四川绵阳二诊文科数学答案

i =1
+(10.5 −10)(79 − 78) + (11−10)(80 − 78)
=5， ………………………………………………………4 分
5
(xi − x)2 = (10 −10)2 + (9 −10)2 + (9.5 −10)2 + (10.5 −10)2 + (11−10)2 = 2.5 ，
∵
h(
x)
=
1
− ln x2
x
，
∴ 由 h(x) >0，解得 0 x e ，故 h(x) 在上单调递增；
由 h(x) <0，解得 x>e，故 h(x) 在(e，+∞)上单调递减；
故函数 y=m 的图象与 h(x) = ln x 的图象的交点分别在(0，e)，(e，+∞)上， x
即 lnx-mx=0 的两个根分别在区间(0，e)，(e，+∞)上， ∴ g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e，x3，且 0<x1<e，x3>e． …………7 分
2n (2n + 2) 4 n n +1
∴ 数列{bn}的前 n 项和 Tn = b1 + b2 + b3 + + bn
= 1 [(1− 1) + ( 1 − 1) + (1 − 1) + + ( 1 − 1 )]
4 2 23 34
n n +1
= 1 (1 − 1 ) = n ．………………………12 分 4 n + 1 4(n +1)
绵阳市高中 2016 级第二次诊断性考试 数学（文）参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． DBDAD BAACC CA
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．2
14． 2 5
15． x Leabharlann Baidu 1 3
16． 4 3
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
21．解：（1）函数 f (x) 的定义域为(0，+∞).
……………………………12 分
由已知可得 f (x) = 1 − m = 1− mx ．
x
x
当 m≤0 时， f (x) >0，故 f (x) 在区间(0，+∞)上单调递增；………………2 分
当 m>0 时，由 f (x) 0 ，解得 0 x 1 ；由 f (x) 0 ，解得 x 1 ．
∴ 3 cbcosA=b( 3 c-asinC)，
即 3 ccosA= 3 c-asinC． ……………………………………………………2 分
由正弦定理得 3 sinCcosA= 3 sinC-sinAsinC， ∵ sinC 0， ∴ 3 cosA= 3 -sinA，即 sinA+ 3 cosA= 3 ．……………………………4 分
17．解：（1）∵ 3Sn=4an-4， ①
∴ 当 n≥2 时， 3Sn−1 = 4an−1 − 4 ．② …………………………………………2 分
由① − ②得 3an = 4an − 4an−1 ，即 an = 4an−1 (n≥2)． ………………………3 分
当 n=1 时，得 3a1 = 4a1 − 4 ，即 a1 = 4 ．
（2）∵ 函数 g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，
显然 x=e 是其零点，
∴ 函数 f (x)= ln x − mx 存在两个零点，即 ln x − mx = 0 有两个不等的实数根．
可转化为方程 m = ln x 在区间(0，+∞)上有两个不等的实数根， x
即函数 y=m 的图象与函数 h(x) = ln x 的图象有两个交点. x
又|OM| |OP| |OQ|=10，则 5 ( 3 −1) t =10．
∴ t= − 3 −1或 3 +1． ………………………………………………………10 分 23．解：（1）由 m=1，则 f (x) = |x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4 的解集．
当 x≥3 时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4 恒成立； 当 1 x 3 时，x+2>4，解得 x>2，综合得 2 x 3 ； ……………………3 分
，x1x2=
2m2 2k 2
−8 +1
．
…………………………………………8 分
以 AB 为直径的圆过原点 O，即 OAOB = 0 ． ………………………………9 分
∴ OAOB = x1x2+ y1y2=0．
将 y1=kx1+m，y2= kx2+m 代入，整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
∵ x = cos ， y = sin ，
故曲线 C 的极坐标方程为 2 − 4 cos − 5 = 0 ．
………………………4 分
（2）将 = 代入 (cos + sin ) = t 中，得 3 + 1 = t ，则 = ( 3 −1)t ．
6
2
∴ |OM|= ( 3 −1) t ． ………………………………………………………6 分
e e2 −1
，
2(e2 +1)
所以 x1x3 的最大值为 e e2 −1 ． ………………………………………………12 分
22．解：（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 (x − 2)2 + y2 = 9 ，
即 x2 + y2 − 4x − 5 = 0 ． ……………………………………………………… 2 分
令 t = x3 ，则 t∈ (1，e2] ． x1
由 tln=x3xx13=，mx3， ln x1 = mx1，
解得
ln ln
x1 x3
= =
ln t ， t −1 t ln t . t −1
故
ln( x1 x3 )
=
ln
x1
+ ln
x3
=
(t
+1)ln t t −1
…………………………………………10 分
将
x1+x2=
−4km 2k2 +1
，
x
1
x
2
=
2m2 2k 2
−8 +1
代入，
整理得 3m2=8k2+8． …………………………………………………………11 分
设点 O 到直线 AB 的距离为 d，
于是
d2=
m2 k2 +1
=
8 3
，
故 O 到直线 AB 的距离是定值为 d = 2 6 ． 3
2
2 4 3 16
文科数学答案第2页（共 5 页）
20．解：（1）因为直线 l 过点 F1(-2,0)，所以 m=2k 即直线 l 的方程为 y=k(x+2). 设 A(x1，y1)，B(x2，y2).
联
立

y = k ( x + 2)，
x2 + 2 y2 − 8 = 0，
整
理
得
(
1
+
0．
所以 (t) 在区间 (1，e2] 上单调递增，即 (t) > (1) = 0 ．
所以 (t) 0 ，即 (t) 在区间 (1，e2] 上单调递增，
即
(t )
≤
(e2 )
=
2(e2 +1) e2 −1
，
所以
ln(x1x2 )

2(e2 + 1) e2 −1
，即
x1x3≤
2(e2 +1)
，t∈
(1，e2] ．
令 (t)
=
(t
+1)ln t
，则 (t)
=
t
−
2ln t
−
1 t
．
t −1
(t −1)2
…………………………9 分
文科数学答案第4页（共 5 页）
令 (t)
=
t − 2ln t − 1 ，则 (t) =1− t
2 t
+
1 t2
=
t2
− 2t t2
+1 =
(t
−1)2 t2
i =1
文科数学答案第1页（共 5 页）
5
∴
bˆ =
i =1
( xi
5
− x)( ( xi −
yi − x)2
y)
=
5 2.5
=
2
．……………………………………………7
分
i =1
∴ aˆ = y − bˆx = 78 − 2 10 = 58 ． ……………………………………………8 分
∴ y 关于 x 的线性回归方程为 yˆ = 2x + 58 ． ………………………………9 分
所以 1 sinA+ 3 cosA= 3 ，即 sin(A+ )= 3 ．
2
2
2
32
∵ 0<A< ,
∴ A + 4 ．
3
33
∴ A+ = 2 ，即 A= ．……………………………………………………6 分
33
3
（2）在△ABC 中，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA，
k2=1.
∴ k = 1 ． ……………………………………………………………………… 6 分
（2）设直线 l 方程 y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联
立
y = kx +

x2
+
2
y2
m， −8 =
整理得(2k2+ 0，
1)x2+4kmx+2m2-8
=0.
∴
x1+x2=
−4km 2k2 +1
将 = 代入 2 − 4 cos − 5 = 0 中，得 2 − 2 3 − 5 = 0 ． 6
设点 P 的极径为 1 ，点 Q 的极径为 2 ，则 12 = −5 ． …………………8 分 所以|OP| |OQ|=5． …………………………………………………………… 9 分
2
k
2
)
x
2
+
8
k
2
x
+
8
k
2
-
8
=
0
．
∴
−8k 2 x1+x2= 1+ 2k 2
，x1
x
2
=
8k 2 − 8 1+ 2k2
．………………………
………………
……
4
分
由弦长公式|AB|=
(1 +
k 2 )[(x1
+
x2 )2
− 4x1x2 ]
=
82 3
，
代入整理得 1+ k2 1+ 2k2
=
2 3
，解得
m
m
文科数学答案第3页（共 5 页）
所以函数
f
(x) 在(0，
1 m
)上单调递增，在(
1 m
，+∞)上单调递减.
…………4 分
综上所述，当 m≤0 时，函数 f (x) 在区间(0，+∞)上单调递增；
当
m>0
时，
函数
f
(x)
在(0，
1 m
)上单调递增，
函数 f (x) 在( 1 ，+∞)上单调递减. ……………5 分 m
≤ (tm − m) + (tx − tm) = tx − m = f (tx) ． 所以 f (tx) ≥ tf (x) + f (tm) ． …………………………………………………10 分
文科数学答案第5页（共 5 页）
2 当 x≤ 1 时，4-3x>4，解得 x<0，综合得 x<0； …………………………… 4 分
2 所以不等式的解集为{x|x<0，或 x>2}．………………………………………5 分 （2）证明：∵ t<0， ∴ tf (x) + f (tm) = t x − m + tm − m
= tm − m − tx − tm ……………………………………………7 分
由（1）得 A= ，所以 a2=b2+c2-2bccos ，即 a2=b2+c2-bc. …………8 分
3
3
∵ a= 3 ，
∴ 3=b2+c2-bc，
即 3=(b+c)2-3bc.
已知 b+c= 3 3 ，解得 bc= 5 . ………………………………………………10 分
2
4
所以△ABC 的面积为 1 bc sin A = 1 5 sin = 5 3 . …………………………12 分
∴ 数列{an}是首项为 4，公比为 4 的等比数列． …………………………5 分
∴ 数列{an}的通项公式为 an = 4n ． …………………………………………6 分
（2）∵
1
1
bn = log2 an log2 an+1 = log2 4n log2 4n+1
=
1
= 1 (1 − 1 ) ． …………………………………8 分
（2）当 x=8 时， yˆ = 2 8 + 58 = 74 ． 满足|74-73|=1<2，……………………………………………………………10 分 当 x=8.5 时， yˆ = 2 8.5 + 58 = 75 ． 满足|75-75|=0<2，……………………………………………………………11 分 ∴ 所得的线性回归方程是可靠的． ………………………………………12 分 19．解 ：（1）∵ 3 AB AC=b( 3c − asinC) ，
18．解：（1） x = 10 + 9 + 9.5 +10.5 +11 = 10 ， 5
y = 78 + 76 + 77 + 79 + 80 = 78 ． 5
………………………………2 分
5
∴ (xi − x)( yi − y) = (10 −10)(78 − 78) + (9 −10)(76 − 78) + (9.5 −10)(77 − 78)