比例的基本性质 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理 (2)
平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。
该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。
定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。
如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。
证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。
步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。
此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。
通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。
步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。
步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。
根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。
由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。
因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。
应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。
比例性质与平行线分线段成比例定理PPT讲稿
图6-1-3
【解析】根据两点之间最短， 只需求出AD的长，分别延长AD、 BC相交于E点，由CD∥AB得CD/AB=CE/BE 2/8=CE/(CE+8) CE=8/3. 根据勾股定理得DE=10/3，AE=40/3 AD=10
米.即小鸟至少飞了10米.
【例4】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，P是BC上一点， PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P 点在BC边上移动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若不变，求出x的值， 并说明理由.
cm.
3
➢ 课时训练
3.(2004·贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯光
下
()
A.小明的影子比小强的影子长
D
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
➢ 课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,
E、F分别是AB、CD的中点，EF
五、中考要求
(1)会利用比例性质求比例中项、第四比例项 及代数式的值.
(2)会求比例尺.
(3)能灵活运用平行线分线段成比例定理及推论 证明线段成比例，并会利用推论的逆定理证明 两直线平行.
➢ 课前热身
1．(2003·南京市)在比例尺是1∶38000的南京交通游
览图上，玄武湖隧道长约7cm它的实际长度约为 ( )
➢ 课时训练
6.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项 c= cm. 6
7.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC=2∶3，AE交BD于点F，
平行线分线段成比例定理 课件
题型四
计算线段长度的比值
【例4】 如图,M是▱ABCD的边AB的中点,直线l过点M分别交
AD,AC于点E,F,交CB的延长线于点N,若AE=2,AD=6.
求AF∶AC的值.
分析:AD∥BC,AM=MB⇒AE=BN⇒AF∶AC的值
解:∵AD∥BC,∴
即 AF∶AC=1∶ 5.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
=
= .
∴
=
, ∴ = .
2
反思在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图
形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”.
题型三
证明线段倒数和的等式
【例 3】 如图,AB⊥BD 于点 B,CD⊥BD 于点 D,连接 AD,BC 交
1
1
1
+
= .
= 1. 由于AB∥EF∥CD,因此将 与
于பைடு நூலகம் E,EF⊥BD 于点 F.求证:
分析:转化为证明 +
化归为同一直线BD 上的线段比就可得证.
证明:∵AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,
∴AB∥EF∥CD.∴ = , = .
+
∴
+
=
+
15初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析
初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。
掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。
3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。
三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。
2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。
3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。
四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。
2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。
五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。
比例线段和平行线分线段成比例定理
二、比例线段的例题和练习：
例2. 已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm. (1) 线段a、b、c、d是否是成比例的线段？ a、b、c、d不是成比例的线段. (2) 经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？ 解：∵12×10=120, 15×8=120, ∴ ab=cd. ∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.
bd
bd
b
d
(3)黄金分割：A
CB
二、比例线段的例题和练习：
例1. 在1 : 500000的地图上，若A、B两市的距离是64cm， 则两个城市间的实际距离是多少千米？ 解：设A、B两市距离为xcm，则
64 = 1 . x 500000
∴x=64×500000=32000000(cm)=320(km). 答：两城市实际距离为320千米.
且 DE = CF = 2 . AB=20, CD=10. EA FB 3
求：EF.
D
C
E
F
N
A
M
B
五、练习题：
5. 已知，如图，在△OCE中，BD∥CE, AD∥BE.
O
求证：OB2=OA·OC.
A
B
D
C
E
在四条线段中如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比那么这四条线段叫作成比例线段
比例线段和 平行线分线段成比例定理
小店乡一初中
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义： 同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，
那么就写成 a : b = m : n 或 a = m .
bn
(2)前项、后项： a叫比的前项，b叫比的后项. 前后项交换，比值要交换. 如 a = 3，则 b = 2 .
比例的基本性质平行线分线段成比例
数学辅导11： 比例的根本性质一、知识点：1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.2. 比例的性质：〔1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =.〔2如果d c ba=，那么c d a b =.〔3如果d c ba =，那么dbc a =.〔4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-.〔5如果)0(≠+++===n d b n m d c ba ，那么b a n d b mc a =++++++ . 二、典型例题： 〔1〕71=-a b a ，那么b a 38=+y y x ，那么y x =_______________. 32=b a ，那么=+b b a _________，bb a -=______________. 〔2〕)0(53≠+==d b dc b a ，那么db c a ++的值为____________. 572c b a ==，那么ac b a -+=______________. 75==d c b a ，那么db c a 3232--=_____________. 〔3〕在△ABC 与△DEF 中，假设43===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，那么△DEF 的周长为______.〔4〕543c b a ==，且6=-+c b a ，那么a =__________. 〔5〕如果d c b a =〔0≠+b a ，0≠+d c 〕，那么cd c a b a +=+成立吗？请说明理由. 〔6〕a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，那么线段d =___________. 〔7〕2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.练习1．以下各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =12. 线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的选项是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b3. 假设ac =bd ，那么以下各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b dd a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 4．如果bc ad =，那么以下比例中错误的选项是〔 〕A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、c d a b =5．假设5:6:=y x ，那么以下等式中，不正确的选项是〔 〕A 、511=+y y xB 、51=-y y xC 、6=-y x xD 、5=-x y y6．假设2:1:::===d c c b b a ，那么=d a :〔 〕A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:87．假设3:2:1::=c b a ，那么c b a cb a +---的值为〔 〕A 、-2B 、2C 、3D 、-38．875c b a ==，且20=++c b a ，那么=-+c b a 2〔 〕 A 、11 B 、12 C 、314D 、99．假设4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，那么b a -的值是〔 〕A 、5B 、-5C 、20D 、-2010.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，那么这两地间的实际距离是______11.假设a =2,b =3,c =33,那么a 、b 、c 的第四比例项d 为________12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.14．35=y x ，那么=-+)(:)(y x y x 15．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a16．a b a 3)(7=-，那么=b a17．〔1〕b a a b b a x +=+=+=222，求x 的值〔2〕524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且457a c c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？数学辅导12： 平行线分线段成比例如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF BC =；如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EFDE BC =.如图3，∵DE ∥BC ，∴EC；如图4，∵AB ∥CD ，∴=. 二、典型习题：1. 如图1，L 1∥L 2∥L 3，且AB=5，BC=7，EF=4，那么DE=________________.2. 如图2，L 1∥L 2∥L 3，且AB=6，BC=7，DE=5，那么DF=________________.3. 如图3，DE ∥BC ，且，，，那么EC=____________cm.4. 如图4，AB ∥CD ，且OC=7，OD=5，OA=2，那么OB=________________.5. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且DE ∥AC ，EC AC BE AB =，35=AC AB ，求BD AB .6. 如图，在在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，ACBC 上的点，且DE BC=20cm ，求BF 的长.。
比例线段;平行线分线段成比例定理人教版
比例线段；平行线分线段成比例定理二. 重点、难点：重点：比例的基本性质、合比性质、等比性质；黄金分割点的性质；平行线分线段成比例定理、推论。
难点：比例的性质的应用，黄金分割点的性质，平行线分线段成比例定理、推论的应用。
三. 知识结构：1. 比例线段：2. 比例中的项：a ：b a —比的前项，b —比的后项a b c d = a b c d 、、、——比例的项a b c d ：：比的内项↓=↓ d ——比的第四比例项比的外项3. 比例中项：若a b b c ：：=，则b 叫a 、c 的比例中项。
4. 比的性质：比的基本性质：a b c d ad bc a b b c b ac ：：：：=⇔==⇔=⎫⎬⎭2内项之积＝外项之积 比的合比性质：a b c d a b b c d d =⇒±=±（注意：在分子上加分母） 比的等比性质：a b c dm n b d n a c m b d n a b ===+++≠⇒++++++=…………()0 5. 黄金分割点A C B若AC 是AB 、BC 的比例中项，点C 叫做线段AB 的黄金分割点。
AC AB BC AB AC AC BCAC AB BC AC 20618=⋅==≈⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪.6. 平行线分线段成比例定理：A A’ l 1B B’ l 2C C’ l 3l 4 l 5三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
AB BC A B B C AB AC A B A C AB A B BC B C ===⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪''''''''''''7. 平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例。
A D E AAD EB CB C B C D E（1） （2） （3）【典型例题】例1. 已知x y a b c d ===23，求（1）x a c y b d ++++（2）x a cy b d -+-+22解：（1）由合比性质x a c y b d++++=23 （2）x y a b c d ==，∴=--==x y a b c d 2223∴-+-+=x a c y b d 2223例2. 已知a b c 234==，求a b c a b c ++++232。
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件3.2平行线分线段成比例
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC.
BC 3
2
3
由于
AD
DB
1 2
AB
，
BE
EF
FC
1 3
BC.
因此 AD DB BE EF FC .
知识讲解
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1. 从而 A1B1 2 A1 D1 2 .
第3章 图形的相似
第3章 图形的相似
3.2 平行线分线段成比例
学习目标
1 了解平行线等分线段成比例的基本事实. 2 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 3 掌握由平行线分线段成比例所得的推论.（重点） 4 会用平行线分线段成比例的事实和推论解决
相关的计算和证明问题.（难点）
知识回顾
1.比例线段的概念
解: ∵ 两条直线被三条平行线所截，
∴
,
即 4x ＝ 3×7 ,
.
随堂训练
5.如图，已知直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A，C，E， B，D，F，AC = 4，CE = 6，BD = 3，求 BF 的长.
解：∵a / /b / /c
AC BD CE DF
即4 3 6 DF
4DF 36 DF 18 = 9
∴ 2 AC 1.8 ,
3
AC
∴ 2AC 3( AC 1.8).
解得 AC 5.4.
随堂训练
1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式错误的是（ D ）
A. —ACCE—＝ —BDDF— B. A—C—＝ —BD—
AE BF C. C—E—＝—D—F
AE BF D. A—E—＝—BD—
9.2平行线分线段成比例 (共22张PPT)
1.比例线段的概念：
四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ∶b=c ∶d，那么这四条 线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
2.比例的基本性质
⑴.如果 a∶b ＝c∶d ，那么a ·d ＝b ·c. ⑵如果 a ·d ＝b ·c (a、b、c、d都不等于0)，
那么 a ∶b ＝c ∶d
A
E
F
B
C
课堂练习：
A 64 DE
9
B
C
EC＝（ ）
12
D
15
F 9 B
A
E
10
G C
AE＝（ ） GC＝（ ）
课堂练习：
已知：EG∥BC，GF∥CD
求证： AE ＝ AF
AB
AD
E
B
A
F
G
D
C
小结：
1.平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例
2、推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截 得的对应线段成比例。
L1
（1）
AB BC
DE
EF 简称“上比下”等于“上比下”
C
F
L2（2）AACB
DE DF
简称“上比全”等于“上比全”
L3
（3）BACC
EF DF
简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论。
探究活动二
如图，直线a ∥b∥ c ，分别交直线m,n于 A1，A2，A3，B1，B2，B3 。过点A1作直线n的平行 线，分别交直线b，c于点C1，C2。如图，图中有 哪些成比例线段？
（1）∵ AB∥DE
B
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
比例性质和平行线分线段成比例定理
图6-1-3
【例3】如图6-1-4所示，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB=CD=3，P是BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F， 设PE，PF的长分别为m，n，x=m+n，那么当P点在BC边上移 动时，x值是否发生变化?若变化，求出x的取值范围；若 不变，求出x的值，并说明理由.
EF (3) AB
AB AD (2) = BC BF AE CE (4) = CF BF
DE = BC
其中正确的比例式的个数是( B ) A．4个 B.3个 C. 2个 D.1个
4.如图6-1-2，若
AB ( DE ) AM ( DM )
，则 l]∥l2
图6-1-2
x y z ≠0，那么 x y z = = 【例1】如果 x yz 2 3 4 的值是( C )
课时训练
3.(2004· 贵阳市)在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强 的影子长，那么在同一路灯光下 ( D) A.小明的影子比小强的影子长 B.小明的影子比小强的影子短 C.小明的影子和小强的影子一样长 D.无法判断谁的影子长
课时训练
4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC, E、F分别是AB、CD的中点，EF 分别交BD、AC于G、H，设 BC-AD=m,则GH的长为 ( D ) A.2m B.m C.2m/3 D.m/2
课时训练
1.(2004· 北京市)如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点， 作EF//BC交AC于点F。如果EF=4,那么CD的长为( D ) A.2 B.4 C.6 D.8
2.(2004· 陕西省)如图，在平行 四边形ABCD中，AB=4cm,AD= 7cm,∠ABC的平分线交AD于点E， 交CD的延长线于点F，则DF= 3 cm.
课件3：二 平行线分线段成比例定理
反思感悟 (1)比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题 常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促 成比例线段的产生．(2)利用平行线转移比例是常用的证题技巧， 当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添引辅助平行 线，从而达到转移比例的目的．
【变式 3】 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，已知 AB、BD、DC 的长度分别是 3,2,4， 则 AC 的长为________． 解析 如图所示，过点 D 作 DE∥AB，交 AC 于点 E.则DBDC＝EACE. 又∵AD 为∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD＝∠DAE. ∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE. ∴∠DAE＝∠ADE. ∴AE＝DE.
证明 过 A 作 AG∥BC，交 DF 于 G 点． 因为 AG∥BD，所以FFAB＝ABGD. 又因为 BD＝DC，所以FFAB＝DAGC. 因为 AG∥DC，所以DAGC＝EACE. 所以EACE＝FFAB， 即 AE·FB＝EC·FA.
反思感悟 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意 (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系； (2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线 可能很多，要注意围绕待证式； (3)要注意“中间量”的运用与转化．
∴DBDC＝EACE＝DECE＝AACB. 即DBDC＝AACB. ∴AC＝ABB·DDC＝3×2 4＝6. 答案 6
方法技巧 探索并证明空间形式的“平行面分线段成比例定理” 【示例】 如图，α∥β∥γ，l1、l2 是异
面直线，l1 交 α、β、γ 分别为点 A、 B、C，l2 交 α、β、γ 分别为点 D、 E、F.求证：BACB＝DEFE.
证明 如图，在直线 l2 上取一点 G，过点 G 作 l3∥l1，设 l3 与平面 α、β、γ 分别相交于 P、Q、R，则 l1 与 l3 确定一个平面 APRC，l3 与 l2 确定一个平面 GRF.在平面 APRC 中，连接 AP、BQ、CR，则 AP∥BQ∥CR.∴BACB＝PQQR.在平面 GRF 中，连接 PD、QE、RF，则 PD∥ QE∥RF.∴QPQR＝DEFE.∴BACB＝DEFE.
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理推论平行线分线段成比例定理推论引言：平行线分线段成比例定理是中学数学中的一个基本定理，它是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将从该定理的定义、证明以及推论三个方面进行详细介绍。
一、平行线分线段成比例定理的定义平行线分线段成比例定理是指：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分，与其在另一条直线上所截取的两个部分之比相等。
二、平行线分线段成比例定理的证明1. 假设有两条平行直线AB和CD，其中有一条直线EF与CD相交于点G。
2. 作AG和BG两条射线，以及CG和DG两条射线。
3. 根据角度对应原理可知∠AGE=∠BGF，∠CGF=∠DGE。
4. 又因为AB和CD是平行的，所以∠AGE+∠CGF=180°，∠BGF+∠DGE=180°。
5. 将以上等式联立得到：∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°。
6. 四个角构成一个完整的圆周角，所以∠AGE+∠BGF+∠CGF+∠DGE=360°=2π。
7. 根据圆周角的性质可知：∠AGE/∠CGF=AG/CG，∠BGF/∠DGE=BG/DG。
8. 将以上两个比例式联立得到：AG/BG=CG/DG。
9. 因此，平行线分线段成比例定理得证。
三、平行线分线段成比例定理的推论1. 推论一：如果在两条平行直线上，有一条直线与其中一条直线相交，则这条交线所截取的另一条直线上的两个部分之和等于这条交线所截取的另一条直线长度。
证明：设在两条平行直线AB和CD上，有一条直线EF与CD相交于点G。
则根据平行线分线段成比例定理可知：AG/BG=CG/DG因此，AG/BG+1=CG/DG+1即(AG+BG)/BG=(CG+DG)/DG化简得到：AB/BG=CD/DG因此，AB/BG×BG+CD/DG×DG=AB+CD即AB×BG/BD+CD×DG/BD=AB+CD因此，(BD-BG)×AB/BD+(BD-DG)×CD/BD=AB+CD 即(BD-GB)×AB+(BD-GD)×CD=BD×(AB+CD)因为BG=GD，所以：BD×AB=AD×BGBD×CD=DC×GD将以上式子代入上式得到：AD×BG+(DC-GD)×BG=BD×(AB+CD)AD+DC=BD因此，推论一得证。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。
2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。
3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。
根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。
在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。
由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。
4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。
两条平行线分线段成比例定理
两条平行线分线段成比例定理以两条平行线分线段成比例定理为标题的文章两条平行线分线段成比例定理，是几何学中的基本定理之一，它描述了两条平行线在与它们相交的第三条线上所分割线段的比例关系。
本文将详细介绍这一定理的定义、证明方法以及应用场景。
让我们来看一下这个定理的定义。
在平面几何中，如果两条平行线l和m被一条与它们相交的线n分割成多个线段，那么这些线段的比例相等。
具体来说，如果线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例，那么可以得出以下结论：线段AB:线段CD = 线段EF:线段GH接下来，我们将探讨这个定理的证明方法。
首先，我们需要了解一些基本概念和性质。
在平行线与一条横切线相交的情况下，我们可以得到一些重要的对应角相等的关系，如同位角相等、内错角相等等。
利用这些性质，我们可以进行如下的证明过程：假设线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例，即AB/CD = EF/GH。
接下来，我们可以利用同位角相等的性质，找出一对同位角。
在这个例子中，我们可以找到同位角ACE和BDF。
然后，根据同位角相等的性质，我们可以得出角ACE与角BDF相等。
接着，我们需要利用内错角相等的性质，找出一对内错角。
在这个例子中，我们可以找到内错角AED和BFC。
根据内错角相等的性质，我们可以得出角AED与角BFC相等。
我们可以利用相等角的性质，得出线段AB与线段CD之间的比例等于线段EF与线段GH之间的比例。
证毕。
除了理论证明，这个定理还可以应用于实际问题中。
例如，在建筑设计中，我们经常会遇到需要进行比例放大或缩小的情况。
如果我们已知某一线段的长度，而另一线段的长度未知，但我们知道两条平行线与这两个线段的夹角，那么我们就可以利用两条平行线分线段成比例定理，通过比例关系求解未知线段的长度。
这对于设计师来说非常有用。
在地图制作中，我们也经常会使用这个定理。
当我们需要绘制一个比例尺较大的地图时，如果我们已知某一距离在实际地理中的长度，而另一距离在地图上的长度未知，但我们知道两条平行线在地理和地图上的夹角，那么我们就可以利用两条平行线分线段成比例定理，通过比例关系求解未知距离在地图上的长度。
平行线分线段成比例定理课件
证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用
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数学辅导11： 比例的基本性质
一、知识点：
1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d
c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ，
d 叫做成比例线段，简称比例线段.
2. 比例的性质：
（1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =.
（2如果
d c b
a
=，那么c d a b =.
（3如果d c b
a =，那么d
b
c a =.
（4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-.
（5如果)0(≠+++===n d b n m d c b
a ΛΛ，那么
b a n d b m
c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则b
a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=b
a
，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b
a ，则d
b
c a ++的值为____________. 已知572
c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75==
d c b a ，那么d
b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4
3===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知5
43c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c
d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________.
（7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.
练习
1．下列各组中的四条线段成比例的是( )
A.a =2，b =3，c =2，d =3
B.a =4，b =6，c =5，d =10
C.a =2，b =5，c =23，d =15
D.a =2，b =3，c =4，d =1
2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )
A.a ∶d =c ∶b
B.a ∶b =c ∶d
C.d ∶a =b ∶c
D.a ∶c =d ∶b
3. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a =
B.c c b d d a +=+
C.c d b a =22
D.d a cd ab =
4．如果bc ad =，那么下列比例中错误的是（ ）
A 、d b c a =
B 、b a d c =
C 、b d c a =
D 、c d a b =
5．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（ ）
A 、511=+y y x
B 、51=-y y x
C 、6=-y x x
D 、5=-x y y
6．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（ ）
A 、1:2
B 、1:4
C 、1:6
D 、1:8
7．若3:2:1::=c b a ，则c b a c
b a +---的值为（ ）
A 、-2
B 、2
C 、3
D 、-3
8．已知
875c b a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（ ） A 、11 B 、12 C 、314
D 、9
9．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（ ）
A 、5
B 、-5
C 、20
D 、-20
10.在比例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______
11.若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________
12.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________.
13．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
14．已知
35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 15．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a
16．已知a b a 3)(7=-，则=b a
17．（1）已知
b a a b b a x +=+=+=
222，求x 的值
（2）已知
524232x z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值
18. 如果线段a ，b ，c 的长度之和是32cm ，且
4
57a c c b b a +=+=+，那么这三条线段能否围成一个三角形？
数学辅导12： 平行线分线段成比例
如图1，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF BC =； 如图2，∵L 1∥L 2∥L 3，∴EF
DE BC AB =.
如图3，∵DE ∥BC ，∴EC
； 如图4，∵AB ∥CD ，∴
BO =. 二、典型习题：
1. 如图1，已知L 1∥L 2∥L 3，且AB=5，BC=7，
EF=4，则DE=________________.
2. 如图2，已知L 1∥L 2∥L 3，且AB=6，BC=7，DE=5，则DF=________________.
3. 如图3，已知DE ∥BC ，且AD=3.2cm ，DB=1.2cm ，AE=2.4cm ，则EC=____________cm.
4. 如图4，已知AB ∥CD ，且OC=7，OD=5，OA=2，则OB=________________.
5. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且DE ∥AC ，EC AC BE AB =，35=AC AB ，求BD AB .
6. 如图，在在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，ACBC 上的点，且DE ∥BC 求BF 的长.。