小学数学课本改版 0成为自然数教授自叹水平低
由0是自然数引发的思考
由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考由0是自然数引发的思考随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。
无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。
思考之一：为什么要把0划归自然数。
从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。
建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。
所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。
即一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。
那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。
大家都知道，0是自然数中最小的一个。
0加1得1，1加1得2，2加1得3，……这样继续下去可以得到任意一个自然数。
而从自然数的排列顺序可知，后面一个自然数比前面一个自然数多1。
因此，任何一个自然数都是由若干个1合并而成，所以1是自然数的单位。
0可以看成是由0个1组成的自然数。
思考之四：0是其它非零自然数的倍数吗？《九年义务教育六年制小学数学》第十册中，关于“数的整除”及“约数和倍数”的定义并未做任何改变，教材第54页就有这样的叙述：“因为0也能被2整除，所以0也是偶数”。
以此类推，0能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的约数。
0的问题
九年义务教育小学数学教材把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化的问题．引起了小学数学教师的关注。
无论是在日常的教研活动中，还是教师私下交流中．都有许多教师提出了疑问，引发了大家的思考。
思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。
建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100-3102-93)《量和单位》(11 2．91第311页，规定自然数包括0。
所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。
即一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”0是最小的自然数，那么最小的一位数是“l”还是“0”?在0没有归人自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。
那么．现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗?这是许多教师提出的疑问。
笔者认为最小的一位数还是1。
因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。
这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。
关于“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10"还是"00’呢?那么最小的三位数、四位数……又是多少呢?《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如，2是含有一个数位的数，叫做一位数；30是含有两个数位的数，叫做两位数；405是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意，一般不说0是几位数。
“0”的突破
“0”的突破自从“0”归为自然数后，教师在实际教学中对有些问题的确不好界定和划分。
正如《小学教学参考》(数学版)第5期蓝玉文老师在《都是“0”惹的祸》一文中所阐述的那样：“0是偶数吗?0是合数，还是质数?相邻的自然数是互质数吗?0/4是真分数吗?”笔者在教学中曾疑惑过，也和同事们讨论过，但就是没有提起笔像蓝老师这样正式“申请”过。
因此，笔者读过蓝老师这篇文章后，就其中几个问题提出个人拙见，以期与同行们商榷。
0是合数，还是质数?笔者赞同蓝老师的意见，教材上应注明0和1既不是质数也不是合数，原因是0不能被它本身整除。
相邻的自然数是互质数吗?笔者也赞同蓝老师的选择，即互质数的定义应添补上0除外的自然数，原因是0没有倍数。
0是偶数吗?这个问题是大家争论得最多的，也是教学中的难点之一。
蓝老师认为0既不是偶数，也不是奇数。
原因是倍数应比它本身大或相等，即0与2的积比2小。
笔者认为蓝老师在理解这个问题时，站错了“领奖台”。
如果站在倍数或最小公倍数的角度进行思考，0的确不是偶数；如果站在数轴上思考，显然0是偶数。
我们大家都知道在10个数字中，0是最后出生的“胎儿”，它表示没有或表示起点。
在数轴上，0不仅表示数数的起点，还表示奇偶数的起点，即偶数、奇数、偶数、奇数……如果说从奇数1开始，即奇数、偶数、奇数、偶数……这与整数数轴所表述的起点不相符，所以说0是偶数，且是最小的偶数。
0/4是真分数吗?这个问题，笔者的许多同事和蓝老师的想法是一样的，即0/4是真分数，但他们所说的理由远没有蓝老师阐述的这样有根有据。
在这点上，他们都犯了一个同样的错误：无论是真分数、假分数，还是带分数，它们都是分数的“子公司”。
大家都知道每个“子公司”都是由“总公司”主管的，也就是说真分数还是要归属分数的，而分数的定义明确指出：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。
显然，真分数的分子最小是1，而不是0。
所以，分母是4的真分数有1/4、2/4与0/4，而不是0/4、1/4、2/4和3/4。
五年级上册小学数学教材主要问题与解答
五年级上册小学数学教材主要问题与解答一、为什么把“0”看作自然数？最小的一位数是几？最小的偶数是几？从历史上看，国内外数学界对于“0”是不是自然数历来是有争议的，建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括“0”。
目前，国外数学界大部分都规定“0”是自然数。
1993年我国颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括“0”。
把“0”作为一个自然数，数学家们给出了相应的解释。
我们知道“空集”是集合中一种最主要也是最基本的集合，也是我们在描述周围现象时经常用到的集合。
把“空集”作为一个有限集合是很自然的，并且我们很容易理解用“0”来描述“空集”中所含元素的多少。
如果把“0”作为一个自然数，那么“所有自然数”就可以刻画“所有的有限集合元素多少”。
而如果“所有自然数”不包括“0”，那么就没有自然数可以表示“空集”所含元素的多少。
这是从“自然数刻画有限集合的基数的基本功能”方面说明了把“0”作为自然数的好处。
把零作为自然数在数学上还有很多好处，详细可见2005年1期《小学教学设计》王尚志教授写的《为什么把“0”作为一个自然数》二、在第一单元中，教材指明研究倍数与因数，小学阶段偶数不研究“0”。
如果在测试的时候，最小的偶数是写“2”还是写“0”？回答这个问题首先要明确所讨论的数的范围。
在我们的教材这一单元中，已经说明是在非零的自然数范围内，这样最小的偶数是2。
如果在教学和考试中，首先必须明确在什么范围内，如果在自然数范围内，最小的偶数是0。
三、为什么新世纪小学数学教材不讲“整除”这一概念？教材没有出现“整除”的概念，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对整除不做要求。
传统教材在学习分数的意义之前，要安排“数的整除”这一单元，在这个单元中，概念名词很多，如，整除、除尽、约数、倍数、奇数、偶数、质数、合数、质因数、互质数、公约数、最大公约数、公倍数、最小公倍数。
0为什么是最小的自然数
0为什么是最小的自然数0是自然数最小的一位数是1. 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。
无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。
思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。
建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。
所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。
即一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。
那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。
因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。
这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。
关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
由0是自然数引发思考
由0是自然数引起的思虑由0是自然数引起的思虑由0是自然数引起的思虑跟着九年义务教育小学数学教材（试用订正版），把0划归自然数后，一些数的看法能否发生变化，惹起小学了数学教师的关注。
不论是在平时的教研活动，仍是教师私下沟通，或是因特网上的教育论坛，都有很多教师提出疑问，引起了大家的思虑。
思虑之一：为何要把0划归自然数。
从历史上看，国内外数学界对于0能否是自然数向来有两种看法：一种以为0是自然数，另一种以为0不是自然数。
建国以来，我国的中小学教材向来规定自然数不包含0。
当前，外国的数学界大多数都规定0是自然数。
为了方便于国际沟通，1993年公布的《中华人民共和国国家标准》GB3100-3102-93）《量和单位》（）第311页，规定自然数包含0。
所以在近几年进行的中小学数学教材订正中，教材研究编写人员依据上述国家标准进行了改正。
即一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
思虑之二：最小的一位数是“1”仍是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”仍是“0”？在0没有纳入自然数从前大家都很清楚，最小的一位数是1。
那么，此刻0也成为自然数了，最小的一位数仍是1吗？这第1页是多教提出的疑，笔者最小的一位数是1。
因，0表示一个物体也没有，在数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分表示个数的十位、百位、都是空位。
次整然将“0”划自然数，但是几位数的看法并没改。
对于“几位数”是定的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，此中左第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数⋯⋯”假0也算作一位数的，那么最小的两位数是“10”是“00”呢？那么最小的三位数、四位数⋯⋯又是多少呢？《九年教育六年制小学数学第八册教教课用》第98“对于几位数”是表达的：“往常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
比如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数⋯⋯可是要注意：一般不0是几位数。
为什么0也是自然数_
为什么0也是自然数？ (2020-09-14 11:24:50)分类：问题思考为什么0也是自然数？作者：海韵互联课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。
2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。
这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
一、“0”作为自然数的“好处”。
众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。
有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。
无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。
因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。
如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。
如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。
于此，从“自然数的基数性”这个角度，我们看到了把“0”作为自然数的好处。
二、把“0”作为自然数，不会影响自然数的“运算功能”。
“0”加入传统的自然数集合，所有的“运算规则”依旧保持，如新自然数集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算，而运算结果仍然是自然数。
同时，加法、乘法运算的结合律和交换律，以及乘法的分配律也不会受到影响。
所以，“0”加盟到自然数集合实属理所当然，而不仅仅是人为的“规定”。
它让我们更好地理解自然数和它的功能，同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还应该思考“规定”背后的数学涵义。
人教四年级上册教材疑难解答
人教四年级上册教材疑难解答小学数学课程教材研究开发中心丁国忠一、教材第20页提到“0也是自然数，最小的自然数是0”，这与九年义务教育小学数学教科书中的说法不一致。
这什么要做出这样的改动？从历史上看，国内外数学界对于自然数的定义一直存在着两种观点。
一种观点认为0不是自然数。
例如,意大利数学家皮亚诺于1889年提出了一组刻画自然数特征的公理，包括以下五条：（1）1是自然数。
（2）任一自然数都有唯一自然数为其后继数。
（3）没有两个相异的自然数有同一后继数。
（4）1不是任何自然数的后继数。
（5）如果1具有性质P，且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P，则一切自然数都具有性质P。
从这组公理可以清楚地看到，皮亚诺把0划归在自然数之外的。
再如，上海辞书出版社出版的《辞海》（1999年版）把自然数解释为：在人类历史发展的最初阶段，由于计量的需要，用以表示个数的数目。
首先有数目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，统称为“自然数”。
建国以来，我国的中小学教材一直采用自然数的这种定义，用N={1，2，3，4，5，…}来表示自然数集，而用N*={0，1，2，3，4，5，…}表示扩展的自然数集。
还有一种观点把0划归为自然数的范畴。
例如，对现代数学基础有很大影响的法国布尔巴基学派的《数学原本》中，从集合论的角度，把0作为空集的基数，这样，所有有限集合的基数就都可以用自然数来刻画了。
目前，国际上大多数国家也把0纳入自然数集中。
为了国际交流的方便，国家技术监督局于1993年12月27日发布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100～3102-93）《量和单位》第311页，就已经规定自然数集N={0，1，2，3，…}。
在《现代汉语词典》2005年6月第5版中也把自然数定义成：零和大于零的整数，即0，1，2，3，4，5，…。
根据上述原因，教材研究编写人员在对原九年义务教育教材进行修订和编写课程标准实验教材时，依据有关国家标准对自然数的定义进行了修改，规定0属于自然数。
人教版-数学-一年级上册-“0”是自然数的问题
小学-数学-上册-打印版“0”是自然数的问题从历史上看，国内和国外对于0是不是自然数历来有两种规定：一种规定0是自然数，另一种规定0不是自然数。
建国以来，我们国家的中小学教材一直规定自然数集合不包括0。
现在，国外的数学界，大部分都是规定0是自然数，为了国际交流的方便，《国家标准》中规定，自然数集包括0。
因此，在我们新出版的教材中，按照《国家标准》进行了这样的处理，原来的自然数集合现在称为正整数集。
同时，我们也按照国家标准的规定规范使用了一些数学符号的表示方法。
从使用上看，规定自然数集合是否包括0并无太大影响。
作为序数，从0开始和从1开始是一样的；以前我们所说的n∈N，现在只要说n是正整数就可以了除以的问题0不能做除数（分母、后项）的原因（1）0不能做除数（分母、后项）的数学原因：*1如果除数（分母、后项）是0，被除数是非零自然数时，商不存在。
这是由于任何数乘0都不会得出非零自然数。
*2如果被除数除数（分母、后项）都等于0，在这种情况下，商不唯一，可以是任何数。
这是由于任何数乘0都等于0。
（2）0不能做除数的物理原因：一个正整数x (被除数）除以另一个正整数n（除数）意味着将被除数等分n份后每一份的大小。
除以0的物理意义就是要把一个物体等分成0份，也就是将一个存在的物体完全消灭，使它在宇宙中消失。
但是，在一般的物理电学计算中，把0一般当作无限小。
爱因斯坦相对论向我们揭示了物质和能量的关系，这个理论说明整个宇宙中的物质和能量是守恒的，根本不可能将一个物体完全毁灭，有时候一个物体看起来消失了，其实是转化成了能量。
除以0从物理意义看违背质能量守恒定理。
2. 假设除以0有意义的推断1/0的大小的推断若除以0是有意义的，那么是多大呢？如果1除以一个越来越小的正数，得到的是一个越来越大的正数。
1/0.1=10 1/0.01=100 1/0.001=1000 …...也就是说若1/n=y n>0 y>0 当n 越趋近于0，y越来越大。
0为什么是最小的自然数
0为什么是最小的自然数0是自然数最小的一位数是1. 随着九年义务教育小学数学教材（试用修订版），把0划归自然数后，一些数的概念是否发生变化，引起小学了数学教师的关注。
无论是在日常的教研活动，还是教师私下交流，或是因特网上的教育论坛，都有许多教师提出疑问，引发了大家的思考。
思考之一：为什么要把0划归自然数从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。
建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。
所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。
即一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
思考之二：最小的一位数是“1”还是“0”？0是最小的自然数，那么最小的一位数是“1”还是“0”？在0没有归入自然数以前大家都很清楚，最小的一位数是1。
那么，现在0也成为自然数了，最小的一位数还是1吗？这是许多教师提出的疑问，笔者认为最小的一位数还是1。
因为，0表示一个物体也没有，在记数法中是表示空位的一个符号，如3005里“0”就分别表示这个数的十位、百位、都是空位。
这次调整虽然将“0”划归自然数，然而对几位数的概念并没改变。
关于“几位数”是这样定义的“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数，只用两个有效数字，其中左边第一个数字是有效数字来表示的数就叫做两位数……”假设0也算作一位数的话，那么最小的两位数是“10”还是“00”呢？那么最小的三位数、四位数……又是多少呢？《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”是这样叙述的：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如，2，含有一个数位的数，叫做一位数；30含有两个数位的数，叫做两位数；405含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
0真的应该成为自然数吗
数学通报 ２ ０ １ ５年 第５ ４卷 第２期
０ 真的应该成为自然数吗
黄 燕 李 祎
（ ） 福建师范大学数学与计算机科学学院 ３ ５ ０ １ ０ ８
①
１ 关于 ０ 是否为自然数的争议 在全球范围内 ， 目前 ０是 否 可 以 作 为 自 然 数， 争论依旧存在 ： 一种观点认为 ０ 不是自然数 （ 即自 …） ， 另一种观点认为０可以作 然数为 １， ２， ３， ４， …） 为自然数 （ 即自然数为 ０， ． １， ２， ３， ４， 《 年 中国大陆 遵 循 １ 颁 布 的 中 华人民共 ９ ９ ３ （ 中的《 和国国家 标 准 》 量和 Ｂ ３ １ ０ ０－３ １ ０ ２－９ ３） Ｇ ， 根 据 这 一 国 家 标 准， 规定自然数包括 ０． 单位 》 在 新课 改 之 后 的 中 小 学 数 学 教 材 中 ， 普遍将０列入 自然数 ． 比如在现行人教版小学数学教材中 ， 这样 “ 一 个 物 体 也 没 有， 写 道： 用 ０ 表 示， ０也是自 ” 然数 ． 这种将 ０ 更 改 “ 国 籍” 的 说 法 值 得 商 榷． 事实 上， 除了中国大陆外 ， 很少有一本严肃的数学著作 或教 材 将 ０ 作 为 自 然 数 ， 国际上使用这种说法的 寥若晨星 ． 比如美国就普遍不以 ０ 为自然数 ， 美国 多数小学教材中 ， 自然数是从 １ 开始 ， 学生从 １ 开 ， 数（ 逐 次 加 １， 始进行数 （ 得 到 ２， ｈ ǔ） ｓ ｈ ù） ｓ ３， ４， …， 自然而然获得 “ 自然数 ” ．
２ １
数学通报 ２ ０ １ ５年 第５ ４卷 第２期 自然数 都 是 它 的 约 数 ， 显然也不符合“ 合 数” 的 定义 ． 这样 ， 如果要将 ０ 作为自然数 ， 我们不得不思 ” 考： 是否还要为 “ 专设第四类 ？ ０ ” 与算术基本定理 ． ４ “ ０ ２ 所谓算术基本 定 理 ， 是指任何一个大于１的 自然数可以分 解 成 一 些 素 数 的 乘 积 ； 并且在不计 次序的情况下 ， 这种分解方式是唯一的 ． 算术基本定理是初等数论中一条非常基本和 重要的定理 ， 它把对自然数的研究转化为对其最 — —素 数 的 研 究． 它所体现的唯一因 基本的元素 — 子分解的 思 想 ， 从 本 质 上 讲 是 指 以 下 两 种 性 质： “ 存在性 ” 和“ 唯一性” 所谓“ 存在性” 就是指一个 ． 自然数 可 以 分 解 为 有 限 多 个 不 可 约 因 子 的 乘 积 ； 獉獉獉獉 “ 唯一性 ” 是指这种分解表示在某种意义上来说是 唯一的 ． 用现代数学语言来说 ， 就是每个合数都可 以唯一的分解成素数之积 ． 如果将 ０ 作为 自 然 数 ， 首先就与算术基本定 “ ” 可以分解为无限多个 不 可 理的 “ 存在性 ” 相悖 ， ０ 獉獉獉獉 约因子的乘积 ， 再 者， 由于任何数乘以“ 都等于 ０” “ ” 就不可能分解成确定 的一系列不可约 因此 ， ０ ０， 獉獉 数， 也就不具有 “ 唯一性 ” ． 这样 一 来 ， ０加入自然数就会破坏算术基本 定理的成立 ， 而算术基本定理是数论体系的重要 基础 ， 数论中的 许 多 结 果 和 方 法 都 依 赖 于 它 而 成 立． 一旦算术基本定理土崩瓦解 ， 就很可能带来数 论领域的一场混乱 ．
小学数学教学论文-“0”的归类变迁引发的教学思考人教版新课标
小学数学教学论文-“0”的归类变迁引发的教学思考人教版新课标小学数学教材中，对0的认识界定为“0”是整数，把0和自然数归类为整数。
教师在教学中运用教学语言时严格地区分“0”和自然数：0是整数，最小的自然数是“1”。
而进入二十一世纪后教材改革，在小学六年制人教版第十册教材中规定：“0”是最小的自然数。
既然0是最小的自然数，它必然就应归类为自然数列，由此就引发了一系列的教学概念的变化，同时，0的归类变迁也突出体现了教材改革的重大变化。
因此，教师在教学中必须把握新教材，走进新课程，注重数学理念、数学概念的变化，才能把握教材内容，把握教学语言的准确性，引导学生学好数学。
一、把握数学课程的基本理念。
综观新中国成立以来我国数学教学改革的发展历程，我们会发现一个时期有一个时期的基本理念：从强调打好基础，提出“双基”；强调能力和智力，提出“培养能力，发展智力”；强调非智力因素，提出“培养非智力因素”；强调素质教育和创新教育，提出“全面实施素质教育，培养创新意识和实践能力”到2001年7月教育部颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在全面总结新中国成立以来数学教学改革的成功经验的基础上，提出了“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展”这一数学课程的基本理念。
《课程标准》提出了六个方面的基本理念，分别强调了六个方面的问题：1、教育的目的——数学教育的根本目的是面向全体学生，促进学生发展。
“义务教育阶段的数学课程应突出基础性、普及性和发展性，使数学教育要面向全体学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。
”2、数学的作用——树立“工具性”和“文化性”相结合的课程观。
“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具”，“数学也是人类的一种文化，是现代文明的重要组成部分。
3、学习的方式——转变学习方式，赋予数学学习活动以生命的活力。
倡导动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。
最小的自然数是1,没有最大的自然数
最小的自然数是1,没有最大的自
然数
我也是一名学生,这个问题老师讲过好多次.让我来告诉你吧!
从历史上看,国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数,另一种认为0不是自然数.建国以来,我国的中小学教材一直规定自然数不包括0.目前,国外的数学界大部分都规定0是自然数.为了方便于国际交流,1993年颁
布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页,规定自然数包括0.所以在近几年进行的中小学数学教材修订中,教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改.即一个物体也没有,用0表示.0也是自
然数.
现在,记住：0也是自然数!。
由“O”是自然数引发的思考
括０ ， ” 但作为 一 种学术研究 ， 进行探讨也未尝不可。 笔者以为， ０ 的约数有无数 个 ， 根据《 九年义务教育六年制小学数学》 十册 第 中关 于合数的定义 “ 一个数 。如果除 了ｉ 和它本 身还有别 的约 数， 这样的数叫做合数” 似乎应该把０ ， 划归为合数范 围。 但仔细
范 围 内 ， 讲 最 小 公 倍 数 时 ， 把０ 除 在 外 的 。为 此 ，九 年 义 如 是 排 《 务教 育 六 年制 小学 数 学 》 第 十册 第５ 页 明 确 指 出 ：为 了 方便 ， Ｏ “
从 历 史 上看 。 内 外 数 学 界 对 于 ０ 不是 自然 数 历 来 有 两 国 是 种 观 点 ： 种 认 为０ 自然 数 ． 一种 认 为０ 是 自然 数 。 国 以 一 是 另 不 建 来 。 国 的 中小 学 教材 一直 规 定 自然 数 不 包 括０ 目前 。 外 的 我 。 国
思 考 之 二 ： 小 的 一 位数 是“ ’ 是 “ ” 最 １还 Ｉ Ｏ
以后在研 究约数和倍数时 ， 我们所说 的数一般不包括０ 这样 。”
就 避 免 了 一些 不 必 要 的麻 烦 。 过 去 的 一 些 说 法 就 必须 加 以纠 但 正 了 。 例 如 。一个 自然 数 的最 小 倍 数 是 它 本 身 ” “ “ 、 自然 数 的约
划 归 自然 数 。 而 对 几 位数 的 概 念 并没 改 变 。关 于 “ 然 几位 数 ” 是 这 样 定 义 的 ， 只用 一 个 有 效 数 字 表 示 的 数 ， 做 一 位 数 ， 用 “ 叫 只 两 个 有 效 数 字 。 中 左 边第 一个 数 字是 有 效 数 字 来 表 示 的 数 就 其
《 九年义务教育六年制小学数学》 第十册 中。 于“ 关 数的整 除” “ 及 约数和倍数 ” 的定 义并未做任何改 变 。 教材第５ 页就有 ４ 这样 的叙述 ： 因为０ “ 也能被２ 整除 ， 以０ 是偶 数” 以此类推 ， 所 也 。 ０ 能被所有非零 自然 数整除 ，根据约数倍数 的定义 ，是任何非 ０ 零 自然数 的倍数 。 任何 非零 自然数都是０ 的约数 但考虑到研究 分解 质因数 、 最大公 约数 、 最小公倍数时 ， 一般限于非零 自然数
小学数学课本改版 0成为自然数教授自叹水平低
小学数学课本改版 0成为自然数教授自叹水平低1：“以前我是最小的自然数，孩子们都记得我，后来我的名号被你夺走了，我也渐渐地被淡忘了。
”0：“你以为我想啊，他们说改就改，有没有考虑过我的感受？”以上对话缘于一个有争议的小学生数学题。
“最小的自然数是几？如您知道请务必回答，因我家里4年级同学回答‘1’被老师严厉批评遭罚。
”2月24日，一名家长在微博上向数学教授蔡天新发问引发热议。
【疑问】数学课本怎么改了“小时候，老师告诉我，0不是自然数，最小的自然数是1；长大后，有人告诉我，冥王星不再是九大行星之一，而0是最小的自然数了……”困惑的不仅仅是在微博上发问的70后家长，还有亲历教材更迭的80后。
“有一次辅导儿子作业，我记得最小的自然数是1，可儿子说是0。
咨询了一名当数学老师的同学，说1改0改了10年了，这是为什么？”家长李胜感慨，教材也可以随便改？湖南师范大学数计学院10级辅导员李老师告诉记者，有一回学生们去长郡中学实习，同样的问题也引发了争议，高中生坚持是0，大学生坚持是1，数计院老师也说，大学生教错了。
唐福全是一名80后，他清楚地记得小学课本说1是最小的自然数，0是最小整数，后来老师说新教材规定，0是最小的自然数。
“那一年是2021年，国家新课程改革，我正好读初一。
”【原因】2021年新教材将1改为0长沙市博才咸嘉小学教研室莫主任是一名资深小学数学老师，她说，2021年前，长沙小学生用的教材有北师大版的、人教版的、湘教版的，都规定1是最小的自然数。
新版认为，没有也是一种客观存在，所以0才是最小的自然数。
据了解，新中国成立以后，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100—3102—93)《量和单位》(11—2.9)第311页，规定自然数包括0。
所以，1993年后的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改，0成了最小的自然数。
自然数从0开始，还是从1开始，一直饱受争议，结果到底是什么
自然数从0开始，还是从1开始，一直饱受争议，结果到底是什么自然数自然数从0开始还是从1开始饱受争议。
从数论上来讲，自然数从1开始，在集合论中，自然数从0开始。
我国中小学教材中自然数是从0开始，《新华字典》中自然数是从1开始。
可以指正整数或非负整数，在数论通常用1，而集合论和计算机科学则多数使用后者还记得上初中的时候，数学老师讲的自然数把0加进来了，从那以后，就一直把0也当作自然数，但是今天这个问题任然存在争议。
0是极为重要的数字，0的发现被称为人类伟大的发现之一。
0在我国古代叫做金元数字，(意即极为珍贵的数字）。
0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明，在1202年时，一个商人写了一本算盘之书，在东方中由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。
由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾经引起西方人的困惑，因当时西方认为所有数都是正数，而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0)，甚至认为是魔鬼数字，而被禁用。
直至约公元15，16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同，才使西方数学有快速发展。
0的另一个历史：0的发现始于印度。
公元左右，印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用，当时的0在印度表示无（空）的位置。
约在6世纪初，印度开始使用命位记数法。
7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0，任何数加上0或减去0得任何数。
遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。
也有的学者认为，0的概念之所以在印度产生并得以发展，是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。
公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因为这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。
这套记数法后来又传入西欧。
下面我们来看看标准的定义。
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1,2,3，...叫作自然数。
0为什么是自然数
0为什么是自然数?在过去的中小学数学教学中，数字“0”一直不属于自然数，但是现在已明确把“0”归于自然数。
为什么有这样的变化?作为数学教师必须清楚。
许多数学工作者都认为这仅仅是一个“规定”，用数学的行话讲即“定义”，这就是说以前定义“1，2，3，…，n…”为自然数集，而现在则定义“0，1，2，3，…，n…”为自然数集。
显然这样的解释是不够的。
我比较赞同史宁中教授的观点：在古代，为了表示更大的自然数，人们除了创造出1---9的符号外，还创造出表示十进制数位的符号。
比如，在中国是十、百、千，在古罗马相应的是X、C、M。
应当注意的是，在这个符号系统中，十、百、千等是数位的符号，而在利用数位符号的数字系统中，数位符号是一种具体的存在，是不允许忽略的。
比如，在这个数字系统中，用十二来表示12这个数，但要读为一十二，即要把一个十读出来；同样的道理，五十并不指50，而表示的是五个十。
因此可以认为，利用数位符号的数字系统是由语言符号系统向完全数字符号系统的一种过渡。
同时也可以看到，利用数位符号的数字系统保留了语言符号系统的合理内核。
在古代汉字系统中，表示数字符号最大的数位符号是“兆”即1210，虽然这是一个很大的数，但终究是有限的。
由此可见，利用数位符号的数字系统使用起来还是有一些不方便的地方。
怎样构建一个完全数字符号系统呢？的位置表示的量是不同的。
借助算盘可以帮助学生建立数位的直观认识。
那么，应当如何通过数字符号来表述这样的数位功能呢？就像算盘中的空挡一样，只需要再发明一个符号“0”。
由此我们思考：表示自然数的关键是什么？（十个符号和数位）。
自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的。
在这样的表示中，0起到关键的作用。
所以读自然数的法则是：符号+数位。
基于十个符号和数位，就可以表示所有的自然数了，一般用N表示自然数集合：N=｛0,1,2,3，…｝这种表示说明自然数的序有开头无结尾。
小学数学：0到底是不是自然数？家长们不懂就别乱教了
小学数学：0到底是不是自然数？家长们不懂就别乱教了最近有老同学辅导读小学的小孩做数学作业时遇到了问题，就是0是不是自然数？他自己坚持0不是自然数，因为自己读小学的时候老师就是这么讲的，自然数是从1开始数的，0只能算是整数。
他一问完，我就马上教育了他一番，现在的知识跟我们以前读书的时候很多都改变了，不要用自己经验的那一套来教小孩。
现在的数学课本里面，很清楚的说明0就是自然数，自然数从1开始数变成了从0开始数了。
当数学老师的人，肯定会知道这样的变化，但是外行的人估计就不一定清楚了，所以专业的事情还是留给专业的人去教吧。
0其实是个非常重要的数字，虽然它表示什么都没有，但是这个符号的诞生却在数学史上具有划时代的意义。
古代的很多文明古国在数学发展的早期，都是没有0这个概念的。
因为数学是来源与生活，生活中能够看到的东西都是有实实在在的数量，1就是1，2就是2，所以很长一段时间内大家记数的方式都只有正数。
到了后来，大家开始慢慢意识到了0的重要性，于是也开始出现了一些用来表示0的符号，这意味着人们开始从具体转为抽象的来理解数字了。
最早的标准的数字0是有印度人发明的，在4000多年前，古印度的婆罗门教历史最悠久的文献《吠陀》中就已经有了“0”这个符号的记载，用来表示无和空的意思。
后来印度的数学家开始规定了0的具体的一些定义，任何数无论是加上0还是减去0都还是等于任何数，0就是“空空如也”的象征。
再后来，印度人把这套记数方法传到了阿拉伯人那里，于是便有了我们今天使用的阿拉伯数字的0。
在国际上，大家都是通用的把0归入自然数集的范畴，所以为了跟国际数学接轨，我们的教材也作了相应的调整，把0归入了自然数中。
介绍完0这个概念的，我们还是来说说现在一些家长很喜欢自己教小孩做数学的问题。
其实作为数学老师，是不建议家长来教小孩做数学的，除非家长本身具备数学教育的专业知识。
请注意我说的是数学教育的专业知识，不是数学的知识，很多人觉得就小学数学那点东西，谁还不会呢？尤其是那些学历还不错的家长，更是信心满满的教学生怎么做。
小学五年级数学有关0的困惑
有关０的困惑五年级数学教案1.０是自然数吗？从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来是有争议的，建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。
为了国际交流的方便，____年颁布的《中华人民共和国国家标准》（gb 3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。
所以近几年进行的中小学数学教材，根据上述国家标准进行了修订。
规定为是自然数。
就象规定我们平时说的分钟、小时在书写时要写成分、时一样，与我们长期的习惯不一致，老师们感到别扭也是可以理解的。
有的出版物没有按规定改，是它们的原因，我们不能抱怨现在“遵了纪，又守了法”的小学教材。
2．研究倍数为什么把0排除在外？在约数、倍数等概念中都不包括0。
在小学阶段讨论倍数问题时，为什么把0排除在外？因为若包括0，说0是任何数的倍数，那么2，8的最小公倍数是多少？任意两个数的最小公倍数都是0了，研究最小公倍数的就没有意义了。
不把0排除在外会带给我们很多麻烦。
3.“0是否为2的倍数？”、“2是否为0.2的倍数？”、“0是否为偶数？”、“0.2是否为偶数？”老师们问到的“0是否为2的倍数？”、“2是否为0.2的倍数？”、“0是否为偶数？”、“0.2是否为偶数？”这些都是与因、倍数有关。
讨论奇偶性这样的问题，要看范围，有的老师说到初中会说0是偶数，其实初中也不系统研究数的奇偶性，有的教材只是在学习了代数式之后，给出奇偶性的一般的表示方法：2 n和2n＋1，由此可知，像0，－2，－4也是偶数，但不是我们小学研究的范围。
虽然在初中给出一般形式，但很多初中生或老师也会有很多人不知道－2，－4也是偶数，人们关注的不是－2，－4是什么，而是更关注共性的东西。
另外，说0，－2，－4也是偶数，是人们的一种规定，而这种规定实在不是什么重要的问题，因为这种规定的初始并不是针对0和负数而规定的。
在数学上，所有2的倍数所组成的集合称为偶数，0是2的倍数，所以0也是偶数，－2，－4，等也是偶数（同样，这是在数学中的规定）；0.2不是2的倍数，所以0.2不是偶数，在小学阶段，由于讨论倍数问题时，并不包含0，因此，在小学阶段，也不讨论0是否为偶数这样的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学数学课本改版0成为自然数教授自叹
水平低
1：“以前我是最小的自然数，孩子们都记得我，后来我的名号被你夺走了，我也渐渐地被淡忘了。
”
0：“你以为我想啊，他们说改就改，有没有考虑过我的感受？”以上对话缘于一个有争议的小学生数学题。
“最小的自然数是几？如您知道请务必回答，因我家里4年级同学回答‘1’被老师严厉批评遭罚。
”2月24日，一名家长在微博上向数学教授蔡天新发问引发热议。
【疑问】数学课本怎么改了
“小时候，老师告诉我，0不是自然数，最小的自然数是1；长大后，有人告诉我，冥王星不再是九大行星之一，而0是最小的自然数了……”困惑的不仅仅是在微博上发问的70后家长，还有亲历教材更迭的80后。
“有一次辅导儿子作业，我记得最小的自然数是1，可儿子说是0。
咨询了一名当数学老师的同学，说1改0改了10年了，这是为什么？”家长李胜感慨，教材也可以随便改？
湖南师范大学数计学院10级辅导员李老师告诉记者，有一回学生们去长郡中学实习，同样的问题也引发了争议，高中生坚持是0，大学生坚持是1，数计院老师也说，大学生教错了。
唐福全是一名80后，他清楚地记得小学课本说1是最小的
自然数，0是最小整数，后来老师说新教材规定，0是最小的自然数。
“那一年是2019年，国家新课程改革，我正好读初一。
”
【原因】2019年新教材将1改为0
长沙市博才咸嘉小学教研室莫主任是一名资深小学数学老师，她说，2019年前，长沙小学生用的教材有北师大版的、人教版的、湘教版的，都规定1是最小的自然数。
新版认为，没有也是一种客观存在，所以0才是最小的自然数。
据了解，新中国成立以后，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》(GB3100—3102—93)《量和单位》(11—2.9)第311页，规定自然数包括0。
所以，1993年后的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改，0成了最小的自然数。
【争议】数学教授自叹水平低
“全世界数学家公认0不是自然数，《现代汉语词典》和《大英百科全书》也这么定义的，只有人教版《数学》教材例外。
”对于微博上家长的提问，数学教授蔡天新如是回答，“研究者可按需定义，但对中小学生来说，自然数从1开始为好。
”与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小
学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
这一观点得到了香港浸会大学教授、北京大学客座教授汤涛的支持：“第一次听说0是自然数。
看来我的水平低于小学水平了，紧张中。
”
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。
平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，
让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
但长沙市教科院数学教研员戴国良有不同见解：“首先，国际标准0是自然数，中国与国际接轨，改成此标准。
其次，这是一种人为的规定，是研究数学的需要，但此标准在国际上仍有争论。
第三，作为试题去考小学生，毫无意义。
”（。