专题42：解直角三角形和应用

专题42：解直角三角形和应用

一、选择题

1. （2012广东深圳3分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300

，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为【 】

A.(6米

B.12米

C.(4+米 D ．10米 【答案】A 。

【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。 【分析】延长AC 交BF 延长线于E 点，则∠CFE=30°。

作CE⊥BD 于E ，在Rt△CFE 中，∠CFE=30°，CF=4，

在Rt△CED 中，CE=2，

∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4。

∵△DCE∽△DAB，且CE ：DE=1：2，

∴在Rt△ABD 中，AB=

12BD=(1

2

=A 。 2. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，A 、B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于【 】米．

A ． asin40°

B ． acos40°

C ． atan40°

D ．

a tan40

【答案】C 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】∵△ABC 中，AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，

∴AB=atan40°。故选C 。

3. （2012福建福州4分）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热

气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点煌距离是【 】

A ．200米

B ．2003米

C ．2203米

D ．100(3＋1)米 【答案】D 。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可：

由已知，得∠A＝30°，∠B＝45°，CD ＝100， ∵ CD⊥AB 于点D ，

∴在Rt△ACD 中，∠CDA＝90°，tanA ＝CD AD ，∴ AD＝CD tanA ＝100

3

3

＝1003。

在Rt△BCD 中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，∴ DB＝CD ＝100。 ∴ AB＝AD ＋DB ＝1003＋100＝100(3＋1)（米）。故选D 。

4. （2012湖北宜昌3分）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳

光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为【 】

A ．24米

B ．20米

C ．16米

D ．12米 【答案】D 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。

【分析】∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，∴AB=BC•tan27°。

把BC=24米，tan27°≈0.5代入得，AB≈24×0.5=12米。故选D 。

5. （2012湖北荆州3分）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF=2，则PE 的长为【 】

A ． 2

B ． 2

C ．

D ． 3

【答案】C 。

【考点】等边三角形的性质，角平分线的定义，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，线段垂直平分线的性质。

【分析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线，∴∠EBP=∠QBF=30°，

。

∵FQ 是BP

在Rt△BEF 中，∵∠EBP=30°，∴PE=

1

2

C 。 6. （2012湖北孝感3分）如图，在塔AB 前的平地上选择一点C ，测出塔顶的仰角为30º，从C 点向塔底

B 走100m 到达D 点，测出塔顶的仰角为45º，则塔AB 的高为【 】

A ．．

m D m

【答案】D 。

【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。

【分析】根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，由和BC=AB+100求解即可求出答案：

在Rt△ABD 中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。

在Rt△ABC 中，∵∠ACB=30°，∴B 。

，解得

。故选D 。

7. （2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图，已知小明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼镜距地面的高度为1.6m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为【 】

A ．（）m

B ．（）m

C ．（）m

D ．【答案】A 。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】如图，作AK⊥CD 于点K ，

∵BD=12米，李明的眼睛高AB=1.6米，∠AOE=60°， ∴DB=AK12米，AB=KD=1.6米，∠ACK=60°。

∵AK

tan ACK

CK ∠=

，∴0

AK 12CK tan ACK tan60====∠

（）（米）。故选A 。

8. （2012四川广安3分）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是【 】