2019年考研数学二真题及答案

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2019年考研数学二真题与解析

2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与kx 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--；令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是（）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散；（2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则（）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+；令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（）（A ）充分不必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】（A ）【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则， 2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切；（2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-． 7．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=，所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型Tx Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x xx x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ .【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰ 13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-．【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dx tt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0x x xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)limlim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩；令()0f x '=得到1211,x x e=-=．当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =把初始条件(1)y =代入，得10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0xe x -=得,0,1,2,x k k n π==当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S ex dx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S eππ-→∞+=-． 20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax by ax byu v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax by ax byu v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂；把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到 222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．证明（1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-；至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A BtrA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。

2019考研数学二答案解析

= lim +
x →0
所以 f (0) 不存在,因此
2x 2 x (1 + ln x), x 0, f ( x) = x x 0. ( x + 1)e ,
1 ;另外 f ( x) 还有一个不可导点 x2 = 0 ; e 1 1 又 (−, −1) 为单调递减区间 , ( −1, 0) 为单调递增区间, (0, ) 为单调递减区间, ( , +) 为单 e e
2
= e (
1 2 x
dx + C ) = e ( x + C ) ;
x2 2
又由 y (0) = e 得 C = 0 ,最终有
y ( x) = xe .
(2)所求体积
x2 2
x2 2
V = π( xe ) 2 dx = π xe x dx
2
2
2
1
1
π 2 π = e x = (e 4 − e) . 2 1 2
18、已知平面区域 D 满足 x
2
y, ( x 2 + y 2 )3 y 4 ，求
x+ y x2 + y 2
D
dxdy .
解:由 x
2
y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,
2 3
π 3π ;将 x = r cos , y = r sin 4 4
代入 ( x + y )
y 4 得 r sin 2 ;
解:
( x − 1) ( x
3x + 6 2 3 2x +1 dx = [− + + 2 ]dx 2 2 2 + x + 1) x − 1 ( x − 1) x + x +1

2019年全国硕士研究生入学统一考试(高等数学二)真题及答案解析

y
=
g(x) 在 x
=
a 对应的点处相切且曲率相等的充
分但不必条件，应选(A).
(7)设 A 是4阶矩阵，A* 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有2个向量，
则 r( A*) = ( )
(A)0
应选(B)。
(3)下列反常积分发散的是( )
∫ (A) +∞ xe−xdx 0
∫ (B) +∞ xe−x2 dx 0
【答案】D
+∞ arctan x
∫ (C) 0
1+ x2 dx
+∞ x
∫ (D) 0
1+ x2 dx
【解析】(方法一)
∫ ∫ 由 +∞ xe−xdx = Γ(2) = 1，得 +∞ xe−xdx 收敛；
=
a 处连续，则 lim x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= 0 是曲线
y = f (x) 和 y = g(x) 在 x = a 对应的点处相切且曲率相等的( )
(A)充分非必要条件，(B)充分必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件【答案】A
【解析】若 lim x→a
∫∫ (5)已知平面区= 域 D
{(
x,
y)
||
x
|
+
|
y
|≤
π 2
}
，= 设 I1
D
x2 + y2 dxdy ， I2 =
∫∫ ∫∫ sin x2 + y2 dxdy ， I3 =(1− cos x2 + y2 )dxdy ，则( )
D

2019考研数学二考试真题及答案详解(完整版)

f (a ) g (a )
lim
f' (x)

g
' (
x)
xa 2(x a)
f (a) g(a)
lim f (x) g(x) = f (a) g(a) f ( a) g( a)
xa
2
2
f(x)与 g(x)相切于点 a.且曲率相等.选择（B）
f
+ y × f + 2y 2 f x
= - 2 y3 f + yf + 2 y3 f
x
x
=
yf
ççç
y2 x
÷÷÷÷
12. 设函数 y lncosx(0≤x≤ )的弧长为
.
6
解析：
y ln cos x, 0 x 6
l
6 0
1

sin x cos x
2019 考研数学二考试真题及答案详解来源：文都教育
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当 x→0 时， x tan x与x k 同阶，求 k（）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：
x - tan x - x3 若要 x - tan x 与 xb 同阶无穷小， \ k = 3 3
A. y12 y22 y32
B. y12 y22 y32
C. y12 y22 y32
D. y12 y22 y32
解析：由 A2 + A = 2E 得 λ2 + λ=2 ， λ 为 A 的特征值， l=-2 或 1，又 A λ1λ2 λ3=4 ，故 λ1=λ2=-2，λ3=1 ，

2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当→x 0时，若−x x tan 与x k是同阶无穷小，则=k A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】C【解析】−−x x x 3tan ~3，所以选C.2、设函数=+−y x x x x 22sin 2cos ()π3π的拐点 A. 22(,).ππB.(0,2).C.−,2).π( D. −22(,).π3π3【答案】C.【解析】令=−=''y x x sin 0，可得=x π，因此拐点坐标为（，）−2π. 3、下列反常积分发散的是A. ⎰−+∞x xx e d 0B. ⎰−+∞x xx e d 02C.⎰++∞x x x1d arctan 02D.⎰++∞x x x 1d 02【答案】D 【解析】⎰+=+=+∞+∞+∞x x x x 12d ln(1)1022，其他的都收敛，选D. 4、已知微分方程x ce =by +y ¢a +y ¢¢的通解为x e +x -e )x 2C +1C (=y ，则a 、b 、c 依次为A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，==−λλ112，故特征方程为（）+++λλλ1=21=022，所以==a b 2,1，又由于=y x e 是+='''y y y ce x +2的特解，代入得=c 4.5、已知积分区域=+D x y x y2{(,)|}π，⎰⎰=I x y d 1，2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析(官方）2d DI x y =⎰⎰，3(1d DI x y =−⎰⎰，试比较123,,I I I 的大小A. 321I I I <<B. 123I I I <<C. 213I I I << D. 231I I I <<【答案】C【解析】在区域D上2220,4x y π≤+≤∴≤，进而213.I I I <<6、已知(),()f x g x 的二阶导数在x a =处连续，则2()g()lim0()x af x x x a →−=−是曲线(),()y f x y g x ==在x a =处相切及曲率相等的A.充分非必要条件.B.充分必要条件.C.必要非充分条件.D.既非充分又非必要条件.【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有2()g()()g ()()g ()limlim lim 0.()2()2x ax a x a f x x f x x f x x x a x a →→→''''''−−−===−−从而有()(),()(),()()f a g a f a g a f a g a ''''''===,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率322(1)y K y ''='+,其分子部分带有绝对值,因此()()f a g a ''''=或()()f a g a ''''=−;选A.7、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax =0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=.8、设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵. 若22+=A A E ，且4=A ，则二次型T x Ax 规范形为A. 222123.y y y ++ B. 222123.y y y +−C. 222123.y y y −− D. 222123.y y y −−−【答案】C【解答】由22+=A A E ，可知矩阵的特征值满足方程220λλ+−=，解得，1λ=或2λ=−. 再由4=A ，可知1231,2λλλ===−，所以规范形为222123.y y y −−故答案选C.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． 9. 2lim(2)x xx x →+=___________.【解析】022lim ln(2)lim(2)ex x x x xxx x →+→+=其中000221lim ln(2)2lim 2lim(12ln 2)2(1ln 2)x xx x x x x x x x→→→+−+==+=+所以222ln 22lim(2)e4x xx x e +→+==10.曲线sin 1cos x t t y t=−⎧⎨=−⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距___________.【解析】d sin d 1cos y tx t=−当32t π=时，3d 1,1,12d yx y xπ=+==−所以在32t π=对应点处切线方程为322y x π=−++所以切线在y 轴上的截距为322π+11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂___________.【解析】223222()()()z y y y y yf f x x x x x∂''=−=−∂2222222()()()()()z y y y y y y f yf f f y x x x x x x ∂''=+=+∂所以22()z z y x y yf x y x∂∂+=∂∂12.设函数ln cos (0)6y x xπ=的弧长为___________.【解析】弧长61d cos s x x x xπ===⎰6011ln |tan |ln 3cos 2x x π=+==13.已知函数21sin ()d xt f x xt t=⎰，则10()d f x x =⎰___________.【解析】设21sin ()d xt F x t t=⎰，则1100()d ()d f x x xF x x=⎰⎰112212000111()d [()]d ()222F x x x F x x F x ==−⎰⎰211220011sin ()d d 22x x F x x x xx '=−=−⎰⎰122100111sin d cos (cos11)244x x x x =−==−⎰14.已知矩阵1100211132210034−⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪⎝⎭A ，ij A 表示||A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A −=___________.【解析】11121100100021112111||3221312100340034A A −−−−−−−===−−−A 1111111210104034034−−−−=−==−三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0,xx x x f x x x ⎧>⎪=⎨+⎪⎩求()f x '，并求()f x 的极值.解:0x >时,2ln 2ln (0)(e)e (2ln 2)x xx x f x ''==+;0x <时,()(1)e x f x x '=+;又2ln 00()(0)e 1(0)lim lim0x x x x f x f f x x+++→→−−'==−002ln lim lim 2ln x x x xx x++→→===−∞, 所以(0)f '不存在,因此22(1ln ),0,()(1)e ,0.xxx x x f x x x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩令()0f x '=,得驻点1311,ex x =−=;另外()f x 还有一个不可导点20x =; 又(,1)−∞−为单调递减区间,(1,0)−为单调递增区间,1(0,)e 为单调递减区间,1(,)e+∞为单调递增区间;因此有极小值1(1)1e f −=−和极小值2e 1()e ef −=,极大值(0)1f =.16、（本题满分10分）求不定积分2236d .(1)(1)x x x x x +−++⎰解:2222362321d []d (1)(1)1(1)1x x x xx x x x x x x ++=−++−++−−++⎰⎰ 232ln 1ln(1)1x x x C x =−−−++++−17、（本题满分10分）()y y x =是微分方程22e x y xy '−=满足(1)y =.（1）求()y x ；（2）设平面区域{(,}|12,0()}D x y x y y x =，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解(1)2d d 2()e [e e d ]x x xx xy x x C −⎰⎰=+⎰2222e ()e )x x x C C =+=+;又由(0)y =得0C =,最终有22()e x y x =.(2)所求体积22222211πe )d πe d x x V x x x==⎰⎰2241ππe (e e)22x ==−.18、已知平面区域D 满足2234,()xy x y y +，求d x y ⎰⎰.解:由xy 可知区域D 关于y 轴对称,在极坐标系中,π3π44θ;将cos ,sin x r y r θθ==代入2234()x y y +得2sin r θ;由奇偶对称性,有2πsin 2π04sin d d 2d d r x y x y r r r==⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθππ52222ππ44sin d (1cos )dcos 120==−−=⎰⎰θθθθ19、设n 为正整数，记n S 为曲线e sin (0π)xy x x n −=与x 轴所围图形的面积，求n S ，并求lim n n S →∞.解:设在区间[π,(1)π]k k +(0,1,2,,1)k n =−L 上所围的面积记为k u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d k k x kx k k k u x x x x ++−−==−⎰⎰;记e sin d x I x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰e cos e dsin e cos (e sin sin de )x x x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22k kk k k k k u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)kk =−)因此π(1)π1ππ111e e e 221e n n n k n k k k S u −−+−−−==−==+=+−∑∑; π(1)πππππ1e e 1e 11lim lim21e 21e 2e 1n n n n S −−+−−−→∞→∞−=+=+=+−−−20、已知函数(,)u x y 满足222222330u u u u x y x y∂∂∂∂−++=∂∂∂∂，求,a b 的值，使得在变换(,)(,)e ax by u x y v x y +=下，上述等式可化为(,)v x y 不含一阶偏导数的等式.解:e e ax byax by x u v va x++∂'=+∂, 222e e e e ax by ax by ax byax by xx x x u v v a v a va x++++∂''''=+++∂2e 2ee ax by ax byax by xx x v av a v +++'''=++同理,可得ee ax by ax by y u v bv y++∂'=+∂,222e 2e e ax by ax by ax by yy y u v bv b v y +++∂'''=++∂; 将所求偏导数代入原方程,有22e [22(43)(34)(2233)]0ax by xx yy x y v v a v b v a b a b v +''''''−+++−+−++=,从而430,340a b +=−=,因此33,44a b =−=. 21、已知函数(,)f x y 在[0,1]上具有二阶导数，且1(0)0,(1)1,()d 1f f f x x ===⎰，证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）存在(0,1)η∈，使得()2f η''<−. 证明:(1)由积分中值定理可知,存在(0,1)c ∈,使得1()d (10)()f x x f c =−⎰,即()1f c =.因此()(1)1f c f ==,由罗尔定理知存在(,1)((0,1))c ∈⊂ξ,使得()0f ξ'=.(2)设2()()F x f x x =+,则有2(0)0,()1,(1)2F F c c F ==+=;由拉格朗日中值定理可得:存在1(0,)c ∈η,使得21()(0)1()0F c F c F c c −+'==−η;存在2(,1)c ∈η,使得22(1)()1()111F F c c F c c c−−'===+−−η;对于函数()F x ',由拉格朗然中值定理同样可得,存在12(,((0,1))∈⊂ηηη,使得22121212111(1)1()()()0c c F F c c F ++−−''−''===<−−−ηηηηηηηηη, 即()20f ''+<η;结论得证.22.已知向量组（Ⅰ）232111=1=0,=2443a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα，，（Ⅱ）21231011,2,3,313a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦βββ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将3β用23,,1ααα线性表示.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B . 因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫ ⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.23.已知矩阵22122002x −−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦A 与21001000y ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 相似，（Ⅰ）求,x y ；（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得1−P AP =B 解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−. (2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。

考研数学二解析2019

2019年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（C）.【解】方法一由lim工_向工=恤1_sec咯=_£得工_tan〜_£工3（工一°）,工LO3z33故工一tan x为3阶无穷小量，即k=3,应选（C）.方法二由tan x—x+£工3+o（j:3）得z—tan x~----x3（z—0）,«J o故％=3,应选（C）.（2）【答案】（E）.【解】y f=x cos x一sin x，夕〃=—x sin x?令夕〃=——x sin x=0得工=。

9工=7T,当z€（-J,O）时，/<0,当工e（0,7T）时V0,则（0,2）不是拐点；当工G（冗，2兀）时，j/'>0,故（兀，一2）为拐点，应选（E）.（3）【答案】（D）.【解】方法一r+°°f+8由x e_r d jc=r（2）=1得x e_r dj?收敛；J o J0f+°°212I+°°1r+°°2由|x djr=----e~x=百得|x（£z收敛；Z I o/J oarctan x.1..,I+，"x2/曰f+°°arctan x.比心---------dx=—-（arctan jc）2==得------ckz收敛，1+/2I o8Jo1+_z2—~dx发散，应选（D）.方法二qr r+8nr由lim x•--------7=1且q=1W1得广义积分-----dr发散9应选（D）.l+81+工2Jo1+X（4）【答案】（D）.【解】微分方程：/'+ay r+by的特征方程为A2+«A+6=0,由y=（Ci+C2x）e_J+e"为微分方程的通解可知，特征根为入i=入2=—1,则a=2,b=l；再由_y*=e"为微分方程y"+ay r-V by=ce J的特解得c=4,应选（D）.（5）【答案】（A）.【解】由/$0时，sin/£/得sin y2W Jx2y2，从而I2V4；/~2~~I F/~~2~~i F/~2~~i F tv i r^r~\_r。

2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小量，则k =（）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C . 【解析】因为3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C .3、下列反常积分发散的是（）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、2x xe dx +∞-⎰. C 、20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1ab ==　。

2019年考研数学二真题及全面解析

2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是同阶无穷小量，则k=（）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（） A 、,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C . 3、下列反常积分发散的是（）A 、0xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xedx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

2019年考研数学二真题详细解析

g(a) ，
f
(a)
g(a) ，
f
(a)
g(a) ，由此可得在
x
a 处相切。
y
由曲率公式 k
3 可得两曲线在 x a 处曲率相同.
1 y2 2
（必要性）若函数 y f (x) ， y g(x) 在 x a 处相切可得 f (a) g(a) ， f (a) g(a) ；
2/9
f (a)
综合对比可得， I3 I2 I1 .
(6)
函数
f (x), g(x) 的二阶导函数在 x a 处连续，则 lim xa
f (x) g(x) (x a)2
0 是两条曲线 y
f (x) ，
y g(x) 在 x a 对应的点处相切及曲率相等的（）
(A)充分非必要条件
(B)充分必要条件
(C)必要非充分条件
0
arctan 1 x2
x
dx
0
arctan
xd
arctan
x
1 2
(arctan
x)2
0
2 8
.
（4）已知微分方程 y ay by cex 的通解为 y (C1 C2x)ex ex ，则 a, b, c 依次为（
）
(A) 1, 0 ,1
(B) 1, 0, 2
(C) 2,1, 3
(D) 2,1, 4
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题：1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
（1）当 x 0 时，若 x tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k （）

2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析

x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ，故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ，所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、已知积分区域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的二阶导数在 x = a 处连续，则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式，则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1）求 y (x ) ；（2）设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值，使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ；当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]当x→0时，x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=( )．A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：因为，若要x-tanx与x k是同阶无穷小，则k=3，故选C项。

2[单选题]y=xsinx+2cosx[x∈()]的拐点坐标是()．A.(0，2)B.(π，-2)C.(,)D.正确答案：B参考解析：y'=sinx+xcosx-2sinx，y”=-xsinx，令y”=0得x=0，x=π，又因为=-sinx-xcosx，将上述两点代入(π)≠0，所以(π，-2)是拐点。

3[单选题]下列反常积分发散的是()．A.B.C.D.正确答案：D参考解析：对于A项：4[单选题]已知微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x+e x，则a，b，c 依次为()．A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4正确答案：D参考解析：由条件知特征根为λ1=λ2=-1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e x为特解，代入得c=4，故选D项。

5[单选题]已知平面区域，，则I1，I2，I3的大小关系为( )。

A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1正确答案：A参考解析：因为6[单选题]已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则是f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的( )。

A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件正确答案：A参考解析：必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f'(a)=g'(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选A项。

7[单选题]设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是( )。

A.0B.1C.2D.3正确答案：A参考解析：因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4-r（A）=2，则r（A）=2．所以r(A*)=0，故选A项。

2019年考研数学二真题及答案

考研数学二真题及答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 若1)(lim 212=++→x xx bx ax e ,则（）A 1,21-==b a B 1,21-=-=b a C 1,21==b a D 1,21=-=b a2下列函数中不可导的是（）A. )sin()(x x x f =B.)sin()(x x x f =C.x x f cos )(= D.)cos()(x x f =3设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<--≤-=⎩⎨⎧≥<-=0011,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)()(x g x f +在R 上连续，则（） A 1,3==b a B2,3==b a C1,3=-=b a D 2,3=-=b a4 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且)(1=⎰dx x f 则（）A 当0)(<'x f 时，0)21(<f B 当0)(<''x f 时，0)21(<fC 当0210)(<>'）（时，f x fD 当0)21(0)(<>''f x f 时， 5 dx x K dx e xN dx x x M x ⎰⎰⎰---+=+=++=22222222)cos 1(,1,1)1(ππππππ则M,N,K 大小关系为（） A.K N M >> B.N K M >>C.N M K >>D.M N K >> 6⎰⎰⎰⎰=-+-----1220122)1()1(dy xy dx dy xy dx x xx x（）A 35B 65C 37D 677 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（）A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100110101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111.C D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101018设A,B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵x 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（）A.)()(A r AB A r =B.)()(A r BA A r =C.{})(m ax )(A r B A r =D.)()(T TB A r B A r =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。

考研数学二答案解析

20
20
x
= − 1
2
1 x sin x2dx = 1 cos x2
0
4
1 0
=
1 4
(cos1−1)
1 −1 0 0
14. 已知矩阵
A
=

−2
3
1 −2
−1 2
1

−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则

0
0
3
4

A11 − A12 = ___________.
【解析】 x − tan x ~ − x3 ，所以选 C. 3
2、设函数 y = x sin x + 2 cos x(− π x 3π) 的拐点 22
A. ( π , π ). 22
B. (0, 2).
C. (π, −2).
D. (3π , − 3π ). 22
【答案】C.
【解析】令 y = −x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，− 2）.
f (x) − f (0) x−0
= lim e2xln x −1
x→0+
x
2x ln x
= lim
= lim 2 ln x = − ,
x x→0+
x→0+
所以 f (0) 不存在,因此
f
(
x)
=
2x2x (1+
(
x
+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f

2019考研数学二真题及答案

2019考研数学二真题及答案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2019考研数学二真题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是同阶无穷小量，则k=（）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（）A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭　２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭　２２. 【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。

当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π-　是拐点。

故选 C . 3、下列反常积分发散的是（）A 、x xe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201xdx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛； C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛；D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。

2019年考研数学二真题及答案

考研数学二真题及答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

2019考研数学二答案解析

+
1)e
x
ln ,
x),
x 0, x 0.
令
f
( x)
=
0 ,得驻点
x1
=
−1,
x3
=
1 e
;另外
f
(x)
还有一个不可导点
x2
=
0;
又 (−, −1) 为单调递减区间, (−1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1 , +) 为单
e
e
调递增区间;因此有极小值
f
(−1)
=1−
y = f (x), y = g(x) 在 x = a 处相切及曲率相等的
A. 充分非必要条件.
B. 充分必要条件.
C. 必要非充分条件.
D. 既非充分又非必要条件.
【答案】A
【解析】充分性:利用洛必达法则,有
lim
x→a
f
(x) − g(x) (x − a)2
= lim x→a
f (x) − g(x) 2(x − a)
2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1、当 x → 0 时，若 x − tan x 与 xk 是同阶无穷小，则 k =
A. 1. C. 3.
【答案】C
B. 2. D. 4.
A
=
−2
3
1 −2
−1 2
1
−1
，
Aij
表示
|
A|
中
(i,
j)
元的代数余子式，则

2019年考研数学(二)真题及解析

2019年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ-（D ）33(,)22ππ- 3．下列反常积分发散的是（）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰ 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()x xy C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,45．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则（）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（）（A ）充分不必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 7．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为．11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为．13．已知函数21sin ()xt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =的特解．（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积． 18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy e x x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．． 22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．2019年考研数学二真题解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】（C ）【详解】当0x →时，331tan ()3x x x o x =++，所以331tan ()3x x x o x -=-+，所以3k =． 2．曲线3sin 2cos ()22y x x x x ππ=+-<<的拐点是（）（A ）(0,2) （B ）(,2)π- （C ）(,)22ππ- （D ）33(,)22ππ-【答案】（D ）【详解】sin 2cos y x x x =+，cos sin y x x x '=-，sin y x x ''=-，sin cos y x x x '''=--；令sin 0y x x ''=-=得120,x x π==，且()0f π'''≠，所以(,2)π-是曲线的拐点；而对于点(0,0)，由于(0)0f '''=，而(4)(0)0f≠，所以不是曲线的拐点．3．下列反常积分发散的是（）（A ）x xe dx +∞-⎰（B ）2x xe dx +∞-⎰(C ）20arctan 1x dx x +∞+⎰（D ）201xdx x+∞+⎰【答案】（D ）【详解】（1）当x →+∞时，2()1x f x x =+是关于1x的一阶无穷小，当然201x dx x +∞+⎰发散；（2）用定义：20201ln(1)|12x dx x x +∞+∞=+=+∞+⎰，当然201x dx x+∞+⎰发散． 4．已知微分方程xy ay by ce '''++=的通解为12()xx y C C x ee -=++，则,,a b c 依次为（）（A ）1,0,1 （B ）1,0,2 (C ）2,1,3 （D ）2,1,4 【答案】（D ）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出121r r ==-是特征方程20r ar b ++=的实根，从而确定2,1a b ==；（2）显然，*xy e =是非齐次方程的特解，代入原方程确定4c =．5．已知平面区域{(,)|}2D x y x y π=+≤，记1DI =，2DI =⎰⎰，3(1DI dxdy =-⎰⎰ ，则（）（A ）321I I I << （B ）213I I I << （C ）123I I I << （D ）231I I I << 【答案】（A ）【详解】（1）显然在区域D 22202x y π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，此时由结论当0x >时sin x x >知道≤12I I >；（2）当0x >时，令()1cos sin f x x x =--，则()sin cos f x x x '=-，()sin cos f x x x ''=+；令()0f x '=得到在(0,)2π唯一驻点4x π=，且04f π⎛⎫''>⎪⎝⎭，也就是()1cos sin f x x x =--在4x π=取得极小值04f π⎛⎫<⎪⎝⎭，在0,2x x π==同时取得在[0,]2π上的最大值(0)()02f f π==，也就有了结论，当(0,)2x π∈时，1cos sin x x -<，也就得到了32I I <；由（1）、（2）可得到321I I I <<．6．设函数(),()f x g x 的二阶导函数在x a =处连续，则2()()lim0()x af xg x x a →-=-是两条曲线()y f x =，()y g x =在x a =对应的点处相切及曲率相等的（）（A ）充分不必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】（A ）【详解】充分性：（1）当2()()lim0()x af xg x x a →-=-进，由洛必达法则，2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''===-⇒=-- 也就是两条曲线在x a =对应的点处相切；（2）2()()1()()10limlim (()())()()()22x ax a f x g x f x g x f a g a f a g a x a x a →→''--''''''''===-⇒=--由曲率公式k =x a =对应的点处曲率相等．必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到()()f a g a ''=，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()f a g a ''''=，不能确定()()f a g a ''''=，当然得不到2()()lim0()x af xg x x a →-=-．7．设A 是四阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，若线性方程组0Ax =的基础解系中只有两个向量，则(*)r A =（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【答案】（A ）【详解】线性方程组0Ax =基础解系中只有两个向量，也就是4()2()213r A r A n -=⇒=<-=，所以(*)0r A =．8．设A 是三阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形是（）（A ）222123y y y ++ （B ）222123y y y +- （C ）222123y y y -- （D ）222123y y y ---【答案】（C ）【详解】假设λ是矩阵A 的特征值，由条件22A A E +=可得220λλ+-=，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2-．而1234A λλλ==，所以三个特征值只能是1231,2λλλ===-，根据惯性定理，二次型的规范型为222123y y y --．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．()20lim 2xxx x →+= ．【答案】24e解： ()()02(21)22lim2(1ln 2)20lim 2lim 1214x x x x x x xxx x x x ee e →+-+→→+=++-===10．曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处的切线在y 的截距为．【答案】322π+ 【详解】32sin ,|11cos t dy t dy dx t dx π===--，所以切线方程为331(1)222y x x ππ=---=-++，在y 的截距为322π+． 11.设函数()f u 可导，2y z yf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2z zx y x y ∂∂+=∂∂ . 【答案】22z zy x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭【详解】3222222,z y y z y y y f f f x x x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂''=-=+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22z z y x y yf x y x ⎛⎫∂∂+= ⎪∂∂⎝⎭．12．曲线ln cos (0)6y x x π=≤≤的弧长为．【答案】1ln 32【详解】sec ds xdx ===66001sec ln(sec tan )|ln 3.2s xdx x x ππ==+=⎰13．已知函数21sin ()xt f x x dt t=⎰，则10()f x dx =⎰ ．【答案】1(cos11)4-．【详解】（1）用定积分的分部积分：2111112000102112201021121220100210sin ()()|()()sin 1sin ()sin 21sin 11|sin sin 22211cos |(cos11)44xx x t f x dx xf x xf x dx x dt dx x x dxtt dt dx x x dxt t x dt x x dx x x dx t x '=-=--=--=--=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）转换为二重积分：22211111120010000sin sin sin 11()sin (cos11)24x t x t t t f x dx x dt dx xdx dt dt xdx t t dt t t t ⎛⎫==-=-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰14．已知矩阵1100211132210034A -⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则1112A A -= ．【答案】4-【详解】111211121314110021110043221034A A A A A A ----=-++==---．三、解答题15．（本题满分10分）已知函数2,0()1,0xx xx f x xe x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，求()f x '，并求函数()f x 的极值．【详解】当0x >时，22ln ()xx x f x xe ==，2()2(ln 1)xf x x x '=+；当0x <时，()1xf x xe =+，()(1)xf x x e '=+；在0x =处，22000()(0)12(ln 1)(0)lim lim lim 1x x x x x f x f x x x f x x ++++→→→---'====-∞，所以()f x 在0x =处不可导．综合上述：22(ln 1),0()(1),0x xx x x f x x e x ⎧+>⎪'=⎨+<⎪⎩；令()0f x '=得到1211,x x e=-=．当1x <-时，()0f x '<，当10x -<<时，()0f x '>，当10x e <<时，()0f x '<，当1x e>时，()0f x '>；故11x =-是函数的极小值点，极小值为1(1)1f e --=-；0x =是函数的极大值点，极大值为(0)1f =；21x e=是函数的极小值点，极小值为21()e f e e -=．16．（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)x dx x x x +-++⎰．【详解】22222223623213(1)2ln 1(1)(1)1(1)11132ln 1ln(1)1x x d x x dx dx x x x x x x x x x x x x x x C x ⎛⎫++++=-++=---+ ⎪-++--++-++⎝⎭=---++++-⎰⎰⎰17．（本题满分10分）设函数()y x是微分方程22x y xy e '-=满足条件(1)y =（1）求()y x 的表达式；（2）设平面区域{(,)|12,0()}D x y x y y x =≤≤≤≤，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程0y xy '-=的通解：22x y Ce =，其中C 为任意常数；再用常数变易法求22x y xy e'-=通解，设22()x y C x e=为其解，代入方程，得2222(),()x x C x e e C x ''==，1()C x C ==，也就是通解为：221)x y C e =+把初始条件(1)y =10C =，从而得到22().x y x xe =（2）旋转体的体积为2222411()()2x x V y x dx xe dx e e πππ===-⎰⎰．18．（本题满分10分）设平面区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤，计算二重积分D．【详解】显然积分区域2234{(,)|,()}D x y x y x y y =≤+≤关于y 轴对称，由对称性，显然0D=；233sin 5440441sin sin 2120DDd r dr d ππθππθθθθ====⎰⎰⎰ 19．（本题满分10分）设n 是正整数，记n S 为曲线求曲线sin (0)xy ex x n π-=≤≤与x 轴所形成图形的面积，求n S ，并求lim .n n S →∞【详解】先求曲线与x 轴的交点：令sin 0x e x -=得,0,1,2,x k k n π==L 当2(21)k x k ππ<<+时，sin 0xy e x -=>；当2(22)k x k πππ+<<+时，sin 0x y e x -=<．由不定积分1sin (sin cos )2x xe xdx e x x C --=-++⎰可得 2221sin (1)2k xk k e xdx e e πππππ+---=+⎰，22221sin (1)2k x k k e xdx e e πππππππ+----+=-+⎰所求面积为0sin n x n S e xdx π-=⎰．当n 为奇数时，(21)22221022022002(1)2222(1)20sin sin sin 11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnn k k xxx n k k k k nnk k k k n n k n k S exdx e xdx e xdxe e e e e e e e e e e e πππππππππππππππππππππ+++---++==-----==-+-----+--===-=+++-+=+=+=---∑∑⎰⎰⎰∑∑∑同理：(2)22011sin (1)21n xn n e S exdx e eππππ----+==--⎰显然，有21211lim lim 21n n n n e S S e ππ+-→∞→∞+==-．所以11lim 21n n e S e ππ-→∞+=-．20．（本题满分11分）已知函数(,)u x y 满足关系式22222230u u ux y y ∂∂∂-+=∂∂∂．求,a b 的值，使得在变换(,)(,)ax by u x y v x y e +=之下，上述等式可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式．【详解】在变换(,)(,)ax byu x y v x y e+=之下(,)ax byax by u v e av x y e x x++∂∂=+∂∂，(,),ax by ax by u v e bv x y e y y ++∂∂=+∂∂ 222222(,)ax by ax byax by u v v e a e a v x y e x x x+++∂∂∂=++∂∂∂， 222222(,)ax by ax byax by u v v e b e b v x y e y y y +++∂∂∂=++∂∂∂；把上述式子代入关系式22222230u u ux y y∂∂∂-+=∂∂∂，得到222222224(34)(223)(,)0v v v va b a b b v x y x y x y∂∂∂∂-++-+-+=∂∂∂∂ 根据要求，显然当30,4a b ==时，可化为函数(,)v x y 的不含一阶偏导数的等式． 21．（本题满分11分）已知函数()f x 在[]0,1上具有二阶导数，且(0)0,(1)1f f ==，1()1f x dx =⎰，证明：（1）至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=；（2）至少存在一点(0,1)η∈，使得()2f η''<-．证明（1）令0()()xx f t dt Φ=⎰，则1(0)0,(1)()1f x dx Φ=Φ==⎰，则由于()f x 在[]0,1连续，则()x Φ在[]0,1上可导，且()()x f x 'Φ=，则由拉格朗日中值定理，至少存在一点1(0,1)ξ∈，使得()(1)(0)ξ'Φ=Φ-Φ，也就是1101()()(1)f x dx f f ξ===⎰；对()f x 在()1,1ξ上用罗尔定理，则至少存在一点1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0f ξ'=；（2）令2()()F x f x x =+，则显然，()F x 在[]0,1具有二阶导数，且211(0)0,(1)2,()1F F F ξξ===+．对()F x 分别在[][]110,,,1ξξ上用拉格朗日中值定理，至少存在一点11(0,)ηξ∈，使得211111()(0)1()0F F F ξξηξξ-+'==-；至少存在一点21(,1)ηξ∈，使得1211()(1)()11F F F ξηξξ-'==+-；对()()2F x f x x ''=-在[]12,ηη上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点12(,)(0,1)ηηη∈⊂，使得211212111()()()0F F F ηηξηηηηη-''-''==<--，也就是()2f η''<-．22．（本题满分11分）已知向量组Ⅰ：12321111,0,2443a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭；向量组Ⅱ：12321011,2,3313a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭．若向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价，求常数a 的值，并将3β用123,,ααα线性表示．【详解】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是123123123123(,,)(,,)(,,;,,)r r r αααβββαααβββ==1231232222111101111101(,,;,,)102123011022443313001111a a a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+----⎝⎭⎝⎭（1）当1a =时，显然， 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．此时，123311111023(,,;)0112011200000000αααβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程组112233x x x αααβ++=的通解为123231210x x x k x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也就是3123(23)(2)k k k βααα=-++-+，其中k 为任意常数；（2）当1a ≠时，继续进行初等行变换如下：12312322111101111101(,,;,,)011022011022001111001111a a a a a a αααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-+⎝⎭⎝⎭显然，当1a ≠-且1a ≠时，123123123(,,)(,,;,,)3r r ααααααβββ==，同时()123101101101,,02202201111101001a a a βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，123(,,)3r βββ=，也就是 123123123123(,,)(,,)(,,;,,)2r r r αααβββαααβββ===，两个向量组等价．这时，3β可由123,,ααα线性表示，表示法唯一：3123βααα=-+．23．（本题满分11分）已知矩阵22122002A x -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭与21001000B y ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似．（1）求,x y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得1P AP B -=．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：A B trA trB⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2(24)241x y x y --+=-⎧⎨-+=+⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩．（2）解方程组221232(2)(2)(1)0002E A λλλλλλλ+--=--=+-+=+得矩阵A 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-；分别求解线性方程组()0(1,2,3)i E A x i λ-==得到分属三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231112,1,2004ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()1123111,,212004P ξξξ-⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 可逆，且11212P AP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；同样的方法，可求得属于矩阵B 的三个特征值1232,1,2λλλ==-=-的线性无关的特征向量为：1231100,3,00014ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令()2123110,,030001P ηηη-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则2P 可逆，且12212P BP -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；由前面111122P AP P BP --=，可知令112111212004P PP --⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪⎝⎭，就满足1P AP B -=．。

2019年考研数学(二)真题及答案解析(完整版)

xdx
1 2
arctan
x2
2 08
，收敛.
（D）
0
1
x x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
0
.
发散
综上，故选（D）
（4）已知微分方程 y ay by ce x 的通解为 y (C1 C2x)ex e x, 则 a,b, c 依次为
（）
（A）1,0,1 . （B）1,0,2 . （C）2,1,3 . （D）2,1,4.
0
xex2 dx
0
.（C）
0
arctan 1 x2
xdx
.（D）
0
1
x x
2
dx
.
【答案】（D）
【解析】（A）
xexdx
xdex
xex
exdx 1,收敛.
0
0
0
0
（B） xex2 dx 1 ex2 dx2 1 ,收敛.
0
20
2
（C）
0
arctan 1 x2
lim
xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 的（
）
（A）充分非必要条件 .
（B）充分必要条件.
（C）必要非充分条件.
（D）既非充分也非必要条件.
【答案】（C）
【解析】因 lim xa
f
(x) g(x) (x a)2
0 ，则
[ f (a) g(a)] f (a) g (a) (x a) 1 f (a) g (a) (x a) 2 o((x a) 2)
y
1
cos
t
在
t
3 2
对应点处切线在