数学建模作业

说明：本电子版题目与教材原题不符者以教材为准，教材上没有的做了会适当加分。

教材上有而本电子版题目没有原题的，请同学们自行录入原题。

所有基本题目解答过程均须不少于姜启源先生《数学模型第三版习题参考解答》之答

案长度！

第1章数学模型引论

在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）（小型题目模版）

解：

模型分析（黑体五号字）：……宋体五号字

模型假设与符号说明（黑体五号字）：……宋体五号字

模型建立：……宋体五号字

模型求解：……宋体五号字

程序源代码（如果需要编程）：……宋体五号字

程序运行结果（如果有图形或数据）：……宋体五号字

模型讨论：……宋体五号字

在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）

人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

有3对阿拉伯夫妻过河，船至多载两人，条件是根据阿拉伯法典，任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。问怎样过河？

如果银行存款年利率为%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？

某城市的Logistic 模型为

2

6

10

251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。当∞→t 时发生什么情况。

假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？

你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？

第2章初等模型

学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者.

（2）节中的Q值方法.

（3）d’Hondt方法：将各宿舍的人数用正整数,2,1

,3相除，其商数如下

nΛ

=

表：

将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线，表中A，B，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。

如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.

（4）你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额.

在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种想象了吗.比如洁银牙膏50克装的每支元,120克装的每支元,二者单位的重量的价格比是:1,试用比例方法构造模型解释这个现象.

（1）分析商品的价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，有的与表面积成正比，还有与W无关的因素。

(2)给出单位重量价格C与W的关系。画出它的简图，说明W越大C越小，但是随着W的增加C减小的程度变小。解释实际意义是什么。

一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，

俱乐部只准备了一把软尺用与测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假设鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到了8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：

先用机理分析建立模

型，再用数据确定参数。

用已知尺寸的矩形板

材加工一定的圆盘，给出

几种简便、有效的排列方

法使加工出尽可能多的圆盘。

雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。

生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与

心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。

举重比赛按照运动员的体组,你能在一些合理、简化设下建立比赛成绩与体重的关系吗。下面是一界奥运

赛的成绩，可供检验你的模

速度为v 的风吹在迎

风面积s 为的风车上，空气

密度是ρ。用量纲分析方法

确定风车获得的功率P 与v ，

s ，ρ的关系。

雨速的速度v 与空气密

度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

用量纲分析方法研究人体浸在匀速流动的水里时损失的热量。记水的流速v ，密度ρ，比热c ，粘性系数μ，热传导系数k ，人体尺寸d 。证明人体与水的热交换系数h 与

上述各物理量的关系可表为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=k c d v d k h μμρϕ,，ϕ是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为C ο1时的热量交换。

在小说《格里佛游记》中,小人国中的人们决定给格里佛相当于一个小人食量1728倍的食物.他们是这样推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的体格是小人的

172812=3倍.所以他需要的食物是一个小人的食量的

1728倍.为什么他们的推理是错误

的?正确的答案是什么?

第3章 简单的优化模型

在存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用。重新确定最优订货周期和订货批量。证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样。而在允许缺货模型中最优订货周期和定货批量都比原来结果减少。

建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，

r k >在每个生产周期T 内，开始的一段时间)0(0T t <<一边生产一边销售，后来的一段

时间(t T <0T <)只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形。设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期。讨论r k >>和r k ≈的情况。

在森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。

在雨中从一处沿直线跑道另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨