太原中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题

AC 的解析式为 y=5x-5，E 点坐标为（ 1 ，- 5 ），利用两直线垂直的问题可设直线 EM1 的 22
解析式为 y=- 1 x+b，把 E（ 1 ，- 5 ）代入求出 b 得到直线 EM1 的解析式为 y=- 1 x- 12 ，则
5
22
55
y＝x 5
解方程组
y＝
1 5
x
12 5
得
M1
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是
15210 元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方
法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
4．如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y=x﹣5 经过点 B， C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 的直线交直线 BC 于点 M． ①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 的平行线交直 线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标； ②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于∠ ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标．
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=x2+（2k﹣1）x+k+1 的图象与 x 轴相交于 O、 A 两点．
（1）求这个二次函数的解析式； （2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B，使△ AOB 的面积等于 6，求点 B 的坐 标； （3）对于（2）中的点 B，在此抛物线上是否存在点 P，使∠ POB=90°？若存在，求出点 P 的坐标，并求出△ POB 的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣3x。 （2）点 B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在；理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）将原点坐标代入抛物线中即可求出 k 的值，从而求得抛物线的解析式。 （2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出 A 点的坐标，也就求出了 OA 的长，根据 △ OAB 的面积可求出 B 点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的 B 点纵坐标代入抛物线的解 析式中即可求出 B 点的坐标，然后根据 B 点在抛物线对称轴的右边来判断得出的 B 点是否 符合要求即可。 （3）根据 B 点坐标可求出直线 OB 的解析式，由于 OB⊥OP，由此可求出 P 点的坐标特 点，代入二次函数解析式可得出 P 点的坐标．求△ POB 的面积时，求出 OB，OP 的长度即 可求出△ BOP 的面积。 【详解】 解：（1）∵ 函数的图象与 x 轴相交于 O，∴ 0=k+1，∴ k=﹣1。 ∴ 这个二次函数的解析式为 y=x2﹣3x。 （2）如图，过点 B 做 BD⊥x 轴于点 D，
出 AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出 S△ APC＝﹣ 3 x2﹣ 3 x+3，再利用二次函数的性 22
质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点 N 的坐标，利 用配方法可找出抛物线的对称轴，由点 C，N 的坐标可得出点 C，N 关于抛物线的对称轴对
称，令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，则此时△ ANM 周长取最小值，再利用一
∴ AC＝ 32 32 ＝3 2 ，AN＝ 32 12 ＝ 10 ，
∴ C△ ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 2 + 10 ．
∴ 在对称轴上存在一点 M（﹣1，2），使△ ANM 的周长最小，△ ANM 周长的最小值为
3 2 + 10 ．
【点睛】 本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上 点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周 长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线 AC 的函数关
钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为 x 元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实
际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为 20×（60﹣ x ），则利润 w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ），
10
10
10
利用配方法化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得：
设直线 AC 的函数关系式为 y＝mx+n（m≠0），
将 A（1，0），C（﹣2，3）代入 y＝mx+n，得：
m n 0 2m n
3
，解得：
mn 11，
∴ 直线 AC 的函数关系式为 y＝﹣x+1．
（2）过点 P 作 PE∥ y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥ y 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示．
系式；（2）利用三角形的面积公式找出 S△ APC＝﹣ 3 x2﹣ 3 x+3 的最值；（3）利用二次函 22
数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点 M 的位置．
3．某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以
住满．当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房
y=60﹣ x 10
（2）p=（200+x）（60﹣ x ）=﹣ 1 x2 +40x+12000 10 10
（3）w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ）
10
10
=﹣ 1 x2 +42x+10800 10
=﹣ 1 （x﹣210）2+15210 10
当 x=210 时，w 有最大值．
间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加 x 元．求：
（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为
每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
∵ 点 B 的坐标为：（4，4），∴ ∠ BOD=45°， BO
若∠ POB=90°，则∠ POD=45°。 设 P 点坐标为（x，x2﹣3x）。
42 42 4 2 。
∴ x x2 3x 。
若 x x2 3x ，解得 x="4" 或 x=0（舍去）。此时不存在点 P（与点 B 重合）。
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当 x＝﹣ 1 时，△ APC 的面积取最大值， 2
最大值为 27 ，此时点 P 的坐标为（﹣ 1 ， 15 ）；（3）在对称轴上存在一点 M（﹣1，
8
24
2），使△ ANM 的周长最小，△ ANM 周长的最小值为 3 2 10 ． 【解析】
∴ S△ APC＝ 1 AQ•ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF＝﹣ 3 x2﹣ 3 x+3＝﹣ 3 （x+ 1 ）2+ 27 ．
2
22
22 8
∵ ﹣ 3 ＜0， 2
∴ 当 x＝﹣ 1 时，△ APC 的面积取最大值，最大值为 27 ，此时点 P 的坐标为（﹣ 1 ，
2
8
2
15 ）． 4 （3）当 x＝0 时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴ 点 N 的坐标为（0，3）． ∵ y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1． ∵ 点 C 的坐标为（﹣2，3）， ∴ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称． 令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示． ∵ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴ MN＝CM， ∴ AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴ 此时△ ANM 周长取最小值． 当 x＝﹣1 时，y＝﹣x+1＝2， ∴ 此时点 M 的坐标为（﹣1，2）． ∵ 点 A 的坐标为（1，0），点 C 的坐标为（﹣2，3），点 N 的坐标为（0，3），
【分析】
（1）根据点 A，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线 AC 的函数关系式；
（2）过点 P 作 PE∥ y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥ y 轴交 x 轴于点 Q，设点 P 的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点 E 的坐标为（x，0），点 F 的 坐标为（x，﹣x+1），进而可得出 PF 的值，由点 C 的坐标可得出点 Q 的坐标，进而可得
若 x x2 3x ，解得 x="2" 或 x=0（舍去）。
当 x=2 时，x2﹣3x=﹣2。 ∴ 点 P 的坐标为（2，﹣2）。
∴ OP 22 22 2 2 。
∵
∠
POB=90°，∴
△
POB
的面积为：
1 2
PO•BO=
1 2
×4
2 ×2
2 =8。
2．如图，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与一直线相交于 A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D． （1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△ APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点 M，使△ ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和 △ ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
次函数图象上点的坐标特征求出点 M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周
长公式求出△ ANM 周长的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）将 A（1，0），C（﹣2，3）代入 y＝﹣x2+bx+c，得：
1 b c 0
b 2
4 2b c 3，解得： c 3 ，
∴ 抛物线的函数关系式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
令 x2﹣3x=0，解得：x=0 或 3。∴ AO=3。
∵ △ AOB 的面积等于 6，∴ 1 AO•BD=6。∴ BD=4。 2
∵ 点 B 在函数 y=x2﹣3x 的图象上， ∴ 4=x2﹣3x，解得：x=4 或 x=﹣1（舍去）。 又∵ 顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且 2.25＜4， ∴ x 轴下方不存在 B 点。 ∴ 点 B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。
到 PD= 2 PQ=4，设 P（m，-m2+6m-5），则 D（m，m-5），讨论：当 P 点在直线 BC 上方
时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当 P 点在直线 BC 下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分 别解方程即可得到 P 点的横坐标； ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E，如图 2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠ AM1B=2∠ ACB，再确定 N（3，-2），
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P 点的横坐标为 4 或 5+ 41 或 2
5- 41 ；②点 M 的坐标为（ 13 ，﹣ 17 ）或（ 23 ，﹣ 7 ）．
2
6
6
66
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定 C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛 物线解析式；
设点 P 的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点 E 的坐标为（x，0），点 F 的坐标 为（x，﹣x+1）， ∴ PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵ 点 C 的坐标为（﹣2，3）， ∴ 点 Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴ AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
点的坐标；作直线
BC
上作点
M1
关于
N
点的对称点
M2，
如图 2，利用对称性得到∠ AM2C=∠ AM1B=2∠ ACB，设 M2（x，x-5），根据中点坐标公式
（2）①先解方程-x2+6x-5=0 得 A（1，0），再判断△ OCB 为等腰直角三角形得到
∠ OBC=∠ OCB=45°，则△ AMB 为等腰直角三角形，所以 AM=2 2 ，接着根据平行四边形的
性质得到 PQ=AM=2 2 ，PQ⊥BC，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，利用∠ PDQ=45°得
【答案】（1）y=60- x ；（2）z=- 1 x2+40x+12000；（3）w=- 1 x2+42x+10800，当每个房
10
10
10
间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60 个房间﹣每个房间每天的定价增加的