离散系统的系统函数

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离散系统的系统函数,系统的频率响应.ppt

H (z)
3 z
1
z
3 1
24
根据Roc : z 1，查表2-1得 2
h(n)
10
3
1 2
n
7 3
1 4
n
u
n
3、系统的频率响应的意义
1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：
x(n) e jn n
y(n) h(m)e j (nm) e jn h(m)e jm
m
k 1
令 cm e j cm me jm
dk e j dk lke jk
则频率响应的
M
m
幅度：
H (e j ) K
m1 N
lk
幅角：
k 1
M
N
arg[H (e j )] arg[K ] m k (N M )
m1
k 1
• 零点位置影响凹谷点的位置与深度
• 零点在单位圆上，谷点为零 • 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零
H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内
例：一系统的极点有：
0.2e j / 4 , 0.2e j / 4 , 0.4, 2e j /6 , 2e j /6 , 1.5 问什么情况下，系统为因果系统，
什么情况下，系统为稳定系统
解：因果系统： z 2
j Im[z]
1 2
z 1
1
1 4
z 1
z
1 2
z
1 4
H z
z
1 3
A1 A2
z
z
1 2
z
1 4
z1 2
z1 4
A1
H z
Res
z

fir离散系统的系统函数

fir离散系统的系统函数
什么是fir离散系统？
fir（Finite impulse response）是有限冲激响应的简称，离散系统是指在数
字系统中，模拟信号由定期采样变成了离散数值。

因此，fir离散系统指的是将模
拟信号定期采样变成离散信号之后，系统产生出来的冲激响应，进而可以用于完成各类复杂的处理任务。

fir离散系统的系统函数可以有效地把模拟信号的变化记录下来，以便进一步
处理。

一般来说，它可以控制连续信号的传送，并影响定时任务的完成、图像处理的参数配置、记录设备的信息等。

例如，fir离散系统的函数可以非常精准地控制
设备中的无线网络信号的传输，从而准确完成定时任务，从而有效地避免网络故障。

fir离散系统的系统函数利用有限冲激响应这一概念，对信号进行过滤、处理
和调节，从而能够更完美地完成复杂的处理任务。

通过fir离散系统的系统函数，可以使各类系统的信号处理加快，提高信号处理的精确度和准确性，从而更好地为企业生产和研发提供支持。

特别是在互联网行业，fir离散系统的强大能力可以大大帮助《互联网》系统
应对高并发数据访问环境中各种信号操作，从而准确记录网络流量、调节网络传输速度、规定定时任务和处理路由表，实现网络数据高效传递。

fir离散系统通过提
供更加优质的信号处理结果，有效地帮助企业提高网络性能，完成更多复杂的工作。

总之，fir离散系统的系统函数是一种有效的处理任务的有效手段，它不仅可
以加速传输、加强数据安全，还能有效地把模拟信号变换为离散数值，有助于提高《互联网》的性能，减少网络故障。

系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系

系统函数系统频率响应系统单位冲激响应三者之间的关系
系统函数、系统频率响应和系统单位冲激响应是数字信号处理中描述离散系统的重要概念。

三者之间的关系如下：
1. 系统函数（Transfer Function）：系统函数是描述离散系统
的一个复数函数，通常表示为H(z)或H(e^(jω))。

它将输入信
号的频谱与输出信号的频谱之间的关系联系起来。

系统函数是系统频率响应和系统单位冲激响应的拉普拉斯或Z变换。

2. 系统频率响应（Frequency Response）：系统频率响应是系
统函数H(z)在复平面上的取值。

它描述了系统对不同频率的
输入信号的响应情况。

系统频率响应可以通过将系统函数H(z)的变量变为单位复指数来得到，即H(e^(jω))。

3. 系统单位冲激响应（Unit Impulse Response）：系统单位冲
激响应是指当输入信号为单位冲激函数（单位脉冲函数）时，系统的输出响应。

它是系统函数H(z)在z=1处的取值，通常
表示为h[n]。

系统单位冲激响应是系统函数的离散时间反变换。

综上所述，系统函数H(z)是系统频率响应H(e^(jω))和系统单
位冲激响应h[n]]之间的关系。

系统频率响应描述了系统对不
同频率的输入信号的响应情况，而系统单位冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应情况。

系统函数则将这两者联系起来，通过对系统频率响应进行频域拉普拉斯变换或Z变换得到系
统函数，并通过对系统函数进行逆变换得到系统单位冲激响应。

fir离散系统的系统函数

fir离散系统的系统函数
离散系统构成现代科技系统的重要组成部分，系统函数是控制离散系统的整个运行过程的重要参数。

本文将重点讨论fir离散系统的系统函数，分析其特点、优势和应用。

首先，让我们来了解一下fir系统函数的原理和特点。

fir系统函数是一种特殊的数学函数，它由一系列系数和延时函数构成，可以模拟由神经元产生的离散变化。

它由多个输入信号构成，可以响应时间变化，这种变化与离散信号中的时变特征相匹配，可以提供离散系统输出参考信号，从而实现对离散系统的控制。

其次，让我们来看看fir系统函数的优势。

fir系统函数由多个连续的系数构成，它们的线性组合可以满足复杂的模型约束，可以更快地响应时间变化。

此外，它还具有高精度输出和高精度滤波的优点，可以有效平滑输出，减少抖动或干扰，从而更好地控制系统。

最后要提到的是fir系统函数的应用。

fir系统函数可以应用于离散控制系统、模拟系统、数据采集信号处理、生物医学信号处理和图像处理等多种领域，为这些复杂系统的控制提供了很好的方法。

例如，它可以用于机器人的机械控制、航空航天的控制系统以及微机的信号处理等。

综上所述，fir离散系统的系统函数具有原理和特点，有着高精度输出和高精度滤波的优点，应用也非常广泛，因此被广泛应用于离散系统的控制和应用领域。

- 1 -。

§2-4 离散时间系统的系统函数

M
m
) )
(z d
k
频率响应：
H ( e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
( e j cm ) ( e j d k )
M
H (e ) e
j
j arg[ H ( e j )]
5
令
j m j cm e cm me d k e j d k lk e jk
2）由于系统为因果稳定系统， 1 故收敛域： z 2
1/ 3
0.5
0.25
Re[ z ]
1
0
13
3) 对H(z)求z反变换即得单位抽样响应h(n)，
1 1 1 1 z z z 3 3 H z 1 1 1 1 1 1 1 z 1 z z z 2 4 2 4 1 z H z A1 A2 3 1 1 1 1 z z z z 2 z 4 2 4 1 z H z 1 10 3 A1 Res z 1 1 2 3 z z 1 z z 1 2 2 4 z
极点位置影响凸峰的位置和深度
极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷
极点在单位圆外，系统不稳定
2、系统函数的稳定性
1）因果： Rx z 2）稳定：序列h(n)绝对可和，即
而h(n)的z变换的Roc：
n
h(n ) z
n
h(n )
n

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续
17
3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应

实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述

实验二差分方程的求解和离散系统频率响应的描述一、实验目的1、掌握用MATLAB 求解差分方程的方法。

2、掌握绘制系统的零极点分布图和系统的频率响应特性曲线的方法。

3、观察给定系统的冲激响应、阶跃相应以及系统的幅频特性和相频特性二、实验内容1、已知描述离散新天地差分方程为：y(n+2)-0,25y(n+1)+0.5y(n)=x(n)+x(n-1)，且知该系统输入序列为)()2/1()(n u n x n =，试用MATLAB 实现下列分析过程：画出输入序列的时序波形；求出系统零状态响应在0～20区间的样值；画出系统的零状态响应波形图。

2、一离散时间系统的系统函数：5731053)(2323-+-+-=z z z zz z z H ，试用MA TLAB 求出系统的零极点；绘出系统的零极点分布图；绘出响应的单位阶跃响应波形。

三、实验报告要求1、求出各部分的理论计算值，并与实验结果相比较。

2、绘出实验结果波形（或曲线），并进行分析。

3、写出实验心得。

附录：本实验中所要用到的MATLAB 命令1、系统函数H(z)在MATLAB 中可调用函数zplane （），画出零极点分布图。

调用格式为： zplane （b,a ）其中a 为H （z ）分母的系数矩阵，b 为H(z)分子的系数矩阵。

例2－1：一个因果系统：y （n ）－0.8y(n －1)＝x(n)由差分方程可求系统函数 8.0,8.011)(1>-=-z z z H零极点分布图程序：b=[1,0];a=[1,-0.8];zplane(b,a)2、求解差分方程在MA TLAB中，已知差分方程的系数、输入、初始条件，调用filter（）函数解差分方程。

调用filter（）函数的格式为：y=filtier(b,a,x,xic)，参数x为输入向量（序列），b,a分别为（1-30）式中的差分方程系数，xic是等效初始状态输入数组（序列）。

确定等效初始状态输入数组xic（n），可使用Signal Processing toolbox中的filtic（）函数，调用格式为：y=filtic(b,a,y,x) 。

离散系统的传递函数

离散系统的传递函数1. 介绍在控制理论中，离散系统的传递函数是描述系统输入与输出之间关系的一种数学工具。

它能够用来描述离散时间系统的动态特性和稳定性，并且可以用于设计和分析离散控制系统。

2. 离散系统的基本概念在理解离散系统的传递函数之前，我们需要先了解一些与离散系统相关的基本概念。

2.1 离散信号离散信号是在离散时间点上定义的信号。

它与连续信号相对，连续信号是在连续时间上定义的信号。

在离散系统中，输入和输出信号往往是离散信号。

2.2 离散时间系统离散时间系统是指输入和输出信号都在离散时间点上进行采样的系统。

离散时间系统可以用差分方程来描述。

2.3 传递函数传递函数是用来描述系统输入与输出之间关系的一种函数。

对于连续时间系统，传递函数通常用拉普拉斯变换来表示。

而对于离散时间系统，传递函数则用Z变换来表示。

3. 离散系统的传递函数离散系统的传递函数是用Z变换来表示系统输入与输出之间关系的函数。

它可以以分数形式表示，也可以以多项式形式表示。

3.1 分数形式的传递函数分数形式的传递函数是用分数多项式表示的。

分子多项式表示系统的输出与输入之间的关系，分母多项式表示系统零点和极点的位置。

3.2 多项式形式的传递函数多项式形式的传递函数是用多项式系数表示的。

这种表示方式更加直观，能够清晰地看出系统的动态特性。

4. 离散系统的稳定性离散系统的稳定性是指系统在输入信号有界的情况下，输出信号是否有界。

在离散系统中，判断稳定性可以通过传递函数的零点和极点来进行。

4.1 零点和极点的关系离散系统的稳定性与传递函数的零点和极点之间存在关系。

如果一个离散系统的零点都在单位圆内，极点都在单位圆外，那么该系统是稳定的。

4.2 稳定性的判断方法根据离散系统的传递函数，我们可以通过以下方法来判断系统的稳定性： 1. 判断传递函数的极点是否在单位圆内。

2. 判断传递函数的零点是否在单位圆内。

如果传递函数的极点都在单位圆内，零点都在单位圆外，则系统是稳定的；反之，如果存在极点在单位圆外或者零点在单位圆内，系统是不稳定的。

离散信号与系统的 Z 域分析

第六章离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。

这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。

如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号，把输入信号分解为基本信号Z k 之和，则响应为基本信号Z k 的响应之和。

这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可以比较方便的分析系统的响应。

Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。

z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k)　F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是　∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。

已知离散系统的传递函数

已知离散系统的传递函数
离散时间系统是指系统输入输出信号是在离散时间上进行的系统。

离散系统的传递函数是指系统输入输出之间的比例关系。

对于已知离散系统的传递函数，我们可以通过对其进行分析和运算，得出系统的特性和性能。

离散系统的传递函数通常用Z变换表示，即：
H(z) = Y(z)/X(z)
其中，H(z)为系统的传递函数，X(z)为系统的输入信号的Z变换，Y(z)为系统的输出信号的Z变换。

对于某些离散系统，其传递函数可以简化为一个有理函数的形式，即：
H(z) = b0 + b1z^-1 + b2z^-2 + ... + bMz^-M
-----------------------------------------
a0 + a1z^-1 + a2z^-2 + ... + aNz^-N
其中，b0~bM和a0~aN为系统的系数。

通过对离散系统的传递函数进行分析，可以得出系统的频率响应、相位响应、幅频响应等特性。

除了对离散系统的传递函数进行分析，我们还可以通过对系统进行仿真和实验，来验证其特性和性能。

例如，可以通过Matlab等工
具进行离散系统的模拟，或者通过实验设备对系统进行实际测试。

这些方法可以帮助我们更全面地了解离散系统的行为和性能，从而优化系统设计和应用。

- 1 -。

北京理工大学信号与系统实验报告6离散时间系统的z域分析

北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1）掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。

2）学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3）掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。

Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

将连续系统转换为离散系统的函数为

将连续系统转换为离散系统的函数为本文旨在探讨将连续系统转换为离散系统的函数。

在进行离散系统设计的过程中，将连续系统转换为离散系统的有效方式之一是采用“函数转换”的方法。

函数转换是指将自变量的连续值变换为离散值的过程。

函数转换可以将连续系统的输入变量（如温度、电压等）转换为可操作的离散状态，从而使离散系统在系统设计方面有了更好的选择。

具体来说，将连续系统转换为离散系统的函数可以分为三类：（1）抽样转换函数；（2）阈值转换函数；（3）非线性转换函数。

（1）抽样转换函数是将连续系统的输入转换为离散系统输入的最基本方法。

其核心思想是在连续系统的输入变化较小时，通过抽取样本值，从而将连续系统转换为离散系统。

这种函数转换除了实现简单易行之外，还可以满足混合连续-离散系统（HybridContinuous-Discrete Systems）的工业应用。

（2）阈值转换函数是将连续系统转换为离散系统的另一种有效方法。

其主要原理是将系统的连续输入映射到一组预定的阈值，从而实现将连续系统转换为离散系统。

优点在于在实际应用中，该函数可以提供更精确的空间分辨，从而提高系统的状态可控性。

（3）非线性转换函数是采用曲线或其他形式，将连续系统的输入转换为离散系统输入的方法。

此类函数比上述两种方法具有更广泛的适用范围，因为它可以使用不同形式的曲线来根据需要自行调整系统的输入空间分辨率，从而更好地满足实际系统的需求。

函数转换为离散系统设计提供了一种有效的手段，但在实际应用中也会存在一些缺点。

其中包括：（1）有可能光栅化的误差；（2）时间的不同步等。

在使用函数转换的时候，应该根据实际情况，选择合适的函数，以达到良好的系统性能。

同时，还应该加以反复测试和实验，以保证函数转换达到较高的精确度。

总之，将连续系统转换为离散系统的函数是一种非常重要的技术手段，它可以提高系统的精准度，使离散系统的设计更加有效率。

但在实际应用中，也需要加以注意，以确保正确选择函数，以达到预期的性能。

离散系统的系统函数

Y z 3 z 1Y z 2 z 2Y z X z 1 z 1
y k 3 y k 1 2 y k 2 x k x k 1 ，激励
已知离散系统的差分方程为：
Y z 1 z 1 z z 1 z H z 1 2 X z 1 3 z 2 z z 1z 2 z 2 求系统的零状态响应 2 z z z Y z H z X z z 2 z 2 z 2
列差分方程
wk 1
x( k ) 0.3w( k 1) w( k ) w( k ) 4w( k 1) y( k )
分别取z变换 X ( z ) 0.3 z 1W ( z ) W ( z ) 1 W ( z ) 4 z W (z) Y (z)
i

h(i ) z
i
y (k ) z k H ( z )
f (t ) e
0
y (t ) H ( s0 )e
0
系统响应是一个是常数（可能是复数）乘以输入，则： k 系统的特征函数 f ( k ) z0
H ( z0 )
系统的特征值
X
例题7
f (k ) z
k 0
y (k ) H ( z 0 ) z
z域复变量域s域复变量关系： z e sT z re j s j re j ＝e ( j )T eT e jT r eT T
第
11 页
X
第
因果系统函数极点与h(t)，h(k)响应的关系 s平面极点位置
虚轴上原点s=0 左半平面
收敛域含虚轴
12 页
z平面极点位置

离散系统的系统函数

设带通滤波器的3dB截频分别为c1、c2, 且c2 > c1，可证带通滤波器的3dB带宽为
Δ 3 dB c 2 c 1 arccos(
系统函数
2 1 2
)
简单数字滤波器
(5) 二阶IIR带通数字滤波器
1 0.8
0.309
二阶IIR带通数字滤波器的幅度响应
系统函数
简单数字滤波器
(1) 一阶FIR低通数字滤波器
H LP1 (e
j
H LP1 ( z ) 0.5(1 z 1 )
Im(z)
z ( 1) ) 0.5 z
z e j
H LP1 (e ) 1
j0
|
-1
| 1 + z
z=e j
H LP1 (e jπ ) 0
H LP1 (e jπ / 2 ) 2 / 2
ze j z
z e j
H LP2 (e j 0 ) 1
H LP2 ( e j )
cos c 2 1
2
H LP2 (e jπ ) 0
(1 ) 2 (1 cos ) 2(1 2 2 cos )
3dB截频
系统函数
-1

Re(z)
系统函数
a21 a22 a2 L
例：试求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。 z 3 0.04z H ( z) 3 z 0.8 z 2 0.16z 0.128
%Determination of the factored form and %the second order section form of a % rational z-transform b =[1 0 0.04 0]; a =[1 -0.8 0.16 -0.128]; [z,p,k]=tf2zp(b,a); disp('Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p); disp('Gain constant');disp(k); sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections'); disp(real(sos));

§2.8 离散系统的系统函数

z域：域收敛域在圆外
X
第
２．稳定系统
对于稳定系统，只要输入是有界的， (1)定义：定义：定义对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（定是有界的（BIBO)。。
20 页
(2)稳定性判据（ LSI系统而言系统而言) (2)稳定性判据（对LSI系统而言) 稳定性判据判据1 离散系统稳定的充要条件：判据1：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。可和。 ∞ ∑ h(n) < ∞
X
四．IIR（Infinite Impulse Response）系统和 IIR（） FIR （Finite Impulse Response）系统）
1．无限长单位冲激响应(IIR)系统无限长单位冲激响应(IIR)系统 (IIR) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 如果一个离散时间系统的单位抽样响应h(n) 延伸到无穷长, n→∞时,h(n)仍有值仍有值, 延伸到无穷长,即n→∞时,h(n)仍有值,这样的系统称作IIR系统。 IIR系统统称作IIR系统
10 页
H(z) = K
∏(1− c
m=1 N k=1
M
m
z ) = Kz
−1
−1
∏(1− d z
k j( N −M)
N −M m=1 N k=1
∏(z − c
M
m
)
)
jω
∏(z − d )
k jω jarg[H(e jω )]
H(e ) = Ke
jω
∏(e ω
m=1 N k=1
M
− cm ) − dk )
= H(z) = mN0
第 26 页
bmz−m ∑ ak z−k ∑

§8.8 离散系统的系统函数

极点位置与h 极点位置与h(n)形状的关系
jImz
−1
O
+1
Rez
z～s平面的映射关系比较
s平面极点位置虚轴上原点时左半平面右半平面 h(t)特点等幅极点位置单位圆上 z平面 h(n)特点等幅
1 u(t ) ↔ s 衰减
增幅
θ =0 z =1 单位圆内
单位圆外
z u(n) ↔ z −1 减幅
2)从时域判断： 2)从时域判断：从时域判断
h(n) = (0.5) + (0.5) + (0.5)
−1 −2 −3
∞
1 1 1 + 2 + 3 +⋯+ ∞ +⋯= 0.5 0.5 0.5
所以
n=−∞
∑h(n) = ∞
不稳定
−1 n
3)从z域判断：H(z) = ∑ (0.5) 3)从域判断：
n=−∞
返回
已知离散系统的差分方程为：例8-8-1 已知离散系统的差分方程为： y(n)+ 3y(n-1)+ 2y(n-2)= x(n) +x(n-1),激励 3y 2y +x 1),激励 x(n)=(-2)nu(n),求系统函数H(z)及零状态响应yzs(n)。 )=(),求系统函数求系统函数H 及零状态响应y 解：在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换在零状态条件下，对差分方程两边取单边z
返回
例8-8-3
LTI系统 )=u LTI系统h(n)=u(n)，判断因果性，稳定性。系统h 判断因果性，稳定性。
解： 1）从时域判断
1, h(n) = u(n) = 0,
n=−∞
∑h(n) = ∞

离散系统的传递函数

离散系统的传递函数离散系统的传递函数是指输入信号与输出信号之间的关系，通常用数学公式表示。

在离散系统中，信号是以离散的形式存在的，即只在特定的时间点上取值，而不是连续的。

因此，离散系统的传递函数与连续系统的传递函数有所不同。

离散系统的传递函数可以用差分方程来表示。

差分方程是一种递推式，它描述了当前时刻的输出信号与之前时刻的输入信号和输出信号之间的关系。

离散系统的传递函数可以通过对差分方程进行变换得到。

离散系统的传递函数通常用Z变换来表示。

Z变换是一种将离散信号从时域转换到复平面的变换，它可以将差分方程转换为复数形式的传递函数。

离散系统的传递函数可以用有理分式来表示，其中分子多项式和分母多项式都是Z的多项式。

离散系统的传递函数可以用极点和零点来描述，它们是分母多项式和分子多项式的根。

离散系统的传递函数具有许多重要的性质。

其中最重要的性质是稳定性。

离散系统是稳定的当且仅当其传递函数的所有极点都在单位圆内。

这意味着系统的输出信号不会无限增长或振荡，而是会趋向于一个稳定的状态。

另一个重要的性质是因果性。

离散系统是因果的当且仅当其传递函数的所有极点都在单位圆外。

这意味着系统的输出信号只取决于当前和过去的输入信号，而不受未来输入信号的影响。

离散系统的传递函数在数字信号处理中有着广泛的应用。

它可以用来设计数字滤波器、控制系统和通信系统等。

数字滤波器是一种将数字信号从一种形式转换为另一种形式的系统，它可以用离散系统的传递函数来描述。

控制系统是一种将输入信号转换为输出信号的系统，它可以用离散系统的传递函数来描述。

通信系统是一种将信息从一个地方传输到另一个地方的系统，它可以用离散系统的传递函数来描述。

总之，离散系统的传递函数是离散信号处理中的重要概念，它描述了输入信号与输出信号之间的关系。

离散系统的传递函数可以用差分方程、Z变换、有理分式、极点和零点等方式来表示。

离散系统的传递函数具有稳定性和因果性等重要性质，它在数字信号处理中有着广泛的应用。

离散系统的系统函数和系统特性

根据z变换的定义可知
则
当
时，可得
所以稳定系统的系统函数的收敛域必须包含单位圆在内。
既是稳定又是因果的离散系统，其系统函数的极点都落在z平面的单位圆内，反之亦然。
例6.5.1 描述离散系统的差分方程为
（1）求系统函数，并说明它的收敛域及系统的稳定性。
（2）求单位序列响应。
（3）当
时，求系统的零状态响应。
信号与系统
离散系统的系统函数和系统特性
1.1 系统函数
定义
线性时不变离散系统的差分方程为
设系统的输入信号为因果信号，对系统差分方程两侧进行z 变换,得
由上式可得
系统的零状态响应的像函数
和系统激励的像函数
之比称为系统函数，用表示。系统函数只
与系统的结构参数有关，反映了系统自身的特性。
系统的零状态响应可以表示为
பைடு நூலகம்
和
因式分解后，可得
称为系统函数的极点称为系统函数的零点
零极点分布图
1.2 z域和s域的关系
z变换与拉普拉斯变换之间有着密切的联系。复变量z
和s之间的关系为
抽样周期
重复频率
将s表示成直角坐标形式，而把z表示成极坐标形式，得到
所以
s平面和z平面的映射关系
1.3 离散系统的稳定性
离散时间系统稳定的充要条件是单位序列响应绝对可和，即
根据z变换的时域卷积定理可得
可得
系统函数
是系统的单位序列响应的z变换。
例1.1 描述离散系统的差分方程为
求系统函数及单位序列响应解：设系统的起始状态为零，对方程两边作z变换，得
于是系统函数为
部分分式展开得故系统的单位序列响应为

已知离散系统的差分方程 ,求系统的传递函数.

已知离散系统的差分方程 ,求系统的传递函数.在控制工程中，离散系统是非常常见的一种系统，其差分方程是对系统的描述方式之一。

在实际应用中，我们需要将离散系统转化为连续系统，其中传递函数是非常重要的一个概念。

因此，本文将详细介绍如何根据已知离散系统的差分方程来求解其传递函数。

一、离散系统的差分方程离散系统的差分方程可以用以下形式表示：y[n] = f(y[n-1], y[n-2], ..., y[n-k], x[n],x[n-1], ..., x[n-m])其中y[n]表示系统的输出，x[n]表示系统的输入，k 和m分别表示系统的阶数。

通常，离散系统的输入和输出都是序列，如音频信号和图像信号等。

例如，一个一阶离散系统的差分方程可以表示为：y[n] = a1*y[n-1] + a2*x[n]其中a1和a2是系统的系数。

我们可以根据这个差分方程来求解系统的传递函数。

二、离散系统的传递函数离散系统的传递函数可以用以下形式表示：H(z) = Y(z) / X(z)其中H(z)表示系统的传递函数，Y(z)表示系统的输出序列的z变换，X(z)表示系统的输入序列的z变换。

z变换是一种将离散序列转换为复数域中的函数的转换方式，其定义为：Z{f(n)} = F(z) = ∑[f(n)*z^{-n}]其中f(n)表示离散序列，z^{-n}表示z的倒数第n次幂。

z变换可以将离散序列表示为复数函数，从而使其更容易进行计算和分析。

根据差分方程，我们可以将传递函数H(z)表示为：H(z) = Y(z) / X(z) = b0 + b1*z^{-1} + b2*z^{-2} + ... / 1 + a1*z^{-1} + a2*z^{-2} + ...其中b0、b1、b2、...是输出信号序列的系数，a1、a2、...是输入信号序列的系数。

我们可以通过移项来得到传递函数的表达式：H(z) = (b0*z^k + b1*z^{k-1} + b2*z^{k-2} + ... + bk) / (z^k + a1*z^{k-1} + a2*z^{k-2} + ... + ak)其中k是系统的阶数。

离散系统的系统函数和频率响应

| z |> m | pi | ax
i
p2
p1 p3 Re[z]
⇔ cau sality
p2
Im[z]
p1
| z |< m | pi | ⇔anti - causality in
i
p3
因果、稳定系统：因果、稳定系统：
H（z）的收敛域为：（）的收敛域为：
ρ ≤| z |≤ ∞
包含单位圆且（ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）包含单位圆极点均在单位圆内）
离散系统的系统函数和频率响应系统函数：系统函数： H(z) = FT[h(n)] = Y(z) X (z)
频率响应：频率响应： H(e ) 单位圆上的系统函数(传输函数传输函数) 单位圆上的系统函数传输函数
jω
H(e ) = H(z) |z=e jω
jω
1、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：、零极点分布对系统因果、稳定性的影响：稳定性：稳定性：
G = (1− R) 1− 2Rcos(2ω0) + R
2
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
|H(e jω)|²
1 1/2
∆ω
ω
0
ω0
π/2
陷波器
梳状滤波器
• Notch and Comb Filters
e
pole
jω
1
|H(ω)|²
unit circle
zero
2、利用零极点分布确定系统的频率特性：、利用零极点分布确定系统的频率特性：
Y(z) H(z) = = X (z)
M
bi z−i ∑ ai z−i ∑