10-2二重积分的计算法(1)--直角坐标系下X型Y型解析

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二重积分计算法ppt详解.

8 R(R2 x2)dx16 R3 .
0
3
【例6】求由曲面 z x2 2 y2及 z 6 2x2 y2
所围成的立体的体积。
二、利用极坐标计算二重积分
有些二重积分, 其积分区域D或其被积函数用极
坐标变量、q 表达比较简单. 这时我们就可以考虑
利用极坐标来计算二重积分.
我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.
②积分区域D为Y—型区域
如果区域D可以表示为不等 1( y) x 1( y), cyd,则称区域D为Y型区域.
y0
y0
y0
y0
直线 y y0(c x0 d)与D的边界至多有两个交点
③积分区域D 既是X—型，也是Y—型
④积分区域D 既不是X—型，也不是Y—型 ——转化成X—型或Y—型
❖二重积分的计算—利用已知平行截面面积的立体求体积
a
g ( x)dx][
d
h( y)dy]
a
c
b
c
D
❖计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分
如果D是X型区域 j1(x)yj2(x), axb, 则
f (x, y)d
b
dx
j2(x) f (x, y)dy .
D
a j1(x)
V
b
A(x)dx
b
[
j2(x) f (x, y)dy]dx .
a
a j1(x)
提示
根截此据面时平是二行以重截区积面间分面[jD积1f(x(为x0,),y已)dj知2(x在的0)几立]为何体底上体、表积以示的以曲求曲线法面z. fz(xf(0x,

高等数学A10-2二重积分的计算(1)

前赤壁赋
10-2 二重积分的计算
（宋）苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾，
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D，
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示，那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). ［X－型］
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小时，极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos

y

r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D

o

Ao

Ao

A
r 1( ) 0

10.2 二重积分的计算

∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
§10.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 被函由曲顶柱体体积的计算可知当积数 f (x, y) ≥ 0 且在D上连续时且在上连续时, 若D为 X – 型区域上连续时为 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
0
f (x, y)dx
8
例5. 计算所围成. y = 4 − x2, y = −3x, x =1 所围成. 解: 令f (x, y) = x ln(y + 1+ y )
2
其中D 由
4
y = −3x
y
y = 4 − x2
令ρ = ∆u + ∆v , 则
2 2
T
y
M4
M3
D
M1
M2
o
x
∂x x2 − x1= x(u + ∆u, v) − x(u, v)= ∆u + o(ρ) ∂u (u, v)
18
∂x x4 − x1= x(u, v + ∆v) − x(u, v) = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 同理得 y2 − y1 = ∂ y ∆u + o(ρ) ∂u (u, v) ∂y y4 − y1 = ∆v + o(ρ) ∂v (u, v) 充分小时, 当∆u, ∆v充分小时曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四充分小时

二重积分的计算法直角坐标

I = ∫ dx ∫ y 1 + x − y dy x −1 3 1 1 2 2 2 2 1 = − ∫ 1 + x − y x dx = 3 3 −1
2 2 1 1
−1
y
1
D
0
1
x
若Y型 D: −1≤ x ≤ y, −1≤ y ≤ 1 型则计算积分较繁. I = ∫ dy ∫ y 1 + x 2 − y 2 dx 则计算积分较繁
y
d
x = ψ 1 ( y)
y
d
x = ψ 2 ( y)
D
x =ψ1( y)
D
c
O
c
x
O
x =ψ2( y)
x 特点：穿过D内部且平行于轴的直线、内部且平行于x轴的直线特点：穿过内部且平行于轴的直线、
的边界相交不多于两点. 与D的边界相交不多于两点的边界相交不多于两点
计算
∫∫ f ( x , y )dσ
∫∫ xydσ = ∫1 dy ∫ y xydx
D
2
2
y
y = ∫ (2 y − )dy 1 2 4 y 2 9 2 = [ y − ]1 = 8 8
2
x 2 = ∫ [ y ⋅ ] y dy 1 23
2
2
2 y=x y 1
o
1
2x
例2 计算
2
∫∫ xydσ
D
，其中D是由抛物线其中是由抛物线
y = x 及直线 y = x − 2 所围成的区域所围成的区域.
1
2
2− x
0
f ( x, y)dy
= ∫ dy ∫
0
1
2− y

二重积分的计算方法

二重积分的计算方法(1)1 利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即{}12(,)()(),D x y x x x ax b ϕϕ=≤≤≤≤，其中12(),()x x ϕϕ在[,]a b 上连续，则有21()()(,)(,)bx ax Df x y d dx f x y dy ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰；（1）若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有21()()(,)(,)dy cy Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰．[1] （2）例1 计算22Dy dxdy x⎰⎰，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成．分析积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解．解积分区域为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ⎧⎫≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则2221221x x Dy y dxdy dx dy x x=⎰⎰⎰⎰ yyxyD2D121图321213xxy dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰251133x dx x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰221412761264x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式123(,)(,)(,)(,)DD D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （3）进行计算，例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域，但是将可D 划分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭=≤≤≤≤-均为x 型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算．解 D 划分为()1,01,22x D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-则12D D D d d d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12230122x x x x dx dy dx dy -=+⎰⎰⎰⎰ 120112322x x dx x dx ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 1222013333442x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦y图1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．例3计算二重积分D，其中D 为区域1x ≤，02y ≤≤．分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．解区域D 如图6可分为12D D ，其中21211x y D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩，22011y x D x ⎧≤≤=⎨-≤≤⎩由公式（3）则12DD D =+2212111523x xdx dx π--=+=-⎰⎰⎰⎰2 利用变量变换法计算定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域∆一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式()()(),,0,x y J u v u v ∂=≠∂，(),u v ∈∆．则()()()()(,),,,,Df x y d f x u v y u v J u v dudv σ∆=⎰⎰⎰⎰ （4）（4）式叫做二重积分的变量变换公式，2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．例4 求x y x yDedxdy -+⎰⎰，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）分析由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像∆如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．解做变换()()12:12x u v T y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()1,02J u v =>所以12x yux yvDedxdy e dudv -+∆=⎰⎰⎰⎰1012u v v v du e du -=⎰⎰()11012v e e dv -=-⎰ 14e e --=2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域∆，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．分析 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰．实际是计算二重积分Ddxdy ⎰⎰，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y y x x αβ==，如果设2,y yu v x x==，则有,m u n v αβ≤≤≤≤，解 D 的面积()DD dxdy μ=⎰⎰作变换2:u x v T v y u ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，[][],,m n αβ∆=⨯()()4,,,.uJ u v u v v =∈∆ 所以()()()22334433=6n m D n m udv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ∆--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例6 求233Dx dxdy y xy+⎰⎰．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域．分析积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2,y u xy v x==，它把xy 平面上的区域D 对应到uv 平面上的矩形区域∆．解令2:u xy T y v x =⎧⎪⎨=⎪⎩在变换T 作用下，区域D 的原像(){},13,13u v u v ∆=≤≤≤≤， ()1,03J u v v=≠ 所以233113Dx dxdy dudv y xy v uv v ∆=⋅++⎰⎰⎰⎰()3311du dv v v uv =+⎰⎰2ln 23=．2.3 利用极坐标变换计算二重积分当被积函数含有()22f x y +、x f y ⎛⎫⎪⎝⎭或y f x ⎛⎫⎪⎝⎭形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换cos :sin x r T y r θθ=⎧⎨=⎩，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .（1）如果原点0D ∉，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．则有()()()()21,cos ,sin r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰（5）类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则∆必可表示为()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤那么()()()()2211,cos ,sin r r r r Df x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=⎰⎰⎰⎰（6）（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆可表示成()0r r θ≤≤，0θπ≤≤则有()()()20,cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰（7）（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则∆为图()0r r θ≤≤，αθβ≤≤那么()()(),cos ,sin r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰（8）例7计算DI =，其中D 为圆域：221x y +≤分析观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐标变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，可以达到简化被积函数的目的．解作变换cos ,01:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤⎧⎨=≤≤⎩，则有DI =2100d πθ=⎰⎰120d πθ⎡=⎣⎰202d πθπ==⎰．例8 计算二重积分Dydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,0,2x y y =-==，以及曲线x =所围成的平面区域．积分区域D 与1D 分析首先根据题意，画出积分区域，由于一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简化被积函数．解积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆区域，则有11DD D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而12224D D ydxdy dx dy -+==⎰⎰⎰⎰，1:02sin ,2D r πθθπ≤≤≤≤故原式12sin 02sin D ydxdy d r rdr πθπθ=⋅⎰⎰⎰⎰428sin 3d ππθθ=⎰ 281cos 212cos 23422ππθπθ+⎛⎫=-+= ⎪⨯⎝⎭⎰． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ=≤≤∞⎧⎨=≤≤⎩并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有()(),cos ,sin Df x y dxdy f ar br abrdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰ （9）例9计算D I =⎰⎰，其中(),0D x y y x a ⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．解作广义极坐标变换cos ,01:sin ,02x ar r T y br θπθθ=≤≤⎧⎪⎨=≤≤⎪⎩，(),J u v abr =由（9）知DI =⎰⎰12d πθ=⎰⎰1206abc d abc ππθ==⎰⎰3 某些特殊函数的计算3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么(),0Df x y d σ=⎰⎰如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么()()()12,2,2,DD D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰[3]例10 计算2Dx ydxdy ⎰⎰，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．分析首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．解积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰宜选择先对x 后对y 的积分次序故原式1222DD x ydxdy x ydxdy =⎰⎰⎰⎰12002dy ydx =⎰()3122213y y dy =+⎰()()5212022111515y =+=．3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．例11 求224Dx y dxdy +-⎰⎰，其中D 为229x y +≤围成的区域．分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．O1解为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式224Dx y dxdy +-⎰⎰()()12222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-⎰⎰⎰⎰，利用极坐标计算有()()122222448D x y dxdy d r rdr πθπ--=-=⎰⎰⎰⎰ ()()2232220125442D x y dxdy d r rdr πθπ+-=-=⎰⎰⎰⎰ 故原式2541822πππ=+=．例12 求(),Df x y dxdy ⎰⎰,其中()(),0,0,0,x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他,D 由,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成()0b a >>.分析首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重积分对区域的可加性再相加即得.解如图12,并由(),f x y 表达式可得123D D D D =.在1D 上有 (),0f x y =,则()1,0D f x y dxdy =⎰⎰.因而()()23x y x y D D I edxdy edxdy -+-+=+⎰⎰⎰⎰()()0a b xab xx y x y a xadx edy dx e dy ---+-+-=+⎰⎰⎰⎰1a b a b ae be e e ----=-+-。

10-2二重积分的计算方法

a
a
2a
原式 dy y2
0
a
a a2 y 2
f ( x, y)dx
2a 2a
2a
dy
0
a
2a
2 2
a a y
f ( x, y)dx dy y 2 f ( x, y )dx
a 2a
积分的计算
根据给定的二重积分画出积分区域D
D
根据积分区域的形状和被积函数确定积分次序和积分限
积分区域如图
原式 dy
1 0 1 y
f ( x , y )dy的次序.
y 1 x
f ( x , y )dx .
0
例3 改变积分次序.
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy 1 dx 0
2
2 x
f ( x , y )dy
解
积分区域如图
原式
y 2 x
第九章重积分
第四节二重积分的计算
一、直角坐标系下的二重积分
1. 计算公式的推导
由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,
V f ( x, y)d 曲顶柱体的体积
D
基本思想：把柱体切成许多薄片，这些薄片的体积之和就是柱体的体积问题：① 如何计算薄片的体积？ ② 如何求出柱体的体积？
说明： ① 上式右端，先将x看作常数，而对变量y作定积分，得到的结果是只含x, 不含 y 的函数式，再将所得的结果对x求积分。
②
[
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y)dy]dx dx
a
b
y2 ( x )

10-2二重积分的计算

D o
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
三、利用极坐标计算二重积分
1. 直角坐标与极坐标
y
y
A (x, y)
O
x
x
r A (r, )
O
x = 常数 y = 常数
直线直线
r = 常数
= 常数
圆周射线
2. 极坐标下计算 I f (x, y) d D 当被积函数或围成积分区域的边界曲线含 x2 y2 ,
通常可以利用极坐标来计算此二重积分.
r 2 ( ) r 1( )
o
d
2 ( ) f (r cos , r sin )r d r
1( )
特别,
对
D :
0 r ( ) 0 2
r ( )
f (r cos , r sin ) r d r d
D 2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r
0
0
2
y
y2 x
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dy y2 xy d x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2ຫໍສະໝຸດ dy1 22 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
化二重积分为二次积分时，要兼顾以下两个方面来选择适当的积分次序：
1. 考虑积分区域 D 的特点，对 D 划分的块数越少越好；
穿入点的横坐标 x 1( y), 穿出点的横坐标 x 2 ( y), 则1(y) x 2(y)
(3) I d 2 (y) f (x, y) dx d y d d y 2 (y) f (x, y) dx

二重积分的计算

图 9-7
一、在直角坐标系下计算二重积分
在区间a,b上任意取定一点x0，过x0作垂直于x轴的平面x=x 0与曲顶柱体相交，截面是一个以区间［φ1(x0),φ2(x0)］为底，曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，因此，该截面的面积
由于x0的任意性，过区间a,b上任意一点x，且垂直于x轴的平面与曲顶柱体相交得到的截面面积为
二、在极坐标下计算二重积分
在平面解析几何中我们知道，平面上任意一点的极坐标(r,θ)与它的直角坐标(x,y)的变换公式为
x=rcos θ，y=rsin θ, 其中r≥0,0≤θ≤2π或－π≤θ≤π. 下面介绍在极坐标下二重积分的计算公式.
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例12】
一、在直角坐标系下计算二重积分
(2)用曲线y=－x3将积分
域D分成D1和D2两部分(见图
9-17).显然D1关于y轴对称，
函数φ(x,y)
x是奇函数；
D2关于x轴对称，函数φ(x,y) 关于y是奇积分
二、在极坐标下计算二重积分
二重积分的计算
二重积分的计算
第一节讨论了二重积分的概念，按照二重积分的定义来计算二重积分对少数特别简单的情况是可行的，但对一般的被积函数和积分区域来说，这不是一种切实有效的方法.为此，我们首先对曲顶柱体的体积进行分析，从而导出二重积分的计算方法，即把二重积分化为两次定积分来计算，这种方法称之为累次积分法.
一、在直角坐标系下计算二重积分
【例4】
图 9-9
一、在直角坐标系下计算二重积分
解法2如图9-10所示，也可把D看成是Y—型区域，即D可用不等式1≤y≤2,y≤x≤2来表示.
图 9-10

成教Ch10_2二重积分的计算

0
dy ．
2．积分
∫
R
0
R − x dx ∫
2 2 R 0
R2 − x2
0
dy
R2 − x2 0
是否能看成是积分 ∫
R 2 − x 2 dx 与积分 ∫ dx
dy 的乘积？
《经济数学》教案
华东理工大学数学系
15/40
作业：P170（习题10.2）
1(1)(3)(5)(8), 2(2)(4)(6), 3(1)(3)(5)
华东理工大学数学系
4/40
y=x2
1 x2+y2=4
x
O y 1 x=y2
x
1
4
x
《经济数学》教案
曲顶柱体体积的计算：设f(x，y)≥0，则以曲面z= f(x，y)为顶，以闭区域 D 为底的曲顶柱体的体积为 V = ∫∫ f ( x, y )dσ ．设 D 为X−−型区域：
D
z y=ϕ2(x) y A(x0) D O y=ϕ1(x) a
O −1
1
x
10/40
例2 例 2 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ ，其中 D 是由直线 y=1、x=−1
D
及y=x 所围成的闭区域．解画出区域D，可把D看成是X−−型区域：−1≤x≤1，x≤y≤1．于是 y 1 + x − y dσ = ∫ [ ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy ]dx ∫∫
《经济数学》教案华东理工大学数学系
∆ri
x
18/40
按二重积分的定义 ∫∫ f ( x, y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i ) ∆σi ．
D

高数同济10.2二重积分的计算法

y x2
一、直角坐标系下二重积分的计算公式［X－型］ b y ( x ) f ( x , y )d dx f ( x , y )dy D: y1(x) y y2(x)
D
a
y ( x )
axb

D
f ( x , y )d
a dx ( x )
a
A1
x a
f ( x , y )dx
f ( x , y )dx dy
a
a2 y2
a
原式
dy y 2
0
a
a a2 y2
dy
0
a
2a
2a
2a
2a
y2 2a
a a2 y2
f ( x , y )dx .
一、直角坐标系下二重积分的计算
例6
计算积分 I
1
b
2 ( x )
f ( x , y )dy
［X－型］
D: 1 ( x ) y 2 ( x ). axb
口诀•
后积先定限
x y2
• 界内画条线 • 先交下线写 • 后交上限见
y x2
一、直角坐标系下二重积分的计算
注意事项＊＊＊＊
1、（在积分中要正确选择积分次序）先积容易的
Q( y ) =

I=
ψ( y)
φ( y )
f (x , y )dx
0
c
y
x=(y)
d
y

d
c
.
.
Q ( y )d y
D

d c
dy
(y ) ( y)

10.2二重积分的计算(1)

xydx]dy
2
1
[
y
x2 ] y dy 21
2
1
[
y3 2
y ]dy 2
y4 [
8
y2 4
]
12
1
1 8
.
例 2 计算 y 1 x2 y2d , 其中 D 是由直线 D
y x、x 1和 y 1 所围成的闭区域.
解如图, D 既是 X 型, 又是Y 型.若视为X
型, 则
11
原积分 [ y 1 x2 y2dy]dx 1 x
第二节二重积分的计算法（1）
一、利用直角坐标系计算二重积分二、交换二次积分次序三、对称性、奇偶性的应用
一、利用直角坐标系(right angle coordinate system)计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
y2 x 及直线 y x 2所围成的闭区域.
解如图,
D 既是 X 型, 也是Y 型. 但易见选择前者计算
较麻烦, 需将积分区域划分为两部分来计算, 故选
择后者.
2 y2
xyd
[ 1 y2
xydx]dy
D
2 [ x2 1 2
y]
y y2
2
dy
1 2
2
[ y( y 2)2 y5 ]dy
)(e
y
1 0
)
(e
1)2 .
例 6 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围
成的立体的体积.
解设两个圆柱面的方程分别为 x2 y2 R2 及
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.

二重积分在直角坐标系下的计算

x.
y
3 x 3 y
x 2y
1D
x
O2
2y
3
3 y
0 f ( x, y)dx 1 dy0 f ( x, y)dx
2
3 x
0 dx1 x f ( x, y)dy.
2
例
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解
D : 2ax x2 y 2ax
0 x 2a
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx .
00
例改变积分
y 1 x
y2 x y 2x x2
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
D1 : 0 y 2x x2 , D2 : 0 y 2 x, 0 x 1,
0 x 1, y 2x x2 , ( x 1)2 y2 1
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例求I 1dx 1ey 2dy .
0
x
解：由于函数e y2的原函数不是初等函数，所以这个
二次积分无法直接积出. 注意到二重积分可以有两种
的直线与区域边界的交点不多于两个.
2） Y型区域
积分区域表示为：
c y d, 1( y) x 2( y).
的区域，称为Y型

经典高等数学课件D10-2二重积分的计算(1)

1
e y2
(
x3
)
y
dy
D
0
0
0
3
0
e1 y2 y3 dy e1 y2 y2 d(y2 ) 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
19
例4. 计算 xyd ,其中D是由 y2 x，y x 2 所围的区域.
D
解:区域D的图形如右阴影部分， y
解方程组
y2
x,
y x 2.
(4,2) x y2 2
于是得到：
y
A( x0) o
D
a
x0
y
b
1(
x)x
A( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
(
x0 ,
y)d
y.
x [a,b], 则x对应的截面面积是A( x) 2(x) f ( x, y)d y, 1( x)
则V f (x, y)d
b
A(x)d x
b
[
2(x) f (x,
分析:如图. D : 0 x 1, x y 1
1
则
x2e y2dxdy
1
dx
1 x2e y2 dy
0
x
y
yx
D
Q e y2dy无法用初等函数表示.
o
1x
积分时必须考虑次序.
解: 由于D : 0 y 1,0 x y
则
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
解: 积分区域 D D1 D2 ,
y
D1 :1 y 0，0 x 1 y,
1
D2 : 0 y 1，0 x 1 y.