《导数及其应用》单元测试题(理科)

《导数及其应用》单元测试题（理科）

（满分150分 时间：120分钟 ）

一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()2

2)(x x f π=的导数是（ ）

(A) x x f π4)(=' (B) x x f 2

4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='

2．函数x

e x x

f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）

(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0

3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，

()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

4．

=-+⎰

dx x

x x )1

11(322

1

（ ） (A)8

7

2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln +

5．曲线1

2

e x y =在点2

(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．

29e 2

Ｂ．2

4e

Ｃ．2

2e

Ｄ．2

e

6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

7．已知二次函数2

()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有

()0f x ≥，则

(1)

'(0)

f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．

52 C ．2 D ．32

8．设2

:()e ln 21x

p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

二．填空题（本大题共6小题，共30分）

9．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.

10．将抛物线2

2

x y =和直线1=y 围成的图形绕y 轴旋转一周得到的几何体

的体积等于

11．已知函数3

()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则

M m -=＿＿．

12．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列

1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭

的前n 项和的公式是 13．点P 在曲线3

23

+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值

范围是 14．已知函数53

123

-++=

ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 . （3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .

三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分） 15．设函数()e e x

x

f x -=-．（1）证明：()f x 的导数()2f x '≥； （2）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．

16．设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的

坐标分别为11()x f x （,）、22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r

,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点，.求 (1)求点A B 、的坐标； (2)求动点Q 的轨迹方程.

17．已知函数c bx x ax x f -+=4

4

ln )((x>0)在x = 1处取得极值-3-c ，其中a,b,c 为常数。 （1）试确定a,b 的值；

（2）讨论函数f(x)的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式2

2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

18．已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3

)(23

（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。 （2）当R a ∈时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数a ，使[]0,1-∈x ，函数有最小值－3？

19．已知函数3

()3.f x x x =- （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；

（2）若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围.

20．已知函数()2

a f x x x

=+，()ln g x x x =+，其中0a >．

（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；

（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求

实数a 的取值范围．