二项分布及其应用

例. 求前例中三只小白鼠死亡2只的概率。
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 ),
并且
，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信区间得该 法近期有效率的95%可信区间为19%64%。
由于附表7百分率的可信区间中值只列出了x n/2的部分，当x>n/2时，应以n -x查表，再从100
中减去查得的数值即为所求可信区间。
2、总体率的区间估计
三、二项分布的应用
（2）正态近似法
当样本含量足够大，且样本率p和 1-p均不太小，一般 np与 n(1-p)均大于5时，样本率的抽样分布近似正态分布，即
n > 且
与
50态分布，即
时），可看作近似正
或
二项分布的正态近似示意图
❖二项分布的累计概率:
k1
k2
三、二项分布的应用
（一）估计总体率的可信区间
1、率的抽样误差
(理论值)
2、总体率的区间估计
(估计值)
三、二项分布的应用
2、总体率的区间估计 (1)查表法——样本量较小时(n50)
例3.6 某医院皮肤科医师用某种药物治疗20名 系统性红斑狼疮患者，其中8人近期有效，求该法近 期有效率的95%可信区间。
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布 的概念及应用 条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
概率的乘法原理：几个相互独立的事件同时发生的概率等于各 事件发生概率的乘积。
•（二）二项分布的累计Hale Waihona Puke Baidu率
•从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
•（1）最多有k例阳性的概率为
•（2）最少有k例阳性的概率为 •
(三)二项分布的图形
p
n=5,
=0.5
xx
n=20, =0.5
n=10, =0.5 n=30, =0.5
n=5, =0.3
n=10, =0.3
n=20, =0.3
此时, 总体率的可信区间可按下式进行估计:
其中,
布的应用
（二）假设 检验1、样本率与已知总体率的比较：
(1)直接计算概率法: 例1 根据以往长期的实践，证明某常用药的治 愈率为65%。现在某种新药的临床试验中，随机观 察了10名用该新药的患者，治愈8人。问该新药的 疗效是否比传统的常用药好？
（1）建立假设，确定检验水准。
（2） 计算检验统计量 。
例2 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1％， 某医生观察了当地400名新生儿，发现有1例染色体 异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般？
•H0成立时, 400名新生儿中染色体异常例数的概率分 布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该地新生儿染色体异常率不低于一般 H1： < 0，即该地新生儿染色体异常率低于一般 = 0.05
H0： = 0，即新药治愈率与传统药物相同 H1： > 0，即新药治愈率高于传统药物 = 0.05 （2）根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
•H0成立时，随机抽查的10人中治愈人数x 的分布
(3) 做出推断结论。本例P >0.05，按=0. 05的检 验水准不拒绝H0，尚不能认为新药疗效较传统药物 疗效好。
可用正态近似法, 按下式计算检验统计量u值。
或
例3 据报道，某常规疗法对某种疾病的治愈率为65%。现某 医生用中西医结合疗法治疗了100例该病患者，治愈了80人 。问该中西医结合疗法的疗效是否比常规疗法好？
•当H0成立时, 100例患者中治愈人数的概率分布
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0： = 0，即该种中西医结合疗法疗效与常规疗法相同 H1： > 0，即该种中西医结合疗法疗效好于常规疗法 = 0.05
（要求各观察单位同质）。
•二、二项分布的性质
•（一）均数和标准差
设从概率为的总体中随机抽取样本量为n的样本，每个样
本的事件发生数为x，则 x ~B(，n)。可以证明：
若用相对数表示，即样本率的均数和标准差分别为：
率的标准误（standard error of rate）： （理论值）
•（实际值）
概率的加法原理：几个互不相容的事件至少发生其一的概率等 于各事件发生概率的和。
•3只小白鼠存亡的排列和组合方式及其概率的计算
•该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式的各项，所以将 n次这种只具有两种互相对立结果中一种的随机实验成功次数的概 率分布称为二项分布。
该例题中各种组合的概率恰好等于该二项式展开式 的各项，所以将n次这种只具有两种互相对立结果 中一种的随机实验成功次数的概率分布称为二项分 布。
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
(2) 根据二项分布的分布规律，计算 P 值。
本例0=0.01，n=400，x=1，根据题意需求最多有1例染
色体异常的概率，按二项分布的概率函数得
(3) 做出推断结论: P >0.05，按 =0.05检验水准不拒绝H0，尚 不能认为该地新生儿染色体异常率低于一般。
1、样本率与已知总体率的比较：
(2) 正态近似法: 当 n0 和 n(1-0) 均大于5时,
n=50, =0.3
•=0.2, n=5 ••==00.2.2, ,nn==2200
•=0.2, n=10 •=0.2, n=50
（四）二项分布的特点
1、当
时，无论 n大小，其图形均呈对称分布；
2、当
，且且n小n小时 呈偏态分布；随n不断增大，逐
渐趋于对称分布时；当
时，逼近正态分布。
实际工作中，只要n足够大，与1- 均不太小时（通常规定