立体几何动点问题详解

B

C

立体几何中的动点问题详解

【引例】

（2006北京卷4）平面a 的斜线AB 交a 于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交a 于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）．

（A ）一条直线 （B ）一个圆 （C ）一个椭圆

（D ）双曲线的一支

解法：首先考虑直线AC 的轨迹是过定点A 且与直线AB 垂直的平面，

（两个平面相交有且只有一条交线）该平面与平面α的交线即为动点C 的轨迹。所以动点C 的轨迹是一条直线。

【例1】已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ABD 沿矩形的对角线BD 所在

的直线进行翻折．

（1）求证：在翻折过程中，直线AA 1始终与BD 垂直；

证法1：

作AE ⊥BD 于点E ，分别连接AA 1、A 1E ∵AE ⊥BD 且∆ABD 翻折得∆A 1BD ∴A 1E ⊥BD

∵AE ∩A 1E=E, AE ⊂平面AA 1E, A 1E ⊂平面AA 1E ∴BD ⊥平面AA 1E ∵AA 1⊂平面AA 1E ∴AA 1⊥BD

证法2：

连接AA 1，取AA 1的中点E ，分别连接BE 、DE ∵∆ABD 翻折得∆A 1BD ∴BA=BA 1，DA=DA 1 ∵点E 是AA 1的中点 ∴AA 1⊥BE, AA 1⊥DE

∵BE∩DE=E, BE ⊂平面BDE, DE ⊂平面BDE ∴AA 1⊥平面BDE ∵BD ⊂平面BDE ∴AA 1⊥BD

（2）在翻折过程中，以下说法正确的是____________．

① 存在某个位置，使得直线1A C 与直线BD 垂直． ② 存在某个位置，使得直线1A B 与直线CD 垂直． ③ 存在某个位置，使得直线1A D 与直线BC 垂直． 解法1：（运动轨迹）

点A 1的轨迹在直线BD 的垂面A 1AF 上，而点C 在直线BD 的垂面HGC 上 垂面A 1AF//垂面HGC

所以点A 1不在平面HGC 上

由于过点C 且垂直于BD 的直线都在平面HGC 上 所以①不成立

由于A 1的轨迹可以落在过点B 的直线CD

的垂面上，所以②成立

又由于A 1的轨迹无法落在过点D 的直线BC 的垂面上，所以③不成立

解法2；（借助三垂线定理平面化垂直关系）

借助三垂线定理解决(借助正投影把空间垂直转化到平面上解决)

点A1在平面ABCD上的正投影为点H，而H的轨迹为线段AA’

A C与直线垂直BD是不可能的，因此①不成立由于BH与BD不可能垂直，所以直线

1

由于点H落在BC上时刚好BH与CD垂直，所以②成立

A D与直线垂直BC是不可能的，因此③不成立由于HD与BC不可能垂直，所以直线

1

解法：3（假设----检验）

A C与直线BD垂直，由于A1E⊥BD

假设直线

1

易证得BD⊥平面A1CE

所以BD⊥CE（矛盾）

因此①不成立

A C与直线BD垂直，由于AA1⊥BD

假设直线

1

易证得BD⊥平面AA1C

所以BD⊥AC（矛盾）

因此①不成立

假设直线A1D与直线BC垂直，由于BC⊥CD

易证得BC⊥平面A1CD,所以BD⊥A1C

又因为AA1⊥BD,易证得BD⊥平面AA1C，所以BD⊥AC（矛盾），因此①不成立

解法4：（特殊位置------起始或极端位置）

因为CD//AB,所以A1B与CD的夹角问题可以转化成角A1BA的问题

折叠前是0度，折叠到上图所示的A与A1关于BD对称的位置时角A1BA的大小是120度由于整个过程时连续变化的，所以必然会经过90度的位置，即②成立

因为AD//BC,所以A1D与BC的夹角问题可以转化成角A1DA的问题

折叠前是0度，折叠到上图所示的A与A1关于BD对称的位置时角A1DA的大小是60度由于整个过程时连续变化且递增的，所以不可能到达90度的位置，即③不成立

上图所示位置A与A1关于BD对称，此时A1C//BD

折叠前A1C与BD成角为60度，从60度到0度的过程时连续递减的，所以没有90度的时候，因此①不成立

解法5：（构造特殊几何体作参照让运动过程更直观）

把矩形ABCD如图放置在一个正方体的对角面处点A会经过点A’和点A’’，显然这两个位置都满足A1B⊥CD,所以②成立。

1

A

点A 1的轨迹在直线BD 的垂面AA’A’’上，而点C 在直线BD 的垂面D’GC 上 面AA’A’’//面HGC

所以点A 1不在平面D’GC 上

由于过点C 且垂直于BD 的直线都在平面D’GC 上 所以①不成立

同理借助过点D 作BC 的垂面可以发现③不成立

解法6：(借助平移转为平面图形解决)

因为CD//AB,所以A 1B 与CD 的夹角问题可以转化到等腰∆A 1BA 中解决，AB=A 1B=1，变量是变AA 1的长度范围是[0, ，用余弦定理可以获得角A 1BA 的范围[0, 1200]所以②成立

同理也可以解决③

【课堂练习】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =BC ，AA 1，上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，点E 在线段CC 1上，点O 1在平面BDE 上的射影为G ，则在点E 从C 运动到C 1的过程中，下列说法正确的是________．

① 点G 到CC 1的距离不变 ② 线段OG 的长度逐渐增大 ③ 线段A 1G 的长度是常数

④ 四棱锥11G BB D D -的体积先增大，再减小

解： 因为BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1⊥平面BDE 连接OE ，可以得出点O 1在平面BDE 上的射影G 在OE 上。