离散系统的系统函数

第
4.系统函数的求解（重点）
4 页
1)由hk求Hz: hk Hz
2)由系统差分方程求H z
3)由系统框图求H z
hk
X
例1（自学） 已知离散系统的差分方程为：
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
k
从z域判断
H z z ，ROC : z 1
z1
h(k)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。
极点在单位圆上，收敛域不包括单位圆→不稳定（临 界稳定）。
X
第
例2
17
页
LTI系统，hk 0.5，k 判 k断 因果性、稳定性。
①从时域判断：
k


1, 0,

z
zz 1 1z 2

z
z
2
求系统的零状态响应
Y z H z X z z z z 2
z2 z2 z2
所以 yzs k k 1 2k k
X
第
二．系统函数的零极点分布对系统特性的影响6 页 因为hk H z，所以可以从H z的零极点分布情况， 确定单位响应hk 的特性 1.由零极点分布确定单位响应 2.离散系统的稳定性 3.系统的因果性
y(k) 0.3 y(k 1) x(k) 4x(k 1)
画出系统的框图为： X (z)
z 1
4

Y (z)

z 1 0.3
X
第
例题5 欲使系统图示系统稳定,试确定k的取值范围 20 页
例题6 一个LTI系统，y(k) y(k 1) 3 y(k 2) f (k 1)
i
i

z k h(i)z i
y(k) zk H(z)
1.对复i指 数序列的响应同样是一个复指数序列，只是
说在明幅：度上的变化； 2.对给定z值，即
f
(k)

z
k 0
y(k) H (z0 )z0k
f (t) es0t
y(t) H (s0 )es0t
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则：
K2

K
1
H(z)
K1 e j z
z e j

K1 e j z
z e j
共轭单极点 hk 2 K1 k cos(k ) (k)
实数单极点
hk

A0δk

N

Aj
p
j
k

k
j 1
H极z点的性质，决定了 的hk特 性。其规律可能是指数
第 11
页
z域复变量域s域复变量关系：z esT
z re j
s j
re j ＝e( j)T eT e jT
r eT T
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系
12 页
s平面
z平面
极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点
虚轴上
第
根据极点分布或收敛域判断系统的稳定性
10 页
对因果系统：
1.H(z)极点全部在单位园内,h(k)衰减,系统稳定 2.H(z)极点只要有一个在单位园外,或单位园上有二重
极点(包括z=±1),h(k)增幅,系统不稳定. 3.H(z) 在单位园上有单极点(包括z=±1), h(k)等幅或等 幅振荡,系统处于临界稳定.
X
第
1．由零极点分布确定单位响应
7
页
M
bi zi
H
z

i0 N
ajzj
j0
M
z zi
k i1
N

z

pj

j 1
展成部分分式：（假设无重根）
zi : 零点 p j : 极点
1)H(z)为单极点H z
N j0
Aj z z pj

A0
h(k) 40δ (k) 37 (0.3)k (k)
3
3
X
第
例4
19
页
已知H (z) z 4 ，列出系统的差分方程。 z 0.3
解： 分子分母同除以z的最高次幂
所以
H(z)

1 4z1 1 0.3z1

Yzs (z) X(z)
Y (z) 0.3z1Y (z) X (z) 4z1X (z)
第 3
H只z与系统的差分方 页
程的系数、结构有关， 描述了系统的固有特 性。
(k)
h(k ) 系统
若xk δk，则Xz 1 Yzs z H zX z
hk Hz
3.系统的零状态响应
yzs k hk xk Yzsz Hz X z X
4 试求： 1）系统函数并画出零极点图； 2） 求h(k )的 三 种 可 能 ； 3） 对 每 一 种h(k )讨 论 系 统 是 否 稳 定 ？
X
第
5.LTI系统对复指数序列的响应
21 页
对离散时间系统，如 f (k) z k


y(k) h(k) f (k) h(i) f (k i) h(i)z ki

N Aj z j1 z p j
因为
hk Hz
所以
hk

Z 1 A0


N j 1
Aj z z pj

N
A0 k Aj
j 1
p j k k
X
第
2)H(z)为共轭单极点时:
8 页
H(z)
K1

K2
z z c jd z c jd
4
wk 1 分别取z变换
x(k) 0.3w(k 1) w(k) w(k) 4w(k 1) y(k)
X (z) 0.3z1W (z) W (z)
W
(
z
)

4z
1W
(
z
)

Y
(
z
)
所以 H (z) Y (z) W (z) z 4 40 37 z W (z) X (z) z 0.3 3 3 z 0.3
时域： hk hk k 即k 0 h(k) 0
z域：系统函数的收敛域在Hale Waihona Puke Baidu极点模值最大为 收敛半径的园外。
X
第
例
LTI系统hk k，判断因果性，稳定性。1页6
解：从时域判断
hk



k


1, 0,

hk
k0 k0
因果系统 不稳定系统

hk
判据2：（z域判断）k 对于因果系统，其稳定的充要条件为：
H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单
位圆在内。 收敛域：z a, 。a 1
X
第
3.因果连续系统和离散系统稳定性的比较 14 页
连续系统
离散系统
系统稳定的充 要条件
ht d t
注意:1）对于低阶系统根据系统函数的极点分布判断系 统的稳定较易实现,但对于高阶系统求特征根（极点）不 容易，可采用朱里准则（根据特征方程系数）判断.
2）对一般系统稳定判断原则是：
H(z)收敛域是否包含单位园，如包含则系统稳定
H(s)收敛域是否包含虚轴，如包含则系统稳定
X
z～s平面的映射关系（自学）
xk 2k k, 求系统函数 Hz及零状态响应 yzs k。
解：
在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换
Y z 3z1Y z 2z2Y z X z 1 z1
则
Hz
Y z X z

1
1 z1 3z1 2z2
根据上述条件求解下列问题： xy[k] c0osk a)试确定常数a的值；
b)试确定系H统(Z) 函数，画出零极点图，标出收敛域， 并判断系统的稳定性；
c)写出该系统差分方程；
d)若输入序列y[k] x(k) 3k1 (k 1)
试求系统的零状态响应
X

hk
n
因果序列： 极点
收敛域
临界稳定的极 点
H(s)的极点全 H(z)的极点全部 部在左半平面 在单位圆内
含虚轴的右半 含单位圆的圆
平面
外
虚轴上有单极 单位园上有单
点
极点
对任何线性系统稳定判据：收敛域含单位园
X
第
4．系统的因果性
15
页
输出不超前于输入的系统
系统因果性的判断方法：
不k是 因0 果系统
k0
hk 0.51 0.52 0.53

1 0.5

1 0.52

1 0.53




所以 hk 不稳定
n
1
②从z域判断： H z 0.5k zk
收敛域 z ，1极点在k处 z，
衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。
系统函数的零点只影响h(k)的幅度和相位.
X
极点位置与h(k)形状的关系(因果序列）
第 9
j Im z
页
1
O
1
Re z
hk 2 K1 k cos(k ) (k)
pj
hk

A0δk
N

Aj p j
k kX

1

2zk
k 1
2z 1 2z

z
z

1 2
2
2
是非因果系统，收敛域不包含单位圆，系统不稳定。
注意：对于因果系统，极点全部在单位圆内则稳定。 X
第
例3
系统框图如下，求H(z),h(k)。
18
页
x(k)

wk y(k)

解： 列差分方程
D
方法：设中间序列w(k)
0.3
N
M
Y z a j z j X z bi zi
j0
i0
激励为因果序列
x 1 x 2 0
系统处于零状态
y 1 y 2 0
X
M
H
z


Yzs z X z

bi z i
i0
N
a jz j
j0
2．单位响应
第 1 页
第五节 离散系统的系统函数
单位响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响 稳定性和因果性
X
一．系统函数与单位响应
第 2
页
1.系统函数
线性时不变离散系统由线性常系 数差分方程描述，一般形式为
N
M
a j yk j bi xk i
j0
i0
上式两边取z变换得
等幅
单位圆上 等幅
原点s=0
左半平面
收敛域含虚轴
右半平面
t 1
s
衰减(稳定)
增幅
z 1
单位圆内
收敛域含单位园
单位圆外
k z
z 1
减幅(稳定)
增幅
X
第
2．离散系统的稳定性
13
页
(1)定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必 定是有界的。
(2)稳定性判据 判据1：（时域判断） 离散系统稳定的充要条件：单位序列响应绝对可和。
f (k) z0k 系统的特征函数
H (z0 )
系统的特征值
X
例题7
f
(k)

z
k 0
y(k) H(z0 )z0k
第 22
页
已知某离散时间LTI系统满足下列条件： 1）当输入信号x[xk](kc)osk cos k 时，系统的输出 y(k) 0
2）系统的单位阶跃响应为 s(k) a (1/ 2)k (k) y[k] 0