠CED是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．互为补角解∠ADE和∠CED是DE截AB,AC所成的角，而且它们分居DE的两旁，在AB,AC之间，所以∠ADE和∠CED是内错角。
故选B．例3 如图2.3-8，直线AB、CD、EF两两相交，则图中为同旁内角的角共有（）对．A．3 B．4 C．5 D．6分析根据同旁内角的定义，直线AB、CD被直线EF所截可以得到两对同旁内角，同理：直线AB、EF被直线CD所截，可以得到两对，直线CD、EF被直线AB所截，可以得到两对．因此共6对同旁内角．解选D．说明三条直线两两相交时，可以看成其中两条直线被第三条直线所截，每条直线做一次截线就有三种情况。
【变式】下图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（）A．B．C．D．解根据同旁内角的定义可知，A、C、D正确，B不符合定义要求，故选B．为什么错1.没有抓住“三线”出错例5 如图2.3-9，CM、ON被AO所截，那么（）A．∠1和∠3是同位角B．∠2和∠4是同位角C．∠ACD和∠AOB是内错角D．∠1和∠4是同旁内角错解选A或D。
分析同位角、内错角与同旁内角都是三线八角中的角，都是两条直线被第三条直线所截而成，所以如果两个角是同位角、内错角或同旁内角，那么这两个角一定有“一边共线”（即是截线），从而它们的边只能在三条直线上，错解没有抓住“三线”，两角的边都在4条直线上，所以错误。
正解观察图形可知，∠2和∠4是直线CM，ON被AO所截而成的同位角．故选B．2.分类错误例6 如图2.3-10，与∠1互为同旁内角的角共有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4错解选A或B。
分析根据AB和AC被BC所截得出∠2，根据BC和AC被AB所截得出∠CAB，根据DE和BC被AB所截得出∠EAB。
但错解只看到第三类或后两类，而没有看出第一类，导致答案错误。
正解与∠1互为同旁内角的是：∠CAB、∠2、∠EAB、共3个，故选C．探究平台例7 如图2.3-10，∠1和∠2是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？∠1和∠3是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们是什么角？图2.3-9C D图2.3-10图2.3-10分析 本题的关键是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解 ∠1和∠2是直线EF 、DC 被直线AB 所截形成的同位角，∠1和∠3是直线AB 、CD 被直线EF 所截形成的同位角．说明 同位角，即位置相同，两个角都在第三条直线的同旁，同在被截两条直线的上方或下方．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．【变式】如图2.3-11，找出图中∠DEA ，∠ADE 的同位角、内错角和同旁内角．解 图中∠DEA 的同位角为∠C 、内错角为∠BDE 、同旁内角为∠A 或∠ADE ；∠ADE 的同位角为∠B 、内错角为∠CED 、同旁内角为∠AED 或∠A ．【智能分级演练】知识达标1. 图2.3-12的四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）图2.3-12A.(1)、(2)B.(3)、(4)C.(1)、(2)、(3)D.(2)、(3)、(4)2. 如图2.3-13，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是( )A ．同位角B ．内错角C ．对顶角D ．同旁内角图2.3-13 图2.3-14 图2.3-153. 如图2.3-14，直线DE 截AB ，AC ，其中内错角有（ ）对．A ．1B ．2C ．3D ．44. 如图2.3-15，CM 、ON 被AO 所截，那么（ ）A ．∠1和∠3是同位角B ．∠2和∠4是同位角C ．∠ACD 和∠AOB 是内错角 D ．∠1和∠4是同旁内角5.如图2.3-16，与∠α构成同旁内角的角有（ ）A ．1个B ．2个C ．5个D ．4个图2.3-11图2.3-16 图2.3-176.如图2.3-17所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对7. 下图中，∠1和∠2不是同旁内角的是（）A．B．C．D．8. 下列图中∠1和∠2不是同位角的是（）A．B．C．D．9. 在图2.3-18中，∠1与∠2是同位角的有（）图2.3-18A．①②B．①③C．②③D．②④10. 如图2.3-19，若直线MN与△ABC的边AB、AC分别交于E、F，则图中的内错角有（）A．2对B．4对C．6对D．8对图2.3-19 图2.3-20 图2.3-2111. 如图2.3-20所示，同位角共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对12. 图2.3-21中所标出的角中，共有同位角（）A．2对B．3对C．4对D．5对能力挑战13. 如图2.3-22所示，L是L1与L2的截线．找出∠1的同位角，标上∠2，找出∠1的同旁内角，标上∠3．下列何者为∠1、∠2、∠3正确的位置图（）A. B. C. D.14. 图2.3-23中，与∠1成同位角的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个15. 如图所示，按各组角的位置判断错误的是（）A．∠2和∠A是同旁内角B．∠1和∠4是内错角C．∠2和∠B是同旁内角D．∠3和∠B是同位角图2.3-2 图2.3-23 图2.3-2416.如图2.3-25，下列判断错误的是（）A．∠1和∠5是同位角B．∠2和∠6是同位角C．∠4和∠5是内错角D．∠3和∠2是对顶角图2.3-25 图2.3-26 图2.3-2717. 如图2.3-26，有下列四种说法：①∠1和∠3是同位角；②∠4和∠1是同位角；③∠2和∠5是内错角；④∠2和∠3是同旁内角．其中正确的个数是（）20. 如图2.3-29，将一块三角板镶嵌在两根木棒之间（木棒可看成是线段），则图中共有对同旁内角．图2.3-28 图2.3-29 图2.3-3021.如图2.3-30，标有角号的7个角中共有对内错角，对同位角，对答案与提示1.A 提示：(3)中的两个角的四条边在四条线上，(4) 中的两个角在两条被截线的外侧，都不是同位角。