3.2.2函数的奇偶性

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1 （2） f x 2 ； x （3） f x 3x 1 ；
（4） f x 3x2 2 ．
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归纳小结
强化思想
几何对称
函数性质
图像特征
性质判断
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教材章节3.2
书写
课本习题3.2.2
实践 举出函数性质的生活事例
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再 见
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动脑思考
探索新知
函数y=f (x)
对任意的x∈D，都有 − x ∈ D
f (−x)=f (x) 图像关于y轴对称
. 称函数为偶函数 ．
f (-x)=-f (x) 图像关于原点对称 称函数为奇函数．
不具有奇偶性的函数叫做非奇非偶函数． 如果一个函数是奇函数或偶函数， 那么，就称此函数具有奇偶性．
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动脑思考
探索新知
函数奇偶性的判断
（1）求出函数的定义域；
（2）判断对于任意的x∈D是否都有-x ∈ D.若存在某个x0∈D
但-x0∈D ，函数就是非奇非偶函数；
. （3）分别计算出 f(x)与f(−x)，若f(x)=-f(−x)，则函数就是奇函数；
若f(x)=f(−x) ，则函数就是偶函数；若f(x)≠-f(−x)且f(x)≠f(−x) ， 则函数就是非奇非偶函数．
的对称点的坐标； （3）设函数y=f(x,y)，在函数图像上任取一点P(a,f(a))，写出点P 关于y轴的对称点的坐标与关于原点O的对称点的坐标．
.
分析
利用三种对称点的坐标特征进行研究即可．
点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)；
点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)；
点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).
演 示
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创设情景 兴趣导入 问题2
观察下列函数的图像的是否具有对称性，如果有关于
什么对称？
如果沿着y轴对折，那么对折后 y轴两侧的图像完全重合．
如果将图像沿着坐标原点旋转180°， 旋转前后的图像完全重合． 这时称函数图像关于坐标原点对称．
这时称函数图像关于y轴对称．
y轴叫做这个函数图像的对称轴． 原点O叫做这个函数图像的对称中心．
解（2）函数的定义域为 , ，
. x , 都有 x , ． 对任意的
f x 2 x 2 1 ， f x 2 x 1 2 x2 1 ．
2
故
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f ( x) f ( x) ．
所以函数 f x 2x2 1 是偶函数．
（1）点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)；
. P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)； （2）点
（3）点P(a,b)关于原点O 的对称点的坐标为(-a,-b).
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巩固知识
典型例题
例3 （1）已知点P(−2,3)，写出点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）已知点P(x,y)，写出点P关于y轴对称点的坐标与关于原点O
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应用知识
强化练习
教材练习3.2.2
１．求满足下列条件的点的坐标： （1）与点 2,1 关于 x 轴对称； （2）与点 1, 3 关于 y 轴对称；
.
（3）与点 2, 1 关于坐标原点对称； （4）与点 1,0 关于 y 轴对称．
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创设情景 兴趣导入 问题1 观察下列图形的是否具有对称性：
. x , 都有 x , ． 对任意的
f x x3 ， f x x x3 ，
3
故
高教社
f ( x) f ( x) ．
所以 f x x3 是奇函数．
巩固知识
典型例题
例 4 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x3 ； （2） f x 2x2 1 ； （3） f x x ； （4） f x x 1 ．
高教社
x 是非奇非偶函数．
巩固知识
典型例题
例 4 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x3 ； （2） f x 2x2 1 ； （3） f x x ； （4） f x x 1 ．
解（4）函数的定义域为 , ，
. 对任意的 x , 都有 x , ．
3.2.2
函数的奇偶性
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创设情景 兴趣导入 问题
如图所示：
P3
P2
Leabharlann Baidu
P1
点P(3,2)关于x 轴的对称点是点P1，其坐标为
点P(3,2)关于y 轴的对称点是点P2，其坐标为 点P(3,2)关于原点O 的对称点是点P3，其坐标为
；
； ．
演 示
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动脑思考 点的对称
探索新知
一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则
巩固知识
典型例题
例 4 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x3 ； （2） f x 2x2 1 ； （3） f x x ； （4） f x x 1 ．
解 （3）函数的定义域是 0, ．
.
由于 2 [0, ) 但是 2 [0, ) ， 所以函数 f x
演 示
高教社
巩固知识
典型例题
例 4 判断下列函数的奇偶性： （1） f x x3 ； （2） f x 2x2 1 ； （3） f x x ； （4） f x x 1 ．
分析
解（1）函数的定义域为 , ，
依照判断函数奇偶性的基本步骤进行．
f x x 1 ， f x x 1 x 1 ，
故
f x f x 且 f x f x ．
所以函数 f x x 1 是非奇非偶函数．
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应用知识
强化练习
教材练习3.2.2
2.判断下列函数的奇偶性： （1） f x x ；