2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)

在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
又 x (x0, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 单调递增，
且 F (a) ea ln a a 2 a e ea a 2 1 ，令 k(x) ex x2 1(x 1) ，
∵ PG ⊥平面 ABCD ， PG 平面 PBG ∴平面 PBG ⊥平面 ABCD ∵平面 PBG 平面 ABCD BG
在平面 ABCD 内，过 D 作 DK ⊥ BG ，交 BG 延长线于 K ，
则 DK ⊥平面 PBG
∴ DK 的长就是点 D 到平面 PBG 的距离
…………………4 分
2a PF1 PF2 2 2.
解得 a 2, c 1, b 1 ，所以椭圆 E 的标准方程为 x2 y2 1. 2
…………............4 分
（Ⅱ）由已知，可设直线 l 方程为 x ty 1， A(x1, y1), B(x2, y2 ).
x ty 1
联立
x
2
y2
3
得 (t2 1) y2 2ty 2 0,
解:（Ⅰ）（方法一）：由已知 VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 1 BG GC PG 32
8 3
∴ PG 4
…………………2 分
∵ PG ⊥平面 ABCD ， BG 平面 ABCD ，∴ PG BG
∴ SPBG
1 2
BG PG
1 2
24
4
∵ AG 1 GD 3
∴ SBDG
3 4
SBCG
32 4
3 2
设点 D 到平面 PBG 的距离为 h ,
∵VDPBG VPBDG
1 3
SPBG
h
1 3
SBDG
PG
,
…………………4 分
14h 1 3 4h 3
3
32
2
…………………6 分
（方法二）：由已知VP BCG
1 3
SBCG
PG
1 3
1 2
BG
GC
PG
8 3
∴ PG 4
………………2 分
PG ⊥平面 ABCD ， GC 平面 ABCD ∴ PG ⊥ GC
∴ FM ∥ PG
由 GM ⊥ MD 得： GM GD cos 45 3 2
3
PF FC
GM MC
2 1
3
2
20. 解：（Ⅰ） y2 4x 焦点为 F (1, 0) ，则 F1(1, 0) ， F2 (1, 0).
…………………10 分 …………………12 分
40
60
不足够的户外暴露时间
60
40
…………………8 分
所以
K
2
的观测值
k
(40
200 (40 40 60 60)2 60)(60 40)(40 60)(60
40)
8.000
6.635
，
所以能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系.
…………………12 分
19.
（Ⅱ）∵ f ( A) sin(2 A ) 1 3 ∴ sin(2 A ) 1
6
2
62
∵0
A
，∴
2A
13
，∴ 2A
5
，即 A
6
66
66
3
…………………8 分
由余弦定理， a2 b2 c2 2bc cos A ，∴ 6 4 c2 2c ，即 c2 2c 2 0
.…….................4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， m 4 ，即 4 x 2 y z 4 . 根据柯西不等式
(x y)2 y2 z2 1 (x y)2 y2 z2 42 (2)2 12 21
1 4( x y) 2 y z2 16
21
21
等号在 x y y z 即 x 8 , y 8 , z 4 时取得。
s(x) k '(x) e x 2x , s(x) ex 2 e 2 0 ,故 k ' (x) 在 1, 单调递增，又 k ' (1) 0
当x 1时，k ' (x) 0，k(x) 在 1, 单调递增，故 k(a) k(1) 0 ，故 F (a) 0 ，
又
a
a e
x0
，由零点存在定理可知， x1
22.解：（Ⅰ）
x
3 cos 2 x2 4x y2 1 0
y 3 sin
所以曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 1 0 .
……..................2 分 …….................4 分
（Ⅱ）设直线 l 的极坐标方程为 1( R,1 0, ) ，其中1 为直线 l 的倾斜角，
D.-2
D. jx'"'"=-I lJlt :.>21 、 D. ..f:去
4设直线y司－,fi与圈。，＇+r'=a＇ 相交于 A,B 两点且 IABl=2J3 ，则回0的面积为
A.1r
8.21'
C.41r
o;s.,,.
5.等重量数列｛α．｝的白白n项和1为S”， 且电＋句 ＝·16 ,a, = 11 ，则 S, =
C•, ＇�橡皮攘干净后 ， 再选涂其官答案标号 ， 写在在试卷上无效．
3回答第E卷时 ，将答案写在答题卡上 ， 写在本试卷土元效．
a、
第I卷’ （选择题 共 ＇ 66 分）
一‘选拇题｛本大锺共12 ,J、蝠 ， 每小题5分，共60分．在每小题绘出的四个选项中 ． 只有－项是符合
题目要求的）
I.复数（ 1-i) (3+i）的虚都是
(x0 , a),
F (x1)
0
，
故在 x0, a 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 x1 .
又在 1, x0 内，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有一个实数解 1.
综上， a e 1.
........................12 分
4 2
7
21 21
所以 (x y)2 y2 z2 的最小值为 16 . 21
…….................8 分 …….................9 分 …….................10 分
A.4' 、
H”4
c.r
于 1若集合如！第 t-l 白�21,B" !.xllog3� I. ，则 且巧B"
A.I 第1-1 旱：＜�21
B.l.<10＜＞：运21
C.l.<H a臼看21
60 3.已知向最a冷的央ff!为
。 ，
lal=1,lbl=2
，
如I
13肘bl=
A..／：王
B.，／霄
’ . C. /i9
哈师大附 中 东北师大附中 辽宁省实验中学
2020年高三第→次联合模拟考试
文科数学试卷
洼，E事项：
I.；本试卷分第I 卷（选择题）和第E 卷（非选妹题｝两部分 ，共150分 ， 考试时间120分钟．答卷
前， 考生务必将自己的姓名 、Ill(考证号填写在答题卡的相应位置上．
2.回答第 I 卷肘 ，逃出每小题答案后 ， 用铅笔把答题卡上对应锺目的答案标号涂黑．如儒改动 ，
所以 F '(x) ex 1 a ex 1 a, F '( a ) e a e a e 0 ，又 a 1 1
x
x
e
ea
a
ee
故
x0
(1,
a e
),
F
(
x0
)
0
，当
x
(1,
x0
)
时，
F
(
x)
0
，
F
(
x)
单调递减，又
F
(1)
0
，
故当 x 1, x0 时， F (x) 0 ，
随机抽取 2 名,所有的可能有 AB,AC,AD,BC,BD,CD 共 6 种情况,
其中事件 M 共有 3 种情况, 即 AB,AC,AD,
所以 P M 3 1
62 故随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视的概率为 1 ．
2
…………………4 分
（Ⅱ）根据以上数据得到列联表：
近视
不近视
足够的户外暴露时间
代入曲线 C 得 2 4 cos1 1 0, 设 A, B 所对应的极径分别为 1, 2 .
1 2 4 cos1, 12 1 0, 16 cos12 4 0
…….................7 分
OA OB 1 2 1 2 2 3
…….................8 分
x
,1
1
1,
t 'x
0
t x
单调递减
所以 t(x)极小值 t(1) e e 0 .
极小值
单调递增 ....…..................3 分 ......….......…....5 分
（Ⅱ）设 F (x) f (x) g(x) ln x e a e x ax ln x e a ， (x 1)
1 当 e 1 a 0 ，即 a e 1 时， x (1, ) 时， F (x) 0 ， F (x) 在 (1, ) 单调递增,
又 F (1) 0 ，故当 x 1时，关于 x 的方程 f (x) ln x e=g(x) a 有且只有一个实数解. ..........9 分
②当 e 1 a 0 ，即 a e 1时，由（Ⅰ）可知 ex ex ，
易知
0.
则
y1
y2
t
2t 2
1
,
y1
y2
t
2
2
1
.
.........6 分
F1A F1B x1 1 x2 1 y1 y2 (ty1 2)(ty2 2) y1 y2
= (t 2
1) y1y2
2t( y1
y2) 4
2 2t2 t2 1
．
因为 F1A F1B
1，所以
又 c 0 ，∴ c 1 3…ຫໍສະໝຸດ ……………10 分∴ SABC
1 bc sin A 2
3 2
3
…………………12 分
18. 解：（Ⅰ）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件 M
设每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 为学生分别为 A,B,C,D,其中 A 表示近视的学生,
A.30
日35
C.42
D.56
6已知αe 咛）， 恤（α号）刊目仇inα2
A芋
B：星
－4
户
U5
D.+
文手1数学试卷 第1页（共4页）
2020 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试
一．选择题
1-6 DBCCBA
文科数学答案
7-12 BBCADD
二．填空题
13. 3
14. 乙
15. 30
16. 4
cos1
3 2
，满足
0
1
6
或
5 ， 6
l 的倾斜角为 或 5 ， 66
则 k tan1
3 或 3
3
.
3
…….................10 分
23．解：（Ⅰ）因为 f (x) x 4a x x 4a x 4 a ，
所以 a2 4 a ，解得 4 a 4 .
故实数 a 的取值范围为[4,4] .
BC 2 2 GD 3 AD 3 BC 3 2
4
4
2
在 DKG 中， DK = DG sin 45 = 3 2
∴点 D 到平面 PBG 的距离为 3 2
…………………6 分
（Ⅱ）在平面 ABCD 内，过 D 作 DM ⊥ GC 于 M ，连结 FM ，又因为 DF ⊥ GC ,
DM DF D ∴ GC ⊥平面 FMD ， FM 平面 FMD ∴ GC ⊥ FM
2 2t2 t2 1
1，解得 t 2
1 3
．
……..................8 分
x ty 1
联立 x2 2
，得 (t2 2) y2 2ty 1 0 ， 8 y2 1
t2 1
0
设
C
(
x3
,
y3
),
B
(
x4
,
y4
)
，则
y3 y3
y4
y4
t2
2t
t2
1
2
.
2
,
SF1CD
1 2
F1F2
y3 y4
81 t2 t2 2
8 4 3
4
6
7
7
3
21. 解：（Ⅰ）当 a e 时， t(x) ex ex ， t '(x) ex e ， 令 t '(x) 0 则 x 1 列表如下：
….....…….........10 分 ….....…….........12 分 .....….................1 分
三．解答题
17．解：（Ⅰ） f (x) 3 sin 2x 1 cos 2x 1 sin(2x ) 1
2
2
6
∵ x [0,
] ，∴
2x
7
，
2
6
66
∴ 1 sin(2x ) 1 2
2
6
…………………2 分 …………………4 分
∴函数
f
(x) 的值域为
1 2
,
2
；
…………………6 分
F '(x) ex a 1 ， (x 1) x
设 h(x)
ex
a
1 x
， h(x)
ex
1 x2
x2
ex x2
1
，
...........…........7 分
由 x 1得， x2 1, x2ex 1 0 ， h '(x) 0 ， h(x) 在 (1, ) 单调递增，
即 F (x) 在 (1, ) 单调递增， F(1) e 1 a ，