巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型解决问题
探索角平分线夹角的奥秘
即两外角平分线所夹的锐角等于 90°减去与其不相邻的内角的一半.
四.四边形相邻两内角平分线所夹的角. 例 如图,在四边形ABCD中,∠ADC与 ∠DCB的角平分线相较于点P,且∠A=α， ∠B=β.求∠CPD. 解∵CP平分∠BCD, ∴∠BCD=2∠1, 同理：∠ADC=2∠2. ∵∠CBD+∠A+∠B+∠BCD=360˚. D 21 C ∠A=α,∠B=β. ∴2∠1+2∠2+α+β=360˚. P 1 ∴∠1+∠2=180˚- —（α+β） A B 2 1 ∴∠CPD=180˚-(∠1+∠2)= —（α+β）. 2
探索角平分线夹角的奥秘
例1 如图,在ΔABC中,若点P是∠ABC与 ∠ACB的角平分线的交点,∠A=α ,求 ∠BPCP平分∠ABC,CP平分∠ACB ∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2. ∵∠A＋∠ABC＋∠ACB=180 .∠A=α ∴α ＋2∠1＋2∠2= 180 1 ∴∠1＋∠2= 90 - 2 α ∵∠1＋∠2＋∠BPC= 180 1 2 ∴∠BPC= 90 ＋1 α
即四边形相邻两内角平分线的夹角 等于其它两角的内角和的一半.
即一内角平分线与不相邻外角平分 线所夹的锐角等于第三个角的一半.
三、两条外角平分线的夹角 例在△ABC中,若点P是∠ABC与∠ACB如图 处外角平分线的交点,∠A=α ,求∠BPC的大 小. 解∵BP平分∠CBE,CP平分∠BCD
∴∠CBE=2∠2,∠BCD=2∠1. ∵∠CBE=∠A+∠3,∠BCD=∠A+∠4. ∴∠CBE+∠BCD=2∠2+2∠1 =2∠A+∠3+∠4. ∵∠A+∠3+∠4=180 , ∠A=α. 1 ∴∠1+∠2= 2α+ 90 ∴∠BPC=180 -(∠1+∠2) 1 1 3 2 4 =90- 2α.
三角形中的特殊模型-双角平分线模型(解析版)
三角形中的特殊模型-双角平分线模型模型1、双角平分线模型1)两内角平分线的夹角模型条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BE ，CF 交于点G ；结论：∠BGC =90°+12∠A ．图1图2图32)两外角平分线的夹角模型条件：如图2，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：∠O =90°-12∠A ．3)一个内角一个外角平分线的夹角模型条件：如图3，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点P ；结论：∠P =12∠A ．图4图5图64)凸多边形双内角平分线的夹角模型条件：如图4，BP 、CP 平分∠ABC 、∠DCB ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠D 5)两内角平分线的夹角模型条件：如图5，BP 、DP 平分∠BCD 、∠CDE ，两条角平分线相交于点P ；结论：2∠P =∠A +∠B +∠E -180°6)一个内角一个外角平分线的夹角模型(累计平分线)条件：如图6，∠A =α，∠ABC ,∠ACD 的平分线相交于点P 1，∠P 1BC ,∠P 1CD 的平分线相交于点P 2，∠P 2BC，∠P2CD的平分线相交于点P3⋯⋯以此类推；结论：∠P n的度数是α2n．7)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD 1(2023·绵阳市八年级课时练习)如图，在ΔABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC=.【答案】115°【分析】先根据角平分线的性质求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.【详解】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=12(80°+50°)=65°，∴∠BPC=180°-65°=115°.【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.2(2023·河南周口·八年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P=()A.90°+12∂ B.90°-12∂ C.12∂ D.180°-12∂【答案】C【分析】根据四边形的内角和求得∠ABC+∠BCD=360°-∂，再根据角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，再根据三角形内角和即可求解．【详解】解：在四边形ABCD中，∠A+∠D=∂，∴∠ABC+∠BCD=360°-∂，由题意可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠BCD，∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠BCD=180°-∂2，∴∠BPC=180°-∠PBC+∠PCB=12∂故选：C．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．3(2023秋·山西太原·八年级校考期末)已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC．(1)猜想：∠BPC与∠ABP、∠ACP、∠A存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，直接利用(1)中结论，可得∠BPC的度数为．【答案】(1)∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明见解析(2)106°【分析】(1)根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，再结合∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP即可得到结论；(2)先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到∠ABC+∠ACB=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，再代入(1)中结论求解即可．【详解】(1)解：猜想：∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP，证明：由题意得：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BPC+∠CBP+∠BCP=180°，∵∠CBP=∠ABC-∠ABP，∠BCP=∠ACB-∠ACP，∴∠BPC+∠ABC-∠ABP+∠ACB-∠ACP=180°，∴∠BPC+∠ABC+∠ACB-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC+180°-∠A-∠ABP+∠ACP=180°，∴∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP；(2)解：∵∠A=69°，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=111°，∠ABP=13∠ABC，∠ACP=13∠ACB，∴∠BPC=∠A+13∠ABC+∠ACB=69°+37°=106°．故答案为：106°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．4(2023秋·成都市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-58°= 122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°-(∠BAC+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA=12(∠DAC+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．5(2023·绵阳市·八年级专题练习)如图，已知在ΔABC中，∠B、∠C的外角平分线相交于点G，若∠ABC =m°，∠ACB=n°，求∠BGC的度数.【答案】∠BGC=12m°+n°【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，在ΔBCG中，∠BGC=180°-12∠EBC+12∠BCF=180°-12(∠EBC+∠BCF)=180°-12(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=180°-12(180°-m°+180°-n°)；=12m°+n°【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．6(2023春·广西·七年级专题练习)如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数【答案】40°【分析】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．【详解】由题意：设∠ABE =∠EBC =x ，∠ACE =∠ECD =y ，则有2y =2x +∠A ①y =x +∠E ②，①-2×②可得∠A =2∠E ，∴∠E =12∠A =40°．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．7(2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习)如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得A 2；⋯；∠A 2019BC 与∠A 2019CD 的平分线相交于点A 2020，得∠A 2020，则∠A 2020=．【答案】α22020【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得∠A 1=12∠A ，同理得∠A 2=12∠A 1=α22；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，∠A =α，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1∴∠A 1=180°-12∠ABC -∠ACB -12∠ACD ∵∠ACD =∠A +∠ABC ∴∠A 1=180°-∠ABC -∠ACB -12∠A∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°∴∠A 1=12∠A 同理，得∠A 2=12∠A 1=12×12∠A =α22；∠A 3=12∠A 2=12×12×12∠A =α23；∠A 4=12∠A 3=12×12×12×12∠A =α24；⋯∠A n =12∠A n -1=α2n ∴∠A 2020=α22020故答案为：α22020．【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．8(2023·河北·九年级专题练习)问题情境：如图1，点D 是△ABC 外的一点，点E 在BC 边的延长线上，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ．试探究∠D 与∠A 的数量关系．(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D=；如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A=100°，其余条件不变，则∠D=；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在(1)中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析【分析】(1)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．(2)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用∠A和∠D表示出∠ACE，再根据角平分线的定义得到∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，然后整理即可．【详解】(1)解：如图2，∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠ACE=120°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=30°，∠DCE=60°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=30°；如图3，∵ΔABC是等腰三角形，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∠ACE=140°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．∴∠DBC=20°，∠DCE=70°，∵∠DCE=∠D+∠DBC，∴∠D=50°；故答案为30°，50°，1:2；(2)解：成立，如图1，在ΔABC中，∠ACE=∠A+∠ABC，在ΔDBC中，∠DCE=∠D+∠DBC，⋯(1)∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，∴∠ACE=2∠DCE，∠ABC=2∠DBC，又∵∠ACE=∠A+∠ABC，∴2∠DCE=∠A+2∠DBC，⋯(2)由(1)×2-(2)，∴2∠D+2∠DBC-(∠A+2∠DBC)=0，∴∠A=2∠D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．9(2023·重庆·七年级专题练习)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现∠BOC=90°∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线+12∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=90°+12∠A(1)探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．(2)探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(直接写出结论)(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？(直接写出结论)(4)运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=度．【答案】(1)∠BOC=12∠A；(2)∠BOC=90°-12∠A；(3)∠BOC=12(∠BAD+∠CDA)；(4)95【分析】(1)根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；(2)根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；(3)由角平分线的性质、四边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；(4)由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．【详解】(1)探究2结论：∠BOC=12∠A理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACD∵∠ACD是△ABC的一个外角∴∠ACD=∠A+∠ABC∴∠2=12∠ACD=12(∠A+∠ABC)=12∠A+∠1∵∠2是△BOC的一个外角∴∠BOC=∠2-∠1=12∠A+∠1-∠1=12∠A(2)探究3结论：∠BOC=90°-12∠A∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线∴∠OBC=12∠DBC，∠OCB=12∠ECB∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A 两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A即∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)+∠A∴180°-∠BOC=12(180°-∠A)+∠A整理得：∠BOC=90°-12∠A(3)拓展结论：∠BOC =12(∠A +∠D )∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠BCD 的角平分线∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠BCD ∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠BCD )=12(360°-∠A -∠D )=180°-12(∠A +∠D )在△BOC 中，180°-∠BOC =∠OBC +∠OCB∴180°-∠BOC =180°-12(∠A +∠D )∴∠BOC =12(∠BAD +∠CDA )(4)运用：∵CP 和DP 分别是∠DCF 和∠GDC 的角平分线∴∠PCD =12∠DCF ，∠PDC =12∠GDC∴∠PCD =12(180°-∠DCB )，∠PDC =12(180°-∠EDC )∴∠PCD +∠PDC =12(360°-∠DCB -∠EDC )∵∠DCB +∠EDC =540°-∠A -∠B -∠E =190°∴∠PCD +∠PDC =12(360°-190°)=85°在△CPD 中，∠CPD =180°-(∠PCD +∠PDC )=180°-85°=95°故答案为：95【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．课后专项训练1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，OG 平分∠MON ，点A ,B 是射线OM ，ON 上的点，连接AB ．按以下步骤作图：①以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点C ，交BN 于点D ；②分别以点C 和点D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧相交于点E ；③作射线BE ，交OG 于点P ．若∠ABN =140°，∠MON =50°，则∠OPB 的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°【答案】B【分析】根据条件可知BP 平分∠ABN ，则可求出∠PBN ，根据OG 平分∠MON 求出∠BOG ，进而利用∠PBN =∠POB +∠OPB 即可求出答案．【详解】由作法得BP 平分∠ABN ，∴∠PBN =12∠ABN =12×140°=70°，∵OG 平分∠MON ，∴∠BOP =12∠NOM =12×50°=25°，∵∠PBN =∠POB +∠OPB ，∴∠OPB =∠PBN -∠POB =70°-25°=45°．故选B ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．2(2023·江苏·八年级月考)ΔABC中，点O是ΔABC内一点，且点O到ΔABC三边的距离相等；∠A= 40°，则∠BOC=()A.110°B.120°C.130°D.140°【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∴∠OBC+∠OCB=70°，∴∠BOC=180°-70°=110°．故选：A．3(2023·成都·八年级月考)如图，ΔABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=()A.40°B.45°C.50°D.60°【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，设∠PCD=x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，∴PF=PM，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°，∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∴∠CAF=100°，在RtΔPFA和RtΔPMA中，PA=PA PM=PF，∴RtΔPFA≅RtΔPMA(HL)，∴∠FAP=∠PAC=50°．故选：C．4(2023·重庆·八年级专题练习)已知，如图，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为()A.45°B.48°C.60°D.66°【答案】D【分析】根据角平分线的性质定理证得PF=PH，PF=PG，进而得出PH=PG，从而判定AP平分∠CAD，再利用外角的性质求出∠CAD即可．【详解】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴PF=PH，PF=PG，∴PH=PG，∵PH⊥BD，PG⊥AC，∴AP平分∠CAD，∵∠ABC=48°，∠ACB=84°，∴∠CAD=∠ABC+∠ACB=48°+84°=132°，∴∠PAC=12∠CAD=66°．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．5(2023秋·绵阳市·八年级专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出∠ABO，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理求出∠BDC，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出AD为△ABC的外角平分线，然后列式计算求出∠DAC，即可判断D选项．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°，故A选项正确，不符合题意；∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=12×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B选项错误，符合题意；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE=12180°-∠ACB=12180°-60°=60°，在△COD中，∠BDC=180°-∠COD-∠ACD=180°-85°-60°=35°，故C选项正确，不符合题意；∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴D到AB、AC、BC的距离相等，∴AD是△ABC的外角平分线，∴∠DAC=12180°-∠BAC=12180°-70°=55°，故D选项正确，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．6(2022春·重庆黔江·七年级统考期末)如图，已知AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，CE，∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，若∠BFE=50°，则∠C等于( )．A.70°B.80°C.85°D.90°【答案】B【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，∵AB∥CD，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．7(2022春·北京海淀·七年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A 、B 两点，点C 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAO ，BD 平分∠ABO ，则∠D 的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】B 【分析】由OA ⊥OB 即可得出∠OAB +∠ABO =90°、∠AOB =90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D 的度数．【详解】解：∵OA ⊥OB ，∴∠OAB +∠ABO =90°，∠AOB =90°．∵DA 平分∠CAO ，∴∠DAO =12∠OAC =12(180°-∠OAB )．∵DB 平分∠ABO ，∴∠ABD =12∠ABO ，∴∠D =180°-∠DAO -∠OAB -∠ABD =180°-12(180°-∠OAB )-∠OAB -12∠ABO =90°-12(∠OAB +∠ABO )=45°．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D =90°-12(∠OAB +∠ABO )．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．8(2023·江苏·八年级月考)如图，ΔABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC =40°，则∠BAC 的度数是．【解答】解：在ΔABC 中，∠ACD =∠A +∠ABC ，在ΔPBC 中，∠PCD =∠P +∠PBC ，∵PB 、PC 分别是∠ABC 和∠ACD 的平分线，∴∠PCD =12∠ACD ，∠PBC =12∠ABC ，∴∠P +∠PCB =12(∠A +∠ABC )=12∠A +12∠ABC =12∠A +∠PCB ，∴∠PCD =12∠A ，∴∠BPC =40°，∴∠A =2×40°=80°，即∠BAC =80°．故答案为：80°．9(2023春·河北·七年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，延长BO 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠BOC =130°，则∠D =【答案】40°【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=12∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=12∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12(∠ACB+∠ACE)=12×180°=90°，∵∠BOC=130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．10(2022秋·浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的角平分线交于点A2，得∠A2，⋯⋯，∠A n-1BC和∠A n-1CD的角平分线交于点A n，得∠A n(1)若∠A=80°，则∠A1=，∠A2=，∠A3=(2)若∠A=m°，则∠A2015=．【答案】40°20°10°m 22015 °【分析】(1)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=1 2∠A1，∠A3=12∠A2，进而可求∠A2和∠A3；(2)利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=12∠A1，∠A3=12∠A2，⋯，以此类推可知∠A2015即可求得．【详解】解：(1)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC和∠ACD的角平分线交于点A1，∠A=80°∴∠A1CD=12∠ACD，∠A1BC=12∠ABC∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-∠ABC)=12∠A=40°同理可证：∠A2=12∠A1=20°，∠A3=12∠A2=10°故答案为：40°；20°；10°．(2)∵∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC∵∠ABC 和∠ACD 的角平分线交于点A 1，∠A =m °∴∠A 1CD =12∠ACD ，∠A 1BC =12∠ABC ∴∠A 1=∠A 1CD -∠A 1BC =12∠ACD -12∠ABC =12(∠ACD -∠ABC )=12∠A =m 2°同理可证：∠A 2=12∠A 1=m 22 °，∠A 3=12∠A 2=m 23 °∴∠A 2015=m 22015 °故答案为：m 22015°．【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A 1=12∠A ，并依此找出规律．11(2023·浙江杭州·八年级期末)如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠D =m °，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P =．(用含字母m 的代数式表示)【答案】12m o 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC +∠BCD 的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P 的度数即可．【详解】解：∵∠A +∠D =m °，且四边形内角和为360°，∴∠ABC +∠BCD =360°-m °，∵PB 、PC 是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，∴∠PBC =12∠ABC ，∠BCP =12∠BCD ，∴∠PBC +∠BCP =12∠ABC +12∠BCD =12∠ABC +∠BCD =12360°-m o ∴∠P =180°-(∠PBC +∠BCP )=180°-12360°-m o 故答案为：12m o ．【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC +∠BCP 的度数．12(2023春·河南·七年级专题练习)如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两外角平分线的交点，如果∠CMB ：∠CNB =3：2，那么∠CAB =．【答案】36°【分析】由角平分线的定义得∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB =108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．【详解】由题意得：∠NCM =∠MBN =12×180°=90°，∴∠CMB +∠CNB =180°，又∠CMB ：∠CNB =3：2，∴∠CMB =108°，∴12(∠ACB +∠ABC )=180°-∠CMB =72°，∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-(∠ACB+∠ABC)=36°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．13(2023·甘肃陇南·统考一模)在△ABC中，AB=AC，∠A=100°．点M在BC的延长线上，∠ABC 的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．(1)依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；(2)求∠BEC的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】(1)根据尺规作图法可作∠MCA的平分线；(2)根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=20°，∠MCE=∠DCE=70°，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】(1)解：如图，CE即为所求；(2)解：∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=20°，∵∠ACM=180°-40°=140°，CE是∠MCA的平分线，∴∠MCE=∠DCE=70°，∴∠BEC=∠MCE-∠CBD=70°-20°=50°．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．14(2023·山东八年级期中)如图，在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，过点B作BG⊥CF于点G，∠OBG=12∠BAC成立吗？说明理由.【答案】∠OBG=12∠BAC 成立，见解析.【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案【详解】解：∠OBG=12∠BAC成立．理由如下：∵在ΔABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，∠BOC=90°+12∠BAC．由三角形的外角性质得，∠BOC=∠G+∠OBG=90°+∠OBG，∴90°+12∠BAC=90°+∠OBG，∴∠OBG=12∠BAC【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．15(2023·黑龙江八年级课时练习)(1)如图(1)所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．(2)如图(2)所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？【答案】(1)∠BOC=12∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=12∠A；理由见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．【详解】(1)∠BOC=12∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，又∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．∴∠BOC+12∠ABC+12∠ACB=180°．∴∠BOC=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12∠A．(2)∠BOC=12∠A．∵∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，∴∠A=∠ACE-∠ABC，∠BOC=∠OCE-∠OBC又∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=12∠ACE-12∠ABC=12(∠ACE-∠ABC)=12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．16(2023春·八年级单元测试)如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．(1)若∠A=70°，求∠D的度数；(2)若∠A=a，求∠E；(3)连接AD，若∠ACB=β，则∠ADB=．【答案】(1)35°；(2)90°-12α；(3)12β【分析】(1)由角平分线的定义得到∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；(2))根据角平分线的定义得到∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由(1)知∠D=12∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-12α；(3)根据角平分线的定义可得，∠ABD=12∠ABC，∠DAM=12∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：(1)∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，∴∠DCG=12∠ACG，∠DBC=12∠ABC，∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=12∠A=35°；(2)∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=12∠ABC，∠CBE=12∠CBF，∴∠DBC+∠CBE=12(∠ABC+∠CBF)=90°，∴∠DBE=90°，∵∠D=12∠A，∠A=α，∴∠D=12α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-12α；(3)如图，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=12∠ABC，∴∠DAM=12∠MAC，∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，∴∠ADB=12∠ACB=12β．故答案为：12β．【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．17(2023·福建泉州·七年级阶段练习)在ΔABC 中，已知∠A =α.(1)如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．①当α=80°时，∠BDC 度数=度(直接写出结果)；②∠BDC 的度数为(用含α的代数式表示)；(2)如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ,求∠BFC 的度数(用含α的代数式表示)．(3)在(2)的条件下，将ΔFBC 以直线BC 为对称轴翻折得到ΔGBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M (如图3)，求∠BMC 的度数(用含α的代数式表示)．【答案】(1)①130°；②90°+12α；(2)∠BFC =12α(3)∠BMC =90°+14α【详解】：(1)①130°；②90°+12α；(2)∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴∠FBC =12∠ABC ,∠FCE =12∠ACE ∴∠BFC =∠FCE -∠FBC =12∠ACE -∠ABC =12∠A 即∠BFC =12α(3)由轴对称性质知：∠BGC =∠BFC =12α由(1)②可得∠BMC =90°+12∠BGC ∴∠BMC =90°+14α．18(2023·江苏盐城·七年级阶段练习)如图，△ABC 的角平分线相交于P ，∠A =m °,(1)若∠A =40°,求∠BPC 的度数；(2)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于Q ，且∠A =m °，求∠BQC 的度数(3)设△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的n 等分线相交于R ，且∠A =m °，∠CBR =1n ∠CBD ，∠BCR =1n ∠BCE ，求∠BRC 的度数【答案】(1)110°(2)90°+12m °(3)n -1n ×180°-m n(此结果形式可以不同，只要正确皆可)【详解】试题分析：(1)根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；(2)(3)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．试题解析：解：(1)∵∠A =40°，∴∠ABC +∠ACB =180°-40°=140°．∵BP 、CP 是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB =2∠PCB ，∴∠PBC +∠PCB =12(∠ABC +∠ACB )==12×140°=70°，∴∠P =180°-70°=110°．(2)∵∠DBC =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，∴∠DBC +∠BCD =2∠A +∠ABC +∠ACB =∠A +180°=m +180°．∵BQ ，CQ 是角平分线，∴∠DBC =2∠QBC ，∠BCE =2∠BCQ ，∴∠QBC +∠BCQ =12(∠DBC +∠ECB )=12(m +180°)=90°+12m ．在△BCQ 中，∠Q =180°-(∠QBC +∠BCQ )=180°-90°+12m =90°-12m ．(3)由(2)得：∠DBC +∠BCD =m +180°，∠RBC +∠BCR =1n (∠DBC +∠ECB )=1n (m +180°)．在△BCR 中，∠R =180°-(∠RBC +∠BCR )=180°-1n (m +180°)=n -1n ×180-m n．点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．19(2023·江西上饶·八年级校考阶段练习)(1)探究1:如图1,P 是△ABC 的内角∠ABC 与∠ACB 的平分线BP 和CP 的交点,若∠A =70∘，则∠BPC =度；(2)探究2:如图2，P 是△ABC 的外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BP 和CP 的交点，求∠BPC 与∠A的数量关系?并说明理由．(3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD 的外角∠EBC 与∠BCF 的平分线BP 和CP 的交点，设∠A +∠D =α.,直接写出∠BPC 与α的数量关系；【答案】(1)125°；(2)∠BPC =90°-12∠A ，理由见解析；(3)∠BPC =180°-12α【分析】(1)借助角平分线的性质即可得到∠PBC =12∠ABC 以及∠PCB =12∠ACB ，然后在△BPC 中进一步分析可找出∠BPC 与∠A 的关系，进而求出∠BPC 的度数；(2)根据三角形内角和定理可知∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )，根据角平分线的定义可用12(∠DBC +∠ECB )表示∠PBC +∠PCB ，再利用三角形外角性质得到∠DBC +∠ECB =∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ，即可求出∠BPC 与∠A 的关系；(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，由(2)的分析可直接得出∠P 与∠Q 的关系，而∠BAD 与∠CDA 是△ADQ 的外角，再结合三角形外角性质即可解答.【详解】(1)解：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12(180°-∠A )=90°+12∠A =90°+35°=125°故答案为125°(2)∠BPC =90°-12∠A 理由如下：∠BPC =180°-(∠PBC +∠PCB )=180°-12(∠DBC +∠ECB )=180°-12(∠A +∠ACB +∠A +∠ABC )=180°-12(∠A +180°)=90°-12∠A(3)延长BA 、CD 相交于点Q ，如图∠BPC =90°-12∠Q ∴∠Q =180°-2∠BPC ∴∠BAD +∠CDA =180°+∠Q =180°+180°-2∠BPC =360°-2∠BPC∴∠BPC =180°-12α故答案为∠BPC =180°-12α【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.20(2023·甘肃天水·七年级统考期末)已知在△ABC 中，图1，图2，图3中的△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点O ，(1)如图1，点O 是△ABC 的两个内角平分线的交点，猜想∠O 与∠A 之间的数量关系，并加以证明．(2)请直接写出结果．如图2，若∠A =60°，△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点O ，则∠O =；如图3，若∠A =60°，△ABC 的两个外角平分线交于点O ，则∠O =．【答案】(1)∠O =90°+12∠A ，证明见解析；(2)30°；60°．【分析】(1)根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，对角度进行等价代换即可；(2)图2中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠ABC ，∠OCM =12∠ACM ，再根据三角形外角的性质得到∠O =∠OCM -∠OBC 和∠A =∠ACM -∠ABC ，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到∠OBC =12∠PBC ，∠OCB =12∠QCB ，再根据三角形的内角和定理得到△ABC 和△OBC 的三个内角的和是180°，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．【详解】解：(1)∠O =90°+12∠A ．证明：∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠O =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-12∠ABC +12∠ACB =180°-12(∠ABC +∠ACB )=180°-12180°-∠A =90°+12∠A ．即∠O =90°+12∠A ．(2)30°；60°．如图2所示：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACM，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCM=12∠ACM，∴∠O=∠OCM-∠OBC=12∠ACM-12∠ABC=12(∠ACM-∠ABC)=12∠A．∵∠A=60°∴∠O=12∠A=12×60°=30°．即∠O=30°．如图3所示：∵BO平分∠PBC，CO平分∠QCB，∴∠OBC=12∠PBC，∠OCB=12∠QCB，∴∠O=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-12∠PBC+12∠QCB=180°-12180°-∠ABC+12180°-∠ACB=12∠ABC+12∠ACB=12∠ABC+∠ACB=1 2180°-∠A．∵∠A=60°∴∠O=12180°-∠A=12×180°-60°=60°．即∠O=60°．故答案为：30°；60°．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．21。
专题16 角平分线四大模型(解析版)
专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。
本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。
1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。
这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。
例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。
这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。
2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。
这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。
以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。
这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。
3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。
以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。
4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。
以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。
这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。
综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。
这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。
巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；AAD B D CCBC如图32 如图1如图D【分析】三个结论的证明A例1、如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线，1D。
+∠A试说明：∠D=90°2为角平分线BD、CD（方法一）解：∵CB11。
∠BCD＝∠ACBCBD∴∠＝∠ABC，22）°－（∠CBD＋∠BCDBCD在△中：∠D＝1801 ABC＋∠ACB）＝180°－（∠21°－∠A）＝180°－（180 211A∠°－＝180×180°＋221A＝90°＋∠2E 并延长交BC于点（方法二）解：连接AD CD为角平分线、解：∵BD11∠BCD＝ACB。
＝∴∠CBD∠ABC，∠22A的外角是△∵∠BDEABDABD∴∠BDE＝∠BAD+∠1D ABC∠=BAD+∠2CBE．1同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB2又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE11∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB221＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）21＝∠BAC+（180°－∠BAC）21＝90°＋∠BAC2例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，1试说明：∠D=90°－∠A。
2解：∵BD、CD为角平分线1∴∠CBD=∠CBE21∠BCD＝∠BCF2又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角∴∠CBE＝∠A＋∠ACB∠BCF＝∠A＋∠ABC∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）11＝180°－（∠CBE＋∠BCF）221＝180°－（∠CBE＋∠BCF）21＝180°－（∠A＋180°）21＝90°－∠A2【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O ，根据下列条件，求∠BOC 的度数。
(1)若∠ABC =80∘,∠ACB =40∘，则∠BOC =___；
(2)若∠ABC =∠ACB =80∘，则∠BOC =___；
(3)若∠A =90∘，则∠BOC =___；
(4)若∠A =x ∘，则∠BOC =___；
(5)探究：从以上四个小题中，你能得出∠BOC 与∠A 的数量关系吗?若能，写出∠BOC 与∠A 的关系，并说明理由。
3、如图，在△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB ，AC 到D ，E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
A)若∠A=50∘,则∠P=65∘=90∘−
2
50︒； B)若∠A=90∘,则∠P=45∘=90∘−2
90︒； C)若∠A=100∘,则∠P=40∘=90∘−2100︒；
(1)根据上述规律,若∠A=150∘，则∠P=_____________________；
(2)请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系；
(3)请说明你的结论。
4、如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC 与∠ACB的相邻外角的角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=_____，∠D=____，∠E=____.。
巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型
BBECB A巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ）＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21（∠A ＋180°）＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
双角平分线模型题型巧记
双角平分线模型题型巧记
双角平分线三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系可以总结为三种模型：
模型一：当这两个角为内角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的和。
模型二：当这两个角为外角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的差。
模型三：当这两个角为一内角、一外角时，这个夹角等于第三个角一半。
为了方便记忆，可以总结为“内内90°加一半，外外90°减一半，内外就一半”。
以上信息仅供参考，如果您在学习数学过程中有任何疑问，建议咨询专业人士以获得更好的帮助。
七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结
七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结写在前面在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩一个重要模型和内外角的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留至期中复习吧．一、三角形内外角平分线夹角模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后一个重要模型，要结合整体思想，外角定理综合运用．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，比如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补角的角平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三角形三条角平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作用，∠2可以作为△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA 的和，又是∠AOB的邻补角，∠AOB是三角形两内角平分线的夹角，因此本题既可以用一步一步完成，也可用结论模型口算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是一道将三个模型结合在一起的题目，我们要关注哪些角可以求，∠BDC是两内角平分线的夹角，则知道∠A即可求，∠E是两外角，∠MBC，∠NCB的角平分线的夹角，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．二、多边形内外角计算例1：一个学生计算多边形的内角和，少算了一个内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍数，我们可以用1400除以180，算出其余数，那么自然可得，少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数，而根据多边形每个内角必然小于180°，则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内角度数为40°，边数为10．例2：一个学生计算多边形的内角和，多算了一个外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上一题的变式，方法还是用1400除以180，算出其余数，那么多算的外角度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外角度数为140°，边数为9．例3：一个多边形每个内角都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内角和公式入手，也可以逆向思维，求出每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC 上，线段DC延长线上，在延长线上时，又要考虑垂足Q的位置，可能在线段AB 上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两小题的图汇总在一起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD 上讲思考题答案。
巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
三角形边长的求解 方法
三角形边长求解的 步骤
三角形边长求解的 实例
三角形内外角平分线夹角模型的应 用场景
三角形内切圆半径的几何意义
添加标题
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三角形内切圆半径的求解方法
添加标题
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三角形内切圆半径在解题中的应用
三角形内外角平分 线夹角模型的解题 思路
确定三角形内外角平分 线的位置是解题的关键 步骤，可以通过作图或 逻辑推理来确定。
三角形内外角平分线夹角与三角形其他角的关系 三角形内外角平分线夹角的定理和证明 三角形内外角平分线夹角的性质定理及其应用 三角形内外角平分线夹角与三角形面积的关系
确定三角形内外角平分线夹角 的位置和性质
利用三角形内外角平分线夹角 进行角度计算
利用三角形内外角平分线夹角 解决几何问题
三角形内外角平分线夹角的特 殊性质和定理
该模型的应用范围广泛，不仅适用于三角形，还可以拓展到多边形等领域。
掌握三角形内外角平分线夹角模型有助于提高学生的几何思维能力，为进一步学习其他几何知 识打下基础。
在实际生活中，三角形内外角平分线夹角模型的应用也十分广泛，涉及到建筑设计、工程测量 等多个领域。
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在解题过程中，需要利 用三角形内外角平分线 的性质，如平行线性质、 角平分线性质等。
确定三角形内外角平分线 的位置有助于进一步推导 和证明其他相关结论，如 三角形内角和定理、外角 定理等。
在实际应用中，确定三角 形内外角平分线的位置可 以帮助解决一些实际问题， 如测量、几何作图等。
定义：三角形内外角平分线夹角为α，利用性质建立方程
三角形面积计算 案例：一个三角 形的三边长分别 为5cm、6cm和 7cm，求其面积
与角平分线有关的基本模型 ppt课件
12．感知：如图 1，AD 平分∠BAC.∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易 知：DB＝DC.
探究：如图 2，AD 平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°， 求证：DB＝DC.
图1
图2
1．(2019·大庆)如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外
角∠ACM 的平分线，BE 与 CE 相交于点 E.若∠A＝60°，则∠BEC＝( B )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
2．(2018·黄石)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分
解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角 平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两 端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．
8．(2019·陕西)如图，在△ABC 中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E.若 DE＝1，则 BC 的长为(A )
图3 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
③采用截长补短法构造全等三角形 如图 3，在△ABC 中，BC>BA，BO 是∠ABC 的平分线．
(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE， 则△BEO≌△BAO；
( 补 短 法 ) 延 长 BA 至 点 D ， 使 BD ＝ BC ， 连 接 OD，则△BDO≌△BCO.
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内 角的一半．
模型3 两外角平分线的夹角 ∠如A之图间，的在关△系AB为C：中∠，OBO＝，90C°－O是12∠△AA．BC的外角平分线，则∠O与
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的 一半的差．
三角形角平分线的结论及应用
浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。
本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。
关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。
（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。
（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。
关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。
在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。
下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。
结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。
试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。
∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。
1∠Ａ。
则∠Ａ=2∠D―180°，解:由结论1得知，∠D=９０°＋2容易得出∠Ａ=20°（图2）（2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100°∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。
三角形双内角平分线模型
=2∠C
A “燕尾” 连接AP。延长到E
34
∠1=∠B+∠3
P
∠2=∠C+∠4 ∠BPC=∠1+∠2
12
B
E
C
=∠B+∠3+∠C+∠4
=∠A+∠B+∠C
即∠A+∠B+∠C=∠P
∵∠A+∠B+∠1=180° ∠C+∠D+∠2=180°
又∵∠1=∠2 ∴∠A+∠B=∠C+∠D
B
A
“8字型”
1
2
C
D
P63例11（4）如图5，∠BAC与∠BDC的角平分线相交于点F，∠GDC与 ∠CAF的角平分线相交于点E，已知∠B=26°，∠C=54°，求∠F和∠E的
=360°-（70°-∠1）-（166°-2∠1）-3∠1
=124°
F B
P63例11（4）如图5，∠BAC与∠BDC的角平分线相交于点F，∠GDC与
∠CAF的角平分线相交于点E，已知∠B=26°，∠C=54°，求∠F和∠E的
度数。
A
解：∠F=180°-∠8-∠3
=180°-（166°-2∠1）-2∠1 =14°
度数。
A
解：由（1）知∠BDC=∠B+∠C+∠BAC=80°+4∠1
∠5=1/2∠BDC=40°+2∠1 ∴∠7=1/2∠CDG=1/2（180°-∠5）
G 3 21
8
E
=90°-1/2∠5=70°-∠1 ∠8=∠B+∠9=26°+180°-∠4=206°-∠4
9D7 6 5
C
=166°-2∠1
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
初中数学探索三角形内角平分线的夹角
探索三角形的内（外）角平分线的夹角课本探究了三角形的内角与外角的问题，也研究了角的平分线的特性，现在我们来探究一下三角形的内（外）角平分线的夹角有什么性质．探索一：由两条内角平分线所组成的角如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，那么∠BOC与∠A有什么关系呢？证明你的猜想．图1探索与分析：因为BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，所以∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，在△OBC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，由此得到结论．结论1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于90°与第三角一半的和．探索二：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角如图2，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，试问∠P与∠A有什么关系？证明你的结论．图2探索与分析：因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，所以∠1= ∠ACD，∠2=∠ABC，又因为∠1是△PBC的外角，所以∠1=∠P+∠2，所以∠P=∠1-∠2= （∠ACD-∠ABC），因为∠ACD=∠A+∠ABC，所以∠A=∠ACD-∠ABC，所以∠P= ∠A，由此得到结论．结论2：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角等于第三角的一半．拓展：在上题的△OBC中，继续作∠1与∠2的平分线，得到的锐角与∠A有何关系？依此下去连作n次，最后得到的角与∠A又有什么样的关系呢？（请同学们自己画图思考）探索三：由两条外角平分线所组成的角如图3，△ABC中，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点P，试问∠P与∠A有什么关系？证明你的结论．图3探索与分析：因为BP、CP分别平分∠DBC，∠ECB，所以∠1= ∠DBC，∠2= ∠ECB，在△PBC中，∠P=180°-（∠1+∠2）=180°- （∠DBC+∠ECB）=180°- （180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°- [360 °-（∠ABC+∠ACB）] = （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A）=90°- ∠A，由此得到结论．结论3：由三角形两条外角平分线所组成的角等于90°与第三角一半的差．请同学们试用上述三个结论解决下列问题：1．如图4，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ．若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．2．如图5，点A、B是平面直角坐标系xoy中两坐标轴上的点，BC平分∠ABO，AD 平分∠BAO的外角，BC与AD的反向延长线交于点E，试问：当点A、B在两坐标轴上移动时（不与点O重合），∠AEB的大小是否发生变化？并说明理由？答案：1．140°，40°．2．不变，因为由结论2知，不论A、B两点如何移动，∠AEB总等于∠AOB，即为45°．。
〖2021年整理〗《三角形的内外角平分线夹角的探究与延拓》优秀教案
三角形的内外角平分线夹角的探究与延拓我们探究了三角形的内角与外角的问题，也研究了角的平分线的特性，现在我们来探究一下，三角形的内外角平分线的夹角有什么性质探索一：由两条内角平分线所组成的角如图1，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，那么∠BOC 与∠A 有什么关系呢？证明你的猜想探索与分析：因为BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，所以∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，在△OBC 中，∠BOC=1800-∠1∠2=1802-12∠ABC ∠ACB=1800-121800-∠A=90012∠A ，由此得到结论点评：解决本题的关键在于两条角平分线架起了与之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡，细心审题，发现已知与所求之间的联系常是解题的关键结论1：由三角形的两条内角平分线所组成的角等于900与第三角一半的和 延拓一：如图所示，ΔABC 中，∠A=42°，1如图2，若∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点D ，求∠BDC 的度数2如图3，若∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于点,,21D D 求∠C BD 2的度数 3如图3，若∠ABC 和∠ACB 的四等分线分别交于点,,,321D D D 求C BD 3∠的度数 4如图4，若∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别交于点1321,,,-n D D D D ，求C BD n 1-∠的度数分析：在图2中，观察到BDC ∠在BDC ∆中，而DBC ∠和DCB ∠分别是原三角形中ABC ∠和ACB ∠的二分之一，所以只要求出()ACB ABC ∠+∠21即可；同样道理，在图3中，只要求出()ACB ABC ∠+∠32…第4个图形中，只要求出()ACB ABC nn ∠+∠-1 2A BCO1 图1图2图4图3解：1() 11121180=∠+∠-=∠ACB ABC BDC ； 2∠()221801523BD C ABC ACB =-∠+∠= 3∠()33180148.54BD C ABC ACB =-∠+∠=4∠()11180n n BD C ABC ACB n--=-∠+∠探索二：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角如图5，，△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与∠A 有什么关系？证明你的结论探索与分析：因为BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，所以∠1=12∠ACD ，∠2=12∠ABC ，又因为∠1是△PBC 的外角，所以∠1=∠P ∠2，所以∠P=∠1-∠2=12∠ACD-∠ABC ，因为∠ACD=∠A ∠ABC ， 所以∠A=∠ACD-∠ABC ，所以∠P=12∠A ，由此得到结论结论2：由三角形一个角的内角平分线和另一个角的外角平分线所组成的角等于第三角的一半 延拓二：如图6所示，已知ΔABC 中，∠A=96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于点1A ，CD A BC A 11,∠∠的平分线交于点,2A 依次类推，CD A BC A 55,∠∠的平分线交于点,6A 求6A ∠的大小分析：利用外角的性质和角平分线的定义解答本题图5A12BCPD图6解：在A ABC ACD BC A CD A A ，BC A ∠=∠-∠=∠-∠=∠∆2121211111中； 同样道理，在A A BC A CD A BC A CD A A ，BC A ∠⎪⎭⎫⎝⎛=∠=∠-∠=∠-∠=∠∆2111222*********中；依此类推，⎪⎭⎫⎝⎛=⨯=∠⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠23966412166A A归纳总结：探究规律题的魅力体现在观察和发现变化中隐含着不变的规律，常见的观察活动主要有三条途径：1数与式的特征的观察；2从几何图形的结构观察；3通过简单、特殊情况的观察，再推广到一般情况同学们在学习中要善于从现有的条件、结论，通过观察、联想，进而猜想到我们未知的知识探索三：由两条外角平分线所组成的角如图7，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角平分线交于点P ，试问∠P 与∠A 有什么关系？证明你的结论探索与分析：因为BP 、CP 分别平分∠DBC ，∠ECB ，所以∠1=12∠DBC ，∠2=12∠ECB ，在△PBC 中，∠P=1800-∠1∠2=1802-12∠DBC ∠ECB=1802-121802-∠ABC1800-∠ACB=1802-12[3600-∠ABC ∠ACB]=12∠ABC ∠ACB=121800-∠A=900-12∠A ，由此得到结论结论3：由三角形两条外角平分线所组成的角等于900与第三角一半的差12 BAE CD P图7。
三角形角平分线模型求角度
模型建构，指的是将我们平时看起来比较复杂的问题，通过模型建构，得到一些通用的结论，多进行这样的模型积累，不仅能够丰富我们的解题思路，还可以提高我们的做题准确率与速度。
解题tips ：记忆积累常见模型与对应结论今天小编就分享几个角平分线的模型，一起来看看你属于什么段位吧。
青铜------三角形角平分线模型模型一：双内角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB.结论：∠P=90°+A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠BCP=β，则∠A+2（∠α+∠β）=180°①∠P+（∠α+∠β）=180° ②②-2⨯①得：2∠P -∠A=180°∴∠P=90°+A 21∠模型二：一内一外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACD结论：∠P=A 21∠证明：不妨设∠ABP=∠CBP=α，∠ACP=∠DCP=β， 则∠A+2α=2β，∠P+α=β，可得：∠A=2（β-α），∠P=β-α，∴∠P=A 21∠模型三：两外角平分线模型如图，在ABC Δ中，BP 平分外角∠CBD ，CP 平分外角∠BCE 结论：∠P=90°-A 21∠证明：不妨设∠CBP=∠DBP=α，∠BCP=∠ECP=β， 则∠ABC=180°-2α，∠ACB=180°-2β，可得：A ∠+（180°-2α）+（180°-2β）=180°① ∠P+（α+β）=180°②①+②2⨯得：2∠P+A ∠=180°∴∠P=90°-A 21∠王者------n 等分线（拓展延伸）拓展模型一：内角n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是∠ACB 的两条三等分线。
结论：A 3260p 1∠+︒=∠，A 31120p 2∠+︒=∠证明方法和上面题相似，结论可有如下规律：（1）当BP 为角平分线时，∠P=90°+A 21∠，变形得：∠P=A 2118021∠+︒⨯ （2）当1BP 、2BP 是三等分线时，A 3260P 1∠+︒=∠变形得：A 3218031P 1∠+︒⨯=∠ A 31120P 2∠+︒=∠变形得：A 3118032P 2∠+︒⨯=∠ （3）推广到一般情况：当1BP 、2BP 、 1-n BP 是n 等分线时，A 11801P 1∠-+︒•=∠n n n A 21802P 2∠-+︒•=∠nn nA 11801P 1-n ∠+︒•-=∠nn n 拓展模型二：一内一外n 等分线如图，1BP 、2BP 是∠ABC 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠ACD 的两条三等分线 结论：A 32p 1∠=∠，A 31p 2∠=∠证明方法和前面类似结论推广到n 等分情况：A 1P 1∠-=∠n n A 2P 2∠-=∠n n A 1P 1-n ∠=∠n拓展模型三：两外角n 等分线如图，1BP 、2BP 是外角∠CBD 的两条三等分线，1CP 、2CP 是外角∠BCE 的两条三等分线 结论：A 31120p 1∠-︒=∠，A 3260p 2∠-︒=∠推广到一般情况：结论：A 11801P 1-n ∠--︒•=∠nn n ，如图可得显然有些情况并不符合，有可能会存在 0A 11801P 1-n <∠--︒•=∠n n n 那样就不存在了。
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BBECBA巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学 严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ）＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21（∠A ＋180°）＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
例３：如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，CD 为∠ＡＣＥ的平分线，试说明：∠D ＝21∠A ；解：∵BD 为角平分线，∴∠CBD ＝21∠ABC ，又∵CD 为∠ACE 的平分线∴∠DCE=21∠ACE ，DCBA而∠DCE 为△BCD 的一个外角 ∴∠DCE=∠D+∠DBC ， 即∠D ＝∠DCE －∠DBC∴∠D ＝21∠ACE －21∠ABC＝21（∠ACE －∠ABC ）＝21∠A 。
【巧借模型解决问题】一、 运用模型直接求值例4、如图，在△ABC 中，∠Ａ=400，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，则∠BDC= 0【思路分析】由条件知，这是图1的模型：三角形两条内角平分线的夹角，∴∠BDC ＝90°＋21∠A当∠Ａ=400时，∠BDC=90°＋20°=110° 反之，如果已知∠BDC 的度数，则把度数代入公式：∠BDC ＝90°＋21∠A ，可以解出∠A 的度数。
二、 运用模型揭秘画图题 例5、小明用下面的方法画出了45°角：作两条互相垂直的直线MN 、PQ ，点A 、B 分别是MN 、PQ 上任意一点，作∠ABP 的平分线BD ，BD 的反向延长线交∠OAB 的平分线于点C ，则∠C 就是所求的45°角．你认为对吗？请给出证明．【思路分析】通过对两条角平分线的分析，可以发现AC 、BD 分别是△AOB 的内角平分线和外角平分线的夹角。
根据图3的结论：这个夹角等于第三个角一半，可知∠C=21∠AOB 。
解：先模仿图3证明∠C=21∠AOB又∵∠AOB=90°∴∠C=21∠AOB=45°三、 运用模型探究规律，提升拓展 例6、问题引入：（1）如图①，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC= （用α表示）；拓展研究：（2）如图②，∠CBO=13∠ABC ，∠BCO= 13∠ACB ，∠A=α，试求∠BOC 的度数（用α表示）归纳猜想：（3）若BO 、CO 分别是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO=1n ∠ABC ，∠BCO=1n ∠ACB ，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）． 类比探索：（4）特例思考： 如图③，∠CBO= 13∠DBC ，∠BCO=13∠ECB ，∠A=α，求∠BOC 的度数（用α表示）．一般猜想：若BO 、CO 分别是△ABC 的外角∠DBC 、∠ECB 的n 等分线，它们交于点O ，∠CBO= 1n ∠DBC ，∠BCO=1n∠ECB ，∠A=α，请猜想∠BOC=（用α表示）． 【思路分析】（1） 此为图1的模型，∠O= 90°+21∠BAC= 90°+21α（2） 把角平分线换成13，但证明的思路大致相似。
在△ＢOC 中：∠BOC ＝180°－（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°－13（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－13（180°－∠A ）＝180°－13×180°＋13∠A＝120°＋13∠A＝120°＋13α（3）把角平分线换成1n，证明的思路类似。
在△ＢＣＤ中：∠BOC ＝180°－（∠OBC ＋∠OCB ）＝180°－1n （∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－1n（180°－∠A ）＝180°－1n×180°＋1n∠A＝1nn-×180°＋1n∠A＝1nn-×180°＋1nα（4）此为图2的模型中，把角平分线换成13，证明如下：∵∠CBD、∠BCE为△ABC的外角∴∠CBD＝∠A＋∠ACB,∠BCE＝∠A＋∠ABC∴∠CBD＋∠BCE＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝180°－（13∠CBD＋13∠BCE）＝180°－13（∠CBD＋∠BCE）＝180°－13（∠A＋１180）＝120°－13∠A＝120°－13α一般猜想：把13再次推广为1n，证明类似：在△ＢＣＤ中：∠BOC＝180°－（∠CBO＋∠BCO）＝180°－（1n∠CBD＋1n∠BCE）＝180°－1n（∠CBD＋∠BCE）＝180°－1n（∠A＋180°）＝1nn-×180°－1n∠A＝1nn-×180°－1nα【小结】在（2）（3）（4）的结果对比中，我们发现这两个夹角不再互补，但仍然存在中间的运算符号相反的问题，从一般猜想中可以发现这个规律。
虽然在问题设计中引起一连串的变式，从12变成13，再从13推广为1n，但问题证明的思路并未发生质的变化。
四、三种模型合为一体，渗透分类思想例7、好学的小红在学完三角形的角平分线后，钻研了下列4个问题，请你一起参与，共同进步．如图，△ABC，点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点，点D是∠MBC与∠NCB平分线的交点，点E是∠ABC与∠ACG平分线的交点．问题（1）：若∠BAC=50°，则∠BIC=°，∠BDC=°．问题（2）：．猜想∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．问题（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），则当∠ACB等于度（用含x的代数式表示）时，CE∥AB．说明理由．问题（4）：若△BDE中存在一个内角等于另一个内角的三倍，试求∠BAC的度数．【思路分析】（1）已知点I是两内角∠A BC、∠A CB平分线的交点，故由图1归纳的模型：∠BIC==90+∠BAC，由此可求∠BIC；因为CD、BD分别为△ABC的两外角平分线，故由图2的模型：∠BDC=190﹣∠BAC，由此可求∠BDC；（2）因为BE、CE分别为△ABC的内角、外角平分线，故由图3的模型：∠BEC= =∠BAC，由此可求∠BEC；（3）当CE∥AB时，∠BEC=∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=（180﹣∠BAC）．（4）由题意可证：△BDE是直角三角形，∠DBE=90°，∴∠D+∠E=90°。
已知条件中：一个内角等于另一个内角的三倍，则不明确，所以应当分类讨论。
①若∠EBD=3∠D；②若∠EBD=3∠E；③若∠D=3∠E；④若∠E=3∠D．解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90+∠BAC=115°；类似证明∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；或者也可以这样证明：∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，∴∠IBC =∠ABC，∠CBD=∠CBM；∴∠DBI=∠IBC+∠CBD=∠IBC =∠ABC+∠CBM=（∠ABC+∠CBM）=×180°∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；（2）有图3的模型可证∠BEC=∠BAC．也可借助上面的小题这样证明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°﹣∠BDC=90°﹣（90°﹣∠BAC）=∠BAC；（3）当∠ACB等于（180﹣2x）°时，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=x°，∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ACG=2∠ACE=2x°，∴∠ABC=∠ACG﹣∠BAC=2x°﹣x°=x°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=（180﹣2x）°．（4）由题意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D时∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E时∠BAC=60°；若∠D=3∠E时∠BAC=45°；若∠E=3∠D时∠BAC=135°．综上所述，∠BAC=120或60°或45°或135°．巩固练习：1、如图：BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=60°，∠BOC= ；若∠A=100°，∠BOC= ；（3）由（1）、（2）的结果，试直接写出∠BOC与∠A之间的数量关系；（4）利用你得出的结论，求当∠BOC=150°时，求∠A的度数．2、已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE 和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA= ；（2）若∠GOA= 13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=30°，则∠OGA= ；（3）将（2）中“∠OBA=30°”改为“∠OBA=α”，其余条件不变，则∠OGA= （用含α的代数式表示）；（4）若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α（30°＜α＜90°），求∠OGA的度数（用含α的代数式表示）。