判别式与韦达定理

第三讲判别式与韦达定理

教学容：判别式与韦达定理

教学目标：

1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况；

2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值围；

3、理解并掌握韦达定理的定义；

4、熟练掌握一些常用代数式的变形；

5、能利用韦达定理构造一元二次方程；

6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。

教学重点：

1、△与方程根的关系；

2、韦达定理；

3、常用代数式的变形；

教学难点：

1、运用△求方程中参数的值或取值围；

2、常用代数式的变形；

教学方法：探究法、讲授法；

教学过程：

8:20~8:30:考勤，收发作业

8:30~8:50:进门考

第一课时8:50~9:20

一、讲评作业

二、导入新课

子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起

来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程：

定义

一元二次方程

特点

解 直接开方 解法 配方 公式 因式分解 2、举例复习四种方法： （1） x 2=25 （2） 2x 2+4x-2=0

（3） 2123

0234

x x +-=

（4） 2560x x ++= 3、问公式引入判别式

三、探索新知：

1、回顾得出判别式的概念：24b ac ∆=-作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式

2、算出下列一元二次方程的判别式

2223720230410

x x x x x x -+=-=++=

3、判别式与方程的根的关系

1,2120020x b

x x a

∆>⇔=

-∆=⇔==∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根

4、说出刚刚的几个方程根的情况

5、判别式我们昨天讲了今天又再专门拿出来讲，它到底有什么用呢？ （1）运用判别式，判别方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值围； （3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题。（以后会讲）

(1)已知方程，判断根的情况：求△，判断根的个数

22

23402,3,4

3424932230

x x a b c ++====∆=-⨯⨯=-=-<∴解：方程无实根

（2）已知带参数的方程的根的情况，求参数：由根的情况得出△的情况，进而解出参数

已知一元二次方程220x x m ++=

（1）求m 为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m 为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m 为何值时，方程无实根； （4）求m 为何值时，方程有实根。 解：（1）

44>0m<1

m ∴∆>∆=-Q 方程有两个不相等的实根即：

（2）

4401

m m ∴∆=∆=-==Q 方程有两个相等的实根即：

（3）

4401

m m ∴∆<∆=-<>Q 方程无实根即：

（4）

4401

m m ∴∆≥∆=-≥≤Q 方程有实根即：

已知一元二次方程220x x m ++=

（1）求m 为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m 为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m 为何值时，方程无实根； （4）求m 为何值时，方程有实根。 分析：当m=0时一元一次方程 当m ≠0时一元二次方程

解：（1）

0,0

44>010

m m m m ∴≠∆>∆=-∴<≠Q 方程有两个不相等的实根且

（2）

0,04401

m m m ∴≠∆=∆=-==Q 方程有两个相等的实根即：

（3）

0,04401

m m m ∴≠∆<∆=-<>Q 方程无实根即：

（4）

10210,2

00

4401

1

m x x m m m m =+==-≠∴∆≥∆=-≥≤∴≤Q 当时，方程即：当时，方程为一元二次方程方程有实根即：

6、接下来，我们一起来看一段视频，让视频中的老师带着我们一起加深对△的理解

四、点点精讲

例1、（1）

分析： 两个相等的实根

△=0 解：

()2

.141130

.4441120.1241361441440.141290A B C D ∆=-⨯⨯=-<∆=-⨯⨯=-<∆=-⨯⨯=-=∆=-⨯⨯-=>

(2)

分析：根的情况：

000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根

解：()22414160a a ∆=-⨯⨯-=+>⇔方程有两个不相等的实数根 （3）解：()()()2

2

=3434a a c a ac ∆+--=++无法确定

【小结】000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根

方程有两个相等的实数根方程无实根

例2．分析：方程有实数根

0∆≥

证明：

因为()()()2

2

=2412280m m ∆+-⨯⨯-=++>

所以方程总有实根

例3 . 分析：方程有两个不相等的实数根 0>

证明：()()2

2

223469429180m m m m m m m m ∆=+-=++-=++=++> 所以方程总有两个不相等的实数根 例4、分析：k=-1时方程为一元一次方程 K ≠-1时方程为一元二次方程 解：k-1时，方程即-4x-4=0,解得x=1

k ≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2≥0 故方程总有实数根

例5、分析：直角三角形三边的关系：222a c b +=

解：由勾股定理得;a 2+c 2=b 2

将原方程化为一般式得：（a+b ）x 2-2cx+(b-a)=0 △=4c2-4(a+b)(b-a)=0 故方程有两个相等的实数根

【小结】

用△判别方程的根时要先将方程化为一般式 六、归纳总结

1、000∆>⇔∆=⇔∆<⇔方程有两个不相等的实数根

方程有两个相等的实数根方程无实根

2、算△之前，要先化为一般式