函数值域和最值

例 3 (1)求函数 y＝x＋ 2－x的值域； (2)求函数 y＝x＋ 4－x2的值域．
• 题型三 换元法
【解析】 (1)换元法，设 2－x＝t(t≥0)， 则 2－x＝t2，x＝2－t2， ∴y＝2－t2＋t＝－(t－12)2＋94 ∵t≥0，∴y≤94.
(2)换元法：由 4－x2≥0 得－2≤x≤2，∴设 x＝2cosθ(θ ∈[0，π])，则 y＝2cosθ＋ 4－4cos2θ＝2cosθ＋2sinθ＝2 2 sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，54π]
• (2)当判别式法，不等式法等法失效时，可 以考虑单调性法，此法在高考题中曾多次 出现．
思考题 1 求函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域．
【解析】 方法一(判别式法)： 由 y＝x2＋x＋4x1＋5得 yx＋y＝x2＋4x＋5 整理得 x2＋(4－y)x＋5－y＝0 由△＝(4－y)2－4(5－y)＝y2－4y－4≥0 得 y≥2＋2 2或 y≤2－2 2
∴sin(θ＋π4)∈[－ 22，1]，∴y∈[－2,2 2]．
当 t＜0 时，t＋2t ≤－2 2(t＝－ 2时取“＝”号) ∴y≥2 2＋2 或 y≤－2 2＋2 ∴函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域为 (－∞，－2 2＋2]∪[2 2＋2，＋∞)
【探究】 对于较复杂的分式函数，一般情况先通过 换元、分离常数等手段转化为简单的分式函数，如 y＝xk＋ m， y＝Ax＋Bx＋C 等形式，然后再利用单调性、均值不 等式法、图象法、导数法等求其值域．
探究 2 (1)形如 y＝paxx22＋＋qbxx＋＋dc，(a、p 不同时为 0)型的 函数，可转化为 x 的二次方程利用判别式法求值域，但要注 意二次函数系数不为 0 等限制条件。
另外，如函数式中能出现“和的式子积为常数”或“积 的式子和为常数”可用基本不等式法，又如求函数 y＝ x2＋x＋x＋1 1的值域，可用上述两种方法求解．
思路 2：不等式法 x＝0 时，y＝1，x≠0 时 y＝xx22－＋xx＋＋11＝1－x2＋2xx＋1＝1－x＋12x＋1，当 x＞0 时， x＋1x≥2(x＝1 时，等号成立)，y≥1－23＝13，∴13≤y＜1，当 x＜0 时，x＋1x≤－2(x＝－1 时，等号成立)，1<y≤3，∴当 x∈R 时，y∈[13，3]
(2)【解题思路】 本题若由 y＝x＋2x≥2 2，得 y∈[2 2，＋∞)，则错误．故不等式法失效．同样， 判别式法失效，改用单调性法．
【解析】 设 0＜x1＜x2＜1， 则 y1－y2＝x1＋x21－x2－x22 ＝x1x2x1－xx21x＋2 2x2－x1 ＝x1－x2x1xx21x2－2＞0 ∴y＝Fra Baidu bibliotek＋2x在(0,1)上为减函数， ∴y∈(3，＋∞)
• 6.对于分段函数或含有绝对值符号的函数 (如y＝|x－1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值) 或数形结合法．
• 7.定义在闭区间上的连续函数可用导数法 求函数的最值，其解题程序为第一步求导， 第二步求出极值及端点函数值，第三步求 最大、最小值.
例 1 求下列函数的值域 (1)y＝logsin3 4－x2；(2)y＝xx＋－12； (3)y＝ －2x2＋x＋3.
• 求函数的值域与最值没有通性通法，只能 根据函数解析式的结构特征来选择对应的 方法求解，因此，对函数解析式结构特征 的分析是十分重要的．常见函数解析式的 结构模型与对应求解方法可归纳为：
1. 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 及 二 次 型 函 数 y ＝ a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法． 2.形如 y＝aa21xx22＋＋bb21xx＋＋cc21(其中 a1，a2 不全为 0 且 a2x2＋b2x ＋c2≠0)的函数可用判别式法． 3.形如 y＝ax＋b± cx＋d(a、b、c、d 为常数，ac≠0)的 函数，可用换元法或配方法． 4.形如 y＝acxx＋＋db(c≠0)或 y＝22xx－ ＋11或 y＝ssiinnxx－ ＋12的函数， 可用反函数法或分离常数法． 5.形如 y＝x＋kx(k>0，x>0)的函数可用图象法或均值不等 式法．
• 题型一 观察法，反函数法，分离常数法， 配方法
【解析】 (1)观察法：∵0＜ 4－x2≤2,0＜sin3 ＜1，∴logsin3 4－x2≥logsin32，即 y∈[logsin32，＋∞)
(2)思路一：反函数法 由 y＝xx＋－12得 x＝1y＋－2y，∴y≠1，即原函数的值域 为(－∞，1)∪(1，＋∞)
(3)二次函数求值域用配方法
例 2 (1)求函数 y＝xx22－ ＋xx＋ ＋11的值域 (2)求函数 y＝x＋2x (0＜x＜1)的值域．
• 题型二 判别式法，不等式法，单调性法
【解析】 (1)思路一：判别式法 去分母，得 yx2＋yx＋y＝x2－x＋1，(y－1)x2＋(y＋1)x ＋y－1＝0 (i)当 y＝1 时，x＝0；(ii)当 y≠1 时，∵x∈R， ∴Δ＝(y＋1)2－4(y－1)2≥0，即 3y2－10y＋3≤0， ∴13≤y≤3(y≠1) 综合(i)(ii)得 y∈[13，3]
思路二：分离常数法：y＝x＋x＋1－1 3＝1－x＋3 1， ∵x＋3 1≠0，∴y≠1 (3)配方法：y＝ －2x－142＋285， ∴0≤y≤54 2
探究 1 (1)较简单的值域问题可利用函数的定义域 及对应法则观察得解，又如 y＝x2＋2，y＝ x1－1(可用观 察法求解)
(2)形如 y＝acxx＋＋db的函数可用反函数法或分离变量法 求解，又如：y＝2xx－＋31等
y＝2＋2 2时，x＝ 2－1 y＝2－2 2时，x＝－ 2－1 ∴函数 y＝x2＋x＋4x1＋5的值域为 (－∞，2－2 2]∪[2＋2 2，＋∞)
方法二(均值不等式法)： 设 x＋1＝t，则 y＝x2＋x＋4x1＋5＝t－12＋4t t－1＋5 ＝t2＋2tt＋2＝t＋2t ＋2 当 t＞0 时，t＋2t ≥2 2(t＝ 2时取“＝”号)