概率论第三讲

第三讲§4 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式及其应用 1. 条件概率和事件的独立性在配对问题中，如何解决第二个问题？如果记事件k A 表示k 个人拿到自己的帽子，k B 表示其余n k -个人没有一个拿到自己的帽子，则所求事件即为k k A B ，问题即要计算Pr()k k A B 。

如果从古典概率角度来理解：#()##()Pr()###k k k k k k k kA B A A B A B S S A ==，前一项是事件k A 的概率，而后一项可以认为是把k A 作为样本空间，事件k k A B 的概率，这个概率也称为k A 发生的条件下，事件k B 发生的条件概率，记为Pr(|)k k B A 。

这个想法希望能在一般的概率问题中应用，所以引入条件概率这个概念。

定义 （条件概率）如果Pr()0A >，则称Pr()Pr()AB A 为事件B 关于事件A 的条件概率，记为Pr(|)B A 。

从概率空间出发来理解条件概率。

给定概率空间(,,)S P F ，对给定的事件A ，可定义样本空间和事件域：(,)A A F ，相应的条件概率空间(,,(|))A A P A ⋅F 可按如下方式定义：B A ∈F ，则Pr()Pr(|)Pr()AB B A A =。

容易证明，这是一个概率空间。

1）非负性：0)|(≥A B P ； 2）规范性：1)|(=A S P ；3）可列可加性：∑∞=∞==11)|()|(k k k k A B P A B P ，这里φ=j i B B ，j i ≠。

下面考虑一个简单的问题，来帮助理解条件概率。

例 1 抛掷硬币两次，已知事件A “正面至少出现一次”发生。

求两次得到同一面的事件B 概率。

解 从定义容易计算：3()4P A =，1()4P AB =，则31)|(=A B P 。

从另一角度看，所谓已知事件A ，即样本空间已缩小为)}1,0(),1,1(),0,1{(。

仍是古典概型问题，该空间中，事件|{(1,1)}B A =，因此，31)|(=A B P 。

在原概率空间中，事件B 的概率为21)(=B P 。

定义 （事件独立性）如果()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 独立。

定理 （独立的等价条件）下面三个条件是等价的。

（1）()()()P AB P A P B =； （2）(|)()P B A P B =； （3）(|)()P A B P A =。

定理 如果事件A 与B 独立，则A 所确定的事件与B 所确定的事件之间都独立。

2. 概率计算问题中的三个重要的公式 定理 （乘法公式）)()|()|()|()(112211111A P A A P A A A P A A A P A A P n n n n n ---=。

定理 （全概率公式）设试验的样本空间为k nk B S 0== ，这里φ=j i B B ，j i ≠，且0)(>k B P ，那么∑==nk k k B P B A P A P 1)()|()(。

定理3（贝叶斯公式）在定理2条件下，再设0)(>A P ，那么∑==nk k ki i i B P BA PB P B A P A B P 1)()|()()|()|(。

这个公式的概率含义：我们可以认为对事件k B 的信息掌握得比较充分，即知道其发生的概率，和其它事件在该事件发生时的条件概率。

这些信息是先验的，即可由经验获得。

那么又经过新的试验，在该试验之下，过去的经验会有什么修正，即在试验事件发生条件下，原来的经验概率会有什么变化？这就是后验概率)|(A B P i 。

例 狼来了寓言的概率分析。

（p.47） 3. 应用本节将利用前面的结果来计算一些概率问题。

例 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，同时放入a 只同样颜色的球。

若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球，且第三第四次取到白球的概率。

例 如果已知太阳连续升起了n 天，问(1)n +-th 天太阳仍升起的概率是多大？ 解 记k A 为第k 天太阳升起。

要计算的是11(|)n n P A A A +。

因此，11111()(|)()n n n n n P A A A P A A A P A A ++=。

但这些概率的含义并不明确，因为在什么样的样本空间中考虑问题并不清楚。

对1n +天太阳升起的情况，可以作互不相容的分解：1n n S S S S +=，其中，k S 表示太阳升起的天数，0,1,,1k n =+。

现在面临选择：对()k P S 的概率作什么样的假设？数学上是无法解决该问题的，如果借助主观概率思想，对没有特别信息区分事件的发生可能性，就做出等可能假，即设这里的每一种可能性是相同的：011()()2n P S P S n +===+。

这时，讨论的问题就明确了。

利用全概率公式：1111101()(|)()(|)2n n n n k k n k k k P A A P A A S P S P A A S n ++====+∑∑如何计算1(|)n k P A A S ？在给定k S 时，所有的样本点可以视为k 个太阳升起的日子在1n +天中的分布情况，共1kn C +中情况。

如果k n <，显然有1(|)0n k P A A S =；而k n =时，有111(|)n n nn P A A S C +=； 而1k n =+，有11(|)1n n P A A S +=。

因此，11111()(1)21n n n P A A n C n +=+=++。

类似，k n ≤时，显然有11(|)0n k P A A S +=；而1k n =+，有111(|)1n n P A A S ++=。

即111101()(|)()2n n n k k k P A A P A A S P S n ++===+∑。

所以，111(|)2n n n P A A A n ++=+。

思考题 （无限Polya 罐模型）考虑更一般的模型。

一个罐中有黑白两种颜色的无限多个球，无放回抽取n 个球，观测到抽到n r -个白球，r 个黑球。

下一次抽到白球的概率是多少？答案是12n r n -++。

提示 思考方法类似。

如果记r B 为事件：前面n 次中，观测到抽到n r -个白球，r 个黑球。

而1n n B A +表示事件；观测到抽到n r -个白球，r 个黑球，而1n +次仍是白球。

当k n r <-或1k n r >-+时，(|)0n r k P B S -=；当k n r =-时，1(|)n r nr n r n r n C P B S C ---+=；当1k n r =-+时，111(|)n r nr n r n r n C P B S C --+-++=；所以，11111!()!(1)!(1)!!1()()22()!!(1)!1n r n rn n r n r n r n n C C n n r r n r r P B n C C n n r r n n ----+++-++-+=+==++-++。

类似，11111!(1)!!1()22()!!(1)!(2)(1)n rn r n n r n C n n r r n r P B A n C n n r r n n n -+-++-+-+===++-+++。

所以，11(|)2n r n r P A B n +-+=+。

例（是否改变选择问题）解首先也要明确我们考虑的问题。

要讨论的是改选后得奖（记为C）概率是多大？面临的样本空间：奖品被选中B，改选后得奖；奖品未被选中B，改选后得奖。

因此12 ()(|)()(|)()0133P C P C B P B P C B P B=+=⨯+⨯。

例三家厂同时生产某种产品，产品的不合格率和市场占有率分别为0.02,0.15;0.01,0.80;0.03,0.05市场上抽取一件此类产品，（1）求产品不合格的概率；（2）该产品是第二家厂生产的概率。

（如何划分样本空间）例对以往数据分析结果表明，设备调整良好时，产品合格率为98%，而当机器调整不好时，合格率为55%。

每天早上机器调试好的概率为95%。

求已知某天产品合格时，机器是调试好的概率。

（注意什么是先验的概率）例某种疾病在人群中的发病率为0.005。

此类病的确症率为0.95：即该人患此病时，通过检查能查出该病的概率；而误症率也为0.05：即该人不患此病时，检查却认为患该病的概率。

求检查认为该人患病时，此人确实患病的概率。

下面是独立性问题。

例串联，并联和串并联混合系统的可靠性（独立性直观理解或假设）。

例甲乙两人比赛乒乓球。

甲胜的概率为1/2p≥，问对甲而言，采用三局两胜有利还是五局三胜有利。

例轮流射击问题的获胜概率计算。

（p.52）习题课1. 分球入罐问题把n 个球放入r 个不同箱子。

记录每个箱子的球数，问得到的所有不同结果有多少种？ 等价问题：1r n n n ++=的非负整数解有多少个？从装有标号为1~r 的球的罐中，有放回抽取n 个求，记录每个编号被抽到的次数，问有多少中可能结果？解 思考方法。

以三个球，有放回抽取5次为例。

上述图例表示：1号球抽到4次，2号求一次，3号球零次。

可见所有结果是5个√与2条|的位置的组合方式，共有：5531C +-或31531C -+-种方法。

注意：也是可能的结果之一。

一般结论：1n n r C +-或11r n r C -+-。

下面的2~3是类似的问题2. 做伯努利试验，直到成功r 次，才停止试验。

问需要n r +次的所有可能试验结果有多少？如果成功的概率是p ，该事件的概率是多少？3. 把n 个（无区别的）球放入r 个罐中，要求第i 个罐中，至少有i m 个球，问所有的放入方法有多少中？（假设1ri i n m =≥∑）习题4既用了加法，也用了乘法原理的思考方法。

4. 证明组合公式220()nnk nn k C C ==∑。

解 把等式改写为20nnk n knn n k C C C -==∑，结论对应着：把2n 个球等分成2组，则取出n 个球的过程可分解成从第一组取出k 个球，0k n ≤≤，即n 种方法，而每种方法又可分位两个步骤：第一组中取出k 个球，然后，第2组中取出n k -个球。

利用全概率公式推导递推关系从而解决问题的例子5~6。

5. 配对问题参加某聚会的n 个人都向房子中央扔出自己的帽子。

充分混合后，个人随机地抽取帽子。

问1） 没有一个人选到自己帽子的概率是多少？ 2） 恰好有k 个人选到自己的帽子的概率是多少？解 1）方法1. 记事件“第i 个人选择自己的帽子”为i E ，则1111()(1)()nnj j i n j i j P E C P E E -===-∑。