2019年考研数学二真题及答案

考研数学二真题及答案

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的. 1 若1)

(lim 2

12

=++→x x

x bx ax e ,则（ ）

A 1,21-==

b a B 1,21

-=-=b a C 1,21==b a D 1,2

1

=-=b a

2下列函数中不可导的是（ ）

A. )sin()(x x x f =

B.)sin()(x x x f =

C.

x x f cos )(= D.)

cos()(x x f =

3设函数⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-<<--≤-=⎩⎨⎧≥<-=0

011

,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)

()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1

,3==b a B

2

,3==b a C

1

,3=-=b a D 2

,3=-=b a

4 设函数

)

(x f 在

]

1,0[上二阶可导，且

)(1

=⎰

dx x f 则 （ ）

A 当0

)(<'x f 时，0)21(

)(<''x f 时，0)21(

C 当0210)(<>'）（时，f x f

D 当0)2

1

(0)(<>''f x f 时， 5 dx x K dx e x

N dx x x M x ⎰⎰⎰-

--+=+=++=22

222

222)cos 1(,1,1)1(π

ππππ

π则M,N,K 大小关系为（ ） A.K N M >> B.N K M >>

C.N M K >>

D.M N K >> 6

⎰⎰

⎰

⎰=

-+-----1

220

1

2

2

)1()1(dy xy dx dy xy dx x x

x x

（ ）

A 35

B 65

C 37

D 67

7 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为（）

A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110111

B.⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-100110101

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111.C D.⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-100010101

8设A,B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵x 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（ ）

A.)()(A r AB A r =

B.)()(A r BA A r =

C.{})(m ax )(A r B A r =

D.)()(T T

B A r B A r =

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。 9

-++∞

→]arctan )1[arctan(lim 2

x x x x 10 曲线x x y ln 22

+=11

=+-⎰

+∞

dx x x 5

2

3

41

12 曲线4t sin cos 3

3

π=⎪⎩⎪⎨⎧==在t

y t

x 对应点处的曲率为

13设函数),(y x z z =由方程xy e

z z =+-1

ln 确定，则

=∂∂)

21,2(|x z

14设A 为3

阶矩阵，321,,ααα为线性无关的向量组，若

3233223211,2,2αααααααααα+-=+=++=A A A ，则A 的实特征值为

三、解答题：15~23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本题满分10分）

求不定积分dx e e x

x ⎰

-1arctan 2 16（本题满分10分） 已知连续函数)(x f 满足

20

1

)()(ax dt t x tf dt t f x

=-+⎰⎰

（1）求)(x f

（2）若)(x f 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值 17（本小题10分）

设平面区域D 由曲线)20(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t

t x 与x 轴围成，计算二重积分⎰⎰+D

dxdy y x )2(

18（本小题10分）

已知常数12ln -≥k 证明：0)1ln 2ln )(1(2

≥-+--x k x x x

19（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段

分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值 20（本小题10分）

已知曲线）

（），点（点1,00,0),0(9

4:2

A O x x y L ≥=设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 与曲线L 所围图形的面积 ，若P 运动到点（3,4）时沿x 轴正向的速度是4，求此时

S 关于时间t 的变化率。 21（本小题11分） 设数列{}n x 满足：)2,1(1,01

1Λ=-=>+n e e x x n n x x n 证明{}n x 收敛，并求n n x lim +∞

→

22（本小题11分）

设实二次型2

312

322

32132,1)()()(),(ax x x x x x x x x x f +++++-=，其中a 为参数。 （1）求0),(32,1=x x x f 的解 （2）求),(32,1x x x f 的规范形 23（本小题11分）

已知a 是常数，且矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a A 7203121可经初等列变换化为矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=a a B 7203121

（1）求a

（2）求满足B AP =的可逆矩阵p 答案：

1-5 BDDDC 6-8CAA 9, 1 10, 4x -3

11， ln 22

12， 2

3