概率论第三讲

第三讲

§4 乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式及其应用 1. 条件概率和事件的独立性

在配对问题中，如何解决第二个问题？如果记事件k A 表示k 个人拿到自己的帽子，k B 表示其余n k -个人没有一个拿到自己的帽子，则所求事件即为k k A B ，问题即要计算Pr()k k A B 。

如果从古典概率角度来理解：#()##()

Pr()###k k k k k k k k

A B A A B A B S S A =

=

，前一项是事件k A 的概率，而后一项可以认为是把k A 作为样本空间，事件k k A B 的概率，这个概率也称为k A 发生的条件下，事件k B 发生的条件概率，记为Pr(|)k k B A 。 这个想法希望能在一般的概率问题中应用，所以引入条件概率这个概念。 定义 （条件概率）如果Pr()0A >，则称Pr()

Pr()

AB A 为事件B 关于事件A 的条件概率，记为Pr(|)B A 。

从概率空间出发来理解条件概率。给定概率空间(,,)S P F ，对给定的事件A ，可定义样本空间和事件域：(,)A A F ，相应的条件概率空间(,,(|))A A P A ⋅F 可按如下方式定义：B A ∈F ，则Pr()

Pr(|)Pr()

AB B A A =。 容易证明，这是一个概率空间。 1）非负性：0)|(≥A B P ； 2）规范性：1)|(=A S P ；

3）可列可加性：∑∞

=∞

==1

1

)|()|(k k k k A B P A B P ，这里φ=j i B B ，j i ≠。

下面考虑一个简单的问题，来帮助理解条件概率。

例 1 抛掷硬币两次，已知事件A “正面至少出现一次”发生。求两次得到同一面的事件B 概率。

解 从定义容易计算：3()4P A =

，1

()4P AB =，则3

1)|(=A B P 。 从另一角度看，所谓已知事件A ，即样本空间已缩小为)}1,0(),1,1(),0,1{(。仍是古

典概型问题，该空间中，事件|{(1,1)}B A =，因此，3

1)|(=A B P 。 在原概率空间中，事件B 的概率为2

1)(=

B P 。 定义 （事件独立性）如果()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 独立。 定理 （独立的等价条件）下面三个条件是等价的。 （1）()()()P AB P A P B =； （2）(|)()P B A P B =； （3）(|)()P A B P A =。

定理 如果事件A 与B 独立，则A 所确定的事件与B 所确定的事件之间都独立。

2. 概率计算问题中的三个重要的公式 定理 （乘法公式）

)()|()|()|()(112211111A P A A P A A A P A A A P A A P n n n n n ---=。

定理 （全概率公式）设试验的样本空间为k n

k B S 0== ，这里φ=j i B B ，j i ≠，

且0)(>k B P ，那么∑==n

k k k B P B A P A P 1

)()|()(。

定理3（贝叶斯公式）在定理2条件下，再设0)(>A P ，那么

∑==

n

k k k

i i i B P B

A P

B P B A P A B P 1

)

()|()

()|()|(。

这个公式的概率含义：我们可以认为对事件k B 的信息掌握得比较充分，即知道其发生的概率，和其它事件在该事件发生时的条件概率。这些信息是先验的，即可由经验获得。那么又经过新的试验，在该试验之下，过去的经验会有什么修正，即在试验事件发生条件下，原来的经验概率会有什么变化？这就是后验概率

)|(A B P i 。

例 狼来了寓言的概率分析。（p.47） 3. 应用

本节将利用前面的结果来计算一些概率问题。

例 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，同时放入a 只同样颜色的球。若在袋中连续取球四次，求第一，二次取到红球，且第三第四次取到白球的概率。

例 如果已知太阳连续升起了n 天，问(1)n +-th 天太阳仍升起的概率是多大？ 解 记k A 为第k 天太阳升起。要计算的是11

(|)n n P A A A +。因此，

1111

1()

(|)()

n n n n n P A A A P A A A P A A ++=

。

但这些概率的含义并不明确，因为在什么样的样本空间中考虑问题并不清楚。 对1n +天太阳升起的情况，可以作互不相容的分解：

1n n S S S S +=，

其中，k S 表示太阳升起的天数，0,1,

,1k n =+。

现在面临选择：对()k P S 的概率作什么样的假设？数学上是无法解决该问题的，如果借助主观概率思想，对没有特别信息区分事件的发生可能性，就做出等可能假，即设这里的每一种可能性是相同的：

011

()()2

n P S P S n +=

==

+。 这时，讨论的问题就明确了。利用全概率公式：

1

1

1

1

10

1()(|)()(|)2n n n n k k n k k k P A A P A A S P S P A A S n ++====+∑∑

如何计算1(|)n k P A A S ？在给定k S 时，所有的样本点可以视为k 个太阳升起的

日子在1n +天中的分布情况，共1k

n C +中情况。

如果k n <，显然有1(|)0n k P A A S =；

而k n =时，有11

1

(|)n n n

n P A A S C +=

； 而1k n =+，有1

1(|)1n n P A A S +=。