第2讲 概率(知识点串讲)(解析版)

第二讲概率

1．事件的相关概念

2．事件的关系与运算

定义符号表示包含如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B B⊇A

3. (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．

(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

②事件A 的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集． 例1．(2019·山东曲阜检测)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A ．至少有一个黑球与都是黑球

B ．至少有一个黑球与都是红球

C ．至少有一个黑球与至少有一个红球

D ．恰有一个黑球与恰有两个黑球

【答案】D [对于A ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，∴A 不正确；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴B 不正确；对于C ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C 不正确；对于D ，事件：“恰有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴D 正确．]

4．概率和频率

(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n

为事件A 出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．

5. (1)概率与频率的关系

关系⇨频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个

确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值

(2)随机事件概率的求法

求法⇨

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生

的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率

例2、(2019·湖北武汉调研)一鲜花店根据一个月(30天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日销售量落入各组区间的频率视为概率.

(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．

解 (1)设月销量为x ，则P (0

P (50

6，

∴P (0

15

．

(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天促销共有n ＝28种情况； 日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天促销共有m ＝3种情况． 由古典概型公式得P ＝m n ＝3

28

.

6．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1． (2)必然事件的概率P (E )＝1． (3)不可能事件的概率P (F )＝0． (4)概率的加法公式

如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率

若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )．

例3．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )

A ．0.3

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.7

【答案】B [由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.]

练习．(2019·山东济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为____________．

【答案】0．35 [∵事件A ＝{抽到一等品}，且P (A )＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P ＝1－P (A )＝1－0.65＝0.35.]

练习．(2019·辽宁大连月考)从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得黑桃”，则概率P (A ∪B )＝____________(结果用最简分数表示)．

【答案】726 [∵P (A )＝152，P (B )＝1352，且A 与B 是互斥事件．∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝

7

26

.] 练习. (2019·河南洛阳检测)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为1

7，都

是白子的概率是12

35

，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )

A ．1

7

B ．12

35

C ．17

35

D ．1

【答案】C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝17

35.

即任意取出2粒恰好是同一色的概率为17

35

.]

7．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

8．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

9．古典概型的概率公式

P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数

．

例4．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )

A ．0.6

B ．0.5