高考中的几何证明选讲
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线
第2讲 圆周角定理与圆的切线【高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。
高考数学专题几何证明选讲
编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。
选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：452.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°平行线分线段成比例定理的应用，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD ＝________.解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：2∶52.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. 答案：1 [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案]6[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：4 2射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC＝________.解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用． 3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CFCA ，CF＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.答案：55° [类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD ，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，11 所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.。
高中数学几何证明选讲详解
【命题立意】本题考查几何证明选做题的解法，属送分题
【思路点拨】条件
【规范解答】因为以AC为直径的圆与AB交于点D,所以
A. B. C. D.
【解析】设半径为 ,则 ,由 得 ,从而 ,故 ,选A.
7.在 中, 分别为 上的点,且 , 的面积是 ,梯形 的面积为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
【解析】 ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B.
8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.
5． （2010·天津高考理科·Ｔ１4）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若 ,则 的值为
【命题立意】考查三角形的相似性质的应用。
【思路点拨】利用相似三角形的性质进行转化。
【规范解答】由题意可知 ∽ 相似，
所以 ,由 及已知条件
可得 ,又 , 。
【答案】
6．（2010·广东高考文科·Ｔ14）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD= ，点E，F分别为线段AB，CD的中点，则EF=.
【答案】
7.（2010·广东高考理科·Ｔ14）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD= ，∠OAP=30°，则CP＝______.
【命题立意】本题考察垂径定理及相交弦定理.
【思路点拨】由垂径定理得 ，算出 ，再由相交弦定理求出
【规范解答】因为 为 的中点，由垂径定理得 ，在 中， ，由相交弦定理得： ，即 ，
第23讲几何证明选讲
第23讲几何证明选讲一．高考真题体验（2015年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E 。
（Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若，求∠ACB 的大小。
(2014年)（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且M B M C =， 证明：ABC ∆为等边三角形.（2013年）（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D 。
（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC =，延长CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径。
（2012年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：(Ⅰ)CD=BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBDG（2011年）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。
已知的长为m ，的长为n ，AD,的长是关于的方程的两个根。
（Ⅰ）证明：，，，四点共圆；（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。
二．考情考向分析几何证明是选做题之一，考试中属于容易题．三．热点分类突破考点一 圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题1．圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 2.圆的切线的性质及判定定理例1 (1)(2014·高考江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.D E ABC∆AB AC ABC ∆AE AC AB x 2140x x mn -+=C B D E 90A ∠=︒4,6m n ==C B D E(2)(2015·唐山市统考)如图，△ABC 内接于⊙O， AB ＝AC ，点D 在⊙O 上，AD ⊥AB ，AD 交BC 于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF ＝AE ，求证：BF 是⊙O 的切线．[规律方法](1)圆周角定理、圆心角定理及推论、弦切角定理及推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)判定切线通常有三种方法：①和圆有唯一公共点的直线是圆的切线； ②到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； ③过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线．跟踪演练1如图，已知圆上的弧AC ︵＝BD ︵，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点．求证： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC 2＝BE·CD.考点二 圆内接四边形的判定及性质圆内接四边形的判定定理和性质定理例2(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC 的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．[规律方法]证明四点共圆的常用方法：(1)四点到一定点的距离相等；(2)四边形的一组对角互补；(3)四边形的一个外角等于它的内对角；(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．跟踪演练2(2015·长春市调研) 如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O 的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H.(1)求证：C，D，E，F四点共圆；(2)若GH＝8，GE＝4，求EF的长．考点三与圆有关的比例线段 与圆有关的比例线段相交弦定理弦PAB 切割线定理PA 切线长定理PA 例3(2014·高考课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E.证明：(1)BE ＝EC ； (2)AD·DE＝2PB 2.[规律方法]相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时就要想到切割线定理．跟踪演练3.(2015·辽宁省五校联考) 如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．四．课后限时训练1. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E.(1)求证：E 是AB 的中点； (2)求线段BF 的长．2．(2015·郑州市质量预测) 如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F.(1)证明：A 、E 、F 、M 四点共圆 (2)若MF ＝4BF ＝4，求线段BC 的长．3．(2015·山西省四校联考) 如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E.(1)求证：AB AC ＝PAPC ；(2)求AD·AE 的值．4. (2015·河北石家庄质量检测)如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C ，D 两点，交圆O 于E ，F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．(1)求证：B ，D ，H ，F 四点共圆；(2)若AC ＝2，AF ＝22，求△BDF 外接圆的半径．5．(2014·高考辽宁卷) 如图，EP 交圆于E 、C 两点，P D 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED.6. (2015·山西省忻州市联考)如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA ＝OB ，CA ＝CB ，⊙O 交直线OB 于E 、D ，连接EC 、CD.(1)求证：直线AB 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠CED ＝12，⊙O 的半径为3，求OA 的长．7. (2015·兰州市、张掖市联考)如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M.(1)求证：O、B、D、E四点共圆；(2)求证：2DE2＝DM·AC＋DM·AB.8．(2015·云南省第一次统一检测)已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.(1)求证：PA·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．9 (2015·沈阳市教学质量监测)如图，已知圆O1与圆O2外切于点P，直线AB是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A、B两点，AC是圆O1的直径，过C作圆O2的切线，切点为D.(1)求证：C、P、B三点共线；(2)求证：CD＝CA.10. 如图，点A是以线段BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，连接AF 并延长与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF＝EF；(2)求证：PA是⊙O的切线．。
高考数学(理)二轮配套训练【专题8】(1)几何证明选讲(含答案)
第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 4．(1)圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径． (2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一 相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________． 答案 3∶2解析 方法一 因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC )2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD .又AD ∶BD ＝9∶4， 所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二 因为AD ∶BD ＝9∶4， 所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ， 由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ， 所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ， 所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华 含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，BE 的长为________． 答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二 相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且P A ＝4，PC ＝8，则tan ∠ACD 和sin P 的值为________． 答案 12，35解析 连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝P A ·PB .故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ， 又∠P ＝∠P ， 所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PC PB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B .所以tan ∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12.因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10. 所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三 圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.思维升华 高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·湖北)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CEEO 的值为________．答案 8解析 易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD， 设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·湖南)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt △ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析 在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE ＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE )2＝9.押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a 2解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt △ADE 中，AD ＝a ， F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·陕西)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF，∴EF ＝3.3．(2014·天津改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4， 即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·F A ， 故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE . ∴AE BE ＝CEDE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误； 对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BDAB ，即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·湖北)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析 由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝P A ＝2QA ＝4.2．(2014·重庆)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________. 答案 4解析 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________． 答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD .∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66.4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2， 所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BFFC 的值为______．答案 12解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12. 6．(2013·广东)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析 由切割线定理可得P A 2＝PB ·PC ， 即PC ＝P A 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3， 因为AC 是圆O 的直径， 所以∠ABC ＝90°， 所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12， 即AC ＝12＝23， 所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，P A ＝2，则AC 的长为________． 答案2解析 ∵P A 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得P A 2＝PC ·PD . ∵P A ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4.又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形，∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵P A 是⊙O 的切线， ∴∠P AC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△P AC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB ，∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析 由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵P A 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos ∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则P A ·PB ＝________.答案 12解析 由AD ＝BD ＝4，得∠P AD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠P AD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x ，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即PD ＝2，由相交弦定理，得P A ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 6解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知EN DF ＝BE BD， 所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6.14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233.15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°， AC ＝AD sin ∠ACD＝2， AB ＝AC sin ∠ABC＝4， 故圆O 的面积为π·22＝4π.。
专题：几何证明选讲
专题：几何证明选讲【知识梳理】1.相似三角形的判定定理：判定定理1.两角对应相等的三角形相似。
判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。
判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。
2.相似三角形的性质性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。
性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。
3.平行截割定理三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。
4.射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。
5.圆周角与弦切角圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。
圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。
推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。
推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。
6.圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论1.直径所对的圆周角都是直角推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。
7.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
8.圆幂定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理：（不用掌握）9.圆内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。
【知识梳理】平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
10-1几何证明选讲 39张 公开课一等奖课件
[证明]
EP AE (1)∵EP∥BC，∴ ＝ . BC AB
PF DF 又∵PF∥BC，∴ ＝ . BC DC AE DF EP PF ∵AD∥EF∥BC，∴AB＝DC，∴BC＝BC， ∴EP＝PF.
(1)△DFE∽△EFA；
(2)△EFG∽△EFC.
[解析] 证明：(1)∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB. ∵∠DCB和∠DAB都是弧DB上的圆周角， ∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF. ∵∠DFE＝∠EFA，
∴△DFE∽△EFA.
(2)由(1)知：△DFE∽△EFA， EF FD ∴ ＝ ， FA EF 即 EF2＝FA· FD. 由割线定理得 FA· FD＝FG· FC. EF FC ∴EF ＝FG· FC，即 ＝ . FG EF
线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明：△ABE∽△ADC； 1 (2)若△ABC 的面积 S＝2AD· AE， 求∠BAC 的大小．
[分析] (1)利用两角对应相等，两三角形相似． (2)利用△ABE∽△ADC及面积公式来求解． [证明] (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似 ( 简叙为：两角对应相等，两三角形相似 ) ；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且 夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比
例且夹角相等，两个三角形相似)；如果一个三角形的三条
边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．
(8)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形
第3讲 圆中的比例线段与圆内接四边形【高考会这样考】1．考查相交弦定理，切割线定理的应用． 2．考查圆内接四边形的判定与性质定理． 【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能.基础梳理1．圆中的比例线段 定理名称基本图形条件结论 应用 相交弦定理弦AB 、CD 相交于圆内点P(1)P A ·PB ＝PC ·PD ； (2)△ACP ∽ △DBP(1)在P A 、PB 、PC 、PD 四线段中知三求一； (2)求弦长及角 切割线定理P A 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线(1)P A 2＝PB ·PC ； (2)△P AB ∽△PCA (1)已知P A 、PB 、PC 知二可求一； (2)求解AB 、AC 割线定理P AB 、PCD 是⊙O 的割线 (1)P A ·PB ＝PC ·PD ；(2)△P AC ∽△PDB(1)求线段P A 、PB 、PC 、PD 及AB 、CD ； (2)应用相似求AC 、BD2.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补． (2)圆内接四边形判定定理：①如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．双基自测1．(2011·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．解析∵ABCD为圆内接四边形，∴∠PBC＝∠ADP，又∠P＝∠P，∴△BCP∽△DAP，∴BCAD＝PBPD＝13.答案1 32．(2011·广州调研)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.解析连接BD，由题意知，∠ADB＝∠MAB＝35°，∠BDC＝90°，故∠D＝∠ADB＋∠BDC＝125°.答案125°3．(2011·深圳调研)如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为BD的中点，⊙O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝________.解析如图，连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴AE ⊥BE ，又E 是 BD 的中点， ∴∠BAE ＝∠EAC ， 从而E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC ＝6，AB ＝AC ＝18，由CD ·CA ＝CE ·CB ，得(18－AD )×18＝6×12，故AD ＝14. 答案 144．(2011·广州模拟)如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.解析 ∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ， ∴△ABD ∽△BCD ，AD BD ＝AB BC ，解得BC ＝32. 答案 325．如图所示，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝4，DE ＝CE ＋3，则CD 的长为________．解析 由相交弦定理知， EA ·EB ＝EC ·ED .(*)又∵E 为AB 中点，AB ＝4，DE ＝CE ＋3， ∴(*)式可化为22＝EC (CE ＋3)＝CE 2＋3CE ， ∴CE ＝－4(舍去)或CE ＝1.∴CD ＝DE ＋CE ＝2CE ＋3＝2＋3＝5. 答案5考向一相交弦定理的应用【例1】►(2011·广东实验中学质检)如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D 为OB的中点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．[审题视点] 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE.解析延长DO交圆O于另一点F，易知OD＝1，则AD＝AO2＋OD2＝ 5.由相交弦定理得，AD·DE＝BD·DF，即5·DE＝1×3，DE＝35 5.答案35 5相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用.【训练1】(2011·广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝2a3，∠OAP＝30°，则CP＝________.解析依题AP＝PB＝32a，由PD·CP＝AP·PB，得CP＝AP2PD＝98a.答案98a考向二切割线定理的应用【例2】►如图所示，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10，PB＝5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E，求AD·AE的值．[审题视点] 由切割线定理知P A2＝PB·PC，可得直径BC的长，要求AD·AE，由△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，只要求出CA，BA的长即可．解如图所示，连接CE，∵P A是⊙O的切线，PBC是⊙O的割线，∴P A2＝PB·PC.又P A＝10，PB＝5，∴PC＝20，BC＝15.∵P A切⊙O于A，∴∠P AB＝∠ACP.又∠P为公共角，∴△P AB∽△PCA.∴ABCA＝P APC＝1020＝12.∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝65，AB＝3 5. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴ABAE＝ADAC.∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧．【训练2】如图，⊙O与⊙O′外切于P，两圆公切线AC，分别切⊙O、⊙O′于A、C两点，AB是⊙O的直径，BE是⊙O′的切线，E为切点，连AP、PC、BC.求证：AP·BC＝BE·AC.证明由题意可知∠APC＝90°，连BP，则∠APB＝90°，∴B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于AB⊥AC，易证Rt△APB∽Rt△CAB.∴ABCB＝PBAB，即AB2＝BP·BC，又由切割线定理，得BE2＝BP·BC，∴AB＝BE，又Rt△APB∽Rt△CAB，∴ABCB＝APCA，即AP·BC＝AB·AC，∴AP·BC＝BE·AC.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】►(2011·辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K.(1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QT＝TS.[审题视点] (1)利用∠PHQ＝∠PKQ＝90°；(2)先证∠HKS＝∠QSP，TS＝TK，再证TS＝QT.证明(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS.(1)四边形ABCD的对角线交于点P，若P A·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆．(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若P A·PB＝PC·PD，则它的四个顶点共圆．以上两个命题的逆命题也成立．该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效．【训练3】如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .证明 (1)如图，连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵AG ⊥FG ，∴∠AGE ＝90°. 又∠EAG ＝∠BAC ， ∴∠ABC ＝∠AEG .又∠FDC ＝∠ABC ， ∴∠FDC ＝∠AEG . ∴∠FDC ＋∠CEF ＝180°. ∴C ，D ，F ，E 四点共圆．(2)∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线， ∴GH 2＝GC ·GD .由C ，D ，F ，E 四点共圆，得∠GCE ＝∠AFE ，∠GEC ＝∠GDF . ∴△GCE ∽△GFD . ∴GC GF ＝GE GD， 即GC ·GD ＝GE ·GF .∴CH 2＝GE ·GF .如何求解高考中几何证明选讲问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对切割线定理的应用及四点共圆问题重点考查，题型为填空题或解答题．【示例】► (本题满分10分)(2011·新课标全国)如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．第(1)问连DE ，证明△ADE ∽△ACB ，即证∠ADE ＝∠ACB ，根据对角互补判定四点C ，B ，D ，E 共圆；第(2)问先求AD 、AB 的长，再确定C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心，进一步求半径．[解答示范] (1)连接DE ，根据题意，在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB .又∠DAE ＝∠CAB ， 从而△ADE ∽△ACB .(3分) 因此∠ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(4分)(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.(6分)取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .(8分)由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)＝5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.(10分)本题主要考查平面几何证明，四点共圆，三角形相似，一元二次方程根与系数的关系．四点共圆常用的证明方法是求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角，当然也可以求出过其中三点的圆，然后证另一点也在这个圆上，也可以证明以两个点为端点的线段的垂直平分线与以另两个点为端点的线段的垂直平分线相交．【试一试】(2011·辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．[尝试解答] (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
几何证明选讲(广东文数)
选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义一、广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理. （2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；2. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；222A AD BC =___________,__________,__________ABCRtAD AB AC ==如图，中，为直角，为斜边上的高，则3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90o的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
圆内接四边形的性质与判定定理_ B_ C_ A4.圆中的比例线段三、常见题型题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ， 则=+ADFGBC EF ．变式练习. 在ABC 中，//DE BC ，DE 将ABC 分成面积相等的两部分，那么:DE BC =__________例2. 如图，在ABC 中，AD 是BC 边上中线，AE 是BC 边上的高，D A B D B A ∠=∠,18AB =,12BE =,则CE =__________.题型二.与圆角度相关问题例1.如图，AB 是直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，若CD 切⊙O 于C 点，则∠CAB 的度数为 ，∠DCB 的度数为 ，∠ECA 的度数为 _ __ .变式练习.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延 长线上， BD=OB ，CD 与⊙O 切于C ，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 ____变式练习. 如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆上的两点，半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ，∠PCB ＝25°，则∠ADC 为________题型三.切割线定理例1.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD,AB 是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB= __。
考点52 几何证明选讲
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考点52 几何证明选讲一、填空题1.(2013·天津高考理科·T13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长为 .【解题指南】利用圆以及平行线的性质计算.【解析】因为AE 与圆相切于点A,所以AE 2=EB ·(EB+BD),即62=EB ·(EB+5),所以BE=4,根据切线的性质有∠BAE=∠ACB,又因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠BAE,所以AE ∥BC,因为BD ∥AC,所以四边形ACBE 为平行四边形,所以AC=BE=4,BC=AE=6.设CF=x,由BD ∥AC 得=AC CF BDBF,即456=-xx,解得x=83,即CF=83. 【答案】83.2. （2013·湖南高考理科·Ｔ11）0中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .【解题指南】本题要利用相交弦定理:PA ·PB=PD ·PC 和解弦心三角形22)21(CD r d -=【解析】由相交弦定理PC PD PB PA ∙=∙得4=PC ，所以弦长5=CD ，故圆心O 到弦CD 的距离为234257)21(22=-=-CD OC .【答案】23. 3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）如图, AB 与CD 相交于点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知A C ∠=∠, PD = 2DA = 2, 则PE = .【解题指南】先通过A C ∠=∠及线线平行同位角相等，找出三角形相似,再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED C A PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPD PA PE APE EPD 所以4. (2013·北京高考理科·T11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D.若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .【解题指南】利用切割线定理求出PD,再在Rt △PBA 中利用勾股定理求出AB. 【解析】由于PD ∶DB=9∶16,设PD=9a,DB=16a,根据切割线定理有PA 2=PD ·PB,有a=15,所以PD=95,在Rt △PBA 中,有AB=4. 【答案】95 4. 5. （2013·湖北高考理科·Ｔ15）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB=3AD,则EOCE的值为【解题指南】先用半径表示,再求比值. 【解析】设半径为R ，AB=3AD=2R. AD=23R ,OD=13R,3R =3cos ,3RC R ==228cos ,339CE CD C R R === 所以EO=R ―CE ―R ―81,99R R =898.19RCE EO R== 【答案】8.6. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）如图, 弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .【解题指南】先通过圆周角相等及线段平行同位角相等得出,∽APE EPD ∆∆再由比例线段求得答案.【解析】..//BAD PED BAD BCD PED BCD PE BC ∠=∠⇒∠=∠∠=∠且在圆中所以因为.6.623∽2==⋅=⋅=⇒=⇒∆∆⇒PE PD PA PE PEPDPA PE APE EPD 所以 【答案】.67.（2013·广东高考理科·Ｔ15）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB=6，ED=2，则BC=______.【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先作ABD ∆的中位线OC 再计算. 【解析】设BC x =，连接OC ，因为,BC CD AC BD =⊥，ABD ∆是等腰三角形，,6,2,4BC CD x AB AD ED AE ======，在ACD ∆中，CE AD ⊥，则22222CE AC AE AD DE =-=-，即2236164x x --=-，解得x =【答案】8.（2013·广东高考文科·Ｔ15）如图，在矩形ABCD 中，AB 3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．【解题指南】本题考查几何证明选讲，可先利用射影定理再结合余弦定理计算. 【解析】3,30,AB BC AC ACB AC BE ==∠=⊥，BEC ∆是直角三角形，由射影定理2,BC AC EC EC =⋅=ECD ∆中，由余弦定理可得222212cos 604ED EC CD EC CD =+-⋅=，即ED =. 9. （2013·天津高考文科·Ｔ13）如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB //DC , 过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E . 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 .【解题指南】 首先利用圆的性质，得出角的关系，再分别在△ABE 与△ABD 中利用正弦定理求解.【解析】设∠=BAE α，因为AE 与圆相切于点A ，所以,∠=∠BAE ADB 又因为AB = AD ，所以∠=∠=ABD ADB α，因为AB //DC ,所以∠=∠=ABD CDB α,所以2∠=∠=ABE ADC α.在△ABE 中，由正弦定理得sin sin =∠BE ABBAE E ，即45sin sin(3)=-απα，解得3cos .4=α在△ABD中，由正弦定理得sin sin =∠∠BD AB BAD ADB ，即5sin(2)sin =-BD παα，解得15.2=BD【答案】152. 10. （2013·重庆高考理科·Ｔ14）如图，在△ABC 中，090C ∠=，060A ∠=，20AB =，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为【解题指南】 直接根据圆的切线及直角三角形的相关性质进行求解【解析】由题意知AB 是圆的直径,设圆心为O ,连接OC ,因为CD 是圆的切线,则CDOC ⊥又因为BD ⊥CD ,所以BD OC //.因为 60,=∠=A OC OA ,所以30,60=∠=∠OCB ACO ,因为20=AB ,所以310=BC ,因为BD OC //,所以30=∠CBD 所以15=BD ,又因为AB 是圆的直径, 点E 在圆上, 20=AB 且 60=∠ABD ,所以10=BE ,故51015=-=-=BE BD DE【答案】5. 二、解答题11. （2013·辽宁高考文科·Ｔ22）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ22）相同 如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于E , AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F，连接,AE BE .证明： ()I FEB CEB ∠=∠;()II 2.EF AD BC =⋅【解题指南】 借助等量代换，证明相等关系；利用全等三角形的对应边，角相等.【证明】()I 由直线CD 与O 相切于E ,得EAB CEB ∠=∠ 由AB 为O 的直径，得AE EB ⊥，从而2EAB EBF π∠+∠=又EF 垂直AB 于F ，得2FEB EBF π∠+∠=，从而FEB CEB ∠=∠()II 由BC 垂直CD 于C ，得BC CE ⊥又EF 垂直AB 于F EF AB ⇒⊥，FEB CEB ∠=∠，BE 为公共边， 所以Rt BCE ∆≌Rt BFE ∆，所以BC BF = 同理可证，Rt ADE ∆≌Rt AFE ∆，所以AD AF = 又在Rt AEB △中, EF AB ⊥,所以2.EF AF BF =⋅ 综上，2.EF AD BC =⋅12. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ22）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ22）相同如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。
4-28几何证明选讲(选修4-1)
在解决与圆有关的问题时， 作圆的直径就可以利用直 径上的圆周角是直角， 往往能使问题找到突破口． 直径上 的圆周角是直角是圆周角定理的一个特殊情况， 这个定理 无论在几何证明中还是在高中数学的其他地方都有重要 应用，应熟练掌握．
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新课标· 高考二轮总复习
求证：DG· DE＝DF· EG. [分析] 由于条件中有平行线，考虑平行线(等)分线
段定理及推论，利用相等线段(平行四边形对边相等)，经 中间比代换，证明线段成比例，得出等积式．
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新课标· 高考二轮总复习
[证明] ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC， DG AD ∵AD∥BC，∴ ＝ ， EG EC DF BC AD DG DF 又∵AB∥DC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ， DE EC EC EG DE 即 DG· DE＝DF· EG.
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新课标· 高考二轮总复习
切线 长定 理
PA、PB 是 (1)PA＝PB
(1) 证 线 段 相
Hale Waihona Puke ⊙ O 的 切 (2) ∠ OPA ＝ 等，已知 PA 线 ∠OPB 求 PB(2)求角
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新课标· 高考二轮总复习
高频考点
类型一 平行线(等)分线段成比例定理的应用
【例 1】 如图，F 为 ABCD 边上一点，连 DF 交 AC 于 G，延长 DF 交 CB 的延长线于 E.
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新课标· 高考二轮总复习
(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比． (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比． (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方． ②相似三角形的性质(二)
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第1讲 平行截割定理与相似三角形
第1讲平行截割定理与相似三角形【高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b ．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c ．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． (2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． (3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案 322．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE . 答案 △FCD 、△FBE 、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________． 解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝14.答案 1∶44．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EFBF .∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝23.∴AC ∶AE ＝3∶2.同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝32. ∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2.即ADBD ＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，∴EBCD 为平行四边形，∵CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 2考向一 平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________． [审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析 如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝25，∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423，又AD ＝2，∴EF ＝237. 答案 237在解题时要注意添加辅助线．【训练1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92考向二 相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可．证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， ∴CE ＝BE ＝12BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC . 又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC . ∴EC DC ＝ACBC ，∴12BC CD ＝AC BC ， 即BC 2＝2CD ·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到． 【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6BC ，所以BC ＝10.又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4. 答案 4考向三直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.[审题视点] △ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD 与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为ADCD＝2x6x＝63.即相似比为6∶3.答案6∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.【示例2】►(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．。
高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定 比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析 由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一 平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线 的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
备战高考数学(精讲+精练+精析)专题13.1几何证明选讲试题文(含解析)
专题1 几何证明选讲（文科）【三年高考】1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.【答案】2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.【解析】（Ⅰ）设是的中点,连结,因为,所以,．在中,,即到直线的距离等于圆的半径,所以直线与⊙相切．（Ⅱ）因为,所以不是四点所在圆的圆心,设是四点所在圆的圆心,作直线．由已知得在线段的垂直平分线上,又在线段的垂直平分线上,所以．同理可证,．所以．3．【2016高考新课标2】如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．(Ⅰ) 证明：四点共圆；(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．4．【2016高考新课标3】如图，中的中点为，弦分别交于两点．（I）若，求的大小；（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．【解析】（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以，因此.（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．5.【2015高考新课标2，】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若等于的半径，且，求四边形的面积．【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．6．【2015高考陕西，】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．（I ）证明：；（II ）若，，求的直径．7.【2015高考新课标1】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E.（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（Ⅱ）若，求∠ACB的大小.【解析】（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线. （Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，，由射影定理可得，，∴，解得=，∴∠ACB=60°.8.【2015高考湖南】如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：（1）；（2）【解析】（1）如图所示，∵，分别是弦，的中点，∴，，即，，，又四边形的内角和等于，故；（2）由（I）知，，，，四点共圆，故由割线定理即得9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD DE=2【解析】（Ⅰ）连结AB，AC，由题意知PA=PD，故，因为，，，所以，从而，因此BE=EC. （Ⅱ）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：===，所以等式成立.11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.【2017年高考考点定位】几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理.【考点1】相似三角形的判定与性质【备考知识梳理】1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项【规律方法技巧】1．判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．【考点针对训练】1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.（1）求证：△APM△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙和⊙相交于两点，为⊙的直径，直线交⊙于点，点为弧中点，连结分别交⊙、于点，连结.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：.【解析】（Ⅰ）连结，∵为⊙的直径，∴，∵为⊙的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴.【考点2】圆的有关问题【备考知识梳理】1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质：定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定：判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．3.圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．与圆有关的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△ACP∽△DBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线(1)PA2＝PB·PC；(2)△PAB∽△PCA(1)已知PA、PB、PC知二可求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是⊙O的割线(1)PA·PB＝PC·PD；(2)△PAC∽△PDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD(1)(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【规律方法技巧】1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．2. 弦切角定理及推论的应用(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．【考点针对训练】1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.（1）求证：；（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积.2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆与相交于两点，过点作圆的切线交圆于点，过点作两圆的割线，分别交圆、圆于点、，与相交于点. （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若是圆的切线，且，求的长.【解析】（Ⅰ）连接．∵是圆的切线，∴.又∵，∴，∴.（Ⅱ）证明：设，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，联立上述方程得到，∴.∵是圆的切线，∴.∴.【应试技巧点拨】1．辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．2．比例的性质的应用相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：若，则①；②；③；④；⑤；⑥.3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．4.证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．5.与圆有关的比例线段(1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．二年模拟1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形中，，以为直径的圆与边另外的交点分别为，且于．（Ⅰ）求证：是的切线；（Ⅱ）若，，求的长．【解析】（Ⅰ）连结则又，∴为的中点，而为中点，∴，又，∴，而是半径，∴是的切线.（Ⅱ）连，则，则，∴，设，则，由切割线定理得：，即，解得：（舍），∴EFDOC BA3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．（I ）求证：是圆的切线；（II ）若,求的值．【解析】（Ⅰ）如图,连接.因为是的中点,是的中点,所以//.因为,所以,所以是⊙的切线. （Ⅱ）因为是⊙的直径,点在⊙上,所以. 又是的中点,所以. 故.因为,所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,. 于是.4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．（1）求证：；（2）求证：．5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．（1）求证：；（2）若，且，求．【解析】（1）连结，因为，又因为，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以．（2）因为，所以，则，所以，又因为，所以，所以，所以．6. 【2016年江西南昌高三一模】如图，圆M与圆N交于A， B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的长；（II）求.【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知，，∴△∽△，则，故.（Ⅱ）根据切割线定理，知，，两式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得．7. 【2016年河南八市高三三模】已知，内接于圆，延长到点，使得交圆于点.（1）求证：；（2）若，求证：.【解析】(1）如图，连结．．又（2）8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，内接于⊙，，弦交线段于，为的中点，在点处作圆的切线与线段的延长线交于，连接.（I）求证：；（II）若，⊙的半径为，求切线的长.【解析】（I）证明：在中，弦相交于E，，又E为AC的中点，所以，又因为,，根据射影定理可得,;（II）因为为直径，所以，又因为，所以为等腰直角三角形．，根据勾股定理得，解得，所以，由（I）得所以，所以．9.【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长线于.连结交于点.（1）求证：；（2）若圆的半径为,求的长.【解析】（1）证明：连接,由弦切角定理知，又,即.由切割线定理得,所以.（2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是.10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形是圆的内接四边形，对角线交于点，直线是圆的切线，切点为，.（1）若，求的长；（2）在上取一点，若，求的大小.11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，和相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）由与相切于，得，同理，所以从而，即（2）由与相切于，得，又，得从而，即，综合（1）的结论，12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,（Ⅰ）求的长度．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度【解析】（Ⅰ）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长等于弧长可得,又,,从而,故∽,∴, 由割线定理知,故．（Ⅱ）若圆F 与圆内切，设圆的半径为，因为即，所以是圆的直径，且过点圆的切线为，则，即.13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC 中，，以为直径的⊙O 交于，过点作⊙O 的切线交于，交⊙O 于点．（Ⅰ）证明：是的中点；（Ⅱ）证明：.【解析】（Ⅰ）证明：连接，因为为⊙O 的直径，所以，又，所以CB切⊙O于点B ，且ED 切于⊙O 于点E ，因此，，所以，得，因此，即是的中点（Ⅱ）证明：连接BF ，可知BF 是△ABE 斜边上的高，可得△ABE ∽△AFB ，于是有，即，同理可证，所以.14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．（1）求证：;（2）若四点共圆，且弧与弧相等，求【解析】（1）因为与圆相切，，平方，所以，，所以（2）弧与弧相等，设，，，.15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．EDCA B（Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当，时，求的长．【解析】（Ⅰ）连接，因为是圆内接四边形，所以又∽，即有，又因为，可得因为是的平分线，所以，从而（Ⅱ）由条件知，设，则，根据割线定理得，即即，解得或（舍去），则．EDCA B拓展试题以及解析 1. 如图，内接于⊙，弦AE 交BC 于点D ，已知，，OD =1,. （Ⅰ）求；（Ⅱ）求中BC 边上的高．【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计算．以圆为背景是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.2．如图，过圆外一点作圆的切线，切点为，割线、割线分别交圆于与、与．已知的垂直平分线与圆相切．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解析】（1）证明：连结，∵与圆相切，∴．又为的垂直平分线，∴，∴，∴．（2）由（1）知且为的中点，∴为的中点，且，∴．∵为圆的切线，∴，∴，∴，∴．【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.3.如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【证明】（Ⅰ）连接，是直径，，．切圆于，．．（Ⅱ）连接，切圆于，．又∽．．【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.4.如图，是⊙的直径，是圆上两点，交于点，若，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求线段的长度．【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.5.如图，圆内接四边形满足∥，在的延长线上，且. 若，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求的长.【解析】（Ⅰ）由知是圆的切线. ∴由弦切线角定理得，又，∴，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，∴∽，∴，又，，∴，∵，∴. 【入选理由】本题考查圆的切线的性质，圆內接四边形的性质，三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，难度不大，故选此题.6.如图，点P是△ABC的外接圆O在C点的切线与直线AB的交点．（Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC；（Ⅱ）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的长．【证明】（Ⅰ）由弦切角定理知，∠ABC=∠ACP，∵∠ACB＝∠APC，∴△ACB∽△APC，∴∠BAC=∠CAP，∵∠BAC+∠CAP=，∴∠BAC=∠CAP=90°，∴BC是圆O的直径，又PC是圆O的切线，∴BC⊥PC. （Ⅱ）由切割线定理知，，即，即，解得（负值舍去），由弦切角定理及同弧所对的圆周角相等知，∠ACP=∠ABC=∠CDA，∵∠BPC=∠DAC，∴△CAD∽△APC，∴，∴=.【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合弦切角定理及同弧所对的圆周角相等，得三角形相似，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题.7.如图所示，在四边形中，交于点，.（Ⅰ）求证：、、、四点共圆;（Ⅱ）过作四边形外接圆的切线交的延长线于，,求证：平分.【证明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=,=,∴=+++=+++==,∴、、、四点共圆；（Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=，∵，∴=,∴=,∴=,∴=,∴=∠,∴平分.。
高考数学选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能选修4_122-
第1讲 相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ， 所以BC ＝2MC ＝24 cm.2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积．解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD .因为AE ∶EB ＝1∶2，所以AE ∶DC ＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3， 所以△AEF 与△ABC ，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE ∶AB ＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H .若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长． 解：因为AH ∥BE ，所以HF HE ＝AF AB. 因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH ∥BE ，所以HD DE ＝AD DC. 因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF .因为DN ∥AF ，所以△AFE ∽△DNE ， 所以AE AF ＝DE DN. 又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE ·BF ＝2DE ·AF . 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF . 证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . 因为CF ∥AB ， 所以∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，所以CP FP ＝PE PC. 所以PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE ·PF . 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。
【备战】高考数学 历届真题专题17 几何证明选讲 理
历届真题专题【2011年高考试题】一、选择题:1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。
给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA；②AF·AG=AD·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】A【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确；答案：332解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=32,BD=1,且AF=BF=332.故填332 评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.三、解答题:1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF=EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.2. (2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分） 选修4-1几何证明选讲 如图，D ，E 分别是AB,AC 边上的点，且不与顶点重合，已知AB AD n AC m AE ,,,== 为方程0142=+-mn x x 的两根， （1） 证明 C,B,D,E 四点共圆；（2） 若6,4,90==︒=∠n m A ，求C,B,D,E 四点所在圆的半径。
分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性质及关系计算。
解：（Ⅰ）如图，连接DE ，依题意在ACB ADE ∆∆,中，点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。
注意把握判定与性质的作用。
3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆1O 与圆2O 内切于点A ，其半径分别为1r 与212()r r r >，圆1O 的弦AB 交圆2O 于点C （1O 不在AB 上）， 求证：:AB AC 为定值。
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高考中的几何证明选讲几何证明选讲是新课标新增内容，在我省高考中是选考内容，常以填空题的形式出现，难度不大，在备考中应从考纲入手，掌握考试要求，在平时训练中，熟练掌握多种题型，以不变应万变。
几何证明选讲常考内容有：平行线分线段成比例定理、相似三角形、射影定理、圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等.考题多数是以求角度，线段长度，面积，比值等。
类型一．求比值例1.（2007湛江一模理）如图1，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则=FCBF.【解析】作DH//BC 交AF 于H ，则由D 为AC 中点知12DH FC =, 又DH//BF, E 为BD 中点，易知BF=DH, 所以,BF DH =所以：12BF FC = 【命题意图】本题考查平行线分线段成比例定理。
例2．(2010天津理科)如图2，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长A B 和DC 相交于点P 。
若12PB PA =，13PC PD =，则BCAD的值为 。
【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PDA ∆，所以 PB PD =PC PA =BCAD，设PB=x ，PC=y ，则有32x y y x =，即62y x =， 所以BC AD =3x y=66。
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。
类型二. 求长度 例3. (2010湖南理科)如图3，过O 外一点P 作一条直线与O 交于A ，B 两点，已知PA ＝2，点P 到O的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为________.【解析】根据切线长定理2216,82PT PT PA PB PB PA ==== 所以826AB PB PA =-=-= 【命题意图】本题考察切线长定理。
例4．（2010广东理科）如图4，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD=23a，∠OAP=30°，则CP ＝______.【解析】因为点P 是AB 的中点，由垂径定理知，OP AB ⊥.在Rt OPA ∆中，3cos30BP AP a a ===. A BCD E F H 图1图2.OBTA图3OA PD C 图4由相交线定理知，BP AP CP DP ⋅=⋅，即332223a a CP a ⋅=⋅，所以98CP a =． 【命题意图】考查垂径定理，相交弦定理。
类型三.求角度例5(2008惠州一模理)如图5：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝460，∠DCF ＝320， 则∠A 的度数是 ____【解析】由EB ，EC 为⊙O 的切线，则EB=EC ，所以∠ECB=∠EBC=90o 1672o E -∠=又∠DCF ＝320，所以∠BCD ＝180089o ECB DCF -∠-∠=， 由∠A 180oBCD +∠=,所以∠A=99o【命题意图】考查圆的内接四边形的性质。
例6. 如图6,AB 为O 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠=__________【解析】连结AD ,则sin ADAPD AP∠=,又CDP BAP ∆∆, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠===,所以2122sin 1()33APD ∠=-=. 【命题意图】考查圆内相交弦，相似似三角形的性质。
类型四. 求面积例7（09广东理）如图7，点是圆上的点， 且AB=4,∠ACB=45o ， 则圆的面积等于 ．【解析】连结、，则，∵，，∴，则；【命题意图】考查圆周角的性质。
例8. (08广州一模文)在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上， 且:1:2AE EB =，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积为62cm ， 则ABC ∆的面积为 2cm ． 【解析】1123AE AE EB AB =⇒=，AFE CFD ∆∆ 13AF AE AE CF CD AB ⇒===, 所以14AF AC = 设 AEF ∆的高为h 1, ABC ∆的高为h 2, 则1214h h =所以121167234AEF ABC ABC ABCS AE h S S AB h S ∆∆∆∆===⇒= 【命题意图】考查相似三角形的性质。
平面几何选讲在高考中是比较容易的题目，在备考中，要熟练掌握考纲要求的几个定理，并能灵活应 用。
图5 图6OC AB图7AEB CDF图8习题精练1.如图1，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则=+ADFGBC EF ． 简答：//(1)//(2)(1)(2)1EF AFEF BC BC AC FG CFFG AD AD ACEF FG CF AF ACBC AD AC AC AC ⇒=⇒=++=+==2.如图2, 在ABCD 中E 为CD 上一点，23DE CE =连结AE ，BE ，BD ，且AE 、BD 交于点F ，则::________DEF EBF ABF S S S ∆∆∆=1122122221355212221552DEF EFBEBF ABFBDF h S DE DE DF EF CE AB BF AF S BF h EF h S EF AF S AF h ∆∆∆∆=⇒===⇒===⇒==解：由::41025DEF EBF ABF S S S ∆∆∆=：：3．如图3所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==， 则圆O 的半径等于 ．2,,()()4,85OA R OD x CD AD BD R x R x CD BD R x R ====-+==+==解：设则由∴4.如图4.AB 是圆O 的直径，,10,8,AD DE AB BD ===则cos BCE ∠=_____,10,86cos cos 3sin sin 5o A AB BD AD AD DE DAC DBA BCE ACDAD DAC DBA AB ∠==⇒==⇒∠=∠∠=∠=∠=∠==解：连结由AB 为直径知ADC=90由由∴图1ABCDFE图2图3ABD EC O 如图45.如图5, 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直 径, PC 与圆O 交于点B,PB=1, 则圆O 的半径R=_______2222,4122233PB PC PC AC PC PA AC R R ===-=⇒===解：由切割定理知：PA ∴又∴6.如图6所示，圆O 的直径6=AB ，C 为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的 切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ， 则∠DAC ＝ ____，线段AE 的长为 __ .26,3303360303399022()3o o ooAB AB BC CAB AC DCA DAC ADC DC DC AD AD AE AE ==∠==∠=⇒∠=∠===-⇒=解：由为直径知且又,∴，AD=7.如图7，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CD =________.222224,826,2,6:61224 x=555PC PB PC PA PB PA AB AE x PE x PE x CE BE AE PC PE CE CE CD ====⇒===+=-==+⇒=⇒=解：因为:由切割定理知:所以设则由射影定理知又：所以：8.如图8，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知23AD =，6AC =，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为 ___ ．22222 :23,62,4()3252AD AB AC AD AC AB BC BC O BD d r ===⇒===-=-=解：由切割定理知由则到的距离为9如图9，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，•=∠25MAB ，则=∠D ___ 2565,180115o oo oMAB ACB BC ACB ABCD O D ACB ∠=∠=∆∆∠=∠=-∠=解:连结AC,由条件知由为直径知ABC 为Rt ,所以四边形由接于圆如图5如图6O EDCBAP如图7如图9BOC如图810如图10，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于 点C ，AD CE ⊥于D ，若AD =1，30ABC ∠=， 则圆O 的面积是_________2224o AC R S R ππ∠∠⇒=⇒=⇒==解:由条件知ACD=ABC=3011. 如图11，在四边形ABCD 中，135,90,23,2,o oA B D BC AD ∠=∠=∠===则四边形ABCD 的面积是_______22:,1354522452311422ooo o ABCD EBC ADE BA CD E BAD DAE ADE BEC BE BC S S S BC AD ∆∆∠=⇒∠=∠∠∆∴∠=⇒===-=-=解延长交于点，由又ADE=ADC=90∴为等腰直角三角形,AE=AD=2∴12. 如图12, AB//EF//CD, 已知AB=20， DC=80， BC=100， 则EF=_______(1):////(2)(1)(2)16EF CFAB BCAB EF CD EF BF CD BCEF ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩+⇒=解由答案： 1. 1 ; 2. 4：10：25 3 . 5 ; 4. 35;5. 3;6. 30°， 3 ; 7．245; 8. 5 ; 9. 115o ; 10. 4π 11. 4 12. 16如图10ACD如图11A EFCD如图12。