高考中的几何证明选讲

高考中的几何证明选讲

几何证明选讲是新课标新增内容，在我省高考中是选考内容，常以填空题的形式出现，难度不大，在备考中应从考纲入手，掌握考试要求，在平时训练中，熟练掌握多种题型，以不变应万变。

几何证明选讲常考内容有：平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.考题多数是以求角度，线段长度，面积，比值等。 类型一．求比值

例1.（2007湛江一模理）如图1，在△ABC 中，D 是AC 的中点，

E 是BD 的中点，AE 交BC 于

F ，则=FC

BF

.

【解析】作DH//BC 交AF 于H ，则由D 为AC 中点知

1

2

DH FC =, 又DH//BF, E 为BD 中点，易知BF=DH, 所以,BF DH =所以：1

2

BF FC = 【命题意图】本题考查平行线分线段成比例定理。

例2．(2010天津理科)如图2，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长A B 和DC 相交于点P 。若

1

2

PB PA =，13PC PD =，则

BC

AD

的值为 。 【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，

∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以 PB PD =

PC PA =BC

AD

，设PB=x ，PC=y ，则有32x y y x =，即62y x =， 所以

BC AD =3x y

=66。 【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

类型二. 求长度 例3. (2010湖南理科)如图3，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O

的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________.

【解析】根据切线长定理2

2

16

,82

PT PT PA PB PB PA ==

== 所以826AB PB PA =-=-= 【命题意图】本题考察切线长定理。

例4．（2010广东理科）如图4，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23

a

，∠OAP=30°，则CP ＝______.

【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥.

在Rt OPA ∆中，3cos30BP AP a a ===. A B

C

D E F H 图1

图2

.O

B

T

A

图3

O

A P

D C 图4

由相交线定理知，BP AP CP DP ⋅=⋅，即

332223a a CP a ⋅=⋅，所以98

CP a =． 【命题意图】考查垂径定理，相交弦定理。

类型三.求角度

例5(2008惠州一模理)如图5：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是

切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320， 则∠A 的度数是 ____

【解析】由EB ，EC 为⊙O 的切线，则EB=EC ，

所以∠ECB=∠EBC=90o 1

672

o E -

∠=又∠DCF ＝320，

所以∠BCD ＝180089o ECB DCF -∠-∠=， 由∠A 180o

BCD +∠=,所以∠A=99o

【命题意图】考查圆的内接四边形的性质。 例6. 如图6,AB 为

O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=__________

【解析】连结AD ,则sin AD

APD AP

∠=

,又CDP BAP ∆∆, 从而1

cos 3

PD CD APD PA BA ∠===,所以2122sin 1()33APD ∠=-=

. 【命题意图】考查圆内相交弦，相似似三角形的性质。

类型四. 求面积

例7（09广东理）如图7，点是圆

上的点， 且AB=4,∠ACB=45o ， 则圆的面积等于 ．

【解析】连结、，则

，∵，，

∴

，则

；

【命题意图】考查圆周角的性质。

例8. (08广州一模文)在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上， 且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为62

cm ， 则ABC ∆的面积为 2

cm ． 【解析】

11

23AE AE EB AB =⇒=，AFE CFD ∆∆ 13AF AE AE CF CD AB ⇒===, 所以14

AF AC = 设 AEF ∆的高为h 1, ABC ∆的高为h 2, 则1214

h h =

所以

12116

7234AEF ABC ABC ABC

S AE h S S AB h S ∆∆∆∆===⇒= 【命题意图】考查相似三角形的性质。

平面几何选讲在高考中是比较容易的题目，在备考中，要熟练掌握考纲要求的几个定理，并能灵活应 用。

图5 图6

O

C A

B

图7

A

E

B C

D

F

图8